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Vektorraum: Innere direkte Summe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Herleitung und Definition[Bearbeiten]

Wir haben schon die Summe von zwei Untervektorräumen kennengelernt. Seien und zwei Untervektorräume, dann bildet die Summe von und wieder einen Untervektorraum . Also finden wir für jeden Vektor zwei Vektoren und , sodass gilt. Nun stellt sich die Frage: Gibt es mehrere Möglichkeiten, als solche Kombination zu schreiben?

Die Antwort ist ja, es kann mehrere Möglichkeiten geben. Als Beispiel schauen wir uns den Vektorraum an. Dieser Raum kann als die Summe der -Ebene und der -Ebene betrachtet werden. Das heißt, sei , dann gibt es tatsächlich mehrere Möglichkeiten, um als Summe von Vektoren aus der -Ebene und der -Ebene darzustellen. Für den Vektor haben wir z.B. .

Solche Darstellungen sind also im Allgemeinen nicht eindeutig. Wir wollen nun ein Kriterium für die Eindeutigkeit finden.

Angenommen wir haben zwei verschiedene Darstellungen von , d.h. und mit und (wenn eins davon gleich ist, dann auch das andere). Insbesondere wissen wir und . Stellen wir nun die Gleichung um, erhalten wir . Weil die linke Seite in und die rechte Seite in liegt, ist das ein Element in , das gleichzeitig kein Nullvektor ist. Also ist nicht nur . (Der Nullvektor liegt im Schnitt, weil und beide Untervektorräume sind.) Das heißt, wenn die Darstellung nicht eindeutig ist, dann enthält der Schnitt nicht nur den Nullvektor.

Umgekehrt gilt: Wenn der Schnitt nicht ist, haben wir keine eindeutige Darstellung. Sei also mit . Dann gibt es zwei Darstellungen von , nämlich (einerseits mit und und andererseits mit und ). Wegen sind diese Darstellungen voneinander verschieden.

Also können wir eine Äquivalenz schließen: Der Schnitt ist genau dann , wenn die Darstellung aller Vektoren in eindeutig ist.

In diesem Fall geben wir der Summe einen speziellen Namen: Wir nennen die Summe von und , im Fall , die direkte Summe von und und schreiben .

Definition (Direkte Summe)

Seien und zwei Untervektorräume eines Vektorraums . Wir nennen die Summe direkt, wenn gilt. Der Untervektorraum heißt direkte Summe von und und wir schreiben .

Beispiele[Bearbeiten]

Summe von zwei Geraden im ℝ² [Bearbeiten]

Die Geraden und

Wir betrachten die folgenden beiden Geraden im :

Also ist die -Achse und die Gerade, die durch den Ursprung und den Punkt verläuft. Die Summe ist

Frage: Wieso ist ?

Wegen der Definition können wir eine Mengenbeschreibung von berechnen:

Jeden Vektor in können wir schreiben als mit passenden . Konkret können wir für jeden Vektor Skalare und finden, so dass , nämlich und . Also gilt .

Intuitiv kann man sofort sehen, dass . Denn ist ein Untervektorraum von , der die Geraden und enthält. Die einzigen Untervektorräume von sind der Nullraum, Geraden, die durch den Ursprung verlaufen, und . Da die Geraden und nicht aufeinander fallen, sondern verschieden sind, kann keine Gerade sein. Deshalb muss gelten.

Wir wollen nun untersuchen, ob diese Summe direkt ist. Dafür müssen wir bestimmen. Ist , so wissen wir folgendes: Weil ist, ist . Und weil ist, gilt . Somit gilt und wir haben . Weil umgekehrt auch enthält, erhalten wir . Damit ist die Summe aus und direkt und wir können schreiben.

Summe von zwei Geraden im ℝ³[Bearbeiten]

Die Geraden und

Wir haben folgende Geraden im :

Dann ist eine Gerade im , die durch den Ursprung und den Punkt verläuft, und ist eine Gerade, die durch den Ursprung und verläuft. Die Summe ist eine Ebene, die von den Vektoren und aufgespannt wird, also

Frage: Wieso ist dies die Summe?

Also ist eine Ebene, die von den Vektoren und aufgespannt wird.

Auch hier wollen wir bestimmen, ob die Summe direkt ist. Dafür betrachten wir einen Vektor . Dann gilt, weil ist, dass gilt; und weil ist, dass gilt. Somit gilt und die Summe ist direkt. Das heißt, wir dürfen schreiben.

Summe einer Gerade und einer Ebene im ℝ³[Bearbeiten]

Die Gerade und die Ebene

Wir betrachten die Untervektorräume und vom .

Der Untervektorraum ist die Gerade durch den Ursprung und den Punkt , während die y-z-Ebene darstellt. Gemeinsam spannen und den gesamten auf, d.h. .

Frage: Warum ist die Summe von und der gesamte Raum ?

Da und Untervektorräume von sind, ist auch die Summe ein Untervektorraum von . Wir müssen noch zeigen, dass in enthalten ist. Dafür beweisen wir, dass ein beliebiger Vektor in liegt. Hierfür zeigen wir, dass es ein und ein gibt mit .

Wir wählen und . Dann gilt . Außerdem gilt und .

Daher ist der gesamte in enthalten. Somit ist .

Nun stellt sich die Frage, ob die Summe eine direkte Summe ist. Um dies zu prüfen, müssen wir den Schnitt analysieren. Wenn nur den Nullvektor enthält, ist die Summe direkt.

Sei ein Vektor in . Da , muss gelten . Folglich können wir als schreiben. Weiterhin muss sein, was bedeutet, dass gelten muss. Somit haben wir gezeigt, dass ist.

Daraus folgt, dass ist. Da der Schnitt nur den Nullvektor enthält, ist die Summe direkt. Daher können wir schließen, dass .

Summe von geraden und ungeraden Polynomen[Bearbeiten]

Wir betrachten nun ein Beispiel einer direkten Summe im Vektorraum der reellen Polynome . Dabei betrachten wir die Untervektorräume und vom Polynomraum. Der Untervektorraum besteht aus allen ungeraden Polynome über , während der Untervektorraum der geraden Polynome über ist. In Formeln ist das

Die ungeraden Polynome enthalten nur Monome mit ungeraden Exponenten, während die geraden Polynome nur Monome mit geraden Exponenten enthalten. Zum Beispiel ist ein gerades Polynom, während weder gerade noch ungerade ist. Wir zeigen nun, dass die geraden und ungeraden Polynome gemeinsam den gesamten Polynomraum erzeugen. In Formeln ausgedrückt: .

Um das zu zeigen, müssen wir beweisen, dass jedes Polynom in als Summe eines ungeraden und eines geraden Polynoms geschrieben werden kann. Dafür betrachten wir ein beliebiges Polynom aus . Wir müssen als Summe eines geraden und eines ungeraden Polynoms schreiben.

Daher ist in der Summe enthalten.

Nun wollen wir überprüfen, ob die Summe eine direkte Summe bildet. Dafür müssen wir überprüfen, ob der Schnitt der beiden Untervektorräume nur den Nullvektor, also das Nullpolynom, enthält. Sei ist ein Polynom im Schnitt . Dann liegt sowohl in , als auch in . Wir können als schreiben. Da in liegt, besteht nur aus ungeraden Monomen. Deshalb müssen die Vorfaktoren der geraden Monome gleich sein. Also für alle geraden . Da in liegt, besteht nur aus geraden Monomen. Also sind für alle ungeraden . Dies bedeutet, dass alle Koeffizienten gleich null sind und daher das Nullpolynom ist. Somit ist , und die Summe von und ist direkt.

Wir haben gesehen, dass . In anderen Worten, der Polynomraum lässt sich als direkte Summe der Untervektorräume und schreiben, wobei der Untervektorraum der ungeraden Polynome und der Untervektorraum der geraden Polynome ist.

Gegenbeispiele[Bearbeiten]

Zwei Ebenen im ℝ³[Bearbeiten]

Die Ebenen und

Wir betrachten die folgenden zwei Ebenen:

Die beiden Ebenen spannen gemeinsam den ganzen auf. Die Summe ist jedoch nicht direkt, da der Schnitt eine Gerade ist und dadurch nicht nur den Nullvektor enthält. Also gilt .

Wir möchten dies rechnerisch überprüfen. Dafür suchen wir einen Vektor im Schnitt von und , der nicht null ist. Wir betrachten einen Vektor , der im Schnitt liegt. Weil dieser Vektor in liegt, gibt es gibt, sodass . Außerdem muss es geben, sodass , da .

Wir suchen nun passende Werte für , um beide Bedingungen zu erfüllen. Aus und , ergibt sich . Wegen folgt auch . Weiterhin ergibt sich aus . Schließlich ergibt sich .

Eine mögliche Lösung ist , und . Somit liegt der Vektor im Schnitt von und . Deshalb gilt .

Verschiedene Polynome im Polynomraum[Bearbeiten]

Sei ein Körper. Wir betrachten zwei Untervektorräume im Polynomraum : Sei der Untervektorraum der Polynome von Grad höchstens zwei und sei

der Untervektorraum der Polynome deren Summe der Koeffizienten ist. Wir wollen untersuchen, ob die Summe direkt ist. Dafür müssen wir entscheiden, ob gilt.

Ein Element ist ein Polynom , das maximal Grad hat und für das gilt. Weil das Polynom Grad zwei hat, gilt . Daher erhalten wir . Das heißt, besteht aus allen Polynomen , für die gilt. Damit können wir ein nicht-null Element von finden, wenn wir die Gleichung

mit nichttrivialen lösen können. Eine Möglichkeit dafür ist , das heißt . Damit ist der Schnitt von und nicht Null und die Summe somit nicht direkt.

Eindeutige Zerlegung von Vektoren[Bearbeiten]

Bereits in der Herleitung haben wir uns überlegt, dass bei der direkten Summe die Zerlegung von Vektoren eindeutig ist. Das beweisen wir hier noch einmal konkret.

Satz (Äquivalente Charakterisierungen der direkten Summe)

Seien Unterräume von . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Die Summe von und ist direkt (d.h. ).
  2. und haben trivialen Schnitt (d.h. ist der triviale Untervektorraum).
  3. Die Darstellung aller Elemente von ist eindeutig (d.h. wenn mit und , dann gilt bereits und ).
  4. Die Darstellung der Null ist eindeutig (d.h. wenn mit und , dann gilt bereits ).

Beweis (Äquivalente Charakterisierungen der direkten Summe)

Die Definition der inneren direkten Summe ist gerade . Wir zeigen nun die Implikationen . Dann folgt die Behauptung durch einen Ringschluss.

Beweisschritt:

Sei . Wir müssen zeigen, dass sich auf eindeutige Weise als Summe von Elementen von und schreiben lässt.

Seien dazu und mit der Eigenschaft, dass . Wir haben also zwei Darstellungen von und müssen zeigen, dass sie gleich sind. "Gleich" bedeutet dabei, dass und .

Wegen gilt . Dieses Element liegt in (wegen der Darstellung links von "") und in (wegen der Darstellung rechts von ""). Also liegt es im Schnitt . Nach Voraussetzung ist . Damit folgt . Also gilt und . Das ist genau, was wir zeigen wollten.

Beweisschritt:

Sei und mit . Dies ist eine Darstellung von .

Andererseits ist auch eine Darstellung von .

Da Darstellungen nach Voraussetzung eindeutig sind, folgt und .

Beweisschritt:

Sei . Dann ist natürlich auch und . Da ein Untervektorraum ist, muss für jedes Element auch sein inverses Element bezüglich der Addition sein. Deshalb ist .

Damit erhalten wir . Aus der Eindeutigkeit der Darstellung der Null folgt damit . Also ist der Schnitt trivial, d.h. .

Innere direkte Summe und disjunkte Vereinigung von Mengen[Bearbeiten]

Wir können uns die Summe von zwei Untervektorräumen als strukturerhaltende Vereinigung vorstellen: Das Bilden der Summe ist „strukturerhaltend“, weil das Ergebnis wieder ein Untervektorraum ist. Also bleibt die Vektorraumstruktur beim Summe Bilden erhalten. Wir können uns die Konstruktion als Vereinigung vorstellen, weil die Summe beide Untervektorräume enthält. Die Untervektorräume und sind Teilmengen der Summe . Die Summe ist der kleinste Untervektorraum, der die beiden Untervektorräume und enthält. So wie man bei Mengen Vereinigungen bilden kann, so funktionieren auch die Summen von Untervektorräumen.

Die direkte Summe ist ein Spezialfall der Summe von Untervektorräumen. Damit ist jede direkte Summe auch eine strukturerhaltende Vereinigung. „Direkt zu sein“ ist eine Eigenschaft einer Summe von Untervektorräumen. Wir wollen nun sehen, ob es eine Eigenschaft der Vereinigung von Mengen gibt, die dem Direktsein einer Summe entspricht.

