Aufgaben zu Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Grundlagen[Bearbeiten]

Aufgabe

Bestimme die -Matrix , deren Einträge die folgenden Eigenschaften erfüllen

Lösung

Die Matrix ist von der Form . Es ergibt sich also:

Aufgaben zur Matrizenmultiplikation[Bearbeiten]

Aufgabe

Gegeben sei die Matrix . Berechne den Ausdruck .

Lösung

Wir betrachten zunächst jeden Summanden des zu berechnenden Ausdrucks einzeln. Es gilt:

und wegen ist

Zusammen ergibt sich also:

Aufgabe

Beweise mit Hilfe der Matrizenmultiplikation die Additionstheoreme für den Kosinus und den Sinus, d.h.

Lösung

Wir betrachten die Drehmatrix und erinnern uns, dass Drehungen in der Ebene als lineare Abbildungen aufgefasst werden können. Demnach ist es egal, ob wir direkt um den Winkel drehen, oder erst um den Winkel und dann um den Winkel . Damit ist folgende Gleichheit klar:

Ein Vergleich der Einträge der Matrizen liefert die zu zeigenden Additionstheoreme.

Aufgaben zu Abbildungs- und Basiswechselmatrizen[Bearbeiten]

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To-Do:

Aufgaben zum Rang einer Matrix[Bearbeiten]

Aufgabe

Bestimme den Rang der folgenden Matrix:

Lösung

Wir formen die Matrix in Zeilen-Stufen-Form um und lesen den Rang der Matrix anhand der Anzahl der Nullzeilen ab. Wir erhalten:

Durch Überführen in Zeilen-Stufen-Form haben wir also eine Nullzeile erzeugt. Der Rang unserer Matrix ist also .

Hinweis

Die Kurzschreibweise gibt in diesem Fall an, dass wir die dritte Zeile der Matrix mit dem -fachen der zweiten Zeile addiert haben

Aufgabe

Bestimme den Rang der folgenden Matrix:

Lösung

Wir formen die Matrix in Zeilen-Stufen-Form um und lesen den Rang der Matrix anhand der Anzahl der Nullzeilen ab. Wir erhalten:

Durch Überführen in Zeilen-Stufen-Form haben wir also gezeigt, dass für die Matrix gilt: . Wir hätten an dieser Stelle aber auch deutlich schneller sehen können, dass ist. Dazu genügt es nämlich auch zu zeigen, dass die Spaltenvektoren (oder äquivalent die Zeilenvektoren) linear unabhängig sind. Wir entscheiden uns in dem Beispiel für die Spaltenvektoren und zeigen deren lineare Unabhängigkeit, wobei :

Daraus erhalten wir das Gleichungssystem:

mit der Lösung , womit die lineare Unabhängigkeit der Spaltenvektoren gezeigt ist. Der Rang einer Matrix beschreibt aber gerade die maximale Anzahl an linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix. Also ist .

Die Aufgabe zeigt also, dass es gelegentlich nicht vorteilhaft sein muss, die Matrix in Zeilen-Stufen-Form zu überführen, um den Rang der Matrix abzulesen.

Aufgaben zur Matrixinvertierung[Bearbeiten]

Aufgabe

Sei invertierbar. Ferner gelte: . Zeige, dass selbstinvers ist, d.h .

Lösung

Da invertierbar ist, existiert ein mit . Damit können wir schreiben: