Dimension eines Vektorraums – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

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To-Do:

Wir haben schon mehrfach gesehen, dass es in Vektorräumen verschiedene Richtungen gibt. Anzahl der Basisvektoren gibt Anzahl der unabhängigen Richtungen an, die wir in einem VR finden. Wir wollen uns jetzt überlegen, ob die Anzahl an Basisvektoren, die wir finden können variiert, je nachdem wie wir die Basis in einem VR wählen oder die Anzahl der Basiselemente nur vom VR abhängig ist und somit in einem VR immer gleich groß ist, egal welche Basis wir wählen.


Du kennst bestimmt aus der Schule die euklidische Ebene und weißt, dass diese die Dimension zwei hat, weil sie von der kanonischen Basis mit genau zwei Elementen erzeugt wird.

Analog weißt du wahrscheinlich, dass der anschauliche (euklidische) Raum, also der uns umgebende Raum, in dem ein Punkt als Element von beschrieben werden kann und der die Dimension drei hat, mit der kanonischen Basis gebildet wird.

Das legt nahe, dass die Dimension die Anzahl der Basisvektoren angibt.

Wir zeigen zunächst, dass die Anzahl der Basiselemente verschiedener Basen eines Vektorraums gleich ist. Damit ist die Dimension eindeutig bestimmt und sie ist gleich der Anzahl der Elemente einer Basis.[1]



Im -dimensionalen Raum gibt es die Standardbasis mit deren Hilfe sich jeder Vektor als Linearkombination

darstellen lässt. Die Menge erzeugt also den . Entfernt man jedoch einen der Vektoren aus der Menge, so geht die Erzeugendeneigenschaft verloren, da beispielsweise keine dieser Standardvektoren eine Linearkombination der jeweils anderen ist. Die Vektoren sind in der Hinsicht voneinander unabhängig. Es stellt sich nun die Frage ob es möglicherweise eine kleinere Menge, also eine Menge mit weniger Elementen, gibt, welche die gleiche Eigenschaft hat. Man stellt dann aber fest, dass jedes Erzeugnis von zwei Vektoren aus dem immer in einer Ebene eingebettet ist.(passendes Bild einfügen)

Die Dimension vertritt hier somit die Mächtigkeit eines minimalen Erzeugendensystems. Wir wollen diese Idee auf allgemeine Vektorräume überführen. Dort ist eine Teilmenge genau dann ein minimales Erzeugendensystem, wenn sie eine Basis ist. Wir werden daher die Dimension eines Vektorraums durch die Mächtigkeit einer Basis definieren. Um sicherzustellen, dass für einen Vektorraum nicht mehrere Dimensionswerte auftreten können, müssen wir zeigen, dass alle Basen gleich viele Elemente haben. Dafür benötigen wir den Austauschsatz von Steinitz.

Definition der Dimension[Bearbeiten]

Sei ein -Vektorraum und sei eine Basis von . Wenn endlich ist, definieren wir die Dimension von durch . Außerdem sagen, dass endlich dimensional ist. Wenn stattdessen unendlich ist, sagen wir, dass unendlich-dimensional ist und schreiben .

Wie vorher angesprochen müssen wir zeigen, dass diese Definiton unabhängig von der Wahl der Basis ist. Sonst wäre der Begriff der Dimension nicht zwingend eindeutig für einen Vektorraum bestimmt. Der folgende Satz drückt genau diese Unabhängigkeit von der Basis aus.

Satz (Eindeutigkeit der Dimension)

Sei ein -Vektorraum und seien Basen von . Ist endlich, so ist auch endlich und es gilt .

Beweis (Eindeutigkeit der Dimension)

Sei als endlich vorausgesetzt. Angenommen wäre unendlich. Dann können wir eine -elementige Teilmenge von wählen. ist dadurch, als Teilmenge der linear unabhängigen Menge , ebenfalls linear unabhängig. Das widerspricht aber, wegen , dem Austauschssatz von Steinitz. Also ist endlich. Es bleibt die Gleichheit der Mächtigkeiten zu zeigen. Da linear unabhängig und eine Basis von ist, folgt aus dem Austauschsatz von Steinitz . Andersrum folgt genauso . Damit ist alles gezeigt.

Beispiele zur Dimension[Bearbeiten]

Dimension von [Bearbeiten]

In diesem Besipiel wollen wir die Dimension von bestimmen. Eine mögliche Basis wäre die sogenannte Standardbasis:

Diese ist endlich und es gilt . Wir erhalten .

Dimension des Polynomraums[Bearbeiten]

Der Polynomraum über einem Körper ist definiert als

wobei Addition und Skalarmultiplikation koeffizientenweise erklärt sind. Hieraus sieht man, dass ein Erzeugendensystem des ist. Weil die Vektorraumverknüpfungen koeffizientenweise operieren, ist dieses zudem linear unabhängig. Aus , folgt schließlich .

Dimension von als -Vektorraum[Bearbeiten]

Wir wollen die Dimension von der Mengen der Komplexen Zahlen als -Vektorraum aufgefasst bestimmen. Jede komplexe Zahl lässt sich in eindeutiger Weise durch mit schreiben. Hieraus sieht man, dass eine -Basis von ist. Es folgt .

Dimension des Nullraums[Bearbeiten]

Für jeden -Vektorraum ist ein Unterraum von . Dieser wird der Nullraum genannt. Um seine Dimension zu bestimmen, müssen wir eine Basis finden. Wie wir bereits im Artikel zum Erzeugnis gesehen haben, wird der Nullraum von der leeren Menge erzeugt. Außerdem ist per Definiton linear unabhängig und daher eine Basis des Nullraums. Damit haben wir .

Eigenschaften der Dimension[Bearbeiten]

In dem nachfolgenden Satz wollen wir ein paar elementare Eigenschaften des Dimensionsbegriffes nachweisen.

Satz

Seien ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und ein Unterraum. Dann gelten:

  1. .
  2. Ist , so folgt .

Beweis

Sei eine Basis von . Dann ist eine linear unabhängige Teilmenge von . Nach dem Basisergänzungssatz existiert daher eine Basis von , mit . Daraus folgt direkt , was Behauptung 1 entspricht. Ist jetzt zusätzlich vorausgesetzt, so gilt . Da endlich ist, erhalten wir . Schließlich folgern wir und haben damit auch die 2. Behauptung bewiesen.

Um zu zeigen, dass es wichtig ist, als endlich-dimensional vorauszusetzen, betrachten wir ein Beispiel eines unendlich-dimensionalen Vektorraumes, der einen echten unendlich-dimensionalen Unterraum besitzt:

Sei der Vektorraum aller reellwertiger Folgen und sei . Dann gilt , weil die konstante 1-Folge keine Element von ist, aber ist nicht endlich-dimensional. Betrachte nämlich die Menge ,wobei als diejenige Folge definiert ist, bei der die -te Komponente und alle anderen sind. S ist linear unabhängig, da die Verknüpfungen auf komponentenweise definiert sind. Wäre jetzt endlich dimensional, so gäbe es, nach dem Basisergänzungssatz, eine Basis von , mit . Da unendlich ist und endlich sein müsste, ergibt sich ein Widerspruch. Also ist unendlich-dimensional.

Das Beispiel hat also gezeigt, dass Behauptung 2 aus dem obigen Satz nicht (auf diese Art und Weise) für unendlich-dimensionale Vektorräume verallgemeinert werden kann.

Dimensionsformel[Bearbeiten]

Die folgende Dimensionsformel gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlich dimensionaler Untervektorräume eines größeren endlich dimensionalen K-Vektorraums berechnen lässt.[2]

Satz (Dimensionsformel)

Sei ein endlich dimensionaler -Vektorraum und seien Unterräume. Dann gilt:

Beweis (Dimensionsformel)

Da endlich-dimensional ist, sind ebenfalls endlich-dimensional. Setze . Dann ist . Seien also , sodass , und . Sei zudem eine Basis von . Da Teilraum von und Teilraum von ist, existieren nach dem Basisergänzungssatz Vektoren und Vektoren , derart dass eine Basis von und eine Basis von ist.

Wir zeigen nun, dass eine Basis von ist.

Als erstes zeigen wir, dass ein Erzeugendensystem ist.

Dazu zeigen wir, dass ein beliebiger Vektor sich als Linearkombination von Elementen aus darstellen lässt.

Sei also , damit gibt es ein mit . Da eine Linearkombination der Basis von ist,

also für geeignete ,

und eine Linearkombination der Basis von ,

also für ,

gilt, folgt daraus

.

Damit ist Linearkombination von und ein Erzeugendensystem von .

Nun zeigen wir die lineare Unabhängigkeit von .

Seien dazu , mit

Wir müssen für alle zeigen. Setze dafür . Dann gilt und wegen obiger Voraussetzung

.

Damit ist auch , also .

Damit lässt sich als Linearkombination der Basis von darstellen und es existieren , derart dass

.

Nun gilt weiter

.

Weil eine Basis von , also linear unabhängig ist, folgt

.

Daher ist

.

Da eine Basis von ist und die Vektoren damit linear unabhängig sind, gilt

.

Damit sind alle Koeffizienten Null und die Vektoren sind linear unabhängig. ist somit tatsächlich eine Basis.


Es gilt nun

also ist:

.

Das zeigt die Behauptung.

Als nächstes betrachten wir eine Folgerung aus der Dimensionsformel, die eine Aussage über die (innere) direkte Summe trifft. Anschaulich besagt diese, dass das Komplement eines Unterraums in Bezug auf die Dimension den fehlenden "Rest" darstellt.

Satz

Sei ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und seien Unterräume, mit . Dann gilt:

Beweis

Zunächst sind, wegen , beide Unterräume endlich-dimensional. Mit der Dimensionsformel folgern wir

.

Wie im oberen Beispiel gezeigt gilt und wir erhalten:


Übungsaufgaben zur Dimension[Bearbeiten]

Aufgabe (Dimensionsformel)

Sei ein -Vektorraum und seien und Untervektorräume von . Weiter gelte , , . Welche Dimension können und haben?

Lösung (Dimensionsformel)

Es gilt die Dimensionsformel

Weiterhin gilt , da Untervektorraum von ist. Es folgt

Insgesamt erhalten wir:

und .

Hinweis

Schätze nach unten ab und wende die Dimensionsformel an.

Aufgabe (Dimensionsformel)

Betrachte den -Vektorraum sowie die Unterräume , . Zeige, dass gilt.

Lösung (Dimensionsformel)

Wir zeigen zunächst . Sei dafür , dann gibt es , mit

.

Daraus folgt und damit . Also haben wir wie behauptet gezeigt. Aus der Dimensionsformel folgt nun

.

Mit dem oberen Satz über Eigenschaften der Dimension folgt daraus . Zusammen ergibt sich .