Kern einer linearen Abbildung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Einführung[Bearbeiten]

Wir haben spezielle Abbildungen zwischen Vektorräumen kennengelernt, sogenannte lineare Abbildungen. Sie sind strukturerhaltend, das heißt, sie vertragen sich mit den beiden Operationen Addition und skalare Multiplikation eines Vektorraums, bilden also Summen auf Summen und skalare Vielfache auf skalare Vielfache ab. Wir können uns eine lineare Abbildung von nach deshalb als etwas vorstellen, das die Vektorraumstruktur von nach transportiert.

Einleitende Beispiele[Bearbeiten]

Angenommen, man hat zwei Konten, die jeweils den Kontostand bzw. aufweisen. Wir können diese Information mit einem Vektor beschreiben. Der Gesamtkontostand ist einfach die Summe der beiden Kontostände. Wir können ihn ausrechnen, indem wir die Abbildung

anwenden. Diese Abbildung ist linear und transportiert also Vektorraumstruktur von nach . Dabei geht Information verloren: Man weiß nicht mehr, wie das Geld auf die Konten verteilt ist und kann z.B. die Einzelkontostände und nicht mehr unterscheiden. Sie werden beide auf denselben Gesamtkontostand abgebildet; insbesondere ist die Abbildung also nicht injektiv. Dafür bekommen wir die Information, wie viel Geld insgesamt auf dem Konto liegt.

Als nächstes betrachten wir die Abbildung

die ein reelles Polynom auf seine Ableitung abbildet. Anschaulich bestimmt man damit die Steigung des Polynoms in jedem Punkt. Damit weiß man noch, wie das Polynom "aussieht" (ähnlich wie bei einer Schablone), aber nicht mehr, wo genau es sich auf der -Achse befindet. Denn beim Ableiten geht die Information darüber, was der konstante Teil des Polynoms ist, verloren. Man kann also Polynome, die eine Verschiebung entlang der -Achse voneinander sind, nach dem Anwenden der Abbildung nicht mehr voneinander unterscheiden. Zum Beispiel haben sowohl als auch die Ableitung . Die Abbildung bildet sie also auf dasselbe Polynom ab. Insbesondere ist auch diese Abbildung nicht injektiv.

Betrachte nun die Abbildung

Anschaulich entspricht das einer Drehung des um Grad gegen den Uhrzeigersinn. Durch Rückgängigmachen dieser Drehung kann man aus jedem gedrehten jedem Vektor in den ursprünglichen Vektor zurückgewinnen. Formal gesprochen ist diese Abbildung ein Isomorphismus und es geht keine Information verloren. Insbesondere ist das Bild linear unabhängiger Vektoren wieder linear unabhängig (weil ein Isomorphismus injektiv ist, siehe den Artikel Monomorphismus) und das Bild eines Erzeugendensystems des ist wieder ein Erzeugendensystem des (weil ein Isomorphismus surjektiv ist, siehe den Artikel Epimorphismus).

Zuletzt betrachten wir wieder die Drehung, aber betten die gedrehte Ebene nun (injektiv) in den ein:

Obwohl diese Abbildung nicht mehr bijektiv ist, geht hier genauso wie oben beim Transport der Vektorraumstruktur des in den keine Information verloren: Wie im vorherigen Beispiel werden wegen der Injektivität verschiedene Vektoren im auf verschiedene Vektoren im abgebildet und lineare Unabhängigkeit von Vektoren bleibt erhalten. Allerdings wird ein Erzeugendensystem des nicht auf ein Erzeugendensystem des abgebildet. Zum Beispiel wird die Standardbasis auf abgebildet, was kein Erzeugendensystem des ist. Das scheint damit zu tun zu haben, dass die Eigenschaft einer Menge von Vektoren, ein Erzeugendensystem zu sein, vom umliegenden Raum abhängt. Das ist bei der linearen Unabhängigkeit nicht der Fall; sie ist eine "intrinsische" Eigenschaft von Mengen von Vektoren.

