Dimension eines Vektorraums – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

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To-Do:

Wir haben schon mehrfach gesehen, dass es in Vektorräumen verschiedene Richtungen gibt. Anzahl der Basisvektoren gibt Anzahl der unabhängigen Richtungen an, die wir in einem VR finden. Wir wollen uns jetzt überlegen, ob die Anzahl an Basisvektoren, die wir finden können variiert, je nachdem wie wir die Basis in einem VR wählen oder die Anzahl der Basiselemente nur vom VR abhängig ist und somit in einem VR immer gleich groß ist, egal welche Basis wir wählen.


Du kennst bestimmt aus der Schule die euklidische Ebene und weißt, dass diese die Dimension zwei hat, weil sie von der kanonischen Basis mit genau zwei Elementen erzeugt wird.

Analog weißt du wahrscheinlich, dass der anschauliche (euklidische) Raum, also der uns umgebende Raum, in dem ein Punkt als Element von beschrieben werden kann und der die Dimension drei hat, mit der kanonischen Basis gebildet wird.

Das legt nahe, dass die Dimension die Anzahl der Basisvektoren angibt.

Wir zeigen zunächst, dass die Anzahl der Basiselemente verschiedener Basen eines Vektorraums gleich ist. Damit ist die Dimension eindeutig bestimmt und sie ist gleich der Anzahl der Elemente einer Basis.[1]

Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz[Bearbeiten]

Austauschlemma[Bearbeiten]

Beweis, dass jede Basis dieselbe Länge hat

Wir wollen zunächst zeigen, dass ein Basiselement gegen einen anderen Vektor ausgetauscht werden kann derart, dass auch eine Basis von ist.

Satz (Austauschlemma)

Sei ein Vektorrraum über und eine Basis von . Weiterhin sei mit der Linearkombination , wobei . Ist derart, dass , dann ist ebenfalls eine Basis von .

Beweis (Austauschlemma)

Sei die Menge, in der mit ausgetauscht wurde. Wir müssen zeigen, dass auch die neue Menge eine Basis ist. Dazu zeigen wir, dass ein Erzeugendensystem von und linear unabhängig ist.

Beweisschritt: ist ein Erzeugendensystem

Wir wissen mit und . Nach obiger Annahme muss sein. Damit gilt folgende Umformung:

Es wurde dabei verwendet, dass , als Nicht-Nullelement, ein Inverses in hat. Weil eine Basis von ist, gibt es für jeden Vektor Skalare , sodass ist. Wir setzen nun für obiges Ergebnis ein und erhalten:

Damit ist der Vektor dargestellt als Linearkombination von und ist ein Erzeugendensystem von

Beweisschritt: ist linear unabhängig

Seien , sodass . Wir ersetzen durch seine Darstellung als Linearkombination der Basiselemente und erhalten:

Da linear unabhängig ist, gilt und für alle .

Aus und folgt . Damit ist aber auch für alle . Das bedeutet ist linear unabhängig.

Als nächstes beweisen wir jetzt eine leichte Abwandlung des Austauschlemmas, welche zeigt dass dieses "fast immer" anwendbar ist. Dabei setzen wir nämlich nur voraus, dass der neue Basisvektor nicht der Nullvektor ist:

Satz (Austauschlemma Version 2)

Sei ein Vektorrraum über und eine Basis von . Weiterhin sei . Dann gibt es einen Index derart, dass ebenfalls eine Basis von ist.

Wir können damit gegen austauschen.

Beweis (Austauschlemma Version 2)

Wir schreiben als Linearkombination in . Seien also mit .

Da ist, muss mindestens einer der Skalare ungleich Null sein. Wenn nämlich alle wären, dann müsste auch Null sein. Also sei , so dass . Mit diesem ist die Voraussetzung aus der oberen Version des Austauschlemmas erfüllt.


Anwendung des Austauschlemmas[Bearbeiten]

Aufgabe

Seien die kanonische Basis des und und

  1. Zeige, dass eine Basis des ist.
  2. Zeige, dass keine Basis des ist.

    Hinweis

    Prüfe die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit.



Lösung

Lösung Teilaufgabe 1:

Gemäß dem Austauschlemma können wir den Vektor mit ersetzen, wenn eine Linearkombination existiert mit .

