Folgenräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir verallgemeinern den aus der Analysis bekannten Begriff der Folge und erhalten so den Folgenraum. Zudem betrachten wir einige ausgezeichnete Unterräume des Folgenraums.

Motivation[Bearbeiten]

Sei ein Körper. Wir haben bereits den Koordinatenraum als Beispiel für Vektorräume kennengelernt. Dort besteht jedes Element aus verschiedenen, also endlich vielen, Einträgen aus . Zum Beispiel ist ein Element von . Wir können auch unendlich lange Tupel betrachten. Beispielsweise ist so ein "unendliches Tupel". Eine bessere Bezeichnung für unendliche Tupel ist "Folge". Ist der Körper der reellen oder komplexen Zahlen, so sind dies genau die bereits aus der Analysis bekannten Folgen.

Wir wissen bereits, wie wir solche Folgen addieren und skalieren können, nämlich komponentenweise. Auf dem haben wir die Operationen auch komponentenweise definiert. Deshalb können wir auch auf unendlichen Folgen über beliebigen Körpern eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren. Wir kommen somit zu der Vermutung, dass die Menge aller Folgen mit Einträgen in einen Vektorraum bilden sollte. Wir nennen ihn den Folgenraum über .

Wir werden den Folgenraum zunächst präzise definieren und dann beweisen, dass es sich dabei tatsächlich um einen Vektorraum handelt. Im Abschnitt Unterräume des Folgenraums betrachten wir dann Beispiele von Unterräumen der Folgenräume über den reellen und komplexen Zahlen, die wichtig für die Analysis sind.

Notation[Bearbeiten]

Sei ein Körper.

Wir schreiben in diesem Artikel wegen der besseren Lesbarkeit immer anstatt für Folgen mit Einträgen in .

Definition des Folgenraums[Bearbeiten]

Definition (Der Folgenraum als Menge)

Wir definieren die Menge .

Wir nennen sie die Menge aller Folgen über , oder auch den Folgenraum über .

Analog zum Koordinatenraum können wir auch auf eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren:

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf )

Die Addition ist definiert durch

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation durch

Der Folgenraum ist ein Vektorraum[Bearbeiten]

Satz ( ist ein Vektorraum)

ist ein -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ( ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen.

Beweis ( ist ein Vektorraum)

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien . Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien . Dann gilt:

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen nun noch zeigen, dass es ein neutrales Element gibt, das heißt für alle . Es liegt auf der Hand, die konstante Nullfolge

als neutrales Element zu verwenden.

Sei . Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei . Wir müssen zeigen, dass es ein gibt, sodass .

Es liegt nahe, für die Folge zu wählen. Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ein gibt mit .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien und . Dann gilt:

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien und . Dann gilt:

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien und . Dann gilt:

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei . Dann gilt:

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist ein -Vektorraum.

Unterräume des Folgenraums[Bearbeiten]

Im Folgenden sei .

Wir wollen im Folgenden einige Unterräume des Folgenraums betrachten.

Der Unterraum der beschränkten Folgen [Bearbeiten]

Definition (Menge der beschränkten Folgen)

Wir definieren

.

Satz (Die beschränkten Folgen bilden einen Unterraum)

ist ein Unterraum.

Beweis (Die beschränkten Folgen bilden einen Unterraum)

Wir prüfen die drei Unterraumkriterien.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Link anpassen auf Unterraumkriterium, sobald das fertig ist

Beweisschritt:

Das Nullelement von ist die Folge, die konstant ist. Diese ist natürlich beschränkt (z.B. durch ) und liegt somit in .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Addition

Seien . Dann ist . Wegen der Dreiecksungleichung für alle folgt

Somit ist .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation.

Sei und . Dann ist . Wegen für alle folgt

Somit ist .

Damit haben wir gezeigt, dass ein Untervektorraum von ist.

Der Unterraum der konvergenten Folgen[Bearbeiten]

Definition (Menge der konvergenten Folgen)

Wir definieren

.

Satz (Die konvergenten Folgen bilden einen Unterraum)

ist ein Unterraum.

Beweis (Die konvergenten Folgen bilden einen Unterraum)

Wir prüfen die drei Unterraumkriterien.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Link anpassen auf Unterraumkriterium, sobald das fertig ist

Beweisschritt:

Das Nullelement von ist die Folge, die konstant ist. Diese konvergiert natürlich gegen und liegt somit in .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Addition

Seien . Dann ist . Es gilt . Die beiden Limiten auf der rechten Seite existieren nach Vorraussetzung, also existiert der Limes auf der linken Seite. Insbesondere konvergiert also , also gilt .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation.

