Dimension eines Vektorraums – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

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To-Do:

Wir haben schon mehrfach gesehen, dass es in Vektorräumen verschiedene Richtungen gibt. Anzahl der Basisvektoren gibt Anzahl der unabhängigen Richtungen an, die wir in einem VR finden. Wir wollen uns jetzt überlegen, ob die Anzahl an Basisvektoren, die wir finden können variiert, je nachdem wie wir die Basis in einem VR wählen oder die Anzahl der Basiselemente nur vom VR abhängig ist und somit in einem VR immer gleich groß ist, egal welche Basis wir wählen.


Du kennst bestimmt aus der Schule die euklidische Ebene und weißt, dass diese die Dimension zwei hat, weil sie von der kanonischen Basis mit genau zwei Elementen erzeugt wird.

Analog weißt du wahrscheinlich, dass der anschauliche (euklidische) Raum, also der uns umgebende Raum, in dem ein Punkt als Element von beschrieben werden kann und der die Dimension drei hat, mit der kanonischen Basis gebildet wird.

Das legt nahe, dass die Dimension die Anzahl der Basisvektoren angibt.

Wir zeigen zunächst, dass die Anzahl der Basiselemente verschiedener Basen eines Vektorraums gleich ist. Damit ist die Dimension eindeutig bestimmt und sie ist gleich der Anzahl der Elemente einer Basis.[1]

Im -dimensionalen Raum gibt es die Standardbasis mit deren Hilfe sich jeder Vektor als Linearkombination

darstellen lässt. Die Menge erzeugt also den . Entfernt man jedoch einen der Vektoren aus der Menge, so geht die Erzeugendeneigenschaft verloren, da beispielsweise keine dieser Standardvektoren eine Linearkombination der jeweils anderen ist. Die Vektoren sind in der Hinsicht voneinander unabhängig. Es stellt sich nun die Frage ob es möglicherweise eine kleinere Menge, also eine Menge mit weniger Elementen, gibt, welche die gleiche Eigenschaft hat. Man stellt dann aber fest, dass jedes Erzeugnis von zwei Vektoren aus dem immer in einer Ebene eingebettet ist.(passendes Bild einfügen)

Die Dimension vertritt hier somit die Mächtigkeit eines minimalen Erzeugendensystems. Wir wollen diese Idee auf allgemeine Vektorräume überführen. Dort ist eine Teilmenge genau dann ein minimales Erzeugendensystem, wenn sie eine Basis ist. Wir werden daher die Dimension eines Vektorraums durch die Mächtigkeit einer Basis definieren. Um sicherzustellen, dass für einen Vektorraum nicht mehrere Dimensionswerte auftreten können, müssen wir zeigen, dass alle Basen gleich viele Elemente haben. Dafür benötigen wir den Austauschsatz von Steinitz.

Definition der Dimension[Bearbeiten]

Definition (Dimension eines Vektorraums)

Sei ein -Vektorraum und sei eine Basis von . Wenn endlich ist, definieren wir die Dimension von durch . Außerdem sagen wir, dass endlich dimensional ist. Wenn stattdessen unendlich ist, sagen wir, dass unendlich-dimensional ist und schreiben .

Aus dieser Definition wird nicht klar, dass die Dimension unabhängig von der Wahl der Basis unseres Vektorraums ist. Es könnte zum Beispiel passieren, dass ein Vektorraum verschiedenen Basen mit unterschiedlich vielen Elementen besitzt. Dass dies nicht geschehen kann, wird nun im nächsten Satz bewiesen:

Satz (Wohldefiniertheit der Dimension)

Seien ein -Vektorraum und zwei Basen von . Ist endlich, so ist auch endlich und es gilt .

Beweis (Eindeutigkeit der Dimension)

Sei endlich. Angenommen ist unendlich. Dann können wir eine -elementige Teilmenge von wählen. ist dadurch, als Teilmenge der linear unabhängigen Menge , ebenfalls linear unabhängig. Das widerspricht wegen dem Austauschssatz von Steinitz. Also ist endlich. Es bleibt die Gleichheit der Mächtigkeiten zu zeigen. Da linear unabhängig und eine Basis von ist, folgt aus dem Austauschsatz von Steinitz . Andersrum folgt genauso . Damit ist alles gezeigt.

Beispiele zur Dimension[Bearbeiten]

Dimension von [Bearbeiten]

Beispiel

In diesem Beispiel wollen wir die Dimension von bestimmen. Eine mögliche Basis wäre die Standardbasis:

Diese ist endlich und es gilt . Wir erhalten .

Dimension des Polynomraums[Bearbeiten]

Beispiel

Der Polynomraum über einem Körper ist definiert als

mit koeffizientenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Hieraus sieht man, dass ein Erzeugendensystem des ist. Da die Vektorraumverknüpfungen koeffizientenweise operieren, ist dieses zudem linear unabhängig. Aus folgt schließlich .

Dimension von als -Vektorraum[Bearbeiten]

Beispiel

Wir wollen die Dimension der komplexen Zahlen, als -Vektorraum aufgefasst, bestimmen. Jede komplexe Zahl lässt sich in eindeutiger Weise als , mit , schreiben. Hieraus sieht man, dass eine Basis von über ist. Es folgt .

