Lineare Abbildung und darstellende Matrix – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Im letzten Kapitel habe ich dir erklärt, dass eine Matrix einfach ein rechteckiges (Zahlen-)Schema ist. Was aber kannst du mit so einer Matrix nützliches tun?

Wie ich dir im Kapitel Prinzip der linearen Fortsetzung erklärt habe, haben lineare Abbildungen eine sehr strukturierte Form und können mit nur wenigen Informationen eindeutig beschrieben werden. In diesem Kapitel möchte ich dir daher eine wichtige Anwendung von Matrizen zeigen, nämlich die Darstellung von linearen Abbildungen. Dabei stellen wir auch fest, wie man mit Matrizen rechnen kann.

Lineare Abbildungen in Tabellenform

Sei ${\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})^{T}\in \mathbb {R} ^{3}$.

Wir untersuchen im Folgenden die lineare Abbildung

$L:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2};L\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right):={\begin{pmatrix}v_{2}-v_{3}\\3v_{1}+5v_{3}\end{pmatrix}}$

Aufgabe (Lineare Abbildung)

Zeige, dass obige Abbildung linear ist

Wie kommt man auf den Beweis? (Lineare Abbildung)

Es ist zu zeigen, dass für ${\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})^{T}$ und ${\vec {w}}=(w_{1},w_{2},w_{3})^{T}$ gilt:

$L\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\right)=L\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right)+L\left({\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\right)$

und weiter für $\rho \in \mathbb {R}$:

$L\left(\rho \cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right)=\rho \cdot L\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right)$

Lösung (Lineare Abbildung)

Aktuelles Ziel: Additivität

${\begin{aligned}L\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\right)&=L\left({\begin{pmatrix}v_{1}+w_{1}\\v_{2}+w_{2}\\v_{3}+w_{3}\end{pmatrix}}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L\right.}\\[0.3em]&=\ \left({\begin{pmatrix}(v_{2}+w_{2})-(v_{3}+w_{3})\\3(v_{1}+w_{1})+5(v_{3}+w_{3})\end{pmatrix}}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{kommutativ, assoziativ, distributiv in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=\ \left({\begin{pmatrix}(v_{2}-v_{3})+(w_{2}-w_{3})\\(3v_{1}-5v_{3})+(3w_{1}-5w_{3})\end{pmatrix}}\right)\\[0.3em]&=\ \left({\begin{pmatrix}(v_{2}-v_{3})\\(3v_{1}-5v_{3})\end{pmatrix}}\right)+\left({\begin{pmatrix}(w_{2}-w_{3})\\(3w_{1}-5w_{3})\end{pmatrix}}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L\right.}\\[0.3em]&=\ L\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right)+L\left({\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\right)\end{aligned}}$

Aktuelles Ziel: Skalierung

${\begin{aligned}L\left(\rho \cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right)&=L\left({\begin{pmatrix}\rho v_{1}\\\rho v_{2}\\\rho v_{3}\end{pmatrix}}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L\right.}\\[0.3em]&=\ \left({\begin{pmatrix}\rho v_{2}-\rho v_{3}\\3(\rho v_{1})+5(\rho v_{3})\end{pmatrix}}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{kommutativ, assoziativ, distributiv in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=\ \left({\begin{pmatrix}\rho (v_{2}-v_{3})\\(\rho (3v_{1}+5v_{3})\end{pmatrix}}\right)\\[0.3em]&=\ \rho \cdot \left({\begin{pmatrix}(v_{2}-v_{3})\\(3v_{1}+5v_{3})\end{pmatrix}}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L\right.}\\[0.3em]&=\ \rho \cdot L\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right)\end{aligned}}$

Die Abbildungsmatrix zu einer linearen Abbildung finden

Im Kapitel Prinzip der linearen Fortsetzung haben wir festgestellt, dass die lineare Abbildung $L$ eindeutig durch die Zuordnung der Basiselemente des Urbildraums definiert ist. Wir können $L$ also auch angeben, indem wir in einer Tabelle zu jedem Vektor ${\vec {v}}$ einer Basis jeweils $L({\vec {v}})$ dazuschreiben. Wir betrachten die kanonische Basis ${\mathfrak {E}}=\{{\mathfrak {e}}_{1},{\mathfrak {e}}_{2},{\mathfrak {e}}_{3}\}$, das heißt ${\mathfrak {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\mathfrak {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\mathfrak {e}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$. Es gilt für die Basisvektoren

${\begin{aligned}&L({\mathfrak {e}}_{1})=L\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}\\[0.3em]&\,L({\mathfrak {e}}_{2})=L\left({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\[0.3em]&\,L({\mathfrak {e}}_{3})=L\left({\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Dann können wir für die Abbildung

$L:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2};L\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right):={\begin{pmatrix}v_{2}-v_{3}\\3v_{1}+5v_{3}\end{pmatrix}}$

die folgende Tabelle aufstellen:

${\vec {v}}$	${\mathfrak {e}}_{1}$	${\mathfrak {e}}_{2}$	${\mathfrak {e}}_{3}$
$L({\vec {v}})$	${\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}}$

Aus der Tabelle lassen sich alle Informationen zu

$L:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2};L({\vec {v}})=L\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right):={\begin{pmatrix}v_{2}-v_{3}\\3v_{1}+5v_{3}\end{pmatrix}}$

ablesen.

Wenn wir vereinbaren, dass wir mit der kanonischen Basis ${\mathfrak {E}}$ arbeiten, erhalten wir über die einfachere Tabelle (Matrix genannt)

${\begin{pmatrix}0&1&-1\\3&0&5\end{pmatrix}}$

bereits alle Informationen über $L$. Damit stellt die Matrix die lineare Abbildung $L$ dar.

Eine Abbildungsmatrix auf einen Vektor anwenden

Eben hast du gesehen, wie man alle Informationen über eine lineare Abbildung in einer Matrix darstellen kann. Wenn wir nun zu einer linearen Abbildung nicht ihre Abbildungsvorschrift, sondern nur ihre Matrix bzgl. einer bestimmten Basis gegeben haben, wissen wir aber noch nicht, wie wir das Bild eines Vektors unter dieser Abbildung am schnellsten berechnen können. Damit werden wir uns jetzt beschäftigen.

Wir rechnen dies am Beispiel einer beliebigen linearen Abbildung $L:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ einmal durch. Es sei

$L{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ und $L{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}$

Bezüglich der Standardbasis ${\mathfrak {E}}$ des $\mathbb {R} ^{2}$ hat dann $L$ die Matrix ${\mathcal {M}}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$.

Nun möchten wir das Bild eines Vektors $(x,y)^{T}$ unter der Abbildung $L$ berechnen. Wie könnten wir dabei vorgehen, wenn wir das Bild später nur mit Hilfe der Matrix ${\mathcal {M}}$ ausdrücken wollen?

In ${\mathcal {M}}$ werden alle Informationen bezüglich der Standardbasis dargestellt, deshalb versuchen wir, auch $(x,y)^{T}$ bezüglich der Standardbasis darzustellen und in dieser Darstellung in $L$ einzusetzen. Dann könen wir weiter darauflosrechnen.

${\begin{aligned}L{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=&L\left(x{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\\=&x\cdot L{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+y\cdot L{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\=&x{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}\\=&{\begin{pmatrix}xa\\xb\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}yc\\yd\end{pmatrix}}\\=&{\begin{pmatrix}ax+cy\\bx+dy\end{pmatrix}}=:{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Das Produkt von ${\mathcal {M}}$ mit $(x,y)^{T}$ setzen wir einfach als den Ergebnisvektor unserer Rechnung.

Wie kannst du dir am Besten merken, wie das Anwenden einer Abbildungsmatrix auf einen Vektor funktioniert?

Um eine Abbildungsmatrix auf einen Vektor anzuwenden, rechnest du "Zeile mal Spalte".

Dabei hilft dir die Regel "Zeile mal Spalte", also der erste Eintrag des Ergebnisses ist die erste Zeile der Matrix mal dem Spaltenvektor, der zweite Eintrag ist die zweite Zeile der Matrix mal dem Spaltenvektor (usw. bei größeren Matrizen). Bei jedem Produkt "Zeile mal Spalte" multiplizierst du die zusammengehörigen Einträge (erster mal erster, zweiter mal zweiter usw.) und addierst die Ergebnisse.

Dabei ist es natürlich wichtig, dass der Typ der Matrix und der Typ des Vektors zusammenpassen. Wenn du bisher alles richtig aufgestellt hast, sollte das aber immer der Fall sein, denn zu einer linearen Abbildung $L$ von $K^{n}$ nach $K^{m}$ gehört eine $m\times n$-Matrix. Diese kannst du auf Vektoren des $K^{n}$, also des Startvektorraums der Abbildung, anwenden.

Rechnen mit Abbildungen und Matrizen

Matrizen spielen eine große Rolle in der linearen Algebra, denn wie wir zeigen werden, sind Matrizen nahezu gleichbedeutend mit linearen Abbildungen. Das bedeutet: Zu jeder Abbildung $L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ finden wir auf die oben gezeigte Art und Weise zu einer bestimmten Basis eine eindeutige darstellende Matrix (oder Abbildungsmatrix) mit $n$ Spalten und $m$ Zeilen. Diese enthält alle nötigen Informationen über $L$, um daraus wieder die Abbildungsvorschrift zu gewinnen. Wie wir das präzise mathematisch beschreiben, kümmert uns in diesem Kapitel noch nicht; wir wollen erst einmal prüfen, was wir mit diesen Matrizen sinnvollerweise anstellen können.

Wir erinnern uns daran, dass die linearen Abbildungen einen Vektorraum bilden, das heißt man kann zwei Abbildungen $L_{1},L_{2}$ addieren und mit einem Skalar $\lambda$ multiplizieren. Es sollte also gleichbedeutend sein, zwei Abbildungen zu addieren oder ihre darstellenden Matrizen zu addieren. Analog sollte es gleichbedeutend sein, eine Abbildungen mit einem Skalar zu multiplizieren oder ihre darstellenden Matrix mit einem Skalar zu multiplizieren. Wir wollen dies nun an einem Beispiel herleiten.

Matrizenaddition

Seien $L_{1},L_{2}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ lineare Abbildungen, mit

${\begin{aligned}&L_{1}\left({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right):={\begin{pmatrix}2x\\y-x\end{pmatrix}}&L_{2}\left({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right):={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Aufgabe (Matrizenaddition)

Bestimme die darstellenden Matrizen ${\mathfrak {A}}_{1},\,{\mathfrak {A}}_{2}$ zur kanonischen Basis. Wie kannst du ${\mathfrak {A}}_{1}+{\mathfrak {A}}_{2}$ definieren, damit das Ergebnis der darstellenden Matrix von $L_{1}+L_{2}$ entspricht?

Die kanonische Basis entspricht in diesem Fall ${\mathfrak {E}}=\{{\mathfrak {e}}_{1},{\mathfrak {e}}_{2}\}$ mit ${\mathfrak {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\mathfrak {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

Wie kommt man auf den Beweis? (Matrizenaddition)

Schreibe die beiden Abbildungen in der gleichen Tabellenform, wie wir oben $L$ dargestellt haben!

Du kannst mit der gleichen Methode direkt die darstellende Matrix von $L_{1}+L_{2}$ finden.

Es gibt nun eine recht naheliegende Art und Weise, die Matrizenaddition zu definieren. Wenn du diese ausprobierst, solltest du auf das richtige Ergebnis kommen.

