Vektorraum: Summe von Unterräumen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Artikel definieren wir die Summe von zwei Untervektorräumen. Diese ist ein Untervektorraum, der die beiden Untervektorräume enthält. Wir können uns die Summe als eine strukturerhaltende Vereinigung vorstellen.

Herleitung der Summe

Wir haben zwei Untervektorräume $U$ und $W$ von einem Vektorraum $V$. Jetzt wollen wir diese Untervektorräume zu einem größeren Untervektorraum zusammenfassen, der $U$ und $W$ enthält. Ein erster Ansatz könnte sein, $U\cup W$ zu betrachten. Jedoch haben wir bereits im Artikel Vereinigung und Durchschnitt von Untervektorräumen gesehen, dass die Vereinigung im Allgemeinen kein Untervektorraum ist.

Warum ist das so? Für $u\in U$ und $w\in W$ ist $u+w$ nicht immer in $U\cup W$, wie man an diesem Beispiel sieht.

Vereinigung von zwei Geraden im zweidimensionalen reellen Raum

Um das Problem zu lösen, fügen wir alle Summen der Form $u+w$ mit $u\in U$ und $w\in W$ zu der Vereinigung der beiden Untervektorräume $U$ und $W$ hinzu. Wir betrachten also $U\cup W\cup \{u+w\mid u\in U,w\in W\}$. Dieser Ausdruck scheint noch sehr kompliziert zu sein, aber wir können ihn zu $\{u+w\mid u\in U,w\in W\}$ vereinfachen.

Frage: Wieso ist $U\cup W\cup \{u+w\mid u\in U,w\in W\}=\{u+w\mid u\in U,w\in W\}$?

Da $U$ und $W$ Untervektorräume sind, ist die $0$ in beiden Unterverktorräumen enthalten. Deswegen folgt für alle $w\in W$ :

$w=w+0\in \{u+w\mid u\in U,w\in W\}$

Also folgt $W\subseteq \{u+w\mid u\in U,w\in W\}$. Analog erhalten wir $U\subseteq \{u+w\mid u\in U,w\in W\}$.

Wir nennen diese Konstrukt Summe von $U$ und $W$, weil es aus den Summen der Vektoren aus $U$ und $W$ besteht. Später zeigen wir, dass es sich dabei um einen Untervektorraum handelt.

Definition

Definition (Summe von zwei Untervektorräumen)

Seien $U$ und $W$ zwei Untervektorräume von einem Vektorraum $V$. Dann definieren wir die Summe von $U$ und $W$ als

$U+W:=\{u+w\in V\mid u\in U,w\in W\}.$

Die Summe ist ein Untervektorraum

Wir müssen noch nachweisen, dass $U+W$ ein Untervektorraum ist.

Satz (Die Summe ist ein Untervektorraum)

Die Summe

$U+W:=\{u+w\in V\mid u\in U,w\in W\}$

ist ein Untervektorraum von $V$.

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Summe ist ein Untervektorraum)

Wir müssen das Unterraumkriterium nachprüfen. Dafür nutzen wir aus, dass man alle Vektoren $v\in U+W$ als $v=u+w$ mit $u\in U$ und $w\in W$ schreiben kann. Wir können dann die Bedingungen des Unterraumkriteriums auf die jeweiligen Eigenschaften von $U$ und $W$ zurückführen.

Beweis (Die Summe ist ein Untervektorraum)

Beweisschritt: $0\in U+W$

Da $U$ und $W$ Untervektorräume sind, gilt $0\in U$ und $0\in W$. Also gilt $0=0+0\in U+W$.

Beweisschritt: $U+W$ ist abgeschlossen unter der Addition

Seien $x,y\in U+W$. Wir müssen zeigen, dass $x+y\in U+W$. Nach Definition von $U+W$ existieren $u_{1},u_{2}\in U$ und $w_{1},w_{2}\in W$, sodass $x=u_{1}+w_{1}$ und $y=u_{2}+w_{2}$. Wir wissen, dass $U$ und $W$ Untervektorräume sind und damit abgeschlossen bezüglich der Addition. Also gilt

$x+y=(u_{1}+w_{1})+(u_{2}+w_{2})=\underbrace {(u_{1}+u_{2})} _{\in U}+\underbrace {(w_{1}+w_{2})} _{\in W}\in U+W$.

Beweisschritt: $U+W$ ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation

Seien $v\in U+W$ und $\lambda \in K$. Wir müssen zeigen, dass $\lambda v\in U+W$. Nach Definition von $U+W$ existieren $u\in U$ und $w\in W$, sodass $v=u+w$. Da $U$ und $W$ als Untervektorräume abgeschlossen bezüglich skalarer Multiplikation sind, gilt

$\lambda v=\lambda (u+w)=\underbrace {\lambda u} _{\in U}+\underbrace {\lambda w} _{\in W}\in U+W$.

Beispiele

Summe von zwei Geraden im ℝ²

Die Geraden $U$ und $W$

Wir betrachten die folgenden beiden Geraden im $\mathbb {R} ^{2}$:

${\begin{aligned}U:=\left\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\mid x\in \mathbb {R} \right\}{\text{ und }}W:=\left\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\mid x\in \mathbb {R} \right\}\end{aligned}}$

Also ist $U$ die $x$-Achse und $W$ die Gerade, die durch den Ursprung und den Punkt $(1,1)$ verläuft. Was ist die Summe $U+W$?

Wegen der Definition $U+W=\{u+w\mid u\in U,w\in W\}$ können wir eine Mengenbeschreibung von $U+W$ berechnen:

${\begin{aligned}&U+W\\[0.3em]=&\left\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\mid x\in \mathbb {R} \right\}+\left\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\mid x\in \mathbb {R} \right\}\\[0.3em]=&\left\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\mid x\in \mathbb {R} \right\}+\left\{{\begin{pmatrix}y\\y\end{pmatrix}}\mid y\in \mathbb {R} \right\}\\[0.3em]=&\left\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y\\y\end{pmatrix}}\mid x,y\in \mathbb {R} \right\}\\[0.3em]=&\left\{{\begin{pmatrix}x+y\\y\end{pmatrix}}\mid x,y\in \mathbb {R} \right\}\end{aligned}}$

Jeden Vektor in $\mathbb {R} ^{2}$ können wir schreiben als $(x+y,y)^{T}$ mit passenden $x,y\in \mathbb {R}$. Konkret können wir für jeden Vektor $(a,b)^{T}\in \mathbb {R} ^{2}$ Skalare $x$ und $y\in \mathbb {R}$ finden, so dass $(a,b)=(x+y,y)$, nämlich $x:=a-b$ und $y:=b$. Also gilt $U+W=\mathbb {R} ^{2}$.

Intuitiv kann man sofort sehen, dass $U+W=\mathbb {R} ^{2}$. Denn $U+W$ ist ein Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{2}$, der die Geraden $U$ und $W$ enthält. Die einzigen Untervektorräume von $\mathbb {R} ^{2}$ sind der Nullraum, Geraden, die durch den Ursprung verlaufen, und $\mathbb {R} ^{2}$. Da die Geraden $U$ und $W$ nicht aufeinander fallen, sondern verschieden sind, kann $U+W$ keine Gerade sein. Deshalb muss $U+W=\mathbb {R} ^{2}$ gelten.

Summe von zwei Geraden im ℝ³

Die Geraden $U$ und $W$

Wir haben folgende Geraden im $\mathbb {R} ^{3}$:

${\begin{aligned}U:=\left\{{\begin{pmatrix}x\\x\\2x\end{pmatrix}}\mid x\in \mathbb {R} \right\}{\text{ und }}W:=\left\{{\begin{pmatrix}3x\\0\\5x\end{pmatrix}}\mid x\in \mathbb {R} \right\}\end{aligned}}$

Dann ist $U$ eine Gerade im $\mathbb {R} ^{3}$, die durch den Ursprung und den Punkt $(1,1,2)$ verläuft und $W$ ist eine Gerade, die durch den Ursprung und $(3,0,5)$ verläuft. Wir suchen die Summe $U+W=\{u+w\mid u\in U,w\in W\}$.

${\begin{aligned}&U+W\\[0.3em]=&\left\{{\begin{pmatrix}x\\x\\2x\end{pmatrix}}\mid x\in \mathbb {R} \right\}+\left\{{\begin{pmatrix}3y\\0\\5y\end{pmatrix}}\mid y\in \mathbb {R} \right\}\\[0.3em]=&\left\{{\begin{pmatrix}x\\x\\2x\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3y\\0\\5y\end{pmatrix}}\mid x,y\in \mathbb {R} \right\}\\[0.3em]=&\left\{x{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}3\\0\\5\end{pmatrix}}\mid x,y\in \mathbb {R} \right\}\end{aligned}}$

Also ist $U+W$ eine Ebene, die von den Vektoren $(1,1,2)^{T}$ und $(3,0,5)^{T}$ aufgespannt wird.

