Mach mit! - Werde Autor*in in der linearen Algebra
Für die Fertigstellung des Buchs "Lineare Algebra I" brauchen wir Deine Unterstützung. Du kannst Studierenden verständlich erklären, was der Rang einer Matrix ist oder wie man eine Determinante berechnet?
Dann melde dich unter hochschulmathematik@serlo.org!
In diesem Artikel führen wir Matrizen als eine effiziente Darstellung von linearen Abbildungen ein. Eine Matrix zu einer linearen Abbildung
ist eine Anordnung von Elementen aus
, die angibt, worauf
die Standardbasisvektoren von
abbildet.
Sei
ein Körper und
eine lineare Abbildung. Wir wollen diese auf eine effiziente Art und Weise beschreiben. Da wir aus dem Artikel Raum der linearen Abbildungen wissen, dass der Raum der linearen Abbildungen von
nach
Dimension
hat, und
ein Element dieses Raumes ist, brauchen wir
Daten, um unsere Abbildung zu beschreiben. Wir suchen einen Weg, um diese Daten sinnvoll zu notieren.
Sei
die Standardbasis des
. Dann ist
schon komplett durch die Vektoren
bestimmt: Wenn
ein beliebiger Vektor ist, so können wir ihn als Linearkombination
der Basiselemente schreiben und kennen wegen der Linearität den Wert
.
Wir brauchen also die Daten
. Diese sind Vektoren im
. Das heißt, wir haben:
für gewisse
. Das ist eine erste Übersicht über die Daten der Abbildung, jedoch keine effiziente Notation. Daher einigen wir uns darauf, dass wir immer, wenn wir eine Abbildung beschreiben wollen, an der
-ten Position das Bild des
-ten Basisvektors schreiben. So können wir die „
“ weglassen. Wir beschreiben
also durch:
Um noch mehr Platz zu sparen, können wir die Einträge dieser Vektoren auch in einer Tabelle zusammenfassen, wobei weiterhin das Bild des
-ten Basisvektors in der
-ten Spalte steht:
Diese Tabelle nennen wir eine Matrix. Sie ist die zu
zugeordnete Matrix.
Die Matrix bestimmt
komplett und sie besteht aus
Daten, was mit unseren obigen Überlegungen übereinstimmt.
Beispiel (Lineare Abbildung von
nach
)
Wir betrachten die lineare Abbildung
Dass
tatsächlich linear ist, können wir in einer Aufgabe sehen.
In der Herleitung haben wir gesehen, dass wir
durch eine Matrix beschreiben können. Diese wollen wir hier berechnen. Dazu müssen wir die Bilder der Standardbasisvektoren
berechnen. Für diese gilt
Damit beinhalten die drei Vektoren
die gesamte Information der Abbildung
.
Wenn wir diese nebeneinander in eine Matrix schreiben, erhalten wir, dass die Matrix
darstellt.
Beispiel (Spiegelung in
entlang einer Achse)
Untersuchen wir noch die Spiegelung des
entlang der x-Achse. Wenn wir einen Vektor
entlang der x-Achse spiegeln, halten wir seine x-Komponente fest und ändern das Vorzeichen seiner y-Komponente. Die Spiegelung ist damit durch
gegeben.
Der erste Basisvektor liegt auf der x-Achse und wird somit von der Abbildung nicht beeinflusst. Formal:
Der zweite Basisvektor steht senkrecht auf der x-Achse und wird daher auf sein Negatives abgebildet. Formal:
Als zu dieser Spiegelung zugehörige Matrix erhalten wir damit:
Eine Matrix auf einen Vektor anwenden [Bearbeiten]
Eben haben wir gesehen, wie wir alle Informationen über eine lineare Abbildung in einer Matrix darstellen können. Wenn wir nun zu einer linearen Abbildung nicht ihre Abbildungsvorschrift, sondern nur ihre zugehörige Matrix kennen, wissen wir noch nicht, wie wir das Bild eines beliebigen Vektors unter dieser Abbildung berechnen können. Damit werden wir uns jetzt beschäftigen.
Zunächst betrachten wir der Einfachheit halber eine beliebige lineare Abbildung des
. Sei also
eine lineare Abbildung und sei
die zu
gehörende Matrix. Das heißt, es gilt

und
Wir möchten das Bild eines beliebigen Vektors
unter der Abbildung
berechnen. Wie könnten wir dabei vorgehen, wenn wir das Bild später nur mit Hilfe der Matrix
ausdrücken wollen?
Wir stellen unseren Vektor als Linearkombination der Standardbasisvektoren dar, das heißt
Jetzt können wir die Linearität von
ausnutzen und berechnen:
Durch diese Berechnung können wir den Effekt der Abbildung
auf einen Vektor allein mit Hilfe der Matrix
beschreiben. Diese Berechnung funktioniert für jeden Vektor und jede
-Matrix. Um die Notation zu vereinfachen, wollen wir aus dieser Berechnung eine Operation von Matrizen und Vektoren definieren:
Wir nennen sie die Matrix-Vektor-Multiplikation und schreiben sie als ein Produkt.
Den allgemeinen Fall formulieren wir als Aufgabe:
Lösung
Wir schreiben
als Linearkombination der Standardbasisvektoren: Seien
, sodass
gilt.
Dass
die zu
zugehörige Matrix ist, bedeutet, dass
für alle
erfüllt ist. Somit folgt für
, dass
Wenn wir die Summennotation verwenden, können wir das Ergebnis als
schreiben.
Die Lösung der Aufgabe liefert uns eine Formel, um den Wert eines Vektors unter einer Abbildung mit Hilfe der zugehörigen Matrix zu berechnen. Wir definieren nun, den Wert
als die in der Lösung berechnete Formel.
Aus einem anderen Blickwinkel bedeutet das: Betrachtet wir die Matrix
als Sammlung von Spaltenvektoren
so ist das Produkt
eine Linearkombination der Spalten von
mit den Koeffizienten in
:
.
Wie kannst du dir am besten merken, wie das Anwenden einer Abbildungsmatrix auf einen Vektor funktioniert?[Bearbeiten]
Um eine Abbildungsmatrix auf einen Vektor anzuwenden, rechnest du „Zeile mal Spalte“.
Dabei hilft dir die Regel „Zeile mal Spalte“: Der erste Eintrag des Ergebnisses ist die erste Zeile der Matrix mal dem Spaltenvektor, der zweite Eintrag ist die zweite Zeile der Matrix mal dem Spaltenvektor, usw. bei größeren Matrizen. Bei jedem Produkt „Zeile mal Spalte“ multiplizierst du die zusammengehörigen Einträge (erster mal erster, zweiter mal zweiter usw.) und addierst die Ergebnisse.
Dabei ist es wichtig, dass der Typ der Matrix und der Typ des Vektors zusammenpassen. Wenn du bisher alles richtig aufgestellt hast, sollte das aber immer der Fall sein, denn zu einer linearen Abbildung
gehört eine
-Matrix. Diese kannst du auf Vektoren des
, des Startvektorraums der Abbildung, anwenden.
Umkehrung: Die induzierte Abbildung[Bearbeiten]
Wir haben gesehen, dass jede lineare Abbildung eine zugehörige Matrix besitzt. Gegeben eine lineare Abbildung
, haben wir eine Matrix
konstruiert, sodass
. Das heißt, einige Matrizen definieren eine lineare Abbildung. Aber tun das alle Matrizen? Und wie sieht dann die entsprechende Abbildung aus?
Wenn eine Matrix
von einer linearen Abbildung
kommt, so können wir
aus
wiederbekommen, indem wir die Abbildung
bilden. Diese Vorschrift können wir aber auch für eine beliebige Matrix definieren, unabhängig davon, ob sie von einer linearen Abbildung kommt.
Sei also
eine
Matrix. Wir betrachten
. Wir rechnen nach, dass diese Abbildung linear ist:
Das heißt, jede Matrix definiert eine lineare Abbildung.
Definition (Induzierte Abbildung)
Sei
eine Matrix über dem Körper
. Dann heißt die Abbildung:
die von der Matrix
induzierte lineare Abbildung.
Somit wissen wir jetzt, dass es sowohl für eine lineare Abbildung eine zugehörige Matrix gibt, als auch für eine Matrix eine zugehörige lineare Abbildung. Für eine Abbildung
, nennen wir die zugehörige Matrix
. Unsere Konstruktion der induzierten Abbildung, ist so gebaut, dass
gilt. Das bedeutet, dass die induzierte Abbildung der zu der Abbildung
zugehörigen Matrix, die Abbildung
selbst ist. Wir können noch die umgekehrte Frage stellen: Also, ob die zugehörige Matrix einer induzierten Abbildung, wieder die ursprüngliche Matrix ist, d.h. ob jede Matrix
genau die gleichen Einträge hat wie die Matrix
. Der folgende Satz bejaht diese Frage:
Beweis
Um zu zeigen, dass die beiden Abbildungen zueinander inverse Bijektionen sind, genügt es zu zeigen, dass die Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen (in jeglicher Reihenfolge) die Identität liefert. Das heißt, es genügt zu zeigen, dass einerseits
und andererseits
gilt. Dass die erste Gleichung gilt, wissen wir schon. Es bleibt also nur, die Zweite zu zeigen.
Sei
eine beliebige
Matrix. Sei
der Eintrag in der
-ten Zeile und
-ten Spalte von
und sei
der entsprechende Eintrag der Matrix
.
Per Definition von
gilt
Somit ist der
-te Eintrag des Vektors
gleich
, das heißt
Per Definition der zu
zugehörigen Matrix
ist die
-te Spalte von
gleich dem Bild von
unter
. Das heißt, es gilt
Insbesondere folgt für den
-ten Eintrag von
dass
Insgesamt erhalten wir
Da
und
beliebig gewählt waren, sind alle Einträge der beiden Matrizen gleich und es gilt
Wir haben jetzt gesehen, dass jede Matrix von einer linearen Abbildung kommt.