Beweis (Matrizenaddition)

Wir bestimmen zunächst ${\mathfrak {A}}_{1}$, indem wir die Tabelle aufschreiben und zur Matrix zusammenfassen. Für die Abbildung $L_{1}\left({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right):={\begin{pmatrix}2x\\y-x\end{pmatrix}}$ gilt

$L_{1}({\mathfrak {e}}_{1})={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}},L_{1}({\mathfrak {e}}_{2})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

damit erhalten wir

${\mathfrak {A}}_{1}={\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}}$

Nun machen wir das gleiche mit $L_{2}\left({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right):={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}$, um ${\mathfrak {A}}_{2}$ zu erhalten:

$L_{2}({\mathfrak {e}}_{1})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},L_{2}({\mathfrak {e}}_{2})={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

Wir fassen die Tabelle zur Matrix

${\mathfrak {A}}_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

zusammen.

Wir suchen nun die darstellende Matrix für $L_{1}+L_{2}$:

${\begin{aligned}&(L_{1}+L_{2})({\mathfrak {e}}_{1})=L_{1}({\mathfrak {e}}_{1})+L_{2}({\mathfrak {e}}_{1})={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\\[0.3em]&(L_{1}+L_{2})({\mathfrak {e}}_{2})=L_{1}({\mathfrak {e}}_{2})+L_{2}({\mathfrak {e}}_{2})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\\[0.3em]\end{aligned}}$

So ergibt sich unsere darstellende Matrix

${\mathfrak {A}}={\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}$

Wir wollen nun die Addition zweier Matrizen so definieren, dass ${\mathfrak {A}}_{1}+{\mathfrak {A}}_{2}={\mathfrak {A}}$ gilt. Wir erinnern uns dabei daran, dass wir die Vektoraddition im $\mathbb {R} ^{n}$ bereits komponentenweise definiert haben - diese Definition bietet sich also als erster Versuch an. Und tatsächlich gilt mit dieser Vorschrift

${\mathfrak {A}}_{1}+{\mathfrak {A}}_{2}={\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+0&0+1\\-1+1&1+0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}={\mathfrak {A}}$

Lösung (Matrizenaddition)

Wenn wir die Matrizenaddition als Addition der jeweiligen Komponenten definieren, kommen wir zum gewünschten Ergebnis.

Skalarmultiplikation

Sei $L_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ obige lineare Abbildung, mit

$L_{1}\left({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right):={\begin{pmatrix}2x\\y-x\end{pmatrix}}$

Aufgabe (Skalar Multiplikation mit einer Matrix)

Bestimme die darstellende Matrix ${\mathfrak {A}}_{1}$ zur kanonischen Basis für die Abbildung $L_{1}$ und die darstellende Matrix ${\mathfrak {M}}_{1}$ für die Abbildung $\beta \cdot L_{1}$. Wie kannst du die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar definieren, damit ${\mathfrak {M}}_{1}=\beta \cdot {\mathfrak {A}}_{1}$ gilt?

Lösung (Skalar Multiplikation mit einer Matrix)

Aus der vorigen Aufgabe wissen wir bereits, dass gilt:

$L_{1}\left({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}2x\\y-x\end{pmatrix}}\,\Longrightarrow \,{\mathfrak {A}}_{1}={\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}}$

Wenn wir nun $L_{1}$ skalar mit $\beta$ multiplizieren erhalten wir

${\begin{aligned}&(\beta \cdot L_{1})\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right)=\beta \cdot L_{1}\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right)=\beta \cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\beta \\-\beta \end{pmatrix}}\\&(\beta \cdot L_{1})\left({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)=\beta \cdot L_{1}\left({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)=\beta \cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\beta \end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Daher ist ${\mathfrak {M}}_{1}={\begin{pmatrix}2\beta &0\\-\beta &\beta \end{pmatrix}}$. Hier siehst du schnell, dass wir auch die Skalarmultiplikation elementweise definieren können. Es gilt

${\mathfrak {\beta }}\cdot {\mathfrak {A}}_{1}=\beta \cdot {\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\beta &0\\-\beta &\beta \end{pmatrix}}={\mathfrak {M}}_{1}$