Summe von zwei Ebenen im ℝ³

Die Ebenen $U_{1}$ und $W$

Wir betrachten die folgenden zwei Ebenen:

$U_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}2x\\x\\y\end{pmatrix}}\mid x,y\in \mathbb {R} \right\}{\text{ und }}W=\left\{{\begin{pmatrix}0\\2x\\-y\end{pmatrix}}\mid x,y\in \mathbb {R} \right\}$

Die Ebenen sind nicht gleich. Das können wir z.B. dadurch sehen, dass der Vektor $(2,1,0)^{T}$ in $U_{1}$ liegt, aber nicht in $W$. Deshalb sollten die beiden Ebenen intuitiv den ganzen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ aufspannen. Das heißt, wir vermuten, dass $U_{1}+W=\mathbb {R} ^{3}$.

Wir versuchen, diese Vermutung zu beweisen. Dafür müssen wir zeigen, dass jeder Vektor $(a,b,c)^{T}\in \mathbb {R} ^{3}$ in der Summe $U_{1}+W=\{u+w\mid u\in U_{1},w\in W\}$ liegt. Wir müssen also für $(a,b,c)^{T}$ Vektoren $u\in U_{1}$ und $w\in W$ finden, sodass $(a,b,c)^{T}=u+w$. Dann gilt $(a,b,c)^{T}\in U_{1}+W$. Hier können wir die Definitionen von $U_{1}$ und $W$ benutzen: Jeder Vektor $u\in U_{1}$ lässt sich schreiben als $(2x_{1},x_{1},y_{1})^{T}$ mit $x_{1},y_{1}\in \mathbb {R}$. Ähnlich lässt sich jeder Vektor $w\in W$ als $(0,2x_{2},-y_{2})^{T}$ schreiben mit $x_{2},y_{2}\in \mathbb {R}$. Also wollen wir für den Vektor $(a,b,c)^{T}\in \mathbb {R} ^{3}$ Zahlen $x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\in \mathbb {R}$ finden, sodass

${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{1}\\x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\2x_{2}\\-y_{2}\end{pmatrix}}.$

Das können wir umformen zu

${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{1}+0\\x_{1}+2x_{2}\\y_{1}-y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{1}\\x_{1}+2x_{2}\\y_{1}-y_{2}\end{pmatrix}}.$

Wie können wir $x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\in \mathbb {R}$ wählen, sodass obige Gleichung stimmt? Mit

${\begin{aligned}x_{1}&:={\tfrac {1}{2}}a\\y_{1}&:=c\\x_{2}&:={\tfrac {1}{2}}b-{\tfrac {1}{4}}a\\y_{2}&:=0\end{aligned}}$

stimmt die obige Gleichung.

Zusammenfassend aufgeschrieben gilt für jeden beliebigen Vektor $(a,b,c)^{T}\in \mathbb {R} ^{3}$:

${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}2\left({\tfrac {1}{2}}a\right)\\{\tfrac {1}{2}}a\\c\end{pmatrix}} _{\in U_{1}}+\underbrace {\begin{pmatrix}0\\2\left({\tfrac {1}{2}}b-{\tfrac {1}{4}}a\right)\\-0\end{pmatrix}} _{\in W}\in U_{1}+W$

Also gilt tatsächlich $U_{1}+W=\mathbb {R} ^{3}$, d.h. die beiden Ebenen spannen zusammen den ganzen $\mathbb {R} ^{3}$ auf.

Absorptionseigenschaft der Summe

Die Gerade $U_{2}$ und die Ebene $W$

Wir haben uns oben schon ein paar Beispiele zu Summen im Raum $\mathbb {R} ^{3}$ angesehen. Nun wollen wir ein weiteres Beispiel im $\mathbb {R} ^{3}$ betrachten. Seien

${\begin{aligned}&U_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\x\\2x\end{pmatrix}}\mid x\in \mathbb {R} \right\}\\&{\text{und}}\\&W=\left\{{\begin{pmatrix}0\\y\\z\end{pmatrix}}\mid y,z\in \mathbb {R} \right\}\end{aligned}}$

Dann ist $U_{2}$ die Gerade, die durch den Ursprung und durch den Punkt $(0,1,2)$ verläuft. Der Unterraum $W$ ist die $y,z$-Ebene.

Was ist die Summe der Untervektorräume $U_{2}+W$? Die Gerade $U_{2}$ liegt in der $y,z$-Ebene, also in $W$. Die Summe ist intuitiv der Untervektorraum, der aus $U_{2}$ und $W$ besteht. Da $U_{2}$ schon in $W$ enthalten ist, sollte die Summe einfach $W$ sein, also $U_{2}+W=W$. Dass ist auch tatsächlich der Fall, wie die untenstehende Aufgabe zeigt.

Intuitiv sollte das auch allgemein gelten. Seien $U$ und $W$ zwei Untervektorräume eines beliebigen Vektorraums $V$. Wenn $U$ in $W$ liegt, d.h. $U\subseteq W$, dann sollte die Summe $U+W$ einfach $W$ ergeben. Das nennt man Absorptionseigenschaft. Wir beweisen sie in folgender Aufgabe.

Aufgabe (Absorptionseigenschaft der Summe)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $U$ und $W$ Untervektorräume von $V$. Wenn $U\subseteq W$ gilt, dann folgt $U+W=W$.

Lösung (Absorptionseigenschaft der Summe)

Wir nehmen an, dass $U\subseteq W$ gilt und zeigen, dass $U+W=W$. Um diese Gleichheit zu zeigen, beweisen wir die beiden Inklusionen $W\subseteq U+W$ und $U+W\subseteq W$.

Beweisschritt: $W\subseteq U+W$

Sei $w\in W$, dann ist

$w=\underbrace {0} _{\in U}+\underbrace {w} _{\in W}\in U+W.$

Beweisschritt: $U+W\subseteq W$

Sei $v\in U+W$. Dann gibt es Vektoren $u\in U$ und $w\in W$, sodass $v=u+w$. Weil $U\subseteq W$, gilt $u\in W$. Wir wissen, dass $W$ ein Untervektorraum und damit abgeschlossen unter Addition ist. Außerdem sind $u,w\in W$. Deshalb gilt $v=u+w\in W$.

Hinweis

Aus der Absorptionseigenschaft folgt auch $U+U=U$ für jeden Untervektorraum $U$. Denn jeder Untervektorraum ist in sich selber enthalten. Anders ausgedrückt: $U\subseteq U$ gilt immer.

Alternative Definitionen

Über den Schnitt

Wir haben einen Untervektorraum $U+W$ von $V$ gebaut, der die beiden Untervektorräume $U$ und $W$ enthält. Da wir bei unserer Konstruktion von $U+W$ nur das nötigste hinzugefügt haben, sollte $U+W$ der kleinste Untervektorraum sein, der sowohl $U$ als auch $W$ enthält.

Wir können den kleinsten Untervektorraum, der $U$ und $W$ enthält, auch anders beschreiben: Wir betrachten zunächst alle Untervektorräume, die $U$ und $W$ enthalten und bilden dann den Schnitt über diese Untervektorräume. Dieser Schnitt enthält immer noch $U$ und $W$ und ist zudem ein Untervektorraum, da der Schnitt von beliebig vielen Untervektorräumen wieder ein Untervektorraum ist. Intuitiv sollte es keinen kleineren Untervektorraum mit dieser Eigenschaft geben. Also erhalten wir auch so den kleinsten Untervektorraum, der sowohl $U$ als auch $W$ enthält. Nach diesen Überlegungen sollte also gelten, dass $U+W$ gleich dem Schnitt über allen Untervektorräumen ist, die $U$ und $W$ enthalten. Das wollen wir jetzt beweisen:

Satz (Definition der Summe über den Schnitt von Untervektorräumen)

Sei $V$ ein Vektorraum und $U$ und $W$ Untervektorräume von $V$. Für $S:=\bigcap _{U\cup W\subseteq Z \atop Z{\text{ Untervektorraum}}}Z$ gilt:

$S=U+W$

Beweis (Definition der Summe über den Schnitt von Untervektorräumen)

Wir beweisen die beiden Inklusionen $S\subseteq U+W$ und $S\supseteq U+W$.