Herleitung [Bearbeiten]

Wir haben verschiedene Beispiele von linearen Abbildungen gesehen, die einen -Vektorraum strukturerhaltend in einen anderen -Vektorraum transportieren. Dabei ging unterschiedlich viel "intrinsische" Information aus dem ursprünglichen Vektorraum (etwa Verschiedenheit von Vektoren oder lineare Unabhängigkeit) verloren. Das letzte Beispiel legt nahe, dass injektive Abbildungen solche intrinsischen Eigenschaften erhalten. Andererseits sehen wir: Wenn nicht injektiv ist, dann gibt es Vektoren mit . In dem Fall geht also unter die Verschiedenheit von und verloren. Beachte, dass die Differenz wieder ein Element in ist. Da linear ist, können wir das auch umformulieren: Es gilt

Intuitiv ist also genau dann injektiv, wenn Unterschiede von Vektoren unter nicht verloren gehen (auf Null abgebildet werden). Weil strukturerhaltend ist, gilt für alle und : Wenn , dann ist auch

Wenn also der Unterschied von und unter verloren geht, dann auch der von und . Genauso gilt für : Ist und , so gilt auch

Also geht auch der Unterschied von und verloren. Die Unterschiede, die unter verloren gehen, sind selbst Vektoren in , die auf abgebildet werden. Sie liegen also in . Umgekehrt lässt sich jeder Vektor als Differenz schreiben; der Unterschied zwischen und dem Nullvektor geht also unter verloren. Das Urbild misst also genau, welche Unterschiede von Vektoren (wie viel "Information") beim Transport von nach verloren geht. Unsere Überlegungen zeigen, dass sogar ein Unterraum von ist. Wir geben diesem wichtigen Unterraum einen speziellen Namen: Den Kern von .

Definition[Bearbeiten]

Der Kern einer linearen Abbildung misst intuitiv, wie viel "intrinsische" Information über Vektoren aus (Verschiedenheit von Vektoren oder lineare Unabhängigkeit) beim Anwenden der Abbildung verloren geht. Beim Kern handelt es sich um das Urbild des Nullvektors.

Definition (Kern einer linearen Abbildung)

Es seien und zwei -Vektorräume und linear. Dann nennen wir den Kern von .

In der Herleitung haben wir gesehen, dass der Kern einer linearen Abbildung von nach ein Unterraum von ist. Wir beweisen es noch einmal ausführlich.

Satz

Es sei eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Dann ist ein Untervektorraum von .

Beweis

Um die Behauptung zu überprüfen, müssen wir vier Dinge zeigen:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und für alle gilt .

Beweisschritt:

Die erste Behauptung folgt direkt aus der Definition.

Beweisschritt:

Da linear ist, wissen wir, dass für alle und alle gilt: . Insbesondere gilt dann auch

Also ist und damit ist der Kern von nicht leer.

Beweisschritt: gilt .

Nun zeigen wir den dritten Punkt. Es gilt für alle , dass

Damit ist auch im Kern von .

Beweisschritt: und gilt .

Der vierte Schritt funktioniert analog zum dritten Schritt. Für alle und alle gilt

Das heißt, dass .

Beispiele[Bearbeiten]

Wir bestimmen den Kern der Beispiele aus der Einleitung.

Vektor wird auf die Summe der Einträge abgebildet[Bearbeiten]

Wir betrachten die Abbildung

Der Kern von besteht aus den Vektoren mit , also . Also ist

Der Kern von ist also ein eindimensionaler Unterraum von . Allgemeiner können wir für die Abbildung

betrachten. Wieder liegt ein Vektor per Definition genau dann im Kern von , wenn gilt. Wir können also frei wählen und setzen dann . Damit ist

Der Kern von ist also ein -dimensionaler Unterraum von . Man sagt auch, er ist eine Hyperebene im .

Ableitung von Polynomen [Bearbeiten]

Wir betrachten die Ableitung

Ein Polynom liegt genau dann im Kern von , wenn gilt, also wenn seine Ableitung Null ist. Das gilt genau für die konstanten Polynome. Der Kern von ist also

Das ist ein eindimensionaler Unterraum von .

