Prinzip der linearen Fortsetzung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Das Prinzip der linearen Fortsetzung besagt, dass jede lineare Abbildung genau durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt ist. Es liefert eine alternative Möglichkeit eine lineare Abbildung zu charakterisieren.

Statt Prinzip der linearen Fortsetzung sagt man auch Prinzip der linearen Ausdehnung.

Motivation[Bearbeiten]

Bisher haben wir lineare Abbildungen meist durch eine Abbildungsvorschrift angegeben. Wir suchen nun nach weiteren Möglichkeiten, eine lineare Abbildung darzustellen.

Wir müssen für jeden Vektor unseres Startvektorraums die Information bereitstellen, auf welchen Vektor des Zielvektorraums er abgebildet werden soll. Nun stellt sich die Frage, wie wir unsere Startvektoren charakterisieren können und wie wir ihre Bilder unter der Abbildung notieren möchten.

Eine Möglichkeit zur Darstellung eines Vektors ist diejenige bezüglich einer Basis. Dazu müssen wir eine Linearkombination des Vektors in den Basisvektoren angeben. Ist ein -Vektorraum mit der Basis und , so gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten so, dass gilt.

Nun könnten wir versuchen, die Werte der linearen Abbildung in einen anderen -Vektorraum nur für die Basisvektoren von anzugeben. Es seien also festgelegt. Dann können wir auch berechnen, wenn wir fordern, dass linear ist. Es gilt dann nämlich:

Wir haben also nur die Bilder der Vektoren einer Basis von unter der Abbildung notiert und konnten für jeden beliebigen Vektor sein Bild unter berechnen. Dass wir auf diese Weise zuverlässig lineare Abbildungen notieren können, garantiert uns der nächste Satz. Er ist damit eine wichtige Grundlage dafür, lineare Abbildungen als Matrizen darzustellen.

Prinzip der linearen Fortsetzung[Bearbeiten]

Satz (Satz von der linearen Fortsetzung)

Es seien ein Körper, und zwei -Vektorräume und eine Basis von . Weiter seinen beliebige Vektoren aus . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung mit für alle .

Wie kommt man auf den Beweis?

Zuerst müssen wir eine geeignete Abbildung finden und definieren. Eine Idee dazu könnte der Abschnitt Motivation liefern. Ist unsere Abbildung tatsächlich wohldefiniert?

Sobald wir eine Abbildung gewählt haben, sollten wir nachrechnen, dass sie tatsächlich linear ist und die Forderung erfüllt. Damit existiert eine geeignete Abbildung.

Zuletzt müssen wir zeigen, dass die Abbildung mit diesen Eigenschaften eindeutig bestimmt ist. Dazu nehmen wir an, dass es eine weitere Abbildung mit den gleichen Eigenschaften gibt. Dann müssen wir zeigen, dass diese mit identisch ist.

Beweis

Sei . Da eine Basis von bilden, gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten , so, dass ist. Nun setzen wir

Weil die Koeffizienten eindeutig bestimmt sind, ist die Abbildung wohldefiniert.

Weiter folgt sofort, dass die Forderung für jedes erfüllt, denn für jedes gilt:

Nun zeigen wir, dass linear ist. Dazu seien mit und sowie . Dann gilt:

Aktuelles Ziel: Additivität

Aktuelles Ziel: Homogenität

Zuletzt möchten wir zeigen, dass eindeutig bestimmt ist mit den Eigenschaften, linear zu sein und für jedes den Basisvektor auf abzubilden. Dazu nehmen wir an, es gibt eine zweite Abbildung mit diesen beiden Eigenschaften. Wir zeigen, dass ist. Sei dazu beliebig. Es gilt:

Wir haben gezeigt, dass und für jeden Vektor denselben Wert annehmen. Also sind beide Abbildungen gleich und wegen unserer Annahmen an kann es keine von verschiedene Funktion geben, die die gewünschten Eigenschaften hat.

Hinweis

In der Voraussetzung zum Prinzip der linearen Fortsetzung kommt die Basis von vor. Das heißt ist endlich-dimensional. Für haben wir dies nicht gefordert.