Beweisschritt: $\subseteq$

Es reicht zu zeigen, dass $U+W$ ein Untervektorraum ist, der $U\cup W$ enthält. Dann folgt bereits aus der Definition von $S$, dass

$S=\bigcap _{U\cup W\subseteq Z \atop Z{\text{ Untervektorraum}}}Z\subseteq U+W.$

Wir zeigen zunächst, dass $U$ in $U+W$ enthalten ist. Dass $W$ in $U+W$ enthalten ist, folgt analog. Sei also $u\in U$. Da $W$ ein Untervektorraum ist, liegt $0\in W$. Also ist $u=u+0\in U+W$.

Beweisschritt: $\supseteq$

Wir müssen zeigen: jeder Untervektorraum $Z$ von $V$, der $U$ und $W$ enthält, enthält auch $U+W$.

Sei also $Z$ solch ein Unterraum. Sei $v\in U+W$. Dann gibt es $u\in U$ und $w\in W$ mit $v=u+w$.

Insbesondere gilt $u,w\in Z$. Da $Z$ ein Untervektorraum ist, gilt $v=u+w\in Z$.

Damit haben wir gezeigt: $U+W\subseteq Z$.

Daraus erhalten wir die folgende Definition:

Definition (Definition der Summe von Untervektorräumen über den Schnitt)

Sei $V$ ein Vektorraum und $U$ und $W$ Untervektorräume von $V$. Dann ist die Summe von $U$ und $W$ gegeben als

$U+W=\bigcap _{U\cup W\subseteq Z \atop Z{\text{ Untervektorraum}}}Z.$

Über den Spann

Wir können den kleinsten Untervektorraum, der $U$ und $W$ bzw. $U\cup W$ enthält, noch auf eine weitere Weise beschreiben. Im Artikel zum Spann haben wir nämlich gesehen, dass für eine gegebene Teilmenge $M$ von $V$ der Spann von $M$ der kleinste Untervektorraum ist, der $M$ enthält. Also ist $\operatorname {span} (U\cup W)$ der kleinste Untervektorraum, der $U$ und $W$ enthält. Daraus schließen wir, dass auch dieser gleich der Summe $U+W$ sein muss.

Satz (Definition durch den Spann)

Sei $V$ ein Vektorraum und $U$ und $W$ Untervektorräume von $V$. Dann gilt:

$U+W=\operatorname {span} (U\cup W)$

Beweis (Definition durch den Spann)

Wir zeigen die beiden Inklusionen $U+W\subseteq \operatorname {span} (U\cup W)$ und $U+W\supseteq \operatorname {span} (U\cup W)$.

Beweisschritt: $\subseteq$

Sei $v\in U+W$. Dann gibt es $u\in U$ und $w\in W$ mit $v=u+w$. Weil der Spann von $U\cup W$ aus Linearkombinationen von Vektoren aus $U$ und $W$ besteht, gilt $v=u+w\in \operatorname {span} (U\cup W)$.

Beweisschritt: $\supseteq$

Wir haben gesehen, dass $\operatorname {span} (U\cup W)$, der kleinste Untervektorraum ist, der $U\cup W$ enthält. Da $U+W$ ein Untervektorraum von $V$ ist, der $U\cup W$ enthält, folgt $\operatorname {span} (U\cup W)\subseteq U+W$.

Dimensionsformel

Nachdem wir nun wissen, was die Summe von Untervektorräumen $U$ und $W$ eines Vektorraums $V$ ist, können wir uns fragen, wie groß die Summe $U+W$ ist. Die Summe von Untervektorräumen ist das Vektorraumanalogon zur Vereinigung von Mengen. Für zwei Mengen $X$ und $Y$ hat die Vereinigung $X\cup Y$ maximal $|X|+|Y|$ Elemente. Wenn $X$ und $Y$ Elemente teilen, also einen nichtleeren Schnitt haben, hat $X\cup Y$ weniger als $|X|+|Y|$ Elemente, denn wir zählen die Elemente aus $X\cap Y$ doppelt. Damit haben wir die Formel

$|X\cup Y|+|X\cap Y|=|X|+|Y|.$

Um diese Formel auf Vektorräume zu übertragen, brauchen wir den richtigen Begriff von Größe eines Vektorraums, also das Analogon für die Kardinalität einer Menge für Vektorräume. Dies ist genau die Idee der Dimension eines Vektorraums. Daher sollte, wenn eine analoge Formel für Vektorräume gilt, die folgendes stimmen:

$\dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim(U)+\dim(W).$

Wenn $\dim(U\cap W)$ endlich ist, können wir diese Formel zu einer Formel umstellen, die $\dim(U+W)$ berechnet, nämlich