Rotation im [Bearbeiten]

Wir betrachten die Rotation

Angenommen liegt im Kern von , d.h. es gilt

Daraus folgt . Also liegt nur der Nullvektor im Kern von und es ist .

wird gedreht in den eingebettet [Bearbeiten]

Zuletzt betrachten wir

Wie im vorherigen Beispiel bestimmen wir den Kern, indem wir einen beliebigen Vektor wählen. Es gilt also

Wieder folgt , sodass auch für diese Abbildung gilt.

Kern und Injektivität[Bearbeiten]

In der Herleitung haben wir gesehen, dass eine lineare Abbildung Verschiedenheit von Vektoren genau dann erhält, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält. Wir haben dort auch gesehen, dass wegen der Linearität gilt: Eine lineare Abbildung ist injektiv genau dann, wenn der Unterschied von Vektoren nicht verloren geht. Wir haben also den folgenden Satz:

Satz (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Seien und zwei -Vektorräume und sei linear. Dann ist genau dann injektiv, wenn ist. Insbesondere ist genau dann injektiv, wenn .

Zusammenfassung des Beweises (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Für den Satz müssen wir zwei Richtungen zeigen:

  • Wenn injektiv ist, dann ist .
  • Aus folgt, dass injektiv ist.

Die erste Richtung kann mit einem direkten Beweis gezeigt werden. Für die andere Richtung müssen wir zeigen, dass für beliebige und mit folgt , wenn . Wenn wir nun wissen, dass für schon gilt, was gilt dann für ? Und was bedeutet das für ? Außerdem benutzen wir, dass nur Vektorräume der Form die Dimension Null haben.

Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Beweisschritt: Wenn injektiv ist, dann ist .

Nehmen wir zunächst an, dass injektiv ist. Wir wissen bereits, dass ist. Da injektiv ist, kann kein anderer Vektor auf abgebildet werden (bei injektiven Funktionen wird maximal ein Argument auf einen Funktionswert abgebildet). Damit ist , denn der Kern ist ja definiert als die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Beweisschritt: Aus folgt, dass injektiv ist.

Sei . Um zu zeigen, dass injektiv ist, betrachten wir zwei Vektoren und aus mit . Dann ist

Also ist . Da wir angenommen haben, dass , ist und damit . Folglich gilt für alle . Dies ist genau die Definition dafür, dass injektiv ist.

Beweisschritt: ist genau dann injektiv, wenn ist.

Wir haben schon gezeigt, dass genau dann injektiv ist, wenn ist. Es bleibt zu zeigen, dass dies äquivalent dazu ist, dass ist. Der Kern von ist ein Untervektorraum von . Ein Untervektorraum von ist genau dann gleich , wenn seine Dimension Null beträgt. Also ist genau dann injektiv, wenn .

Alternativer Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Man kann diesen Satz auch mit nur einer Kette von äquivalenten Aussagen zeigen:


Je größer also der Kern ist, desto mehr Unterschiede zwischen Vektoren gehen verloren und desto “weniger injektiv” ist die Abbildung. Der Kern ist damit ein Maß für die “Nicht-Injektivität” einer linearen Abbildung.

Injektive Abbildungen und Untervektorräume[Bearbeiten]

In den einleitenden Beispielen haben wir vermutet, dass injektive lineare Abbildungen "intrinsische" Eigenschaften von Vektorräumen erhalten, also Eigenschaften, die nicht vom umliegenden Vektorraum abhängen: etwa die lineare Unabhängigkeit von Vektoren oder die Verschiedenheit von Vektoren. Die Eigenschaft, ein Erzeugendensystem zu sein, kann dagegen auch bei injektiven linearen Abbildungen verloren gehen, wie wir im Beispiel der gedrehten Einbettung von in den gesehen haben: Die Abbildung ist injektiv, aber beispielsweise die Standardbasis von wird nicht auf ein Erzeugendensystem von abgebildet.