Sei und . Dann ist . Es gilt . Der Limes auf der rechten Seite existiert nach Vorraussetzung, also existiert auch der Limes auf der linken Seite. Somit ist .

Damit haben wir gezeigt, dass ein Untervektorraum von ist.

Der Unterraum der Nullfolgen[Bearbeiten]

Definition (Menge der Nullfolgen)

Wir definieren

.

Satz (Die Nullfolgen bilden einen Unterraum)

ist ein Unterraum.

Beweis (Die Nullfolgen bilden einen Unterraum)

Wir prüfen die drei Unterraumkriterien.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Link anpassen auf Unterraumkriterium, sobald das fertig ist

Beweisschritt:

Das Nullelement von ist die Folge, die konstant ist. Diese konvergiert natürlich gegen und liegt somit in .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Addition

Seien . Dann ist . Es gilt . Folglich konvergiert gegen . Somit gilt .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation.

Sei und . Dann ist . Es gilt . Somit ist .

Damit haben wir gezeigt, dass der Raum der Nullfolgen ein Untervektorraum von ist.

Der Unterraum der absolut summierbaren Folgen[Bearbeiten]

Definition (Menge der absolut summierbaren Folgen)

Wir definieren

.

Satz (Die absolute summierbaren Folgen bilden einen Unterraum)

ist ein Unterraum.

Beweis (Die absolute summierbaren Folgen bilden einen Unterraum)

Wir prüfen die drei Unterraumkriterien.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Link anpassen auf Unterraumkriterium, sobald das fertig ist

Beweisschritt:

Das Nullelement von ist die Folge, die konstant ist. Dann gilt . Also ist .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Addition

Seien . Dann ist . Wegen der Dreiecksungleichung für alle folgt . Mit der Summenregel für Reihen gilt . Somit ist .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation.

Sei und . Dann ist . Wegen für alle folgt . Somit ist .

Damit haben wir gezeigt, dass ein Untervektorraum von ist.

Der Unterraum der Folgen mit endlichem Träger [Bearbeiten]

Definition (Menge der Folgen mit endlichem Träger)

Wir definieren

.

Satz (Die Folgen mit endlichem Träger bilden einen Unterraum)

ist ein Unterraum.

Beweis (Die Folgen mit endlichem Träger bilden einen Unterraum)

Wir prüfen die drei Unterraumkriterien.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Link anpassen auf Unterraumkriterium, sobald das fertig ist

Beweisschritt:

Das Nullelement von ist die Folge, die konstant ist. Für gilt somit für alle , dass , d.h. .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Addition

Seien . Nach Voraussetzung existieren mit der Eigenschaft, dass für alle und für alle . Setze . Dann gilt für alle , dass . Dies zeigt .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation.

Sei und . Nach Voraussetzung existiert mit der Eigenschaft, dass für alle . Dann gilt für alle , dass . Folglich ist .

Damit haben wir gezeigt, dass ein Untervektorraum von ist.

Beziehungen zwischen den Unterräumen[Bearbeiten]

Zwischen den oben definierten Untervektorräumen gelten folgende Inklusionen:

Satz (Inklusionen zwischen den Untervektorräumen)

Es gilt .

Beweis (Inklusionen zwischen den Untervektorräumen)

Wir werden nun nacheinander die vier Inklusionen zeigen. Dabei beweisen wir auch, dass jeweils keine Gleichheit gilt.

Beweisschritt:

Beweisschritt:

Sei .

Nach Definition gibt es ein , sodass für alle .

Dann gilt aber bereits .

Also ist .

Dies zeigt .

Beweisschritt:

Betrachte die Folge .

Es gilt , da .

Aber , da für alle .

Dies zeigt .

Beweisschritt:

Beweisschritt:

Sei .

Dies bedeutet, dass .

Dann gilt nach dem Trivialkriterium, dass . Dann ist aber auch .

Also ist .

Dies zeigt .

Beweisschritt:

Betrachte die Folge .

Es gilt , da .

Aber , da nach dem Satz über die Divergenz der harmonischen Reihe divergiert.

Dies zeigt .

Beweisschritt:

Beweisschritt:

Dies ist klar, da jede gegen Null konvergente Folge konvergiert.

Beweisschritt:

Betrachte die Folge .

Es gilt , da .

Aber , da .

Dies zeigt .

Beweisschritt:

Beweisschritt:

Aus der Analysis wissen wir, dass jede konvergente Folge beschränkt ist. Also gilt die Inklusion.

Beweisschritt:

Betrachte die Folge .

Es gilt , da für alle .

Aber , da nicht existiert.

Dies zeigt .

Beweisschritt:

Beweisschritt:

Das wissen wir bereits, da ein Untervektorraum von ist.

Beweisschritt:

Betrachte die Folge .

Es gilt , da .

Dies zeigt .