Vektorraum: Summe von Unterräumen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Artikel definieren wir die Summe von zwei Untervektorräumen. Diese ist ein Untervektorraum, der die beiden Untervektorräume enthält. Wir können uns die Summe als eine strukturerhaltende Vereinigung vorstellen.

Herleitung der Summe[Bearbeiten]

Wir haben zwei Untervektorräume und von einem Vektorraum . Jetzt wollen wir diese Untervektorräume zu einem größeren Untervektorraum zusammenfassen, der und enthält. Ein erster Ansatz könnte sein, zu betrachten. Jedoch haben wir bereits im Artikel Vereinigung und Durchschnitt von Untervektorräumen gesehen, dass die Vereinigung im Allgemeinen kein Untervektorraum ist.

Warum ist das so? Für und ist nicht immer in , wie man an diesem Beispiel sieht.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

BIld zur veranschaulichung auf der Seite

Um das Problem zu lösen, fügen wir alle Summen der Form mit und zu der Vereinigung der beiden Untervektorräume und hinzu. Wir betrachten also . Dieser Ausdruck scheint noch sehr kompliziert zu sein, aber wir können ihn zu vereinfachen.

Frage: Wieso ist ?

Da und Untervektorräume sind, ist die in beiden Unterverktorräumen enthalten. Deswegen folgt für alle  :

Also folgt . Analog erhalten wir .

Wir nennen diese Konstrukt Summe von und , weil es aus den Summen der Vektoren aus und besteht. Später zeigen wir, dass es sich dabei um einen Untervektorraum handelt.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Summe von zwei Untervektorräumen)

Seien und zwei Untervektorräume von einem Vektorraum . Dann definieren wir die Summe von und als

Die Summe ist ein Untervektorraum[Bearbeiten]

Wir müssen noch nachweisen, dass ein Untervektorraum ist.

Satz (Die Summe ist ein Untervektorraum)

Die Summe
ist ein Untervektorraum von .

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Summe ist ein Untervektorraum)

todo

Beweis (Die Summe ist ein Untervektorraum)

Beweisschritt:

Da und Untervektorräume sind, gilt und . Also gilt .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Addition

Seien . Wir müssen zeigen, dass . Nach Definition von existieren und , sodass und . Wir wissen, dass und Untervektorräume sind und damit abgeschlossen bezüglich der Addition. Also gilt

.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation

Seien und . Wir müssen zeigen, dass . Nach Definition von existieren und , sodass . Da und als Untervektorräume abgeschlossen bezüglich skalarer Multiplikation sind, gilt

.

Beispiele[Bearbeiten]

(anschauliche) Beispiele

Summe von zwei Geraden im ℝ²[Bearbeiten]

  • \R^2 zwei Geraden: W=\{(x,x)^T\mid x\in\R\} U+W=\{(x+y,y)^T\mid x,y\in\R\}=...=\R^2 --> mit Bild

Summe von zwei Geraden im ℝ³[Bearbeiten]

  • \R^3 zwei Geraden: U=\{(x,x,2x)^T\mid x\in\R\} W=\{ (3x,0,5x)^T\mid x\in\R\} U+W=\{x(1,1,2)+y(3,0,5)\mid x,y\in\R\} --> Ebene aufgespannt von (1,1,2) und (3,0,5) --> evtl. Bild

Summe von zwei Ebenen im ℝ³[Bearbeiten]

  • \R^3 zwei Ebenen: U=\{(x,y,0)\mid x,y\in\R\} W=\{(0,y,z)\mid y,z,\in\R\} --> evtl. Bild

Summe im Polynomraum[Bearbeiten]

  • irgendwas mit Polynomen, z.B. Unterraum erzeugt von U=\{x^7,x^8,\ldots\} und Unterraum erzeugt von W=\{x^2,x^{11}\} --> U+W=\span\{x^2,x^7,x^8,...\}

Absorptionseigenschaft der Summe[Bearbeiten]

  • Als Aufgabe: U\subseteq W \implies U+W=W; daraus folgern: U+U=U für bel. UVR

Alternative Definitionen[Bearbeiten]

Über den Schnitt[Bearbeiten]

Wir haben einen Untervektorraum von gebaut, der die beiden Untervektorräume und enthält. Da wir bei unserer Konstruktion von nur das nötigste hinzugefügt haben, sollte der kleinste Untervektorraum sein, der sowohl als auch enthält.

Wir können den kleinsten Untervektorraum, der und enthält, auch anders beschreiben: Wir betrachten zunächst alle Untervektorräume, die und enthalten und bilden dann den Schnitt über diese Untervektorräume. Dieser Schnitt enthält immer noch und und ist zudem ein Untervektorraum, da der Schnitt von beliebig vielen Untervektorräumen wieder ein Untervektorraum ist. Intuitiv sollte es keinen kleineren Untervektorraum mit dieser Eigenschaft geben. Also erhalten wir auch so den kleinsten Untervektorraum, der sowohl als auch enthält. Nach diesen Überlegungen sollte also gelten, dass gleich dem Schnitt über allen Untervektorräumen ist, die und enthalten. Das wollen wir jetzt beweisen:

Satz (Definition der Summe über den Schnitt von Untervektorräumen)

Sei ein Vektorraum und und Untervektorräume von . Für gilt:

Beweis (Definition der Summe über den Schnitt von Untervektorräumen)

Wir beweisen die beiden Inklusionen und .