Was genau bedeutet es, dass eine Eigenschaft einer Menge von Vektoren nicht vom umliegenden Vektorraum abhängt, also eine "intrinsische" Eigenschaft von ist? Oft wird für Eigenschaften von Vektoren aus (z.B. die lineare Unabhängigkeit) die Vektorraumstruktur von benötigt, also die Addition und die skalare Multiplikation. Um Eigenschaften der Vektoren in zu untersuchen, betrachten wir deshalb den kleinsten Unterraum von , der diese enthält. Das ist gerade der von den Vektoren in aufgespannte Unterraum . Wir wollen eine Eigenschaft von intrinsisch nennen, wenn sie nur von , aber nicht von abhängt.

Beispiel (Intrinsische und nicht intrinsische Eigenschaften)

Sei ein Vektorraum und eine Teilmenge von Vektoren.

  • Lineare Unabhängigkeit der Vektoren in ist eine intrinsische Eigenschaft, denn die Definition der linearen Unabhängigkeit lässt sich auch in überprüfen und braucht den umliegenden Vektorraum nicht.
  • Verschiedenheit der Vektoren in ist ebenfalls eine intrinsische Eigenschaft: Alles, was benötigt wird, um diese zu untersuchen, sind Vektoren sowie ihre Differenz .
  • Nicht intrinsisch ist dagegen die Eigenschaft von , ein Erzeugendensystem von zu sein: Dafür braucht man offenbar den umliegenden Vektorraum . Es reicht nicht, nur zu betrachten.

Was haben intrinsische Eigenschaften von Vektoren mit der Injektivität zu tun? Sei eine lineare Abbildung. Angenommen, erhält intrinsische Eigenschaften von Vektoren, das heißt: Hat eine Teilmenge eine gewisse intrinsische Eigenschaft, so hat auch ihr Bild unter diese Eigenschaft. Dann erhält auch die Verschiedenheit von Vektoren, da dies eine intrinsische Eigenschaft ist. Das bedeutet: Sind verschieden, , so ist auch ihr Bild unter verschieden, . Also ist injektiv.

Umgekehrt gilt: Ist injektiv, dann ist isomorph zu dem Unterraum von . Insbesondere gilt für jede Teilmenge von : Der Unterraum von ist isomorph zu . Letzterer hat also dieselben Eigenschaften wie . Somit erhält intrinsische Eigenschaften von Teilmengen von .

Wir haben also gesehen: ist genau dann injektiv, wenn intrinsische Eigenschaften von Teilmengen von erhält.

Kern und lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten]

Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass injektive lineare Abbildungen genau die linearen Abbildungen sind, die intrinsische Eigenschaften von erhalten. Eine solche intrinsische Eigenschaft ist auch die lineare Unabhängigkeit einer Familie von Vektoren: Die Frage, ob gewisse Vektoren linear unabhängig sind, betrifft nur die Vektoren selbst und den Nullvektor.

Also sollten injektive lineare Abbildungen die lineare Unabhängigkeit von Vektoren erhalten, d.h. das Bild linear unabhängiger Vektoren ist wieder linear unabhängig. Umgekehrt kann eine lineare Abbildung nicht injektiv sein, wenn sie die lineare Unabhängigkeit von Vektoren nicht erhält, da die intrinsische Information "linear unabhängig sein" verloren geht.

Insgesamt erhalten wir den folgenden Satz, welchen wir auch noch einmal formal beweisen:

  • Satz: Ker f = 0 ⇔ für jede l.u. Familie ist das Bild wieder l.u.
  • Wenn keine Information verloren geht, finden wir also V durch f in W wieder (als Unterraum der gleichen Dimension wie V)
  • Insbesondere kann es keine injektive lineare Abbildung in einen VR kleinerer Dimension geben

Kern und lineare Gleichungssysteme [Bearbeiten]