Dimension des Nullraums[Bearbeiten]

Beispiel

Für jeden Körper ist ein Vektorraum. Dieser wird der Nullraum genannt. Um seine Dimension zu bestimmen, müssen wir eine Basis finden. Wie wir bereits im Artikel zum Nullraum gesehen haben, wird der Nullraum von der leeren Menge erzeugt. Außerdem ist per Definiton linear unabhängig und daher eine Basis des Nullraums. Damit haben wir .

Eigenschaften der Dimension[Bearbeiten]

Wir wollen nun einige Eigenschaften des Dimensionsbegriffes beweisen:

Satz

Seien ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und ein Unterraum. Dann gelten:

  1. .
  2. Ist , so folgt .

Beweis

Sei eine Basis von . Dann ist eine linear unabhängige Teilmenge von . Nach dem Basisergänzungssatz existiert daher eine Basis von , mit . Daraus folgt direkt , also . Ist jetzt zusätzlich vorausgesetzt, so gilt . Da endlich ist, erhalten wir . Schließlich folgern wir .

Um zu zeigen, dass es wichtig ist, als endlich-dimensional vorauszusetzen, betrachten wir ein Beispiel eines unendlich-dimensionalen Vektorraumes, der einen echten unendlich-dimensionalen Unterraum besitzt:

Beispiel

Sei der Polynomraum über einem Körper und der Unterraum der Polynome ohne konstantem Term. Man kann (wie oben) leicht zeigen, dass eine Basis von ist. Damit sehen wir . Aber , da das konstante Polynom ist.

Dimensionsformel[Bearbeiten]

Beweis der Dimensionsformel[Bearbeiten]

Die folgende Dimensionsformel gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlich dimensionaler Untervektorräume eines -Vektorraums berechnen lässt.

Satz (Dimensionsformel)

Sei ein -Vektorraum und seien endlich-dimensionale Unterräume. Dann gilt:

Beweis (Dimensionsformel)

Da endlich dimensional sind, sind auch endlich dimensional. Setze . Dann ist . Seien also , sodass , und . Sei zudem eine Basis von . Da Teilraum von und von ist, existieren nach dem Basisergänzungssatz Vektoren und Vektoren , derart dass eine Basis von und eine Basis von ist.

Wir zeigen nun, dass eine Basis von ist.

Als erstes zeigen wir, dass ein Erzeugendensystem ist.

Dazu zeigen wir, dass ein beliebiger Vektor sich als Linearkombination von Elementen aus darstellen lässt.

Sei also , damit gibt es ein mit . Da eine Linearkombination der Basis von ist, also

und eine Linearkombination der Basis von , also

gilt, folgt daraus

Damit ist Linearkombination von und ein Erzeugendensystem von .

Nun zeigen wir die lineare Unabhängigkeit von .

Seien dazu , mit

Wir müssen für alle zeigen. Setze dafür . Dann gilt und wegen obiger Voraussetzung

.

Damit ist auch , also .

Damit lässt sich als Linearkombination der Basis von darstellen und es existieren , derart dass

.

Nun gilt weiter

.

Weil eine Basis von , also linear unabhängig ist, folgt

.

Daher ist

.

Da eine Basis von ist und die Vektoren damit linear unabhängig sind, gilt

.

Damit sind alle Koeffizienten Null und die Vektoren sind linear unabhängig. ist somit tatsächlich eine Basis.


Es gilt nun

also ist:

.

Das zeigt die Behauptung.

Als nächstes betrachten wir eine Folgerung aus der Dimensionsformel, die eine Aussage über die (innere) direkte Summe trifft. Anschaulich besagt diese, dass das Komplement eines Unterraums in Bezug auf die Dimension den fehlenden "Rest" darstellt.

Satz

Sei ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und seien Unterräume, mit . Dann gilt:

Beweis

Zunächst sind wegen beide Unterräume endlich-dimensional. Mit der Dimensionsformel folgern wir

.

Wie im oberen Beispiel gezeigt, gilt und wir erhalten:

Übungsaufgaben zur Dimensionsformel[Bearbeiten]

Aufgabe (Dimensionsformel)

Sei ein -Vektorraum und seien Untervektorräume von . Weiter gelte , , . Welche Dimension können und haben?

Wie kommt man auf den Beweis? (Dimensionsformel)

Schätze nach unten ab und wende die Dimensionsformel an.

Lösung (Dimensionsformel)

Es gilt die Dimensionsformel

Weiterhin gilt , da Untervektorraum von ist. Es folgt

Insgesamt erhalten wir:

und .

Aufgabe (Dimensionsformel)

Betrachte den -Vektorraum sowie die Unterräume , . Zeige, dass gilt.

Lösung (Dimensionsformel)

Wir zeigen zunächst . Sei dafür , dann gibt es mit

.

Daraus folgt und damit . Also haben wir wie behauptet gezeigt. Aus der Dimensionsformel folgt nun

.

Mit dem oberen Satz über Eigenschaften der Dimension folgt daraus . Zusammen ergibt sich .