Lineare Abbildung und darstellende Matrix – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung

• Sei $K$ ein Körper. Wir betrachten eine lineare Abbildung $f\colon K^{n}\to K^{m}$.
• Wie können wir diese effizient beschreiben?
• Aus dem Artikel Raum der linearen Abbildungen, wissen wir schon, dass wir $n\cdot m$ Informationen aus $K$ brauchen, um diese Abbildung zu beschreiben.
• Wenn $n$ und $m$ groß werden, werden das ziemlich schnell viele Informationen.
• Wir brauchen einen Weg diese Informationen sinnvoll zu notieren.
• Dazu: Untersuchen den Weg wie alle diese Daten angegeben werden.
• Sei $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ die Standardbasis des $K^{n}$. Dann wissen wir durch das Prinzip der linearen Fortsetzung schon, dass $f$ schon komplett durch die Vektoren $\{f(e_{1}),\dots ,f(e_{n})\}$ bestimmt.
• Das heißt wir haben folgende Daten:

$f(e_{1})={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},\dots ,f(e_{n})={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$

• Das ist schon einmal eine erste Übersicht über die Daten der Abbildung.
• Wenn wir das so schreiben, ist dort ein ziemlicher Notation-Overhead
• Wir können den Reduzieren: An der $i$-ten Position steht das Bild des $i$-ten Basisvektors. Das heißt wir können uns die „$f(e_{i})=$“ sparen.

${\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$

• Das sieht jetzt fast wie eine Tabelle an Werten aus, in der das Bild des $i$-ten Basiswektors in der $i$-ten Spalte steht.
• Wir können somit noch mehr Notation-Overhead reduzieren und erhalten eine Tabelle mit $m\times n$ Werten:

${\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}$

• Diese Tabelle nennen wir eine Matrix. Diese Matrix ist sozusagen die zu $f$ zugeordnete Matrix.

Definiton

Definition (Matrix)

Sei $K$ ein Körper und $n,m\in \mathbb {N}$. Seien $a_{ij}\in K$ für alle $1\leq i\leq m$ und $1\leq j\leq n$. Dann nennen wir

$A:={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$

eine $m\times n$ Matrix. Die Menge aller $m\times n$ Matrizen nennen wir $K^{m\times n}$.

Beispiel (Lineare Abbildung von \R^3 nach \R^2)

To-Do:

Diesen Abschnitt zu einem richtigen Beispiel umformulieren, Funktionsvorschrift und Darstellungsmatrix nebeneinander zeigen

$L:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2};L{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}v_{2}-v_{3}\\3v_{1}+5v_{3}\end{pmatrix}}$

Aufgabe zur Linearität dieser Abbildung

Im Kapitel Prinzip der linearen Fortsetzung haben wir festgestellt, dass die lineare Abbildung $L$ eindeutig durch die Zuordnung der Basiselemente des Urbildraums definiert ist. Wir können $L$ also auch angeben, indem wir in einer Tabelle zu jedem Vektor $v$ einer Basis jeweils $L(v)$ dazuschreiben. Wir betrachten die kanonische Basis $E=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$, das heißt $e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$. Es gilt für die Basisvektoren

${\begin{aligned}&L(e_{1})=L{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}\\[0.3em]&\,L(e_{2})=L{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\[0.3em]&\,L(e_{3})=L{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Dann können wir für die Abbildung

$L:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2};L{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}v_{2}-v_{3}\\3v_{1}+5v_{3}\end{pmatrix}}$

die folgende Tabelle aufstellen:

{| class="wikitable"
|-
!<math>  v</math>!!<math> e_1</math>!!<math> e_2</math>!!<math> e_3</math>
|-
|<math>L( v)</math>||<math>\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}</math>||<math>\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}</math>||<math>\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}</math>
|}

Aus der Tabelle lassen sich alle Informationen zu

$L:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2};L(v)=L{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}v_{2}-v_{3}\\3v_{1}+5v_{3}\end{pmatrix}}$

ablesen.

Wenn wir vereinbaren, dass wir mit der kanonischen Basis $E$ arbeiten, erhalten wir über die einfachere Tabelle (Matrix genannt)

${\begin{pmatrix}0&1&-1\\3&0&5\end{pmatrix}}$

bereits alle Informationen über $L$. Damit stellt die Matrix die lineare Abbildung $L$ dar.

Beispiel (Einbettung $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$)

TODO

Beispiel (Spiegelung in $\mathbb {R} ^{2}$ entlang einer Achse)

Spiegelung in $\mathbb {R} ^{2}$ entlang der x-Achse

Eine Matrix auf einen Vektor anwenden

Herleitung

Eben hast du gesehen, wie man alle Informationen über eine lineare Abbildung in einer Matrix darstellen kann. Wenn wir nun zu einer linearen Abbildung nicht ihre Abbildungsvorschrift, sondern nur ihre Matrix bzgl. einer bestimmten Basis gegeben haben, wissen wir aber noch nicht, wie wir das Bild eines Vektors unter dieser Abbildung berechnen können. Damit werden wir uns jetzt beschäftigen.

Wir rechnen dies am Beispiel einer beliebigen linearen Abbildung $L:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ einmal durch. Es sei

$L{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ und $L{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}$

Bezüglich der Standardbasis $E$ des $\mathbb {R} ^{2}$ hat dann $L$ die Matrix ${\mathcal {M}}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$.

Nun möchten wir das Bild eines Vektors $(x,y)^{T}$ unter der Abbildung $L$ berechnen. Wie könnten wir dabei vorgehen, wenn wir das Bild später nur mit Hilfe der Matrix ${\mathcal {M}}$ ausdrücken wollen?

In ${\mathcal {M}}$ werden alle Informationen bezüglich der Standardbasis dargestellt, deshalb versuchen wir, auch $(x,y)^{T}$ bezüglich der Standardbasis darzustellen und in dieser Darstellung in $L$ einzusetzen. Dann können wir weiter darauflosrechnen.

${\begin{aligned}L{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=&L\left(x{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\\=&x\cdot L{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+y\cdot L{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\=&x{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}\\=&{\begin{pmatrix}xa\\xb\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}yc\\yd\end{pmatrix}}\\=&{\begin{pmatrix}ax+cy\\bx+dy\end{pmatrix}}=:{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Das Produkt von ${\mathcal {M}}$ mit $(x,y)^{T}$ setzen wir einfach als den Ergebnisvektor unserer Rechnung.

Aufgabe

Sei $f\colon K^{n}\to K^{m}$ eine lineare Abbildung und $M$ die zugehörige Matrix. Finde eine Formel, um mithilfe von $M$ zu einem Vektor $v\in K^{n}$ den Wert $f(v)$ zu berechnen.

Lösung

Muss noch geschrieben werden.

Definition

Definition (Matrix-Vektor-Multiplikation)

Sei $K$ ein Körper, $A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ und $x\in K^{n}$. Dann definieren wir

$A\cdot x={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\end{pmatrix}}=\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)_{i}$

Aus einem andere Blickwinkel bedeutet das: betrachtet man die Matrix $A$ als Sammlung von Spaltenvektoren, $A={\begin{pmatrix}|&&|\\a_{1}&\cdots &a_{n}\\|&&|\end{pmatrix}}$, so ist das Produkt $A\cdot x$ eine Linearkombination der Spalten von $A$ mit den Koeffizienten in $x$: $A\cdot x=x_{1}a_{1}+\cdots x_{n}a_{n}$.

Wie kannst du dir am Besten merken, wie das Anwenden einer Abbildungsmatrix auf einen Vektor funktioniert?

Um eine Abbildungsmatrix auf einen Vektor anzuwenden, rechnest du "Zeile mal Spalte".

Dabei hilft dir die Regel "Zeile mal Spalte", also der erste Eintrag des Ergebnisses ist die erste Zeile der Matrix mal dem Spaltenvektor, der zweite Eintrag ist die zweite Zeile der Matrix mal dem Spaltenvektor (usw. bei größeren Matrizen). Bei jedem Produkt "Zeile mal Spalte" multiplizierst du die zusammengehörigen Einträge (erster mal erster, zweiter mal zweiter usw.) und addierst die Ergebnisse.

Dabei ist es natürlich wichtig, dass der Typ der Matrix und der Typ des Vektors zusammenpassen. Wenn du bisher alles richtig aufgestellt hast, sollte das aber immer der Fall sein, denn zu einer linearen Abbildung $L$ von $K^{n}$ nach $K^{m}$ gehört eine $m\times n$-Matrix. Diese kannst du auf Vektoren des $K^{n}$, also des Startvektorraums der Abbildung, anwenden.

Umkehrung: Die induzierte Abbildung

• Haben gesehen, dass man einige Matrizen als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung bekommen kann.
• Aber geht das für alle Matrizen? Und wie sieht dann die entsprechende Abbildung aus?
• Wenn eine Matrix $A$ von einer linearen Abbildung $f$ kommt, so wissen wir, dass wir den Wert $f(v)$ durch $Av$ berechnen können.
• Wir können also $f$ wiederbekommen, indem wir die Abbildung $v\mapsto Av$ bilden.
• Was passiert nun, wenn wir diese Vorschrift für eine beliebe Matrix verwenden?
  • ist tatsächlich eine Abbildung :) (Begründung)
  • und wird wieder linear (Beweis)

Definition (Induzierte Abbildung)

Sei $A\in K^{m\times n}$ eine Matrix über dem Körper $K$. Dann heißt die Abbildung:

$L_{A}:\,K^{n}\to K^{m},\;L_{A}(v):=Av$

die von der Matrix $A$ induzierte lineare Abbildung.

• Somit haben wir aus einer beliebigen Matrix eine lineare Abbildung generiert
• Wenn wir eine Abbildung $f$ haben, bekommen wir eine zugehörige Matrix $M(f)$.
• Unsere Konstruktion der induzierten Abbildung, ist so gebaut, dass $f=L_{M(f)}$ gilt.
• Wir können nun die umgekehrte Frage stellen: Also, ob die Darstellungsmatrix einer induzierten Abbildung, wieder die ursprüngliche Matrix ist. ( Explizit erwähnen, dass man prüft, dass die Einträge der Matrizen gleich sind.)

Satz

Die Zuordnungen $\operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})\to K^{m\times n};f\mapsto M(f)$ und $K^{m\times n}\to \operatorname {Hom} (K^{n},K^{m});A\mapsto L_{A}$ sind zueinander inverse Bijektionen. Insbesondere ist für jede Matrix $A$ schon $M(L_{A})=A$.

Beweis

TODO

• Wir haben jetzt gesehen, dass jede Matrix von einer linearen Abbildung kommt.