Lösung Teilaufgabe 2:

In Bearbeitung

Ergänzende Bemerkung[Bearbeiten]

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To-Do:

Formatierung ändern

Durch das Austauschlemma haben wir nun die Möglichkeit durch geschickte Wahl von Linearkombinationen eine neue Basis zu identifizieren:

Seien eine bekannte Basis und eine zu prüfende Basis, dann wenden wir das Austauschlemma so oft auf Vektoren aus an, bis entsteht.

In diesem Fall bietet sich häufig die kanonische Basis als Ausgangsbasis an.

Eine solche konkrete Anwendung soll im Folgenden betrachtet werden. Wir vergleichen zwei alternative Möglichkeiten eine Basis nachzuweisen:

  • Direkt über Nachweis eines Erzeugendensystems und linearer Unabhängigkeit
  • Anwendung des Austauschlemmas



Aufgabe (Nachweis einer Basis im klassischen Sinne)

Seien mit .

Zeige, dass die drei Vektoren eine Basis von bilden, durch:

  1. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem.
  2. Die Vektoren sind linear unabhängig.

Lösung (Nachweis einer Basis im klassischen Sinne)

Lösung Teilaufgabe 1:

Das Erzeugendensystem

soll aus erzeugt werden.

Wir suchen also , für die gilt:

Wir betrachten die Koordinaten zeilenweise und schreiben als Gleichungssystem:

Setzten wir nun die mit ein, ergibt sich:

Somit bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem vom

Lösung Teilaufgabe 2:

Wir prüfen nun noch die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit. Daher ist zu zeigen:

mit

Wenden wir diese Definition auf an, so erhalten wir:

Die Gleichung gilt, wenn:

Wenn also .

Damit sind die drei Vektoren linear unabhängig.


Teilaufgabe 1 und 2 zeigen: Die Vektoren bilden eine Basis des .


Aufgabe (Nachweis einer Basis durch Anwendung des Austauschlemmas)

Seien mit .

Zeige, dass die drei Vektoren eine Basis von bilden, durch:

  1. Austausch von in der kanonischen Basis durch
  2. Austausch von durch

Lösung (Nachweis einer Basis durch Anwendung des Austauschlemmas)

Lösung Teilaufgabe 1:

Für den Nachweis von als Basis des benötigen wir eine, uns schon bekannte Basis. Beispielsweise die kanonische Basis:

Aus dieser Basis wollen wir Schritt für Schritt duch Anwendung des Austauschlemmas aufbauen.

Wir ersetzen durch durch Wahl von .

Somit gilt:

Mit gilt nach dem Austauschlemma, dass ein zulässiger Basisvektor der transformierten Basis ist.

Somit ist auch eine Basis des .

Lösung Teilaufgabe 2:

Im nächsten Schritt wollen wir nun die geforderte Basis aus bilden.

Es verbleibt den Vektor mit auszutauschen:

Wählen wir und , so erhalten wir den gewünschten Vektor:

Nach dem Austauschlemma ist dann eine Basis des .

Bei geschickter Wahl der Vektoren und Skalare, kann das Austauschlemma also schneller zum Erfolg führen, als der klassische Basisnachweis.

Was passiert aber bei ungeschickter Wahl? Betrachten wir uns hierzu ein abschließendes Beispiel:


Die geschickte Wahl der zu tauschenden Vektoren motiviert somit eine Erweiterung des Austauschlemmas:

ENDE

Wir wollen nun eines der obigen Basiselemente gegen den Vektor austauschen. Dazu stellen wir zunächst als Linearkombination der dar.

Nun müssen wir den Basisvektor identifizieren, den wir gegen austauschen können. Nach dem Austauschsatz von Steinitz können wir den Vektor der gegebenen Basis autauschen, dessen Skalar ist. In unserem Beispiel können oder ausgetauscht werden, dagegen nicht, da der Skalar ist.

Nun wenden wir das Austauschlemma an und entscheiden uns dafür gegen auszutauschen. Dann ist nach dem Austauschlemma ebenfalls eine Basis des .

Wir wollen uns nun noch ansehen, was passiert, wenn wir statt den Vektor durch ersetzen, obwohl den Skalar in der Darstellung von als Linearkombination der hat. Wir müssen also die Vektoren

untersuchen. Wir untersuchen zunächst, ob diese linear unabhängig sind und sich überhaupt als Basis des eignen. Wir zeigen, dass es

gibt, die nicht alle sind,

derart dass

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To-Do:

Herleitung von erklären und die Folgerung in die richtige Richtung machen. Also aus der Wahl von folgt, dass der Vektor gleich Null ist.

Damit gilt, wie du leicht nachprüfen kannst,

und die drei Vektoren sind linear abhängig und können keine Basis des sein.

Austauschsatz von Steinitz[Bearbeiten]

Satz (Austauschsatz von Steinitz)

Sei eine -elementige Basis des -Vektorraums und sei eine -elementige Menge linear unabhängiger Vektoren. Dann gilt und man kann bestimmte Vektoren der Basis , durch die Vektoren ersetzen und erhält mit diesen Vektoren eine neue Basis des -Vektorraums .

Nach eventueller Umnummerierung der Indizes können wir schreiben

Beweis (Austauschsatz von Steinitz)

Wir beweisen den Satz durch vollständige Induktion nach k.

Beweisschritt: Induktionsanfang

Sei eine Basis von und sei linear unabhängig, also , dann folgt mit obigem Austausch Lemma, dass für ein bestimmtes eine Basis von ist. Jetzt benennen wir die Vekoren

zu

um. Es folgt dann, dass eine Basis ist. Das zeigt den Induktionsanfang.

Beweisschritt: Induktionsschritt

Seien linear unabhängig. Nach Induktionsvoraussetzung gilt , woraus wir folgern wollen. Angenommen es wäre . Dann folgt, wegen und , dass gilt. Da linear unabhängig ist, können wir nach Induktionsvoraussetzung durch ersetzen. Wir erhalten, wegen , dass eine Basis von ist.

Wir können also als Linearkombination in darstellen. Seien , mit . Dann gilt:

Das ist aber ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von . Also muss auch gelten.

Es bleibt zu zeigen, dass nach eventueller Umbennenung der

eine Basis von ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist zunächst eine Basis von ist. Dabei wurden unter Umständen die Indizes der vertauscht. Wir schreiben als Linearkombination in .

Seien dafür , mit . Beachte dabei, dass dies nicht zwingend die gleichen wie vorher sind. Angenommen es wäre für alle . Dann würde

gelten, was der linearen Unabhängigkeit von widersprechen würde. Sei also , mit . Nach dem Austauschlemma ist eine Basis von . Schließlich benennen wir

zu

um. Dann ist eine Basis von , was den Beweis abschließt.

Anwendungen des Steinitzschen Austauschsatzes[Bearbeiten]

Beispiel 2: Basisergänzung durch Hereintauschen in eine bekannte Basis

Wir wollen die beiden Vektoren

zu einer Basis des ergänzen.

Zunächst müssen wir prüfen, ob die beiden Vektoren linear unabhängig sind, dies ist aber leicht einzusehen, denn für

muss sein, was dann bedeutet, dass auch ist.

Wir wollen nun mit Hilfe des Austauschsatzes gegen zwei Basisvektoren einer bekannten Basis des austauschen. Für den nehmen wir einfach die kanonische Basis

Durch wiederholte Anwendung des Austauschsatzes von Steinitz werden, die Vektoren nacheinander ausgetauscht. Dabei gehen wir folgendermaßen vor.

Der Vektor wird als Linearkombination der Vektoren dargestellt.

Es wird nun derjenige Vektor ausgetauscht, dessen zugehöriger Skalar ist.

Nach dem Austauschsatz von Steinitz können wir irgendein Basiselement austauschen, da für jedes die zugehörigen Skalare sind, genauer .

Tauschen wir also ohne Beschränkung der Allgemeinheit gegen aus. Nach dem Austauschsatz ist eine Basis es . Wir wiederholen nun das obige Verfahren für mit der Basis .

Auch hier können wir die Vektoren austauschen, allerdings ist der Austausch von nicht zielführend, also tauschen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit aus. Damit bilden die Vektoren eine Basis des und wir haben die linear unabhängigen Vektoren mit zu einer Basis des ergänzt.


