Vektorraum: Summe von Unterräumen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Notation[Bearbeiten]

In diesem Artikel sei ein Körper und ein -Vektorraum.

Wir bezeichnen Unterräume von oft mit und .

Motivation[Bearbeiten]

Sei ein -Vektorraum. Wir wissen bereits, dass der Schnitt beliebiger Untervektorräume von wieder ein Untervektorraum ist.

Wir haben aber auch gesehen, dass Vereinigungen von Untervektorräumen nicht zwingend wieder Untervektorräume ergeben. Das sehen wir auch in folgendem Beispiel:

Beispiel (Vereinigung von Unterräumen ist kein Unterraum)

Sei .

Dann finden wir zwei Unterräume und .

Aber ist kein Untervektorraum: Um dies zu sehen, nehmen wir die Vektoren und . Insbesondere sind . Aber .

Wir sehen also, dass in der Vereinigung einige Vektoren "fehlen", um wieder einen Unterraum zu bilden. Daher können wir uns die Frage stellen, welche Vektoren wir zu der Vereinigung hinzufügen müssen, um wieder einen Unterraum zu erhalten.

Eine erste Überlegung wäre, einfach den kleinsten Unterraum zu nehmen, der die Vereinigung enthält. Doch was bedeutet "der kleinste" in diesem Kontext? Unterräume sind insbesondere Teilmengen von , können somit mittels der Inklusion partiell verglichen werden. Der kleinste Unterraum, der enthält, sollte also darüber definiert sein, dass er Teilmenge von jedem anderen Unterraum mit dieser Eigenschaft ist.

Es stellen sich die Fragen:

  • Existiert ein solcher Unterraum?
  • Falls ja, ist er eindeutig? Dann macht es Sinn, von dem kleinsten Unterraum zu reden.

Für die erste Frage können wir uns überlegen, welche Unterräume überhaupt enthalten. Da Teilmengen sind, ist selbst ein solcher Unterraum. Angenommen, wir haben noch mehr solcher Unterräume, dann enthält auch ihr Schnitt wieder . Daher könnten wir als Kandidaten einfach den Schnitt aller solcher Unterräume verwenden. Wir haben bereits gesehen, dass dies wieder einen Unterraum ergibt. Außerdem enthält er immer noch . Dieser Schnitt macht immer Sinn, da mit ja zumindest ein solcher Unterraum gegeben ist. Offenbar ist der kleinste Unterraum, der enthält: Wenn nun ein weiterer solcher Unterraum ist, dann schneiden wir insbesondere auch über . Also gilt .

Die Antwort auf die erste Frage liefert auch sofort die Antwort auf die zweite: Ein anderer Kandidat ist automatisch eine Obermenge von . Wenn aber eine echte Obermenge von wäre, dann wäre er nicht der kleinste. Also gilt .

Diese Motivation führt uns zur folgenden Definition:

Definition und Existenz der Summe[Bearbeiten]

Definition (Direkte Summe von zwei Unterräumen)

Seien zwei Unterräume. Die Summe ist definiert als der Schnitt aller Unterräume mit . In Formeln bedeutet dies:

Es ist klar, dass die Summe als Menge immer existiert und eine Teilmenge von ist. Wir wissen auch aus dem letzten Artikel, dass als Schnitt von Unterräumen wieder einen Unterraum bildet. Die Summe von zwei Untervektorräumen ist genau der kleinste Untervektorraum von , der sowohl als auch enthält, weil für jeden Untervektorraum mit der Eigenschaft gilt (nach Definition der Summe als Schnitt über alle Untervektorräume die enthalten.): . Im Folgenden werden wir noch eine alternative Charakterisierung der Summe herleiten, die auch die Bezeichnung als Summe erklärt.

Eigenschaften der Summe[Bearbeiten]

Wir wollen im Folgenden einige Eigenschaften der Summe von Unterräumen untersuchen.

Satz (Die Summe enthält und )

Es gilt und .

Beweis (Die Summe enthält und )

Nach Konstruktion gilt . Insbesondere ist also .

Satz (Die Summe ist inklusionserhaltend)

Seien Untervektorräume von mit und . Dann gilt .

Beweis (Die Summe ist inklusionserhaltend)

Wir wollen verwenden, dass der kleinste Untervektorraum von ist, der und enthält. Da ein Unterraum von ist, reicht es also zu zeigen, dass die beiden Unterräume und enthält. Es gilt aber und . Die jeweils erste Inklusion gilt nach Voraussetzung, die jeweils zweite wurde oben gezeigt.

Satz (Absorption)

Falls , so gilt .

Beweis (Absorption)

Wir haben oben ganz allgemein gezeigt, dass . Andererseits ist ein Untervektorraum von , der sowohl als auch enthält. Da die Summe der kleinste Unterraum ist, der und enthält (siehe oben), gilt .

