Dimension eines Vektorraums – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir definieren in diesem Artikel die Dimension eines Vektorraums und zeigen einige elementare Eigenschaften wie die Dimensionsformel.

Motivation[Bearbeiten]

Wir versuchen, in diesem Artikel den Begriff einer Dimension eines Vektorraums zu definieren. Dabei wäre es schön, dass gängige Beispiele für Vektorräume wie die "offensichtliche Dimension" haben, d.h. wir wollen, dass . Dabei fällt uns auf, dass dieser Vektorraum eine Basis mit Elementen besitzen, zum Beispiel die Standardbasis

Analog wollen wir, dass für einen beliebigen Körper der Vektorraum die Dimension hat. Auch hier finden wir mit der Standardbasis eine Basis mit genau Vektoren.

Das legt nahe, die Dimension eines Vektorraums als die Anzahl der Vektoren einer Basis von zu definieren. Nun ist zunächst aber nicht klar, dass jede Basis die gleiche Mächtigkeit besitzt, dies werden wir beweisen müssen.

Definition der Dimension[Bearbeiten]

Definition (Dimension eines Vektorraums)

Sei ein -Vektorraum und sei eine Basis von . Wenn endlich ist, definieren wir die Dimension von durch . (Wir verzichten meist auf die Angabe des Grundkörpers, falls dies aus dem Kontext ersichtlich ist.) Außerdem sagen wir, dass endlich dimensional ist. Wenn stattdessen unendlich ist, sagen wir, dass unendlich-dimensional ist und schreiben .

Aus dieser Definition wird nicht klar, dass die Dimension unabhängig von der Wahl der Basis unseres Vektorraums ist. Es könnte zum Beispiel passieren, dass ein Vektorraum verschiedenen Basen mit unterschiedlich vielen Elementen besitzt. Dass dies nicht geschehen kann, wird nun im nächsten Satz bewiesen:

Satz (Wohldefiniertheit der Dimension)

Seien ein -Vektorraum und zwei Basen von . Ist endlich, so ist auch endlich und es gilt .

Beweis (Eindeutigkeit der Dimension)

Sei endlich. Angenommen ist unendlich. Dann können wir eine -elementige Teilmenge von wählen. ist dadurch, als Teilmenge der linear unabhängigen Menge , ebenfalls linear unabhängig. Das widerspricht wegen dem Austauschssatz von Steinitz. Also ist endlich. Es bleibt die Gleichheit der Mächtigkeiten zu zeigen. Da linear unabhängig und eine Basis von ist, folgt aus dem Austauschsatz von Steinitz . Andersrum folgt genauso . Damit ist alles gezeigt.

Beispiele zur Dimension[Bearbeiten]

Dimension von [Bearbeiten]

Beispiel

In diesem Beispiel wollen wir die Dimension von bestimmen. Eine mögliche Basis wäre die Standardbasis:

Diese ist endlich und es gilt . Wir erhalten .

Dimension des Polynomraums[Bearbeiten]

Beispiel

Der Polynomraum über einem Körper ist definiert als

mit koeffizientenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Hieraus sieht man, dass ein Erzeugendensystem des ist. Da die Vektorraumverknüpfungen koeffizientenweise operieren, ist dieses zudem linear unabhängig. Aus folgt schließlich .

Dimension von als -Vektorraum[Bearbeiten]

Beispiel

Wir wollen die Dimension der komplexen Zahlen, als -Vektorraum aufgefasst, bestimmen. Jede komplexe Zahl lässt sich in eindeutiger Weise als , mit , schreiben. Hieraus sieht man, dass eine Basis von über ist. Es folgt .

Dimension des Nullraums[Bearbeiten]

Beispiel

Für jeden Körper ist ein Vektorraum. Dieser wird der Nullraum genannt. Um seine Dimension zu bestimmen, müssen wir eine Basis finden. Wie wir bereits im Artikel zum Nullraum gesehen haben, wird der Nullraum von der leeren Menge erzeugt. Außerdem ist per Definiton linear unabhängig und daher eine Basis des Nullraums. Damit haben wir .

Eigenschaften der Dimension[Bearbeiten]

Wir wollen nun einige Eigenschaften des Dimensionsbegriffes beweisen:

Satz

Seien ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und ein Unterraum. Dann gelten:

  1. .
  2. Ist , so folgt .

