Folgenräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Ein Folgenraum ist ein Vektorraum, dessen Elemente Zahlenfolgen[1] sind. Viele in der Funktionalanalysis[2] auftretende Vektorräume sind Folgenräume oder können durch solche repräsentiert werden. Zu den Beispielen zählen u.a. die wichtigen Räume aller beschränkten Folgen[3] oder die Räume aller gegen 0 konvergierenden Folgen[4].

Einführung[Bearbeiten]

Mit wird der Vektorraum aller Folgen in (= oder ) bezeichnet. Folgen können komponentenweise addiert und mit reellen bzw. komplexen Zahlen multipliziert werden. Sind etwa und solche Folgen und ist , so ist

.

Es ist klar, dass mit diesen Operationen ein -Vektorraum ist. Folgenräume sind Unterräume dieses Vektorraums, die, um eine Mindestreichhaltigkeit zu sichern, alle Folgen , die an der n-ten Stelle 1 und sonst überall 0 sind, enthalten.

Der kleinste Folgenraum ist damit der von den Folgen erzeugte Unterraum. Dieser wird mit bezeichnet und besteht aus allen Folgen, die nur an endlichen vielen Stellen von 0 verschieden sind. Man nennt ihn daher auch den Raum der endlichen Folgen, wobei man sich jede endliche Folge durch Nullen zu einer unendlichen Folge fortgesetzt denkt. Also sind Folgenräume Unterräume von , die enthalten.

Der Umstand, dass die Elemente eines Folgenraums Folgen sind, die man als Elemente eines Vektorraums auch einfach Punkte oder Vektoren nennt, kann zu Missverständnissen führen. Insbesondere wenn man Folgen in solchen Räumen betrachtet, hat man es mit Folgen von Folgen zu tun.

Im Folgenden werden Normen bzw. Systeme von Normen oder Halbnormen auf Folgenräumen definiert. Dadurch erhält man normierte Räume bzw. lokalkonvexe Räume.

Euklidischer Vektorraum[Bearbeiten]

Definition (n-Tupel)

ist eine geordnete Folge endlich vieler Elemente

Zum Beispiel ist ein 3-Zahlen-Tupel (man sagt dazu auch Zahlen-Tripel).

ist ein Zahlenpaar (selten 2-Zahlen-Tupel)

Die Menge aller n-Tupel ist ein Vektorraum über wenn folgende Rechenregeln gelten:

  • für

Der Vektorraum wird als euklidischer Vektorraum bezeichnet. Die n-Tupel des nennt man auch Zeilenvektoren. Man kann die n-Tupel auch in der Form schreiben und nennt sie dann Spaltenvektoren. Für werden wir aus Platzgründen oft Zeilenvektoren verwenden.

Allgemein gilt für einen Körper : ist Menge aller n-Tupel mit Elementen, die in liegen, also .

ist ein K-Vektorraum.

Bemerkungen[Bearbeiten]

Sei ein beliebiger Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen

Definition (Skalarprodukt auf V)

Eine Abbildung

heißt Skalarprodukt auf V, wenn gilt:

SP1: Für alle gilt:

SP2: Für alle gilt:

SP3: Für alle gilt:

Seien .

Die Abbildung nennt man kanonisches Skalarprodukt [5]

Anschauliche Vektorräume sind die 2-dimensionale Euklidische Ebene und der 3-dimensionale Euklidische Raum mit der Klasse der parallelgleichen Vektorpfeile [6] als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalare.

Aufgabe (Nachweise)

Prüfe nach, ob im alle Vektorraumaxiome erfüllt sind.

Zeige, dass die Abbildung ein Skalarprodukt ist.