Äquivalente Charakterisierung[Bearbeiten]

Unsere Definition der Summe ist zwar anschaulich, leider aber in einigen Fällen unpraktisch, um damit zu arbeiten. Der Grund dafür ist, dass wir im Allgemeinen über unendlich viele Unterräume schneiden, die selbst nur schwer zu bestimmen sind. Es ist deshalb schwierig, die Elemente der Summe explizit anzugeben, beziehungsweise zu prüfen, ob ein gegebenes Element aus unserem Vektorraum in der Summe zweier Unterräume enthalten ist. Daher wollen wir uns nun eine alternative Charakterisierung der Summe überlegen. Mithilfe dieser Charakterisierung ist es sehr viel leichter möglich, die Summe zweier Vektorräume explizit zu berechnen. Außerdem motiviert sie auch die Bezeichnung Summe. Wir haben oben gesehen, dass die Vereinigung von Untervektorräumen im Allgemeinen kein Untervektorraum ist. Das liegt daran, dass Summen von Elementen der beiden Untervektorräume und nicht unbedingt in der Vereinigung enthalten sind. Wir wissen aber, dass zumindest alle Summen der Form mit und in der Summe enthalten sein müssen, weil die Summe ein Untervektorraum ist (der kleinste) und und . Wir können uns die Frage stellen, ob die Menge dieser Elemente schon ein Untervektorraum ist. Dann wäre sie gleich der Summe. Das liegt daran, dass die Summe ja per Definition der kleinste Untervektorraum ist, der und enthält. Tatsächlich ist die Menge der Summen der Form ein Untervektorraum. Das wollen wir nun beweisen.

Satz (Äquivalente Charakterisierung der Summe)

Die Summe von ist die Menge aller Vektoren der Form mit und . In Formeln bedeutet dies:

Beweis (Äquivalente Charakterisierung der Summe)

Im Folgenden sei .

Beweisschritt:

Wir müssen zeigen, dass ein Unterraum ist, der enthält. Dann folgt bereits aus der Definition, dass Teilmenge der rechten Seite ist.

Wir zeigen zunächst, dass in enthalten ist. Dass in enthalten ist, folgt analog. Sei also . Da ein Untervektorraum ist, liegt . Also ist .

Beweisschritt:

Da und Untervektorräume sind, gilt und . Also gilt .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Addition

Seien . Wir müssen zeigen, dass . Nach Definition von existieren und , sodass und . Dann gilt .

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation

Seien und . Wir müssen zeigen, dass . Nach Definition von existieren und , sodass . Dann gilt .

Beweisschritt:

Wir müssen zeigen: jeder Untervektorraum von , der und enthält, enthält auch .

Sei also solch ein Unterraum. Sei . Dann gibt es und mit .

Insbesondere gilt . Da ein Untervektorraum ist, gilt .

Damit haben wir gezeigt: .

Beispiele und Aufgaben[Bearbeiten]

Beispiel (Ebenen im )

Sei und . Wir betrachten als Untervektorräume und die xy- und die yz-Ebene. Genauer gilt also und . Wir wollen zeigen, dass dann die Summe gleich ist.

Wir wissen bereits aus der Definition, dass .

Sei andererseits . Das können wir schreiben als . Also gilt auch .

Wir sehen hier, dass die Darstellung in der Summe nicht eindeutig ist. Wir hätten nämlich auch schreiben können: .

Aufgabe (Die Summe ist kommutativ)

Zeige, dass .

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Summe ist kommutativ)

Wir wissen, dass die Addition in per Definition kommutativ ist. Die äquivalente Charakterisierung der Summe verwendet die Addition in . Es macht also Sinn, die Charakterisierung zu nutzen.

Lösung (Die Summe ist kommutativ)

Wir zeigen, dass . Die andere Inklusion folgt indem man die Rollen von und vertauscht.

Sei dazu . Daher existieren sodass . Da die Addition in kommutativ ist, folgt .

Alternativ können wir auch die Definition von als Schnitt der Unterräume von , die und enthalten, verwenden. Die Bedingung an die Unterräume ist unabhängig von der Reihenfolge von und . Somit ist .

Aufgabe (Die Summe ist assoziativ)

Zeige, dass .

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Summe ist assoziativ)

Wir wissen, dass die Addition in per Definition assoziativ ist. Die äquivalente Charakterisierung der Summe verwendet die Addition in . Es macht also Sinn, die Charakterisierung zu nutzen.

Lösung (Die Summe ist assoziativ)

Wir müssen nur zeigen. Die andere Inklusion folgt dann aus der oben gezeigten Kommutativität und Vertauschung der Rollen.

Sei also . Dann gibt es ein und ein sodass .

Da existeren wiederum ein und ein , sodass .

Wir haben also insgesamt .

Aufgabe (Der Nullvektorraum ist das neutrale Element der Summe)

Zeige, dass für alle Unterräume von . Hierbei ist der triviale Untervektorraum von .

Lösung (Der Nullvektorraum ist das neutrale Element der Summe)

Dies folgt sofort aus der Absorptionseigenschaft oben mit und .

Hinweis

Mit den letzten drei Aufgaben haben wir gezeigt, dass die Menge der Untervektorräume von zusammen mit der Summe von Untervektorräumen einen abelschen Monoiden bilden. Das ist sehr interessant, wenngleich völlig nutzlos.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Summe ist strukturrerhaltende Vereinigung, Zusammenführung von Information, Erhöhung des Freiheitsgrades

Beispiele: Farbmischung, Die von den einzelnen Saiten einer Gitarre erzeugbaren Tonarten als Unterräume der Gesamtheit (aller von der Gittare erzeugbaren) Tonarten. In der Summe können auch Überlagerungen der Ausgangszustände vorkommen. Idee: Stukturerhaltende Vereinigung,Überlagerung der Grundzustände.