Kern einer linearen Abbildung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Der Kern einer linearen Abbildung enthält die Informationen, die unter der Abbildung verloren gehen. Mit dem Kern lässt sich die Injektivität von linearen Abbildungen charakterisieren. Er spielt außerdem eine zentrale Rolle beim Lösen linearer Gleichungssysteme.

Einführung[Bearbeiten]

Wir haben spezielle Abbildungen zwischen Vektorräumen kennengelernt, sogenannte lineare Abbildungen. Sie sind strukturerhaltend; das heißt, sie vertragen sich mit der Addition und der skalaren Multiplikation eines Vektorraums. Wir können uns eine lineare Abbildung von nach deshalb als etwas vorstellen, das die Vektorraumstruktur von nach transportiert.

Einleitende Beispiele[Bearbeiten]

Wir betrachten zwei Konten, die jeweils den Kontostand bzw. aufweisen. Diese Information können wir mit einem Vektor beschreiben. Der Gesamtkontostand ist die Summe der beiden Kontostände. Wir können ihn ausrechnen, indem wir die Abbildung

anwenden. Diese Abbildung ist linear und transportiert daher die Vektorraumstruktur von nach . Dabei geht Information verloren: Man weiß nicht mehr, wie das Geld auf die Konten verteilt ist. Beispielsweise kann man die Einzelkontostände und nicht mehr unterscheiden, da sie beide auf denselben Gesamtkontostand abgebildet werden. Insbesondere ist die Abbildung nicht injektiv. Dafür bekommen wir die Information, wie viel Geld insgesamt auf den Konten liegt.

Drehung der reellen Ebene um 90° gegen den Uhrezigersinn

Wir betrachten als Nächstes die Abbildung

Anschaulich entspricht das einer Drehung des um Grad gegen den Uhrzeigersinn. Durch Rückgängigmachen dieser Drehung kann man aus jedem gedrehten Vektor in den ursprünglichen Vektor zurückgewinnen. Formal gesprochen ist diese Abbildung ein Isomorphismus und es geht keine Information verloren. Insbesondere ist das Bild linear unabhängiger Vektoren wieder linear unabhängig (weil ein Isomorphismus injektiv ist, siehe den Artikel Monomorphismus) und das Bild eines Erzeugendensystems des ist wieder ein Erzeugendensystem des (weil ein Isomorphismus surjektiv ist, siehe den Artikel Epimorphismus).

Zuletzt betrachten wir wieder die Drehung, aber betten die gedrehte Ebene anschließend in den ein:

Obwohl diese Abbildung nicht mehr bijektiv ist, geht hier genauso wie oben beim Transport der Vektorraumstruktur des in den keine Information verloren: Wie im vorherigen Beispiel werden wegen der Injektivität verschiedene Vektoren im auf verschiedene Vektoren im abgebildet. Auch lineare Unabhängigkeit von Vektoren bleibt erhalten. Allerdings wird ein Erzeugendensystem des nicht auf ein Erzeugendensystem des abgebildet. Zum Beispiel schickt die Abbildung die Standardbasis auf , was kein Erzeugendensystem des ist. Die Eigenschaft einer Menge von Vektoren, ein Erzeugendensystem zu sein, hängt vom umliegenden Raum ab. Das ist bei der linearen Unabhängigkeit nicht der Fall; sie ist eine „intrinsische“ Eigenschaft von Mengen von Vektoren.

Herleitung [Bearbeiten]

Wir haben verschiedene Beispiele von linearen Abbildungen gesehen, die einen -Vektorraum strukturerhaltend in einen anderen -Vektorraum transportieren. Dabei ging unterschiedlich viel „intrinsische“ Information aus dem ursprünglichen Vektorraum (etwa Unterschiede von Vektoren oder lineare Unabhängigkeit) verloren. Das letzte Beispiel legt nahe, dass injektive Abbildungen solche intrinsischen Eigenschaften erhalten. Andererseits sehen wir: Wenn nicht injektiv ist, dann gibt es Vektoren mit . In dem Fall geht also unter der Unterschied von und verloren. Die Differenz ist wieder ein Element in . Da linear ist, können wir umformulieren: Es gilt