Beweis

Sei eine Basis von . Dann ist eine linear unabhängige Teilmenge von . Nach dem Basisergänzungssatz existiert daher eine Basis von , mit . Daraus folgt direkt , also . Ist jetzt zusätzlich vorausgesetzt, so gilt . Da endlich ist, erhalten wir . Schließlich folgern wir .

Um zu zeigen, dass es wichtig ist, als endlich-dimensional vorauszusetzen, betrachten wir ein Beispiel eines unendlich-dimensionalen Vektorraumes, der einen echten unendlich-dimensionalen Unterraum besitzt:

Beispiel

Sei der Polynomraum über einem Körper und der Unterraum der Polynome ohne konstantem Term. Man kann (wie oben) leicht zeigen, dass eine Basis von ist. Damit sehen wir . Aber , da das konstante Polynom ist.

Dimensionsformel[Bearbeiten]

Beweis der Dimensionsformel[Bearbeiten]

Die folgende Dimensionsformel gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlich dimensionaler Untervektorräume eines -Vektorraums berechnen lässt.

Satz (Dimensionsformel)

Sei ein -Vektorraum und seien endlich-dimensionale Unterräume. Dann gilt:

Beweis (Dimensionsformel)

Da endlich dimensional sind, sind auch endlich dimensional. Setze . Dann ist . Seien also , sodass , und . Sei zudem eine Basis von . Da Teilraum von und von ist, existieren nach dem Basisergänzungssatz Vektoren und Vektoren , derart dass eine Basis von und eine Basis von ist.

Wir zeigen nun, dass eine Basis von ist.

Beweisschritt: Als erstes zeigen wir, dass ein Erzeugendensystem ist.

Dazu zeigen wir, dass ein beliebiger Vektor sich als Linearkombination von Elementen aus darstellen lässt.

Sei also , damit gibt es ein mit . Da eine Linearkombination der Basis von ist, also

und eine Linearkombination der Basis von , also

gilt, folgt daraus

Damit ist Linearkombination von und ein Erzeugendensystem von .

Beweisschritt: Nun zeigen wir die lineare Unabhängigkeit von .

Seien dazu , mit

Wir müssen für alle zeigen. Setze dafür . Dann gilt und wegen obiger Voraussetzung

Damit ist auch , also .

Damit lässt sich als Linearkombination der Basis von darstellen und es existieren , derart dass

Nun gilt weiter

Weil eine Basis von , also linear unabhängig ist, folgt

Daher ist

Da eine Basis von ist und die Vektoren damit linear unabhängig sind, gilt

Damit sind alle Koeffizienten Null und die Vektoren sind linear unabhängig. ist somit tatsächlich eine Basis.

Es gilt nun

also ist:

Das zeigt die Behauptung.

Als nächstes betrachten wir eine Folgerung aus der Dimensionsformel, die eine Aussage über die (innere) direkte Summe trifft. Anschaulich besagt diese, dass das Komplement eines Unterraums in Bezug auf die Dimension den fehlenden "Rest" darstellt.

Satz

Sei ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und seien Unterräume, mit . Dann gilt:

Beweis

Zunächst sind wegen beide Unterräume endlich-dimensional. Mit der Dimensionsformel folgern wir

Wie im oberen Beispiel gezeigt, gilt und wir erhalten:

Übungsaufgaben zur Dimensionsformel[Bearbeiten]

Aufgabe (Dimensionsformel)

Sei ein -Vektorraum und seien Untervektorräume von . Weiter gelte , , . Welche Dimension können und haben?

Wie kommt man auf den Beweis? (Dimensionsformel)

Schätze nach oben ab und wende die Dimensionsformel an.

Lösung (Dimensionsformel)

Es gilt die Dimensionsformel

Weiterhin gilt , da Untervektorraum von ist. Es folgt

Da gilt, erhalten wir außerdem , beide Ergebnisse zusammen ergeben also:

Aus der Dimensionsformel schließen wir nun

Insgesamt erhalten wir:

Aufgabe (Dimensionsformel)

Betrachte den -Vektorraum sowie die Unterräume , . Zeige, dass gilt.

Lösung (Dimensionsformel)

Wir zeigen zunächst . Sei dafür , dann gibt es mit

Daraus folgt und damit . Also gilt .

Aus der Dimensionsformel folgt nun

Mit dem obigen Satz über Eigenschaften der Dimension folgt daraus . Zusammen ergibt sich .