Folgenräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir betrachten den Vektorraum der Folgen über einem Körper und einige ausgezeichnete Untervektorräume.

Definition des Folgenraums[Bearbeiten]

Sei ein Körper.

Definition (Der Folgenraum als Menge)

Wir definieren die Menge .

Wir nennen sie die Menge aller Folgen über , oder auch den Folgenraum über .

Analog zum Koordinatenraum können wir auch auf eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren:

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf )

Die Addition ist definiert durch

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation durch

Der Folgenraum ist ein Vektorraum[Bearbeiten]

Satz ( ist ein Vektorraum)

ist ein -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ( ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen.

Beweis ( ist ein Vektorraum)

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen nun noch zeigen, dass es ein neutrales Element gibt, das heißt für alle . Es liegt auf der Hand, die konstante Nullfolge

als neutrales Element zu verwenden.

Sei . Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei . Wir müssen zeigen, dass es ein gibt, sodass .

Es liegt nahe, für die Folge zu wählen.

Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ein gibt mit .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei .

Dann gilt:

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist ein -Vektorraum.

Unterräume des Folgenraums[Bearbeiten]

Im Folgenden sei .

Wir wollen im Folgenden einige Unterräume des Folgenraums betrachten.

Der Unterraum der beschränkten Folgen[Bearbeiten]

Definition (Menge der beschränkten Folgen)

Wir definieren

.

Satz (Die beschränkten Folgen bilden einen Unterraum)

ist ein Unterraum.

Beweis (Die beschränkten Folgen bilden einen Unterraum)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Muss man machen.

Der Unterraum der konvergenten Folgen[Bearbeiten]

Definition (Menge der konvergenten Folgen)

Wir definieren

.

Satz (Die konvergenten Folgen bilden einen Unterraum)

ist ein Unterraum.

Beweis (Die konvergenten Folgen bilden einen Unterraum)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Muss man machen.

Der Unterraum der Nullfolgen[Bearbeiten]

Definition (Menge der Nullfolgen)

Wir definieren

.

Satz (Die Nullfolgen bilden einen Unterraum)

ist ein Unterraum.

Beweis (Die Nullfolgen bilden einen Unterraum)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Muss man machen.

Der Unterraum der Folgen mit endlichem Träger [Bearbeiten]

Definition (Menge der Folgen mit endlichem Träger)

Wir definieren

.

Satz (Die Folgen mit endlichem Träger bilden einen Unterraum)

ist ein Unterraum.

Beweis (Die Folgen mit endlichem Träger bilden einen Unterraum)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Muss man machen.

Beziehungen zwischen den Unterräumen[Bearbeiten]

Zwischen den oben definierten Untervektorräumen gelten folgende Inklusionen:

Satz (Inklusionen zwischen den Untervektorräumen)

Es gilt .

Beweis (Inklusionen zwischen den Untervektorräumen)

Wir werden nun nacheinander die vier Inklusionen zeigen. Dabei beweisen wir auch, dass jeweils keine Gleichheit gilt.

Beweisschritt:

Beweisschritt:

Sei .

Nach Definition gibt es ein , sodass für alle .

Dann gilt aber bereits .

Also ist .

Dies zeigt .

Beweisschritt:

Betrachte die Folge .

Es gilt , da .

Aber , da für alle .

Dies zeigt .

Beweisschritt:

Beweisschritt:

Dies ist klar, da jede gegen Null konvergente Folge konvergiert.

Beweisschritt:

Betrachte die Folge .

Es gilt , da .

Aber , da .

Dies zeigt .

Beweisschritt:

Beweisschritt:

Aus der Analysis wissen wir, dass jede konvergente Folge beschränkt ist. Also gilt die Inklusion.

Beweisschritt:

Betrachte die Folge .

Es gilt , da für alle .

Aber , da nicht existiert.

Dies zeigt .

Beweisschritt:

Beweisschritt:

Das wissen wir bereits, da ein Untervektorraum von ist.

Beweisschritt:

Betrachte die Folge .

Es gilt , da .

Dies zeigt .