Definition der Dimension[Bearbeiten]

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To-Do:
  • Folgerungen aus dem Austauschsatz von Steinitz: Zwei endliche Basen eines VR haben die gleiche Anzahl an Elementen. (Ist schon in der Grundstruktur da, darf noch etwas umformuliert werden)
  • Wenn es eine unendliche Basis gibt, sind alle Basen unendlich (und gleichmächtig->werden wir nicht beweisen)
  • Dimension ist wohldefiniert
  • Definition der Dimension als Mächtigkeit einer Basis

Sei ein -Vektorraum und sei eine Basis von . Wenn endlich ist, definieren wir die Dimension von durch . Außerdem sagen, dass endlich dimensional ist. Wenn stattdessen unendlich ist, sagen wir, dass unendlich-dimensional ist und schreiben .

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To-Do:
  • Formulierung als Satz
  • Beweis anpassen
  • auch unendliche Basen mitnehmen

Wie vorher angesprochen müssen wir zeigen, dass diese Definiton unabhängig von der Wahl der Basis ist. Sonst wäre der Begriff der Dimension nicht zwingend eindeutig für einen Vektorraum bestimmt. Der folgende Satz drückt genau diese Unabhängigkeit von der Basis aus.

Satz (Eindeutigkeit der Dimension)

Sei ein -Vektorraum und seien Basen von . Ist endlich, so ist auch endlich und es gilt .

Beweis (Eindeutigkeit der Dimension)

Sei als endlich vorausgesetzt. Angenommen wäre unendlich. Dann können wir eine -elementige Teilmenge von wählen. ist dadurch, als Teilmenge der linear unabhängigen Menge , ebenfalls linear unabhängig. Das widerspricht aber, wegen , dem Austauschssatz von Steinitz. Also ist endlich. Es bleibt die Gleichheit der Mächtigkeiten zu zeigen. Da linear unabhängig und eine Basis von ist, folgt aus dem Austauschsatz von Steinitz . Andersrum folgt genauso . Damit ist alles gezeigt.

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To-Do:

Abschnitt überarbeiten

  • Damit hängt die Anzahl der Elemente einer Basis nur vom jeweiligen Vektorraum, nicht aber von der gewählten Basis ab. Diese Zahl heißt - wenn der Vektorraum eine endliche Basis hat - die Dimension des Vektorraums.
  • Der Steinitzsche Austauschsatz besagt anschaulich, wenn von einer Basis eines Vektorraums beliebige Basiselemente entfernt werden, dann gibt es andere linear unabhängige Vektoren aus , die den Rest der Basiselemente von wieder zu einer Basis vervollständigen. Etwas formaler ausgedrückt:

In einem Vektorraum mit Basis gibt es zu jeder Menge linear unabhängiger Vektoren eine Teilmenge , derart dass wieder eine Basis von ist. Insbesondere enthalten und gleich viele Elemente.

Beispiele zur Dimension[Bearbeiten]

Dimension von [Bearbeiten]

In diesem Besipiel wollen wir die Dimension von bestimmen. Eine mögliche Basis wäre die sogenannte Standardbasis:

Diese ist endlich und es gilt . Wir erhalten .

Dimension des Polynomraums[Bearbeiten]

Der Polynomraum über einem Körper ist definiert als

wobei Addition und Skalarmultiplikation koeffizientenweise erklärt sind. Hieraus sieht man, dass ein Erzeugendensystem des ist. Weil die Vektorraumverknüpfungen koeffizientenweise operieren, ist dieses zudem linear unabhängig. Aus , folgt schließlich .

Dimension von als -Vektorraum[Bearbeiten]

Wir wollen die Dimension von der Mengen der Komplexen Zahlen als -Vektorraum aufgefasst bestimmen. Jede komplexe Zahl lässt sich in eindeutiger Weise durch mit schreiben. Hieraus sieht man, dass eine -Basis von ist. Es folgt .

Dimension von als -Vektorraum[Bearbeiten]

Eigenschaften der Dimension[Bearbeiten]

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To-Do:
  • Evtl noch weitere Eigenschaften einfügen

In dem nachfolgenden Satz wollen wir ein paar elementare Eigenschaften des Dimensionsbegriffes nachweisen.

Satz

Seien ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und ein Unterraum. Dann gelten:

  1. .
  2. Ist , so folgt .

Beweis

Sei eine Basis von . Nach dem Basisergänzungssatz existiert dann eine Basis von , mit . Daraus folgt direkt , was Behauptung 1 entspricht. Ist jetzt zusätzlich vorausgesetzt,so gilt . Da endlich ist, erhalten wir . Das zeigt die 2.Behauptung.

Um zu zeigen, dass es wichtig ist, als endlich-dimensional vorauszusetzen, betrachten wir ein Beispiel eines unendlich-dimensionalen Vektorraumes, der einen echten unendlich-dimensionalen Unterraum besitzt:

Sei der Vektorraum aller reellwertiger Folgen und sei . Dann gilt , weil die konstante 1-Folge keine Element von ist, aber ist nicht endlich-dimensional. Betrachte nämlich die Menge ,wobei als diejenige Folge definiert ist, bei der die -te Komponente und alle anderen sind. S ist linear unabhängig, da die Verknüpfungen auf komponentenweise definiert sind. Wäre jetzt endlich dimensional, so gäbe es, nach dem Basisergänzungssatz, eine Basis von , mit . Da unendlich ist und endlich sein müsste, ergibt sich ein Widerspruch. Also ist unendlich-dimensional.

Das Beispiel hat also gezeigt, dass Behauptung 2 aus dem obigen Satz nicht (auf diese Art und Weise) für unendlich-dimensionale Vektorräume verallgemeinert werden kann.

Dimensionsformel[Bearbeiten]

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To-Do:
  • Dimensionsformel für Untervektorräume (Satz und Beweis): Seien U, V zwei UVR. Dann gilt:
  • Ergänzende Dimensionsformel: Komplement
  • Hier wäre am Ende des Artikels evtl. noch ein Beispiel zur Dimension in Summen und direkten Summen von Vektorräumen interessant

Die folgende Dimensionsformel gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlich dimensionaler Untervektorräume eines größeren endlich dimensionalen K-Vektorraums berechnen lässt.[2]

Satz (Dimensionsformel)

Sei ein endlich dimensionaler -Vektorraum und seien Unterräume. Dann gilt:

Wie kommt man auf den Beweis? (Dimensionsformel)

Wie wir schon im Kapitel Durchschnitt und Vereinigung von Vektorräumen gesehen haben, ist ein Teilvektorraum von und von .

Wir zeigen zunächst dass es eine Basis von gibt derart, dass eine Basis von und eine Basis von und eine Basis von ist. ist dann eine Basis von . Es gilt dann , damit gilt: denn .

Beweis (Dimensionsformel)

Da endlich-dimensional ist, sind ebenfalls endlich-dimensional. Setze . Dann ist . Seien also , sodass , und . Sei zudem eine Basis von . Da Teilraum von und Teilraum von , existieren nach dem Basisergänzungssatz Vektoren und Vektoren , derart dass eine Basis von und eine Basis von ist.

Wir zeigen nun, dass eine Basis von ist.

Als erstes zeigen wir, dass ein Erzeugendensystem ist, dazu zeigen wir, dass ein beliebiger Vektor sich als Linearkombination von Elementen aus darstellen lässt.

Sei also , damit gibt es ein mit . Da eine Linearkombination der Basis von ist,

also für geeignete ,

und eine Linearkombination der Basis von ,

also für ,

gilt, folgt daraus

.

Damit ist Linearkombination von und ein Erzeugendensystem von .

Nun zeigen wir die lineare Unabhängigkeit von . Seien dazu , mit

Wir müssen für alle zeigen. Setze dafür . Dann gilt und wegen obiger Voraussetzung

.

Damit ist auch , also .

Damit lässt sich als Linearkombination der Basis von darstellen und es existieren , derart dass

.

Nun gilt weiter

.

Weil eine Basis von , also linear unabhängig ist, folgt

.

Daher ist

.

Da eine Bais von ist und die Vektoren damit linear unabhängig sind, gilt

.

Damit sind alle Koeffizienten Null und die Vektoren sind linear unabhängig.

Es gilt nun , also ist:

.

Das zeigt die Behauptung.

Übungsaufgaben zur Dimension[Bearbeiten]

Aufgabe (Dimensionsformel)

Sei ein -Vektorraum und seien und Untervektorräume von . Weiter gelte , , . Welche Dimension können und haben?

Lösung (Dimensionsformel)

Es gilt die Dimensionsformel

Weiterhin gilt , da Untervektorraum von ist. Auch ist .

Nach diesen Überlegungen folgt:

und .

Hinweis

Man beachte, dass gelten muss, da keine direkte Summe vorliegt, weil .