Allerdings gilt die Aussage auch für unendlich-dimensionale Vektorräume . Der Beweis dafür funktioniert ähnlich zu unserem.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten]

Beispiel

Wir betrachten den -Vektorraum mit der Basis wobei und . Dass dies tatsächlich eine Basis ist, kann man einfach nachprüfen. Seien und zwei Vektoren. Sei die eindeutige lineare Abbildung gegeben durch und . Durch den Satz des Prinzips der linearen Fortsetzung existiert eine solche lineare Abbildung und ist eindeutig. Wir suchen nun die Abbildungsvorschrift von für einen allgemeinen Vektor .

Wir gehen vor wie im Satz zum Prinzip der linearen Fortsetzung: Sei ein Vektor in . Zuerst stellen wir als Linearkombination der Basisvektoren dar. Wir suchen also , sodass . Es muss gelten

Wir müssen nun das Gleichungssystem

nach und auflösen. Ziehen wir die zweite Gleichung von der ersten ab, erhalten wir . Um zu erhalten, setzen wir dieses Ergebnis in die zweite Gleichung ein:

Wenn wir nach auflösen, bekommen wir . Folglich lautet die gesuchte Linearkombination .

Durch den Beweis des Satzes wissen wir wie auf wirkt:

Die Abbildungsvorschrift von lautet also

Beispiel 2[Bearbeiten]

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung mit und versuchen, eine andere Darstellung dafür zu finden.

Als Basis des wählen wir . Dann ist

Wir könnten die lineare Abbildung also auch dadurch angeben, dass abgebildet wird auf und auf .

Beispiel 3[Bearbeiten]

Beispiel

Gibt es eine lineare Abbildung mit und ?

Angenommen, es gäbe eine solche Abbildung, dann müsste gelten:

Das ist ein Widerspruch, daher kann eine solche lineare Abbildung nicht existieren.

Verständnisfrage: Woran liegt das?

Die Vektoren und sind linear abhängig, die Funktionswerte, die wir ihnen zugewiesen haben, sind jedoch keine Vielfachen voneinander. Daher kommt der Widerspruch. Das steht jedoch nicht im Widerspruch zum Satz von der linearen Fortsetzung. Denn dort werden die Funktionswerte für eine Basis angegeben.

Eigenschaften der linearen Fortsetzung[Bearbeiten]

Im Folgenden sind und zwei -Vektorräume, eine Basis von und sind Vektoren in . Sei eine lineare Abbildung mit für alle . Wegen des obigen Satzes existiert eine solche lineare Abbildung und diese ist sogar eindeutig.

Satz (Eigenschaften der linearen Fortsetzung)

Insbesondere gilt: ist genau dann surjektiv, wenn ein Erzeugendensystem von ist.

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir wollen die erste Aussage beweisen, indem wir die Mengengleichheit zeigen. Wir weisen also nach, dass und gilt.

Für die erste Inklusion betrachten wir ein Element . Also existiert ein , sodass gilt. Dieses können wir als Linearkombination der Basiselemente von darstellen. Zusammen mit der Linearität von lässt sich dann zeigen, dass wir als Linearkombination der schreiben können.

Für die andere Inklusion „“ betrachten wir nun ein . Dann können wir als Linearkombination von schreiben. Da gilt, ist als Linearkombination von darstellbar. Da linear ist, können wir nun zeigen, dass in liegt.

Damit können wir leicht beweisen, dass genau dann surjektiv ist, wenn ein Erzeugendensystem von ist, indem wir folgende Aussagen benutzen:

  • ist genau dann surjektiv, wenn gilt.
  • ist genau dann ein Erzeugendensystem von , wenn gilt.
  • (unsere bereits bewiesene Aussage)

Beweis

Beweisschritt:

: Sei . Dann gibt es ein mit der Eigenschaft . Weil eine Basis von ist, gibt es Koeffizienten , sodass ist. Nun gilt:

Wir konnten als Linearkombination der darstellen, daher gilt .

: Sei , dann gibt es Koeffizienten so, dass ist. Nach Definition von gilt:

Hieraus folgt insbesondere die zweite Aussage:

Beweisschritt: ist genau dann surjektiv, wenn ein Erzeugendensystem von ist.

Wenn surjektiv ist, dann gilt:

(nach der Aussage oben).

Daher ist ein Erzeugendensystem von .

Ist andererseits ein Erzeugendensystem, dann gilt , und ist surjektiv.

Satz (Injektive Abbildungen bilden Basen auf linear unabhängige Vektoren ab)

ist genau dann injektiv, wenn linear unabhängig ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Injektive Abbildungen bilden Basen auf linear unabhängige Vektoren ab)

Für die Äquivalenz zeigen wir die beiden Implikationen. Im Beweis der Hinrichtung möchten wir zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, falls injektiv ist. Wir nehmen an, dass injektiv ist und betrachten wir den Nullvektor als eine Linearkombination von , d.h. mit . Wir möchten nun nachweisen, dass alle Koeffizienten verschwinden. Ersetzen wir in unserer Linearkombination jeweils mit und nutzen die Linearität von , erhalten wir

.

Wir wissen , weil linear ist. Also

.

Mit der Injektivität von , folgt . Da die Basis linear unabhängig ist, folgt für alle .

Im Beweis der Rückrichtung ist unser Ziel zu zeigen, dass injektiv ist, falls linear unabhängig sind. Dazu betrachten wir zwei Vektoren mit . Wir möchten zeigen, dass . Da eine Basis von bildet, können wir und als Linearkombination von ihnen darstellen:

und mit

Um nachzuweisen, reicht es zu zeigen, dass für gilt. Mit und der Linearität von erhalten wir

Wegen erhalten wir die Darstellung

Wegen der linearen Unabhängigkeit von sind ihre Linearkombinationen eindeutig und es muss für alle gelten.

Beweis (Injektive Abbildungen bilden Basen auf linear unabhängige Vektoren ab)

Wir müssen zwei Richtungen zweigen.

Beweisschritt: Wenn injektiv ist, dann sind die linear unabhängig.

Seien und sei

Für jede lineare Abbildung gilt außerdem . Da injektiv ist, folgt

Weiter folgt, da eine Basis von ist,

Damit sind die linear unabhängig.

Beweisschritt: Wenn die linear unabhängig sind, dann ist injektiv.

Seien mit . Dann gibt es mit und . Es gilt:

Wenn linear unabhängig sind, ist die Darstellung eindeutig, also . Damit ist injektiv.

Satz (Bijektive Abbildungen bilden Basen auf Basen ab)

ist genau dann bijektiv, wenn eine Basis von ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Bijektive Abbildungen bilden Basen auf Basen ab)

Wir kombinieren einfach die Aussagen der letzten beiden Sätze.

Beweis (Bijektive Abbildungen bilden Basen auf Basen ab)

Beweisschritt: Wenn bijektiv ist, dann ist eine Basis von .

Da bijektiv ist, ist auch injektiv und surjektiv. Daher bilden nach den letzten beiden Sätzen, ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Dies ist immer eine Basis.

Beweisschritt: Wenn eine Basis von ist, dann ist bijektiv.

Angenommen, ist eine Basis - insbesondere also linear unabhängig und ein Erzeugendensystem. Dann folgt nach den beiden letzten Sätzen, dass injektiv und surjektiv ist - also insbesondere bijektiv.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Lineare Abbildungen mit vorgegebenen Bedingungen)

Seien und . Gibt es eine -lineare Abbildung , die den Bedingungen genügt?

Wie kommt man auf den Beweis? (Lineare Abbildungen mit vorgegebenen Bedingungen)

Als erstes sollte man überprüfen, ob die Vektoren linear unabhängig sind. Ist das nämlich der Fall, so bildet , wegen eine Basis des . Mit dem Prinzip der linearen Fortsetzung würde die Existenz einer solchen linearen Abbildung folgen. Seien also , mit

Dann müssen aber auch und damit erfüllt sein. Diese Gleichung hat allerdings nicht nur die "triviale" Lösung . Tatsächlich ist die obere Gleichung für erfüllt. Man erhält also

Für eine solche Abbildung müsste dann aber gelten, was aber

widerspricht.

Lösung (Lineare Abbildungen mit vorgegebenen Bedingungen)

Nehmen wir zunächst an eine solche lineare Abbildung würde existieren. Durch die folgende Rechnung

sieht man, dass gelten müsste. Das ist aber ein Widerspruch zu den anderen Bedingungen, weil mit diesen

gilt. Es gibt also kein solches .