Intuitiv ist genau dann injektiv, wenn Unterschiede von Vektoren unter nicht verloren gehen (auf null abgebildet werden). Weil strukturerhaltend ist, gilt für alle und : Wenn , dann ist auch

Wenn der Unterschied von und unter verloren geht, dann auch der von und . Genauso gilt für : Ist und , so gilt auch

Also geht auch der Unterschied von und verloren. Die Unterschiede, die unter verloren gehen, sind selbst Vektoren in . Diese schickt auf das Nullelement von und sie liegen damit in . Umgekehrt lässt sich jeder Vektor als Differenz schreiben; das heißt, der Unterschied zwischen und dem Nullvektor geht unter verloren. Das Urbild misst genau, welche Unterschiede von Vektoren (wie viel „Information“) beim Transport von nach verloren geht. Unsere Überlegungen zeigen, dass sogar ein Untervektorraum von ist. Wir geben diesem Unterraum einen Namen: den Kern von .

Definition[Bearbeiten]

Der Kern einer linearen Abbildung misst intuitiv, wie viel „intrinsische“ Information über Vektoren aus (Unterschiede von Vektoren oder lineare Unabhängigkeit) beim Anwenden der Abbildung verloren geht. Der Kern ist das Urbild des Nullvektors.

Definition (Kern einer linearen Abbildung)

Seien und zwei -Vektorräume und linear. Dann nennen wir den Kern von .

In der Herleitung haben wir gesehen, dass der Kern einer linearen Abbildung von nach ein Untervektorraum von ist. Wir beweisen es noch einmal ausführlich.

Satz (Der Kern ist ein Vektorraum)

Sei eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Dann ist ein Untervektorraum von .

Beweis (Der Kern ist ein Vektorraum)

Um die Behauptung zu überprüfen, müssen wir vier Dinge zeigen:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und alle gilt .

Beweisschritt:

Die erste Behauptung folgt direkt aus der Definition.

Beweisschritt:

Da linear ist, wissen wir, dass gilt. Also ist .

Beweisschritt: Für alle gilt .

Nun zeigen wir den dritten Punkt: Für alle gilt

Damit ist auch im Kern von .

Beweisschritt: Für alle und alle gilt .

Der vierte Schritt funktioniert analog zum dritten Schritt: Für alle und alle gilt

Das heißt, dass .

Beispiele[Bearbeiten]

Wir bestimmen den Kern der Beispiele aus der Einleitung.

Vektor wird auf die Summe der Einträge abgebildet[Bearbeiten]

Wir betrachten die Abbildung

Der Kern von besteht aus den Vektoren mit , also . Mit anderen Worten ist

Damit ist der Kern von ein eindimensionaler Untervektorraum von . Allgemeiner können wir für die Abbildung

betrachten. Wieder liegt ein Vektor per Definition genau dann im Kern von , wenn gilt. Wir können also frei wählen und setzen dann . Damit ist

Somit ist der Kern von ein -dimensionaler Unterraum von . Man sagt auch, er ist eine Hyperebene im .

Rotation im [Bearbeiten]

Wir betrachten die Rotation

Angenommen liegt im Kern von , d.h. es gilt

Daraus folgt . Also liegt nur der Nullvektor im Kern von und es ist .

wird gedreht in den eingebettet [Bearbeiten]

Als nächstes betrachten wir

Wie im vorherigen Beispiel bestimmen wir den Kern, indem wir einen beliebigen Vektor wählen. Es gilt also

Wieder folgt , sodass auch für diese Abbildung gilt.

Ableitung von Polynomen [Bearbeiten]

Zum Schluss betrachten wir eine Abbildung, die nicht in der Einleitung vorkam: die Abbildung

die ein reelles Polynom auf seine Ableitung abbildet. Das heißt, ein Polynom

mit Koeffizienten wird auf das Polynom

abgebildet. Anschaulich bestimmen wir zu ein Polynom , das in jedem Punkt die Steigung von angibt. Aus dieser Information erfährt man noch, wie das Polynom „aussieht“ (ähnlich wie bei einer Schablone). Wir wissen aber nicht mehr, wo genau es sich auf der -Achse befindet, denn beim Ableiten geht die Information über den konstanten Teil des Polynoms verloren. Polynome, die eine Verschiebung entlang der -Achse voneinander sind, können wir nach dem Ableiten nicht mehr unterscheiden. Zum Beispiel haben sowohl als auch die Ableitung . Die Abbildung bildet sie also auf dasselbe Polynom ab.