  • Ein LGS Ax=b zu lösen ist das gleiche, wie bei der zugehörigen linearen Abbildung nach Urbildern zu suchen. (Da x\mapsto Ax linear ist)
  • Wir können uns nun fragen, wie viele Urbilder ein Punkt hat. Genau dann, wenn alle Urbilder höchstens einelementig sind, ist die Abbildung injektiv. Wir wissen inzwischen, das ist gdw der Kern =0 ist.
  • Lösungen sind genau dann eindeutig, wenn die Matrix A Kern Null hat
  • Wir können noch mehr darüber sagen, wie die Lösungsmenge aussieht, wenn das nicht der Fall ist: Wir wissen, dass die Differenz zweier Vektoren mit gleichem Bild im Kern liegt. Damit ist das Urbild f^{-1}(p) = q + Ker(f), wo q ein beliebiges Urbild von p ist (also wenn das LGS mit rechter Seite p lösbar ist, andernfalls haben wir keine Urbilder.)
  • Damit erhalten wir eine stärkere Aussage:
  • Satz: \hat{x} \in V mit A\hat{x} = b Lösung des LGS. Dann ist L(A,b)=\hat{x}+Kern(A). Insbesondere ist \hat{x} genau dann die eind. Lösung von Ax = b, wenn die Koeffizientenmatrix Kern Null hat.
  • Der Kern gibt also ein Kriterium zur Eindeutigkeit von Lösungen von LGS. Es gibt allerdings keine Aussage über die Existenz einer Lösung (dazu siehe Bild).

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Injektivität und Dimension von und )

Seien und zwei endlichdimensionale Vektorräume. Zeige, dass es genau dann eine injektive lineare Abbildung gibt, wenn gilt.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Wie kommt man auf den Beweis noch ergänzen. Dort noch genauer erklären, was die Aussage anschaulich bedeutet. Evtl. im Beweis auf die entsprechenden Resultate zum Thema "lineare Unabhängigkeit und Injektivität" verlinken.

Lösung (Injektivität und Dimension von und )

Beweisschritt: ""

Es gebe eine solche injektive lineare Abbildung . Wir wissen, dass injektive lineare Abbildungen lineare Unabhängigkeit von Vektoren erhalten. Daraus folgt direkt die Aussage: Ist eine Basis von , also insbesondere linear unabhängig, so sind wegen der Injektivität von ebenfalls linear unabhängig. Es folgt .

Beweisschritt: ""

Es gelte umgekehrt . Wir benutzen, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren schon eindeutig bestimmt ist. Sei eine Basis von und eine Basis von . Definiere die gesuchte injektive lineare Abbildung durch für . Das geht, da nach Annahme gilt. Die so konstruierte Abbildung ist injektiv: Sei , dann ist für gewisse und es gilt

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit der folgt, dass ist. Also ist und da beliebig war, folgt . Also ist injektiv.

Aufgabe

Sei die lineare Abbildung gegeben. Bestimme den Kern von .

Lösung

Wir suchen die Vektoren für die . Sei dafür ein beliebiger Vektor in für den gilt. Wir untersuchen nun, welche Eigenschaften dieser Vektor hat. Es gilt

Also ist und . Daraus können wir schließen, dass gelten muss. Jeder Vektor im Kern von erfüllt also . Nehmen wir nun einen Vektor mit . Dann gilt

Wir sehen also . Insgesamt gilt

Verständnisfrage: Kannst du dir in der Ebene veranschaulichen? Wie sieht das Bild von aus? Wie verhalten sie sich zueinander?

Wir haben schon gesehen, dass

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild einfügen mit Kern eingezeichnet im Koordinatensystem; auch den Vektor (1,1) einzeichnen

Nun bestimmen wir das Bild von . Wir wenden dafür auf die Standardbasis an.

Es gilt . Wir sehen, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind. Also folgt für .

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild von U_2 aus dem Artikel Lineare Abbildung: Bild einfügen

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild mit beiden Geraden einfügen

In unserem Beispiel sind Bild und Kern der Abbildung eine Gerade durch den Ursprung. Die beiden Geraden schneiden sich nur in der Null und spannen zusammen den ganzen auf.