Direkte Summen sind dadurch charakterisiert, dass die Zerlegung der Vektoren in der Summe eindeutig ist. Haben wir einen Vektor mit , wobei und , dann sind die Vektoren und eindeutig. Bei einer Vereinigung von Mengen und liegt jedes Element in oder in . Das Element kann auch in beiden liegen, das heißt, wir wissen im Allgemeinen nicht eindeutig, wo sie liegen. Wir können genau dann nicht eindeutig zuordnen, wenn , also im Schnitt, liegt. Damit ist die Zuordnung von Elementen genau dann eindeutig, wenn leer ist. Tatsächlich entspricht dieses Kriterium genau dem Kriterium, damit eine Summe direkt ist: Wir wollen, dass , was der kleinstmögliche Vektorraum ist, der Schnitt enthält also nichts aus und mehr (außer der Null, die er als Vektrorraum sowieso enthalten muss). Das ist genau die Definition einer disjunkten Vereinigung. Das heißt, die direkte Summe von Untervektorräumen entspricht intuitiv der disjunkten Vereinigung von Mengen.

Basis und Dimension[Bearbeiten]

Wir haben gesehen, dass die direkte Summe ein Spezialfall der Summe von Untervektorräumen ist. Also können wir alles, was wir über die Summe wissen, auf die direkte Summe übertragen. Wir haben schon gesehen, dass die Vereinigung von Basen von und ein Erzeugendensystem von ist. Das bedeutet, wenn eine Basis von und eine Basis von ist, dann ist ein Erzeugendensystem von . Wenn und endlich dimensional sind, gilt die Dimensionsformel

Damit wissen wir noch mehr, wenn die Summe direkt ist, also wenn gilt: Dann ist . Da ist, gilt im endlich dimensionalen Fall

Also ist die Dimension der Summe die Summe der Dimensionen und . Wenn nun eine Basis von und eine Basis von ist, dann können wir folgern

Weil gilt, ist die Vereinigung der Basen von und disjunkt, d.h. . Deshalb gilt . Weil ein Erzeugendensystem von ist und ist, muss auch eine Basis der Summe sein.

Wir haben damit gesehen, dass im Endlichdimensionalen die Vereinigung der Basen von und eine Basis von ist. Das gilt auch allgemein:

Satz (Basis der direkten Summe)

Seien und zwei Untervektorräume eines -Vektorraums . Angenommen, die Summe von und ist direkt; d.h. wir können schreiben. Sei eine Basis von und eine Basis von . Dann ist die Vereinigung von und disjunkt und ist eine Basis von .

Beweis (Basis der direkten Summe)

Wir haben schon gesehen, dass ein Erzeugendensystem von ist. Wir müssen also nur noch zeigen, dass die Vereinigung disjunkt und linear unabhängig ist.

Beweisschritt:

Angenommen, es gibt . Dann gilt , also ist . Das ist aber ein Widerspruch zu und , da eine Basis nicht den Nullvektor enthalten kann. Also kann es kein geben, d.h. .

Beweisschritt: ist linear unabhängig

Sei

für beliebige , und paarweise verschieden, sowie . Wir müssen zeigen, dass alle und gleich sind. Das entspricht genau der Definition der linearen Unabhängigkeit von .

Aus

folgt

Dieser Term ist sowohl in (als Linearkombination von Elementen in ) als auch in (als Linearkombination von Elementen in ). Da eine direkte Summe ist, folgt

Aus der linearen Unabhängigkeit von folgt für alle und aus der linearen Unabhängigkeit von folgt für alle .

Wir können nun auch aus dem Satz folgern, dass

gilt.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe

Sei und sei . Betrachte die beiden Unterräume und . Zeige, dass gilt und bestimme und , sodass gilt.

Lösung

Um zu zeigen, müssen wir zwei Dinge beweisen: Erstens, dass die Summe von und direkt ist, d.h. . Zweitens müssen wir zeigen, dass die Summe von und ganz ergibt, d.h. .

Beweisschritt:

Weil und als Unterräume den Nullvektor enthalten, ist klar. Für den Beweis der umgekehrten Inklusion sei beliebig. Dann gilt

für gewisse . Aus der ersten Zeile der Vektoren folgt . Also ist und damit .

Beweisschritt:

Es gilt . Die beiden Vektoren, die aufspannen, sind offenbar linear unabhängig, also ist . Außerdem gilt und . Mit der Dimensionsformel für Unterräume folgt

Also sind die Dimensionen der Unterräume gleich und aus folgt .

Alternativ könnte man die Gleichheit beweisen, indem man zeigt, dass sich jedes als Summe von einem und einem schreiben lässt.

Wir wollen also Summe von einem Vektor in und einem Vektor in schreiben. Wir suchen also mit

Das können wir als lineares Gleichungssystem schreiben:

Aus der ersten Zeile folgt . Einsetzen in die zweite Zeile ergibt . Einsetzen in die dritte Zeile ergibt . Also gilt mit

Für die folgenden beiden Aufgaben solltest du wissen, was eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe (Selbstinverse lineare Abbildungen und Unterräume)

Sei ein -Vektorraum und eine lineare Abbildung.

  1. Zeige, dass die Teilmengen und Unterräume von sind.
  2. Es gelte zusätzlich , wobei die Identität auf bezeichnet. (Eine lineare Abbildung mit dieser Eigenschaft heißt selbstinvers.) Zeige, dass dann für die beiden Unterräume aus dem ersten Teil der Aufgabe gilt.

Lösung (Selbstinverse lineare Abbildungen und Unterräume)

Lösung Teilaufgabe 1:

Wir nutzen das Untervektorraumkriterium und zeigen, dass und nichtleere Teilmengen von sind, die abgeschlossen unter der Bildung von Linearkombinationen sind. Wir führen den Beweis nur für . Der Beweis für geht genauso, man muss nur alle Gleichungen der Form "" durch "" ersetzen.

Beweisschritt:

Das gilt per Definition von .

Beweisschritt: ist nichtleer.

Wegen gilt . Also ist nichtleer.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Bildung von Linearkombinationen.

Seien und beliebig. Dann gilt

also liegt die Linearkombination ebenfalls in .

Lösung Teilaufgabe 2:

Um zu zeigen, müssen wir zwei Dinge beweisen: Erstens, dass die Summe von und direkt ist, d.h. . Zweitens müssen wir zeigen, dass die Summe von und ganz ergibt, d.h. dass sich jeder Vektor als Summe eines Vektors und eines Vektors schreiben lässt.

Beweisschritt:

Weil und als Unterräume den Nullvektor enthalten, ist klar. Für den Beweis der umgekehrten Inklusion sei beliebig. Dann gilt

also , also . Weil beliebig war, ist damit gezeigt.

Beweisschritt:

Weil und als Unterräume Teilmengen von sind, ist klar. Für die umgekehrte Inklusion sei beliebig. Dann gilt

Weil ist, folgt aus der Linearität von

Also ist . Genauso zeigt man : Es ist

Also ist eine Summe eines Vektors aus und eines Vektors aus . Da beliebig war, ist damit gezeigt.

Für diese Aufgabe brauchst du zusätzlich die Begriffe Kern und Bild einer linearen Abbildung.

Aufgabe (Idempotente Abbildungen)

Sei eine lineare Abbildung mit . (Eine lineare Abbildung mit dieser Eigenschaft heißt idempotent oder Projektion.) Zeige: .

Lösung (Idempotente Abbildungen)

Wir zeigen, dass und gilt. Nach der Definition der direkten Summe ist die Summe somit direkt.

Beweisschritt:

Da sowohl der Kern als auch das Bild von Untervektorräume von sind, gilt . Wir zeigen nun die umgekehrte Inklusion .

Sei beliebig. Wegen der Voraussetzung gilt , oder in anderen Worten . Wegen der Linearität von folgt . Also liegt das Element im Kern von . Außerdem liegt das Element per Definition im Bild von . Somit ist

die Summe eines Elementes aus und eines Elementes aus . Also liegt in . Weil beliebig war, haben wir gezeigt.

Beweisschritt:

Weil und als Unterräume den Nullvektor enthalten, ist klar. Für den Beweis der umgekehrten Inklusion sei beliebig. Dann ist ein Element des Kerns von und es gilt . Weil außerdem im Bild von liegt, existiert ein , sodass ist. Weil gilt, folgt

Weil beliebig war, haben wir damit gezeigt.

Im können wir die Aussage aus der vorherigen Aufgabe gut veranschaulichen:

Beispiel (Projektion im )

Sei mit . Dann ist linear. Außerdem gilt : Für jeden Vektor gilt

Die Abbildung ist also eine Projektion. Anschaulich projiziert Vektoren im entlang der -Achse auf die erste Winkelhalbierende . Insbesondere gilt . Außerdem bildet die -Achse auf den Nullvektor ab, d.h. . Wir sehen, dass tatsächlich gilt wie in der Aufgabe gezeigt.

To-Do:

Bild einfügen, wo gezeigt ist, was macht und für einen Beispielvektor die Aufteilung in f(v) und v-f(v) eintragen