Beweise für lineare Abbildungen führen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir werden hier eine Beweisstruktur angeben, die zeigt, wie du immer die Linearität einer Abbildung zeigen kannst.

Allgemeine Vorgehensweise[Bearbeiten]

Wiederholung: Definition der linearen Abbildung[Bearbeiten]

Wir erinnern uns daran, dass eine lineare Abbildung (oder auch Homomorphismus) eine strukturerhaltende Abbildung von einem -Vektorraum in einen -Vektorraum ist. Das bedeutet, für die Abbildung müssen folgende zwei Bedingungen gelten:

  1. muss additiv sein, d.h. für gilt:
  2. muss homogen sein, d.h. für gilt:

Bei einer linearen Abbildung ist es also egal, ob wir zuerst die Addition bzw. Skalarmultiplikation im Vektorraum durchführen und dann die Summe in den Vektorraum abbilden, oder zuerst die Vektoren in den Vektorraum abbilden und dort die Addition bzw. Skalarmultiplikation mit den Bildern der Abbildung durchführen.

Beweisstrukur für eine lineare Abbildung[Bearbeiten]

Der Beweis, dass eine Abbildung linear ist, kann nach folgender Struktur durchgeführt werden. Zunächst gehen wir davon aus, dass eine Abbildung zwischen Vektorräumen gegeben ist. Das heißt, und sind -Vektorräume und ist wohldefiniert. Dann ist für die Linearität von zu zeigen:

  1. Additivität:
  2. Homogenität:

Aufgabe (Einführendes Beispiel)

Wir betrachten folgende Abbildung

und zeigen, dass diese linear ist.

Beweis (Einführendes Beispiel)

Zunächst sind und Vektorräume über dem Körper . Außerdem ist die Abbildung wohldefiniert.

Beweisschritt: Additivität nachweisen

Seien .

Damit haben wir die Additivität von nachgewiesen.

Beweisschritt: Homogenität nachweisen

Seien und . Dann gilt

Damit haben wir die Homogenität von nachgewiesen.

Die Nullabbildung[Bearbeiten]

Die Nullabbildung ist diejenige Abbildung, die alles auf die Null abbildet. Im Beispiel der Nullabbildung von nach sieht diese Abbildung folgendermaßen aus:

Aufgabe (Nullabbildung ist linear)

Zeige, die Abbildung ist linear.

Beweis (Nullabbildung ist linear)

Wir wissen bereits, dass und beide -Vektorräume sind und dass die Nullabbildung wohldefiniert ist.

Beweisschritt: Additivität

Für alle gilt

Beweisschritt: Homogenität

Für alle gilt

Damit ist die Nullabbildung linear.

Ein Beispiel im [Bearbeiten]

Wir betrachten ein Beispiel für eine lineare Abbildung von nach :

mit

Aufgabe (Linearität von )

Zeige, dass die Abbildung linear ist.

Beweis (Linearität von )

ist ein -Vektorraum. Außerdem ist die Abbildung wohldefiniert.

Beweisschritt: Additivität

Seien und beliebige Vektoren aus der Ebene . Dann gilt:


Beweisschritt: Homogenität

Sei und , dann gilt:

Damit ist die Abbildung linear.

Eine lineare Abbildung im Folgenvektorraum[Bearbeiten]

Als nächstes betrachten wir den Raum aller Folgen reeller Zahlen. Dieser ist nicht endlich-dimensional, denn es gibt nicht endlich viele Folgen, die diesen Folgenraum erzeugen. Er ist aber ein Vektorraum, wie wir im Kapitel über Folgenräume gezeigt haben.

Aufgabe (Folgenvektorraum)

Sei der -Vektorraum aller Folgen reeller Zahlen. Zeige, dass die Abbildung

linear ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Folgenvektorraum)

Um Linearität zu zeigen, sind zwei Eigenschaften zu prüfen:

  1. ist additiv: für alle
  2. ist homogen: für alle und

Die Vektoren und sind Folgen reeller Zahlen, d.h. sie sind von der Form und mit für alle .

Beweis (Folgenvektorraum)

Beweisschritt: Additivität

Seien und . Dann gilt

Daraus folgt, dass additiv ist.

Beweisschritt: Homogenität

Sei und . Dann gilt

Also ist homogen.

Somit wurde nachgewiesen, dass eine -lineare Abbildung ist.

Abstraktes Beispiel[Bearbeiten]

Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit etwas abstrakteren Vektoren. Seien beliebige Mengen; ein Körper und ein -Vektorraum. Wir betrachten nun die Menge aller Abbildungen der Menge in den Vektorraum und bezeichnen diese Menge mit . Weiterhin betrachten wir auch die Menge aller Abbildungen der Menge in den Vektorraum und bezeichnen diese Menge mit . Die Addition zweier Abbildungen definieren wir für durch

Die skalare Multiplikation definieren wir für durch

Analog definieren wir die Addition und die skalare Multiplikation für .

Aufgabe (Die Menge ist ein Vektorraum über )

Zeige, dass ein -Vektorraum ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Menge ist ein Vektorraum über )

Überprüfe einfach die Vektorraumaxiome.

Wir betrachten nun eine Abbildung

wobei , also beliebig.

Aufgabe (Die Abbildung ist linear.)

Zeige:

ist eine lineare Abbildung.

Es ist wichtig, dass du dich genau an die Definitionen hältst. Mache dir klar, dass eine Abbildung ist, die jeder Abbildung von nach eine Abbildung von nach zuordnet. Diese Abbildungen, die Elemente von bzw. sind, müssen selbst aber nicht linear sein, da auf den Mengen und keine Vektorraumstruktur vorhanden ist.

Zusammenfassung des Beweises (Die Abbildung ist linear.)

Um die Linearität von zu beweisen, müssen wir wieder die zwei Eigenschaften prüfen:

  1. ist additiv: für alle
  2. ist homogen: für alle und

Bei beiden Punkten ist also eine Gleichheit von Abbildungen zu zeigen. Dazu werten wir die Abbildungen an jedem Element aus.

Beweis (Die Abbildung ist linear.)

Seien .

Beweisschritt: Additivität

Für alle gilt

Damit haben wir gezeigt, das heißt ist additiv.

Seien und .

Beweisschritt: Homogenität

Für alle gilt

Damit haben wir gezeigt, was bedeutet ist homogen.

Die Additivität und Homogenität von bedeutet aber, dass eine lineare Abbildung ist.