Aufgabe

Sei ein Vektorraum, , und eine nilpotente lineare Abbildung, d.h. es gibt ein sodass

die Nullabbildung ist. Zeige, dass gilt.

Gilt auch die umgekehrte Richtung, ist also jede lineare Abbildung mit nilpotent?

Lösung

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Lösung schreiben

Alter Inhalt[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Wir haben schon im Artikel Monomorphismus den Kern definiert. Hier sollten wir auch darauf eingehen, dass wir den Kern schon definiert haben, damit Leser*innen nicht verwirrt sind, warum wir den Kern mehrmals definieren.

Motivation[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Der Kern einer linearen Abbildung enthält wichtige Informationen über diese Abbildung. Beim Kern handelt es sich um das Urbild des Nullvektors.

Definition (Kern einer linearen Abbildung)

Es seien und zwei -Vektorräume und linear. Dann nennen wir den Kern von .

Warum ist es wichtig, sich mit dem Kern zu beschäftigen?[Bearbeiten]

Die linearen Abbildungen werden auch "strukturerhaltende Abbildungen" zwischen Vektorräumen genannt. Durch sie kann man Vektorräume miteinander in Beziehung setzen und ihre strukturellen Eigenschaften vergleichen. Dabei interessieren uns zum Beispiel die Unterstrukturen, die durch eine lineare Abbildung sichtbar werden. Beispiele dafür sind der Kern und das Bild der linearen Abbildung, welche Untervektorräume des Start- bzw. Zielvektorraums sind. Später werden wir den Kern und das Bild noch mit den Dimensionen des Start- und Zielvektorraums in Beziehung setzen und durch lineare Abbildungen neue Informationen über diese Dimensionen gewinnen.

Analog zum Kern eines Vektorraumhomomorphismus wird auch bei anderen algebraischen Strukturen der Kern von strukturerhaltenden Abbildungen untersucht. Der Begriff "Kern" wird dir daher später noch an anderen Stellen in der Mathematik mit einer sehr ähnlichen Bedeutung wieder begegnen.

Daneben macht der Kern eine Aussage über die lineare Abbildung selbst. An ihm kann man zum Beispiel erkennen, ob eine Abbildung injektiv ist. Man nennt die lineare Abbildung dann auch einen Monomorphismus.

Der Kern ist ein Untervektorraum [Bearbeiten]

Wir zeigen jetzt, dass der Kern einer linearen Abbildung ein Untervektorraum des Startvektorraums ist:

Satz

Es sei eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Dann ist ein Untervektorraum von .

Beweis

Um die Behauptung zu überprüfen, müssen wir vier Dinge zeigen:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und für alle gilt .

Beweisschritt:

Die erste Behauptung folgt direkt aus der Definition.

Beweisschritt:

Da linear ist, wissen wir, dass für alle und alle gilt: . Insbesondere gilt dann auch

Also ist und damit ist der Kern von nicht leer.

Beweisschritt: gilt .

Nun zeigen wir den dritten Punkt. Es gilt für alle , dass

Damit ist auch im Kern von .

Beweisschritt: und gilt .

Der vierte Schritt funktioniert analog zum dritten Schritt. Für alle und alle gilt

Das heißt, dass .

Zusammenhang Injektivität und Kern[Bearbeiten]

Betrachten wir nun eine lineare Abbildung , wobei und zwei -Vektorräume sind. Angenommen, wir wissen, dass der Kern von mehr als ein Element hat. Können wir eine Aussage darüber treffen, ob die Abbildung injektiv ist?

Ja. Wenn der Kern von mehr als ein Element enthält, dann gibt es zwei verschiedene Elemente und von , so dass sind. Per Definition des Kerns ist dann und folglich ist nicht injektiv, da zwei verschiedene Argumente auf denselben Funktionswert abgebildet werden.