Beweisschritt:

Es reicht zu zeigen, dass ein Untervektorraum ist, der enthält. Dann folgt bereits aus der Definition von , dass

Wir zeigen zunächst, dass in enthalten ist. Dass in enthalten ist, folgt analog. Sei also . Da ein Untervektorraum ist, liegt . Also ist .

Beweisschritt:

Wir müssen zeigen: jeder Untervektorraum von , der und enthält, enthält auch .

Sei also solch ein Unterraum. Sei . Dann gibt es und mit .

Insbesondere gilt . Da ein Untervektorraum ist, gilt .

Damit haben wir gezeigt: .

Daraus erhalten wir die folgende Definition:

Definition (Definition der Summe von Untervektorräumen über den Schnitt)

Sei ein Vektorraum und und Untervektorräume von . Dann ist die Summe von und gegeben als

Über den Spann[Bearbeiten]

Wir können den kleinsten Untervektorraum, der und bzw. enthält, noch auf eine weitere Weise beschreiben. Im Artikel zum Spann haben wir nämlich gesehen, dass für eine gegebene Teilmenge von der Spann von der kleinste Untervektorraum ist, der enthält. Also ist der kleinste Untervektorraum, der und enthält. Daraus schließen wir, dass auch dieser gleich der Summe sein muss.

Satz (Definition durch den Spann)

Sei ein Vektorraum und und Untervektorräume von . Dann gilt:

Beweis (Definition durch den Spann)

Wir zeigen die beiden Inklusionen und .

Beweisschritt:

Sei . Dann gibt es und mit . Weil der Spann von aus Linearkombinationen von Vektoren aus und besteht, gilt .

Beweisschritt:

Wir haben gesehen, dass , der kleinste Untervektorraum ist, der enthält. Da ein Untervektorraum von ist, der enthält, folgt .

Dimensionsformel[Bearbeiten]

Wir haben aus zwei Untervektorräumen und einen neuen Untervektorraum konstruiert, der diese beiden enthält. Jetzt können wir uns fragen, welche Dimension dieser neue Untervektorraum hat. Da und beide in enthalten sind, ist die Dimension von größer als die Dimensionen dieser beiden, d.h. und . Daraus können wir direkt schließen, dass wenn einer der beiden Untervektorräume unendlich-dimensional ist, auch schon gilt: . Was ist die , wenn beide Untervektorräume endlich-dimensional sind? Wir haben oben schon gesehen, dass wir eine untere Schranke für haben, nämlich .

Wir können die Dimension auch von oben beschränken. Da ein Untervektorraum des Vektorraums ist, gilt auch . Können wir noch weiter eingrenzen? Die Dimension von ist die Mächtigkeit einer Basis von . Wir wollen also herausfinden, wie groß eine Basis ist. Wir wissen aus einem obigen Satz, dass ein Erzeugendensystem von durch die Vereinigung einer Basis von und einer Basis von gegeben ist. Das heißt, die Basis von hat höchstens so viele Elemente wie die Basen von und zusammen. Also ist .

Wann gilt hier eine Gleichheit? Anders gefragt: Wann ist die Vereinigung der Basen von und eine Basis von ? Das gilt genau dann, wenn die Vereinigung der Basen linear unabhängig ist.

Was passiert, wenn ? Dann ist die Vereinigung der Basen von und nicht linear unabhängig. Daraus kann man folgern, dass .

Frage: Warum ist das so?

Sei eine Basis von und eine Basis von . Wir nehmen an, dass linear abhängig sind. Das heißt es gibt Skalare und , wobei mindestens ein mit oder ein mit ungleich ist, sodass gilt:

Das können wir umstellen zu

Da in beiden Untervektorräumen liegt, liegt es auch im Schnitt von und . Wir zeigen noch, das gilt: Angenommen , dann gilt für die Summe . Da eine Basis ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Deshalb folgt für alle . Analog folgt für alle . Das ist ein Widerspruch zur Annahme von oben, dass mindestens ein mit oder ein mit ungleich ist. Also ist .

Da der Schnitt von zwei Untervektorräumen wieder ein Untervektorraum ist, können wir eine Basis von finden. Diese Basis können wir zu einer Basis von ergänzen. Genauso können wir sie zu einer Basis von ergänzen.

Intuitiv sollte eine Basis von sein. Dass das auch wirklich der Fall ist, sehen wir im folgenden Beweis. Es sollte also folgendes gelten:

Satz (Dimensionsformel)

Sei ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und seien und zwei Untervektorräume von . Dann gilt

Beweis (Dimensionsformel)

Seien und . Dann gibt es eine Basis von . Diese können wir sowohl zu einer Basis von , als auch zu einer Basis von erweitern.

Wir zeigen nun, dass eine Basis von ist.

Beweisschritt: ist ein Erzeugendensystem

Da nach dem vorherigen Satz gilt, ist ein Erzeugendensystem von .

Beweisschritt: ist linear unabhängig

Seien mit und mit

Wir können umstellen zu

Da eine Basis von ist, können wir obiges Element als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben:

Diesen Ausdruck stellen wir wieder um und erhalten:

Da eine Basis von ist, folgt dass für alle und für alle gilt.

Setzen wir in unsere erste Gleichung ein, erhalten wir

Das ist jetzt eine Linearkombination der Basisvektoren aus , also folgt dass auch für alle und für alle gilt. Also ist linear unabhängig.

Da eine Basis von ist, gilt