Der Kern von enthält somit genau die konstanten Polynome:

Die Inklusion „“ ist klar, denn die Ableitung eines konstanten Polynoms ist immer das Nullpolynom. Für die umgekehrte Inklusion „“ betrachten wir ein beliebiges Polynom und zeigen, dass es konstant ist. Es gilt für ein und gewisse Koeffizienten . Wegen gilt

und mit Koeffizientenvergleich folgt . Also ist konstant.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Sobald der Polynomring-Artikel geschrieben ist, auf den Koeffizientenvergleich darin verlinken

Kern und Injektivität[Bearbeiten]

In der Herleitung haben wir gesehen, dass eine lineare Abbildung genau dann Unterschiede von Vektoren erhält, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht. Wir haben dort auch gesehen, dass die Linearität impliziert: Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Unterschied von Vektoren nicht verloren geht. Wir haben also den folgenden Satz:

Satz (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Seien und zwei -Vektorräume und sei linear. Dann ist genau dann injektiv, wenn ist. Insbesondere ist genau dann injektiv, wenn .

Zusammenfassung des Beweises (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Für den Satz müssen wir zwei Richtungen zeigen:

  • Wenn injektiv ist, dann ist .
  • Aus folgt, dass injektiv ist.

Die erste Richtung können wir mit einem direkten Beweis zeigen. Für die andere Richtung müssen wir unter der Annahme zeigen, dass für beliebige und mit schon folgt. Wenn wir Vektoren mit haben, was gilt dann für ? Und was bedeutet das für ? Für den „insbesondere“ Teil benutzen wir, dass nur Vektorräume der Form die Dimension Null haben.

Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Beweisschritt: Wenn injektiv ist, dann ist .

Nehmen wir zunächst an, dass injektiv ist. Wir wissen bereits, dass ist. Da injektiv ist, kann kein anderer Vektor auf abgebildet werden; schließlich bilden injektiven Funktionen maximal ein Argument auf einen Funktionswert ab. Damit ist , denn der Kern ist als die Menge aller Vektoren definiert, die den Nullvektor treffen.

Beweisschritt: Aus folgt, dass injektiv ist.

Sei . Um zu zeigen, dass injektiv ist, betrachten wir zwei Vektoren und aus mit . Dann ist

Also ist . Da wir angenommen haben, folgt und damit . Somit gilt für alle . Dies ist genau die Definition dafür, dass injektiv ist.

Beweisschritt: ist genau dann injektiv, wenn ist.

Wir haben schon gezeigt, dass genau dann injektiv ist, wenn ist. Es bleibt zu zeigen, dass dies äquivalent dazu ist, dass ist. Der Kern von ist ein Untervektorraum von . Ein Untervektorraum von ist genau dann gleich , wenn seine Dimension Null beträgt. Also ist genau dann injektiv, wenn .

Alternativer Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Man kann diesen Satz auch mit nur einer Kette von äquivalenten Aussagen zeigen:


Je größer der Kern ist, desto mehr Unterschiede zwischen Vektoren gehen verloren und desto „weniger injektiv“ ist die Abbildung. Der Kern ist damit ein Maß für die „Nicht-Injektivität“ einer linearen Abbildung.

Injektive Abbildungen und Untervektorräume[Bearbeiten]

In den einleitenden Beispielen haben wir vermutet, dass injektive lineare Abbildungen „intrinsische“ Eigenschaften von Vektorräumen erhalten. Das sind Eigenschaften, die nicht vom umliegenden Vektorraum abhängen: etwa die lineare Unabhängigkeit von Vektoren oder die Verschiedenheit von Vektoren. Die Eigenschaft, ein Erzeugendensystem zu sein, kann bei injektiven linearen Abbildungen verloren gehen, wie wir im Beispiel der gedrehten Einbettung von in den gesehen haben: Die Abbildung ist injektiv, aber die Standardbasis von wird nicht auf ein Erzeugendensystem von abgebildet.

Was genau bedeutet es, dass eine Eigenschaft einer Familie von Vektoren nicht vom umliegenden Vektorraum abhängt, also eine „intrinsische“ Eigenschaft von ist? Oft wird für Eigenschaften von Vektoren aus (zum Beispiel die lineare Unabhängigkeit) die Vektorraumstruktur von benötigt, also die Addition und die skalare Multiplikation. Um Eigenschaften der Vektoren in zu untersuchen, betrachten wir deshalb den kleinsten Unterraum von , der diese enthält. Das ist gerade der von den Vektoren in aufgespannte Unterraum . Wir wollen eine Eigenschaft von intrinsisch nennen, wenn sie nur von , aber nicht von abhängt.

Beispiel (Intrinsische und nicht intrinsische Eigenschaften)

Sei ein Vektorraum und eine Teilmenge von Vektoren.

  • Lineare Unabhängigkeit der Vektoren in ist eine intrinsische Eigenschaft, denn die Definition der linearen Unabhängigkeit lässt sich auch in überprüfen und braucht den umliegenden Vektorraum nicht.
  • Verschiedenheit der Vektoren in ist ebenfalls eine intrinsische Eigenschaft: Alles, was benötigt wird, um diese zu untersuchen, sind Vektoren sowie ihre Differenz .
  • Nicht intrinsisch ist dagegen die Eigenschaft von , ein Erzeugendensystem von zu sein: Es reicht nicht, nur zu betrachten. Um zu entscheiden, ob die Familie ein Erzeugendensystem von ist, muss man mit dem umliegenden Vektorraum vergleichen.

Was haben intrinsische Eigenschaften einer Familie von Vektoren mit der Injektivität zu tun? Sei eine lineare Abbildung. Angenommen, erhält intrinsische Eigenschaften von Vektoren, das heißt: Hat eine Familie eine gewisse intrinsische Eigenschaft, so hat auch ihr Bild unter diese Eigenschaft. Dann erhält auch die Verschiedenheit von Vektoren, da dies eine intrinsische Eigenschaft ist. Das bedeutet: Sind verschieden, , so ist auch ihr Bild unter verschieden, . Also ist injektiv.

Umgekehrt gilt: Ist injektiv, dann ist isomorph zu dem Unterraum von . Denn, indem wir die Abbildung im Bild einschränken, erhalten wir eine injektive und surjektive lineare Abbildung , also einen Isomorphismus. Insbesondere gilt für jede Familie in , dass der Unterraum von zu isomorph ist. Letzterer hat damit dieselben Eigenschaften wie . Somit erhält intrinsische Eigenschaften von Teilmengen von .

Wir haben also gesehen: ist genau dann injektiv, wenn intrinsische Eigenschaften von Teilmengen von erhält.

Kern und lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten]

Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass injektive lineare Abbildungen genau die linearen Abbildungen sind, die intrinsische Eigenschaften von erhalten. Eine solche intrinsische Eigenschaft ist auch die lineare Unabhängigkeit einer Familie von Vektoren: Die Frage, ob gewisse Vektoren linear unabhängig sind, betrifft nur die Vektoren selbst und den Nullvektor.

Also sollten injektive lineare Abbildungen die lineare Unabhängigkeit von Vektoren erhalten, d. h. das Bild linear unabhängiger Vektoren ist wieder linear unabhängig. Umgekehrt kann eine lineare Abbildung nicht injektiv sein, wenn sie die lineare Unabhängigkeit von Vektoren nicht erhält, da die intrinsische Information „linear unabhängig sein“ verloren geht.

Insgesamt erhalten wir den folgenden Satz, welcher schon im Artikel zum Monomorphismus bewiesen wurde:

Satz (Injektive lineare Abbildungen erhalten lineare Unabhängigkeit)

Seien und zwei -Vektorräume und eine lineare Abbildung. Dann gilt genau dann, wenn das Bild jeder linear unabhängigen Teilmenge von wieder linear unabhängig ist.

Insbesondere ist für jede lineare Abbildung der Vektorraum ein -dimensionaler Unterraum von . Deshalb kann es im Endlichdimensionalen keine injektive lineare Abbildung von nach geben, wenn gilt. Das wurde ebenfalls schon im Artikel zum Monomorphismus gezeigt.

Kern und lineare Gleichungssysteme [Bearbeiten]

Der Kern einer linearen Abbildung ist bei der Untersuchung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiger Begriff.

Sei ein Körper und . Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem

mit Unbekannten und Zeilen. Es ist , wobei und . Wir können dieses Gleichungssystem auch mithilfe der Matrixmultiplikation schreiben:

wobei , und . Die Lösungsmenge bezeichnen wir mit

Eine Lösung des linearen Gleichungssystems für eine gegebene rechte Seite zu bestimmen bedeutet, Urbilder von unter der linearen Abbildung

zu finden.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Verlinken, wo die Abbildung "Matrizen mit einer gegebenen festen Matrix multiplizieren" untersucht wird? Insbes. wo erklärt wird, dass die linear ist. Evtl. auch zu dem Artikel, wo erklärt wird, wie man den Kern einer Matrix bestimmt (Gauß), wenn dieser geschrieben ist

Das Gleichungssystem hat Lösungen, wenn das Urbild nicht leer ist. In diesem Fall, können wir uns fragen, ob es mehrere Lösungen gibt oder ob die Lösung eindeutig ist. Mit anderen Worten, uns interessiert, wie viele Urbilder ein unter hat.

Per Definition der Injektivität gilt: Jeder Punkt hat genau dann ein höchstens einelementiges Urbild, wenn die Abbildung injektiv ist. Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem für jedes höchstens eine Lösung hat, also . Weil linear ist, ist die Injektivität gleichbedeutend mit . Wir können also schon festhalten:

Satz (Eindeutigkeit von Lösungen)

Sei ein Körper und seien , und . Dann gilt

Hinweis

Die Lösungsmenge von kann leer sein. Dies tritt zum Beispiel ein, wenn die Nullmatrix und ist. Folglich trifft der Kern keine Aussage über die Existenz von Lösungen, sondern nur über ihre Eindeutigkeit. Um etwas über die Existenz von Lösungen zu sagen, kann man das Bild von betrachten.

Auch wenn nicht injektiv ist, also gilt, können wir mithilfe des Kerns noch Genaueres über das Aussehen der Lösungsmenge aussagen: Die Differenz zweier Vektoren und , die auf denselben Vektor abbildet, liegt im Kern von . Deshalb kann man das Urbild eines unter als

schreiben, wobei ein beliebiges Element aus ist. Das zeigt der folgende Satz:

Satz (Lösungsmenge von LGS und Kern)

Sei ein Körper und seien , und . Sei eine Lösung des linearen Gleichungssystems . Dann gilt

Insbesondere ist eine Lösung des Gleichungssystems genau dann eindeutig, wenn die von induzierte lineare Abbildung den Kern Null hat.

Beweis (Lösungsmenge von LGS und Kern)

Wir müssen die Gleichheit beweisen. Dafür zeigen wir beide Teilmengenbeziehungen.

Beweisschritt:

Sei . Dann gilt . Der einzig mögliche Kandidat für , um die Gleichung zu erfüllen, ist . Weil

gilt, ist .

Beweisschritt:

Wir zeigen, dass für jedes gilt. Sei beliebig. Dann gilt . Weil nach Annahme eine Lösung von ist, folgt

Also ist ebenfalls eine Lösung von und liegt somit in der Menge .

Wir haben damit die Aussage des obigen Satzes noch erweitert. Je größer der Kern von ist, also je "weniger injektiv" die Abbildung ist, desto „weniger eindeutig“ sind Lösungen von , sofern welche existieren. Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist der um eine partikuläre Lösung verschobene Kern der induzierten linearen Abbildung . Des Weiteren gilt

Die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems (das heißt mit rechter Seite Null) ist der Kern von .

Hinweis

Wie beim vorherigen Satz wird keine Aussage darüber gemacht, ob für ein gegebenes überhaupt Lösungen von existieren. Der Kern charakterisiert nur die Eindeutigkeit.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Injektivität und Dimension von und )

Seien und zwei endlichdimensionale Vektorräume. Zeige, dass es genau dann eine injektive lineare Abbildung gibt, wenn gilt.

Wie kommt man auf den Beweis? (Injektivität und Dimension von und )

Um die Äquivalenz zu beweisen, müssen wir zwei Implikationen zeigen. Für die Hinrichtung benutzen wir, dass jeder Monomorphismus lineare Unabhängigkeit erhält: Ist eine Basis von , so sind die Vektoren linear unabhängig. Für die Rückrichtung müssen wir mithilfe der Annahme einen Monomorphismus von nach konstruieren. Dafür wählen wir Basen in und und definieren dann mit dem Prinzip der linearen Fortsetzung einen Monomorphismus durch die Bilder der Basisvektoren.

Lösung (Injektivität und Dimension von und )

Beweisschritt: Es gibt einen Monomorphismus

Sei ein Monomorphismus und eine Basis von . Dann ist insbesondere linear unabhängig und daher ist linear unabhängig. Es folgt also, dass ist. Somit ist ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines Monomorphismus von nach .

Beweisschritt: es gibt einen Monomorphismus

Umgekehrt können wir im Fall einen Monomorphismus konstruieren: Sei eine Basis von und eine Basis von . Dann ist . Wir definieren eine lineare Abbildung , indem wir

für alle setzen. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung existiert eine solche lineare Abbildung und ist durch diese Vorschrift eindeutig bestimmt. Wir zeigen nun, dass injektiv ist, indem wir beweisen, dass gilt. Sei . Weil eine Basis von ist, gibt es mit

Damit folgt

Da linear unabhängig sind, muss für alle gelten. Also folgt für :

Wir haben gezeigt, dass gilt und somit ist ein Monomorphismus.

Aufgabe

Sei die lineare Abbildung gegeben. Bestimme den Kern von .

Lösung

Wir suchen die Vektoren , für die gilt. Sei dafür ein beliebiger Vektor in für den gilt. Wir untersuchen nun, welche Eigenschaften dieser Vektor hat. Es gilt

Also ist und . Daraus können wir schließen, dass gelten muss. Mit anderen Worten erfüllt jeder Vektor im Kern von die Bedingung . Nehmen wir jetzt einen Vektor mit . Dann gilt

Wir sehen . Insgesamt gilt

Verständnisfrage: Kannst du dir in der Ebene veranschaulichen? Wie sieht das Bild von aus? Wie verhalten sie sich zueinander?

Der Kern von f

Wir haben schon gesehen, dass

Nun bestimmen wir das Bild von , indem wir auf die Standardbasis anwenden.

Also gilt . Wir sehen, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind. Das heißt, wir können das Bild mit nur einem Vektor erzeugen: .

In unserem Beispiel sind Bild und Kern der Abbildung Geraden durch den Ursprung. Die beiden Geraden schneiden sich nur in der Null und spannen zusammen den ganzen auf.

Aufgabe

Sei ein Vektorraum, , und eine nilpotente lineare Abbildung, d.h. es gibt ein sodass

die Nullabbildung ist. Zeige, dass gilt.

Gilt auch die umgekehrte Richtung, das heißt, ist jede lineare Abbildung mit nilpotent?

Lösung

Beweisschritt: nilpotent

Wir beweisen die Aussage durch Kontraposition. Das heißt wir zeigen: Ist , dann ist nicht nilpotent.

Sei . Dann ist injektiv, und als Verkettung injektiver Funktionen ist auch injektiv. Mit vollständiger Induktion folgt, dass für alle die Funktion injektiv ist. Damit ist dann aber auch für alle . Da der Kern der Nullabbildung ist ganz wäre, ist für kein die Nullabbildung. Folglich ist nicht nilpotent.

Beweisschritt: Die umgekehrte Implikation

Die umgekehrte Implikation gilt nicht. Es gibt Abbildungen, die weder injektiv noch nilpotent sind. Zum Beispiel können wir

definieren. Diese Abbildung ist nicht injektiv, denn es gilt . Sie ist aber auch nicht nilpotent, denn es ist für alle .