Nun wissen wir bereits, dass der Kern von mindestens das neutrale Element des Startvektorraums enthalten muss. Gerade haben wir gezeigt, dass jede lineare Abbildung mit mehr als einem Element im Kern nicht injektiv ist. Gleich werden wir auch die Umkehrung zeigen, also: Wenn der Kern nur ein Element besitzt, muss die Abbildung injektiv sein. Das fassen wir zusammen im folgenden Satz:

Satz (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Seien und zwei -Vektorräume und sei linear. Dann ist genau dann injektiv, wenn ist. Insbesondere ist genau dann injektiv, wenn .

Zusammenfassung des Beweises (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Für den Satz müssen wir zwei Richtungen zeigen:

  • Wenn injektiv ist, dann ist .
  • Aus folgt, dass injektiv ist.

Die erste Richtung kann mit einem direkten Beweis gezeigt werden. Für die andere Richtung müssen wir zeigen, dass für beliebige und mit folgt , wenn . Wenn wir nun wissen, dass für schon gilt, was gilt dann für ? Und was bedeutet das für ? Außerdem benutzen wir, dass nur Vektorräume der Form die Dimension Null haben.

Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Beweisschritt: Wenn injektiv ist, dann ist .

Nehmen wir zunächst an, dass injektiv ist. Wir wissen bereits, dass ist. Da injektiv ist, kann kein anderer Vektor auf abgebildet werden (bei injektiven Funktionen wird maximal ein Argument auf einen Funktionswert abgebildet). Damit ist , denn der Kern ist ja definiert als die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Beweisschritt: Aus folgt, dass injektiv ist.

Sei . Um zu zeigen, dass injektiv ist, betrachten wir zwei Vektoren und aus mit . Dann ist

Also ist . Da wir angenommen haben, dass , ist und damit . Folglich gilt für alle . Dies ist genau die Definition dafür, dass injektiv ist.

Beweisschritt: ist genau dann injektiv, wenn ist.

Wir haben schon gezeigt, dass genau dann injektiv ist, wenn ist. Es bleibt zu zeigen, dass dies äquivalent dazu ist, dass ist. Der Kern von ist ein Untervektorraum von . Ein Untervektorraum von ist genau dann gleich , wenn seine Dimension Null beträgt. Also ist genau dann injektiv, wenn .

Alternativer Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Man kann diesen Satz auch mit nur einer Kette von äquivalenten Aussagen zeigen:


Lösungsmethode und Beispielaufgaben zur Bestimmung des Kerns[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Nicht über Matrizen zeigen, sondern direkt über Abbildungen

Lösungsmethode[Bearbeiten]

Wenn wir nun den Kern einer linearen Abbildung direkt bestimmen wollen, kann man wie folgt vorgehen: Seien und endlich-dimensionale Vektorräume und eine lineare Abbildung. Wir möchten nun den Kern von bestimmen:

  1. Die darstellende Matrix von aufstellen (Wenn sie noch nicht angegeben ist).
  2. Gauß-Jordan-Algorithmus auf die Matrix anwenden.
  3. bestimmen und mit der Dimensionsformel (diese werden wir später noch kennenlernen) die Dimension des Kerns bestimmen.
  4. Mittels eines linearen Gleichungssystems die Basisvektoren des Kerns finden.

Beispielaufgaben in endlich-dimensionalen Vektorräumen[Bearbeiten]

Hierzu zunächst ein einfaches Beispiel.

Beispiel

Gegeben sei eine lineare Abbildung mit folgender darstellenden Matrix: .

Bestimmen wir zunächst die Dimension des Kerns. Hierzu benutzen wir die Dimensionsformel und den Rang einer Matrix, welche später eingeführt werden. Die Vektoren und sind linear unabhängig, da sie kein Vielfaches voneinander sind. Daher ist und folglich .

Finden wir also einen Vektor mit und , so sind wir fertig und es gilt . Betrachten wir die darstellende Matrix von , so fällt auf, dass . Damit ist .

Nun versuchen wir in einem etwas komplizierteren Fall den Kern zu bestimmen.

