Beweise für lineare Abbildungen führen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir werden hier eine Beweisstruktur angeben, die zeigt, wie du immer die Linearität einer Abbildung zeigen kannst.

Allgemeine Vorgehensweise

Wiederholung: Definition der linearen Abbildung

Wir erinnern uns daran, dass eine lineare Abbildung (oder auch Homomorphismus) eine strukturerhaltende Abbildung von einem $K$-Vektorraum $V$ in einen $K$-Vektorraum $W$ ist. Das bedeutet, für die Abbildung $f\colon V\to W$ müssen folgende zwei Bedingungen gelten:

1. $f$ muss additiv sein, d.h. für $v,w\in V$ gilt: $f(v+w)=f(v)+f(w)$
2. $f$ muss homogen sein, d.h. für $v\in V,\lambda \in K$ gilt: $f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)$

Bei einer linearen Abbildung ist es also egal, ob wir zuerst die Addition bzw. Skalarmultiplikation im Vektorraum $V$ durchführen und dann die Summe in den Vektorraum $W$ abbilden, oder zuerst die Vektoren $v,\,w$ in den Vektorraum $W$ abbilden und dort die Addition bzw. Skalarmultiplikation mit den Bildern der Abbildung durchführen.

Beweisstrukur für eine lineare Abbildung

Der Beweis, dass eine Abbildung linear ist, kann nach folgender Struktur durchgeführt werden. Zunächst gehen wir davon aus, dass eine Abbildung $f\colon V\to W$ zwischen Vektorräumen gegeben ist. Das heißt, $V$ und $W$ sind $K$-Vektorräume und $f$ ist wohldefiniert. Dann ist für die Linearität von $f$ zu zeigen:

1. Additivität: $\forall v,\,w\in V:\quad f(v+w)=f(v)+f(w)$
2. Homogenität: $\forall v\in V\,\forall \lambda \in K:\quad f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)$

Aufgabe (Einführendes Beispiel)

Wir betrachten folgende Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\quad f{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}:=2v_{1}+v_{2}$

und zeigen, dass diese linear ist.

Beweis (Einführendes Beispiel)

Zunächst sind $\mathbb {R} ^{2}$ und $\mathbb {R}$ Vektorräume über dem Körper $\mathbb {R}$. Außerdem ist die Abbildung $f$ wohldefiniert.

Beweisschritt: Additivität nachweisen

Seien ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$.

${\begin{aligned}f\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}\right)&=f{\begin{pmatrix}v_{1}+w_{1}\\v_{2}+w_{2}\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}f\right.}\\[0.3em]&=\ 2(v_{1}+w_{1})+(v_{2}+w_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz}}\right.}\\[0.3em]&=\ 2v_{1}+2w_{1}+v_{2}+w_{2}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativ-, Assoziativgesetz }}\right.}\\[0.3em]&=\ (2v_{1}+v_{2})+(2w_{1}+w_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}f\right.}\\[0.3em]&=\ f{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}+f{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Damit haben wir die Additivität von $f$ nachgewiesen.

Beweisschritt: Homogenität nachweisen

Seien ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ und $\lambda \in \mathbb {R}$. Dann gilt

${\begin{aligned}f\left(\lambda {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\right)&=f{\begin{pmatrix}\lambda v_{1}\\\lambda v_{2}\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}f\right.}\\[0.3em]&=\ 2\lambda v_{1}+\lambda v_{2}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz }}\right.}\\[0.3em]&=\ \lambda (2v_{1}+v_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}f\right.}\\[0.3em]&=\ \lambda \cdot f{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Damit haben wir die Homogenität von $f$ nachgewiesen.

Die Nullabbildung

Die Nullabbildung ist diejenige Abbildung, die alles auf die Null abbildet. Im Beispiel der Nullabbildung von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R} ^{3}$ sieht diese Abbildung folgendermaßen aus:

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},\quad x\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Aufgabe (Nullabbildung ist linear)

Zeige, die Abbildung $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},\quad x\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$ ist linear.

Beweis (Nullabbildung ist linear)

Wir wissen bereits, dass $\mathbb {R}$ und $\mathbb {R} ^{3}$ beide $\mathbb {R}$-Vektorräume sind und dass die Nullabbildung wohldefiniert ist.

Beweisschritt: Additivität

Für alle $x,y\in \mathbb {R}$ gilt

${\begin{aligned}f(x+y)&={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{additives neutrales Element}}\right.}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}f\right.}\\[0.3em]&=f(x)+f(y)\end{aligned}}$

Beweisschritt: Homogenität

Für alle $x\in \mathbb {R} ,\lambda \in \mathbb {R}$ gilt

${\begin{aligned}f(\lambda \cdot x)&={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{skalare Multiplikation }}\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}f\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot f(x)\end{aligned}}$

Damit ist die Nullabbildung linear.

Ein Beispiel im $\mathbb {R} ^{2}$

Wir betrachten ein Beispiel für eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$:

Aufgabe (Linearität von $f$)

Sei $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ gegeben mit

$f{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\x_{1}-5x_{2}\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass die Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\x_{1}-5x_{2}\end{pmatrix}}$ linear ist.

Lösung (Linearität von $f$)

$\mathbb {R} ^{2}$ ist ein $\mathbb {R}$-Vektorraum. Außerdem ist die Abbildung wohldefiniert.

Beweisschritt: Additivität

Seien $(x_{1},x_{2})^{T}$ und $(y_{1},y_{2})^{T}$ beliebige Vektoren aus der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}f\left({\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}\right)&=f{\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}f\right.}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})\\(x_{1}+y_{1})-5\cdot (x_{2}+y_{2})\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz}}\right.}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})\\(x_{1}-5x_{2})+(y_{1}-5y_{2})\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Vektoren trennen}}\right.}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\x_{1}-5x_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}+y_{2}\\y_{1}-5y_{2}\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}f\right.}\\[0.3em]&=f{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}+f{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Beweisschritt: Homogenität

Sei $\lambda \in \mathbb {R}$ und $(x_{1},x_{2})^{T}\in \mathbb {R} ^{2}$, dann gilt:

${\begin{aligned}f\left(\lambda \cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\right)&=f{\begin{pmatrix}\lambda \cdot x_{1}\\\lambda \cdot x_{2}\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}f\right.}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}+\lambda x_{2}\\\lambda x_{1}-5\lambda x_{2}\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz}}\right.}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}\lambda (x_{1}+x_{2})\\\lambda (x_{1}-5x_{2})\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Skalarmultiplikation}}\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}(x_{1}+x_{2})\\(x_{1}-5x_{2})\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}f\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot f{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist die Abbildung linear.

Eine lineare Abbildung im Folgenvektorraum

Als nächstes betrachten wir den Raum aller Folgen reeller Zahlen. Dieser ist nicht endlich-dimensional, denn es gibt nicht endlich viele Folgen, die diesen Folgenraum erzeugen. Er ist aber ein Vektorraum, wie wir im Kapitel über Folgenräume gezeigt haben.

Aufgabe (Folgenvektorraum)

Sei $V$ der $\mathbb {R}$-Vektorraum aller Folgen reeller Zahlen. Zeige, dass die Abbildung

${\begin{aligned}f:V&\to V\\(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )&\mapsto (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\end{aligned}}$

linear ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Folgenvektorraum)

Um Linearität zu zeigen, sind zwei Eigenschaften zu prüfen:

1. $f$ ist additiv: $f(v+w)=f(v)+f(w)$ für alle $v,w\in V$
2. $f$ ist homogen: $f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)$ für alle $v\in V$ und $\lambda \in \mathbb {R}$

Die Vektoren $v$ und $w$ sind Folgen reeller Zahlen, d.h. sie sind von der Form $v=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ und $w=(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )$ mit $a_{k},b_{k}\in \mathbb {R}$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$.

Lösung (Folgenvektorraum)

Beweisschritt: Additivität

Seien $v=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\in V$ und $w=(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\in V$. Dann gilt

${\begin{aligned}f(v+w)&=f((a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots ))\\[0.3em]&=\ f(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )\\[0.3em]&=\ (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},\ldots )\\[0.3em]&=\ (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )+(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots )\\[0.3em]&=\ f(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+f(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\\[0.3em]&=\ f(v)+f(w)\end{aligned}}$

Daraus folgt, dass $f$ additiv ist.

Beweisschritt: Homogenität

Sei $v=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\in V$ und $\lambda \in \mathbb {R}$. Dann gilt

${\begin{aligned}f(\lambda \cdot v)&=f(\lambda \cdot (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ))\\[0.3em]&=\ f(\lambda a_{0},\lambda a_{1},\lambda a_{2},\ldots )\\[0.3em]&=\ (\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3},\ldots )\\[0.3em]&=\ \lambda \cdot (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\\[0.3em]&=\ \lambda \cdot f(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\\[0.3em]&=\ \lambda \cdot f(v)\end{aligned}}$

Also ist $f$ homogen.

Somit wurde nachgewiesen, dass $f$ eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung ist.

Abstraktes Beispiel

Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit etwas abstrakteren Vektoren. Seien $M,\,N$ beliebige Mengen; $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Wir betrachten nun die Menge aller Abbildungen der Menge $M$ in den Vektorraum $V$ und bezeichnen diese Menge mit ${\text{Abb}}(M,V)$. Weiterhin betrachten wir auch die Menge aller Abbildungen der Menge $N$ in den Vektorraum $V$ und bezeichnen diese Menge mit ${\text{Abb}}(N,V)$. Die Addition zweier Abbildungen definieren wir für $f,g\in {\text{Abb}}(M,V)$ durch

$(f+g)(m)=f(m)+g(m)$

Die skalare Multiplikation definieren wir für $\lambda \in K$ durch

$(\lambda \cdot f)(m)=\lambda \cdot f(m)$

Analog definieren wir die Addition und die skalare Multiplikation für ${\text{Abb}}(N,V)$.

Aufgabe (Die Menge ${\text{Abb}}(M,V)$ ist ein Vektorraum über $K$)

Zeige, dass ${\text{Abb}}(M,V)$ ein $K$-Vektorraum ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Menge ${\text{Abb}}(M,V)$ ist ein Vektorraum über $K$)

Überprüfe einfach die Vektorraumaxiome.

Wir zeigen nun, dass die Präkomposition mit einer Abbildung $t\in {\text{Abb}}(N,M)$ eine lineare Abbildung von ${\text{Abb}}(M,V)$ nach ${\text{Abb}}(N,V)$ ist.

Aufgabe (Die Präkomposition mit einer Abbildung ist linear.)

Sei $V$ ein Vektorraum, seien $M,N$ Mengen und sei ${\text{Abb}}(M,V)$ bzw. ${\text{Abb}}(N,V)$ der Vektorraum der Abbildungen von $M$ bzw. $N$ nach $V$. Sei $t\in {\text{Abb}}(N,M)$ beliebig, aber fest. Wir betrachten die Abbildung

${\begin{aligned}\Theta :{\text{Abb}}(M,V)&\to {\text{Abb}}(N,V)\\g&\mapsto g\circ t.\end{aligned}}$

Zeige, dass $\Theta$ linear ist.

Es ist wichtig, dass du dich genau an die Definitionen hältst. Mache dir klar, dass $\Theta$ eine Abbildung ist, die jeder Abbildung von $M$ nach $V$ eine Abbildung von $N$ nach $V$ zuordnet. Diese Abbildungen, die Elemente von ${\text{Abb}}(M,V)$ bzw. ${\text{Abb}}(N,V)$ sind, müssen selbst aber nicht linear sein, da auf den Mengen $M$ und $N$ keine Vektorraumstruktur vorhanden ist.

Zusammenfassung des Beweises (Die Präkomposition mit einer Abbildung ist linear.)

Um die Linearität von $\Theta$ zu beweisen, müssen wir wieder die zwei Eigenschaften prüfen:

1. $\Theta$ ist additiv: $\Theta (g+h)=\Theta (g)+\Theta (h)$ für alle $g,h\in {\text{Abb}}(M,V)$
2. $\Theta$ ist homogen: $\Theta (\lambda \cdot g)=\lambda \cdot \Theta (g)$ für alle $g\in {\text{Abb}}(M,V)$ und $\lambda \in K$

Bei beiden Punkten ist also eine Gleichheit von Abbildungen $N\to V$ zu zeigen. Dazu werten wir die Abbildungen an jedem Element $y\in N$ aus.

Lösung (Die Präkomposition mit einer Abbildung ist linear.)

Seien $g,h\in {\text{Abb}}(M,V)$.

Beweisschritt: Additivität

Für alle $n\in N$ gilt

${\begin{aligned}\Theta (g+h)(n)&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\Theta \right.}\\[0.3em]&=\ ((g+h)\circ t)(n)\\[0.3em]&=\ (g+h)(t(n))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Vektoraddition in Abb}}(M,V)\right.}\\[0.3em]&=\ g(t(n))+h(t(n))\\[0.3em]&=\ (g\circ t)(n)+(h\circ t)(n)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\Theta \right.}\\[0.3em]&=\ \Theta (g)(n)+\Theta (h)(n)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Vektoraddition in Abb}}(N,V)\right.}\\[0.3em]&=\ (\Theta (g)+\Theta (h))(n)\end{aligned}}$

Damit haben wir $\Theta (g+h)=\Theta (g)+\Theta (h)$ gezeigt, das heißt $\Theta$ ist additiv.

Seien $g\in {\text{Abb}}(M,V)$ und $\lambda \in K$.

Beweisschritt: Homogenität

Für alle $n\in N$ gilt

${\begin{aligned}\Theta (\lambda \cdot g)(n)&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\Theta \right.}\\[0.3em]&=\ ((\lambda \cdot g)\circ t)(n)\\[0.3em]&=\ (\lambda \cdot g)(t(n))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Skalarmultiplikation in Abb}}(M,V)\right.}\\[0.3em]&=\ \lambda \cdot g(t(n))\\[0.3em]&=\ \lambda \cdot (g\circ t)(n)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\Theta \right.}\\[0.3em]&=\ \lambda \cdot \Theta (g)(n)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Skalarmultiplikation in Abb}}(N,V)\right.}\\[0.3em]&=\ (\lambda \cdot \Theta (g))(n)\end{aligned}}$

Damit haben wir $\Theta (\lambda \cdot g)=\lambda \cdot \Theta (g)$ gezeigt, was bedeutet $\Theta$ ist homogen.

Die Additivität und Homogenität von $\Theta$ bedeutet aber, dass $\Theta$ eine lineare Abbildung ist.