$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).$

Bevor wir unsere Vermutung beweisen, werden wir sie noch an ein paar Beispielen überprüfen:

Die Geraden $U$ und $W$

Wir betrachten nochmal die zwei geraden von oben. Das heißt, wir betrachten

${\begin{aligned}U:=\left\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\mid x\in \mathbb {R} \right\}{\text{ und }}W:=\left\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\mid x\in \mathbb {R} \right\}\end{aligned}}$

Wir haben oben schon berechnet, dass $U+W=\mathbb {R} ^{2}$. Das passt zu unserer Vermutung: Der $\mathbb {R} ^{2}$ ist zweidimensional, $U$ und $W$ sind eindimensional und der Schnitt $U\cap W=\{0\}$ ist null dimensional.

Die Ebenen $U_{1}$ und $W$

Wenn wir das Beispiel mit den zwei Ebenen von oben nochmal betrachten, sehen wir folgendes: Wir haben die Ebenen

$U_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}2x\\x\\y\end{pmatrix}}\mid x,y\in \mathbb {R} \right\}{\text{ und }}W=\left\{{\begin{pmatrix}0\\2x\\-y\end{pmatrix}}\mid x,y\in \mathbb {R} \right\}$

betrachtet. Oben haben wir bereits berechnet, dass $U_{1}+W=\mathbb {R} ^{3}$ und das Bild zeigt, dass sich $U_{1}$ und $W$ in einer Gerade schneiden. Damit ist die Dimension von $U_{1}+W$ drei, die Dimension von $U_{1}$ und $W$ jeweils zwei und die Dimenstion von $U_{1}\cap W$ gerade eins. Somit stimmt unsere vermutete Dimensionsformel auch in diesem Fall.

Als letztes Beispiel wollen wir in $V=\mathbb {R} ^{3}$ die Untervektorräume $U=\mathbb {R} ^{3}$ und

$W=\left\{{\begin{pmatrix}x\\0\\x\end{pmatrix}};x\in \mathbb {R} \right\}$

betrachten. Der Untervektorraum $W$ ist eine Gerade, das heißt, wir haben $\dim(W)=1$ und wir haben $\dim(U)=\dim(\mathbb {R} ^{3}==3$. Weil $U\subseteq W$ gilt, liefert uns die Absorbtionseigenschaft der Summe, dass $U+W=U=\mathbb {R} ^{3}$ gilt. Aus dem gleichen Grund ist auch $U\cap W=W$. Somit haben wir

$\dim(U+W)=3=3+1-1=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).$

Also stimmt unsere vermutete Dimensionsformel in diesem Fall.

Satz (Dimensionsformel)

Sei $V$ ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum und seien $U$ und $W$ zwei Untervektorräume von $V$. Dann gilt

$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).$

Wie kommt man auf den Beweis? (Dimensionsformel)

Die Motivation für unsere Formel stammt aus der Welt der endlichen Mengen. Daher möchten wir den Beweis auch auf den Fall von (endlichen) Mengen zurückführen. Vektorräume besitzen endliche Mengen, die viel über ihre Struktur aussagen: Basen. Die Kardinalität einer Basis ist auch die Dimension des Vektorraums, sodass wir die Aussage auf eine Aussage über die Kardinalität von (endlichen) Basismengen zurückführen können. Dafür müssen wir Basen $B_{U},B_{W},B_{U\cap W}$ von $U$, $W$ und $U\cap W$ wählen, für die auch $B_{U}\cap B_{W}=B_{U\cap W}$ gilt. In dem Fall erhalten wir aus der Formel für Mengen, dass die Menge $B_{U}\cup B_{W}$ die gewünschte Größe hat. Dann müssen wir nur noch Beweisen, dass $B_{U}\cup B_{W}$ eine Basis von $U+W$ ist. Das machen wir, indem wir alles auf die Tatsache zurückführen, dass $B_{U}$ und $B_{W}$ schon Basen von $U$ und $W$ sind.

Um die gewünschten Basen $B_{U},B_{W}$ und $B_{U\cap W}$ zu konstruieren, nutzen wir den Basisergänzungssatz. Mit diesem können wir einen Basis von $U\cap W$ jeweils zu einer von $U$ und einer $W$ fortsetzen. Diese Basis hat dann die gewünschten Eigenschaften.

Beweis (Dimensionsformel)

Seien $n=\dim(U),m=\dim(W)$ und $k=\dim(U\cap W)$. Dann gibt es eine Basis $\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}$ von $U\cap W$. Diese können wir sowohl zu einer Basis $B_{U}:=\{v_{1},\ldots ,v_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{n}\}$ von $U$, als auch zu einer Basis $B_{W}:=\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{k+1},\ldots ,w_{m}\}$ von $W$ erweitern.

Wir zeigen nun, dass $B:=\{v_{1},\ldots ,v_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{n},w_{k+1},\ldots ,w_{m}\}$ eine Basis von $U+W$ ist.

Beweisschritt: $B$ ist ein Erzeugendensystem

Da nach dem vorherigen Satz $U+W=\operatorname {span} (U\cup W)=\operatorname {span} (B_{U}\cup B_{W})=\operatorname {span} (B)$ gilt, ist $B$ ein Erzeugendensystem von $U+W$.

Beweisschritt: $B$ ist linear unabhängig

Seien $\alpha _{i},\beta _{j},\gamma _{l}\in K$ mit $i\in \{1,\ldots k\},j\in \{k+1,\ldots ,n\}$ und $l\in \{k+1,\ldots ,m\}$ mit

$\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{j=k+1}^{n}\beta _{j}u_{j}+\sum _{l=k+1}^{m}\gamma _{l}w_{l}=0.$

Wir können umstellen zu

$\underbrace {\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{j=k+1}^{n}\beta _{j}u_{j}} _{\in U}=\underbrace {-\sum _{l=k+1}^{m}\gamma _{l}w_{l}} _{\in W}\in U\cap W.$

Da $\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}$ eine Basis von $U\cap W$ ist, können wir obiges Element als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben:

$\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{j=k+1}^{n}\beta _{j}u_{j}=\sum _{i=1}^{k}\alpha '_{i}v_{i}$

Diesen Ausdruck stellen wir wieder um und erhalten:

$\sum _{i=1}^{k}(\alpha _{i}-\alpha ')_{i}v_{i}+\sum _{j=k+1}^{n}\beta _{j}u_{j}=0$

Da $B_{U}=\{v_{1},\ldots ,v_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{n}\}$ eine Basis von $U$ ist, folgt dass $\beta _{j}=0$ für alle $j=k+1,\ldots ,n$ und $\alpha _{i}-\alpha '_{i}=0$ für alle $i=1,\ldots ,k$ gilt.

Setzen wir $\beta _{j}=0$ in unsere erste Gleichung ein, erhalten wir

$\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{l=k+1}^{m}\gamma _{l}w_{l}=0.$

Das ist jetzt eine Linearkombination der Basisvektoren aus $B_{W}$, also folgt dass auch $\alpha _{i}=0$ für alle $i=1,\ldots ,k$ und $\gamma _{l}=0$ für alle $l=k+1,\ldots ,m$ gilt. Also ist $B$ linear unabhängig.

Da $B$ eine Basis von $U+W$ ist, gilt

$\dim(U+W)=|B|=k+(n-k)+(m-k)=n+m-k=|B_{U}|+|B_{W}|-|\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}|=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).$

Warnung

Die Formel aus dem letzten Satz kann man so nicht für unendlich-dimensionale Vektorräume verwenden. Der Grund hierfür ist, dass man unendlich nicht von unendlich abziehen kann. Dies lässt sich an Mengen gut veranschaulichen: Wenn wir die Mengen $U=\{0,1,2,\dots \}$ und $W=\{1,2,\dots \}$ betrachten, dann ist $U\cap W=W$ und damit erhielten wir $|U|+|W|-|U\cap W|=\infty +\infty -\infty$, was keinen Sinn ergibt. Das gleiche kann bei Vektorräumen passieren: Wir können zum Beispiel $U=k[X]$ und $W=\{f\in k[X]\mid \deg f\geq 1\}$ in $V=k[X]$ betrachten. Wieder ist $U\cap W=W$ und wir haben $\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=\infty +\infty -\infty$.

Wenn wir jedoch den Term mit dem Schnitt auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bewegen, ergibt die Formel auch für unendlich-dimensionale Vektorräume Sinn und sie gilt dort auch. Das heißt für beliebige Untervektorräume $U$ und $W$ von einen Vektorraum $V$ gilt

$\dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim(U)+\dim(W).$

Damit diese Formel auch im unendlich-Dimensionalen Sinn ergibt, müssen wir nur $\infty +\infty =\infty$ vereinbaren, was Sinn ergibt.