Beispiel

Sei linear mit der darstellenden Matrix .

Wir wollen also die Lösungsmenge von

Dazu wenden wir den Gauß-Jordan-Algorithmus an. Wir betrachten nur die Matrix, da sich die rechte Seite durch die elementaren Zeilenumformungen nicht ändert.

Als erstes ziehen wir das 3-fache der 1. Zeile von der zweiten ab und wir ziehen das 4-fache der ersten Zeile von der dritten Zeile ab. Damit erhalten wir folgende Matrix:

Nun subtrahieren wir von der dritten Zeile das 2,5-fache der zweiten Zeile. Das ergibt

.

Jetzt addieren wir die zweite Zeile zur ersten Zeile und erhalten

.

Das bedeutet, dass der Kern von genau die enthält, für die folgendes gilt:

.

Damit muss sein und . Also können wir um einen Vektor im Kern zu finden zum Beispiel frei wählen und dann sind und bereits fest bestimmt. Daher ist der Kern in diesem Fall ein-dimensional.

Der Kern unserer linearen Abbildung ist also .

Beispiel

Sei eine lineare Lineare Abbildung mit .


1. Die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis, sieht folgendermaßen aus: , da und , sowie .

2. Jetzt wenden wir den Gauß-Jordan-Algorithmus an: Wir suchen , so dass

.

Da nun die rechte Seit Null ist können wir die linke Seite verändern ohne die Nuller zu beachten:

Zuerst ziehen wir das 2-fache der 1.Zeile von der 4.Zeile ab und subtrahieren das 2-fache der 2.Zeile von der 3.Zeile, dann erhalten wir:

Als nächstes addieren wir das 0,5-fache der 1.Zeile zur 3.Zeile und tauschen anschließend 1. und 2. Zeile. Dadurch entsteht die folgende Matrix:

.

Diese Matrix lässt sich nicht viel weiter vereinfachen, da die Zeilenvektoren und linear unabhängig sind. Die restlichen Zeilen sind Nullzeilen, also sind wir mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus fertig.


3. Diese Matrix hat genau zwei linear unabhängige Vektoren. Also ist . Dann gilt mit der Dimensionsformel:

.

Somit brauchen wir einen Vektor , so dass , dann können wir den Kern darstellen als .

4. Wir wissen, dass für dieses gilt:



Daraus folgt direkt und . Also ist ein mögliches . Damit ist und wir sind fertig.

Beispielaufgaben in unendlich-dimensionalen Vektorräumen[Bearbeiten]

Die bisherigen Beispiele waren Beispiele in endlich-dimensionalen Vektorräumen. Der Vorteil hierbei ist, dass man die darstellende Matrix der Abbildung aufschreiben kann und anschließend nach der oben beschriebenen Lösungsmethode vorgehen kann. In unendlich-dimensionalen Vektorräumen ist das etwas komplizierter.

Wir fangen mit einem einfachen Beispiel in einem unendlich-dimensionalen Vektorraum an.

Beispiel

Wir betrachten die Ableitung als linear Abbildung von Polynomen über . Die Menge ist eine Basis von . Wir definieren durch für alle .

Nun wollen wir den Kern von bestimmen. Jedes Element aus können wir darstellen als eine Linearkombination , wobei und für alle ist. Es gilt also .

Wir wissen, dass die linear unabhängig sind, da sie eine Basis bilden. Somit ist eine Linearkombination der genau dann Null, wenn alle Koeffizienten Null sind. Das können wir benutzen, um den Kern zu bestimmen. Nehmen wir also an, dass für ein beliebiges Element mit und für alle gilt, dass . Dann folgt, dass für alle . Für alle diese gilt, dass . Folglich ist für alle .

Damit ist genau dann , wenn für alle . Der Kern von ist somit .

Hinweis

Wir können dieses Resultat verallgemeinern, indem wir durch einen beliebigen Körper ersetzen. Wir müssen dann 2 Fälle unterscheiden:

:

Hier erhalten wir wie für :


:

Hier erhalten wir: