Definition der Matrix – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Matrizen sind ein Konzept aus der linearen Algebra. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Elementen aus einem Ring mit Eins. Mit Matrizen lassen sich Rechenoperationen, wie Addition und Multiplikation, durchführen.

Was sind Matrizen?

Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema, in das üblicherweise Zahlen eingetragen werden. Allgemeiner sind die Einträge Elemente eines Ringes mit Eins.

Beispiel

Ein Beispiel für eine Matrix ist ${\begin{pmatrix}1&{-2}\\4&0\\3&5\end{pmatrix}}$.

Das gesamte Zahlenschema bezeichnen wir mit ${\mathcal {M}}$. Die Objekte, die in der Matrix stehen, nennen wir ihre Komponenten oder ihre Einträge.

Die jeweils nebeneinander stehenden Einträge bilden eine Zeile der Matrix, die jeweils untereinander stehenden Einträge bilden eine Spalte. Die obige Matrix ${\mathcal {M}}$ besitzt 3 Zeilen und 2 Spalten. Wir bezeichnen sie als eine $3\times 2$-Matrix, um ihre "Größe" anzugeben. Man sagt dazu auch Typ der Matrix.

Die Komponente, die in der $j$-ten Zeile und in der $k$-ten Spalte steht, wird mit $m_{jk}$ bezeichnet. Für die Matrix ${\mathcal {M}}$ ist daher etwa $m_{11}=1$ und $m_{32}=5$.

Hinweis

Achtung, hierbei ist die Reihenfolge der Indizes wichtig! Merkregel: Zeile zuerst, Spalte später!

Nun können Matrizen aber nicht nur Zahlen enthalten. Möchte man allgemein eine Matrix vom Typ $(m,n)$ mit Einträgen in einem Ring $R$ angeben, so schreibt man ${\mathcal {M}}\in R^{m\times n}$. In diesem Fall heißt ${\mathcal {M}}$ eine Matrix vom Typ $(m,n)$ über $R$.

Gleichheit von Matrizen

Es ist natürlich wichtig zu wissen, wie wir die Gleichheit von Matrizen definieren. Es muss klar sein, was wir meinen, wenn wir sagen, zwei Matrizen seien gleich. Die Definition dafür ist naheliegend:

Definition (Gleichheit von Matrizen)

Zwei Matrizen $A=(a_{ij})$ und $B=(b_{ij})$ sind genau dann gleich, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind:

1. die beiden Matrizen sind vom gleichen Typ, d.h. sie besitzen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten.
2. die beiden Matrizen stimmen in jeder ihrer Komponenten überein, d.h. es gilt

$a_{ij}=b_{ij}\qquad \forall i\in \{1,2,\ldots ,m\}{\text{ und }}\,\forall j\in \{1,2,\ldots ,n\}$

Hinweis

Matrizen von verschiedenem Typ können nicht gleich sein. So ist beispielsweise die Nullmatrix vom Typ $(3\times 2)$ nicht gleich der Nullmatrix vom Typ $(2\times 3)$, auch wenn wir sie mit dem gleichen Namen bezeichnet haben.

Beispiele

Beispiel (Matrizen über $\mathbb {Z}$)

${\mathcal {A}}={\begin{pmatrix}0&-5&2\\-3&1&1\\1&2&3\\4&0&7\end{pmatrix}}$ ist eine $4\times 3$-Matrix.

Hier ist beispielsweise $a_{12}=-5{\text{ und }}a_{33}=3$.

${\mathcal {B}}={\begin{pmatrix}3&5&1&-3\\0&1&0&1\end{pmatrix}}$ ist eine $2\times 4$-Matrix.

${\mathcal {C}}={\begin{pmatrix}4&-5\\0&0\\-2&1\end{pmatrix}}$ ist eine $3\times 2$-Matrix.

${\mathcal {D}}={\begin{pmatrix}1&3\\4&2\end{pmatrix}}$ ist eine $2\times 2$-Matrix.

Beispiel (Matrix über $\mathbb {Q} [x]$)

${\mathcal {M}}={\begin{pmatrix}x^{2}&{\frac {1}{2}}x\\0&3x+5\end{pmatrix}}$

Transponierte Matrix

Definition

Sei $A=(a_{ij})$ eine Matrix in $R^{m\times n}$. Dann definieren wir die transponierte Matrix als $A^{T}:=(a_{ji})\in R^{n\times m}$.

Beispiel

Sei $R=\mathbb {Z}$ und definiere

$A={\begin{pmatrix}1&3\\4&2\\7&7\end{pmatrix}}\in \mathbb {Z} ^{3\times 2}$.

Dann ist ihre transponierte Matrix gegeben durch

$A^{T}={\begin{pmatrix}1&4&7\\3&2&7\end{pmatrix}}\in \mathbb {Z} ^{2\times 3}$.

Einige Spezialfälle

Zeilenvektoren

Matrizen vom Typ $1\times n$ werden meist (Zeilen-)Vektoren genannt und mit nur einem Index geschrieben, also

$(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$.

Spaltenvektoren

Matrizen vom Typ $m\times 1$ werden meist (Spalten-)Vektoren genannt und mit nur einem Index geschrieben, also

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}$.

Nullmatrizen

Eine Matrix, bei der jeder Eintrag $0$ ist, wird Nullmatrix genannt. Die $0$ ist dabei das neutrale Element der Addition in unserem Ring.

Hinweis

Achtung, es gibt nicht nur eine Nullmatrix, sondern zu jeder zu Grunde liegenden Menge und jedem Typ eine eigene Nullmatrix.

Beispiel (Verschiedene Nullmatrizen)

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\in \mathbb {Z} ^{2\times 2}$

${\begin{pmatrix}0_{\mathbb {Z} [x]}&0_{\mathbb {Z} [x]}\\0_{\mathbb {Z} [x]}&0_{\mathbb {Z} [x]}\\0_{\mathbb {Z} [x]}&0_{\mathbb {Z} [x]}\end{pmatrix}}\in (\mathbb {Z} [x])^{3\times 2}$

Quadratische Matrizen

Matrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl heißen quadratische Matrizen. Eine typische quadratische Matrix hat die Gestalt:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Aufgrund ihrer speziellen Gestalt können nun unter den quadratischen Matrizen einige weitere interessante Spezialfälle auftreten.

Diagonalmatrizen

Bei Diagonalmatrizen handelt es sich um quadratische Matrizen, die höchstens auf der Diagonalen (von links oben nach rechts unten) von Null verschiedene Einträge besitzen, d.h. $d_{ij}=0$ falls $i\neq j$.

Die allgemeine Gestalt der Diagonalmatrix ist:

$D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\ldots &0\\0&d_{22}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &d_{nn}\end{pmatrix}}\qquad$

Beispiel (Diagonalmatrix)

$\qquad D={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}}$

Wie wir später sehen werden, sind Diagonalmatrizen besonders wichtig, wenn wir sie als lineare Abbildung auf einem endlich dimensionalen Vektorraum verstehen. Die Matrixmultiplikation und die Berechnung der Inversen sind bei einer Diagonalmatrix einfacher durchzuführen als bei einer voll besetzten Matrix.

Einheitsmatrizen

Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall der Diagonalmatrizen. Sie ist nämlich diejenige Diagonalmatrix, bei der alle Einträge in der Diagonale gleich dem Einselement des Rings sind, d.h.

$d_{ii}=1\qquad \forall i=1,...,n\qquad$ und $\qquad d_{ij}=0\qquad \forall \,i\neq j$.

Die allgemeine Gestalt der Einheitsmatrix ist:

$E={\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1\end{pmatrix}}$

Definition (Kronecker-Symbol)

Wir definieren das Kronecker-Symbol $\delta _{ij}$ für $i,j\in \mathbb {N}$ durch $\delta _{ii}=1\ \forall i$ und $\delta _{ij}=0\ \forall i\neq j$.

D.h. das Kronecker-Symbol ist immer gleich 0, wenn es sich um zwei verschiedene Indizes handelt und gleich 1, bei gleichen Indizes. Dann lässt sich die Einheitsmatrix schreiben als $E=(\delta _{ij})$.

Dreiecksmatrizen

Unter einer Dreiecksmatrix wollen wir eine quadratische Matrix verstehen, die sich dadurch auszeichnet, dass alle Einträge unterhalb bzw. oberhalb der Hauptdiagonale null sind.

Sind die Einträge oberhalb der Hauptdiagonale gleich null, dann heißt die Matrix untere Dreiecksmatrix. Sind dagegen die Einträge unterhalb der Hauptdiagonale gleich null, dann heißt die Matrix obere Dreiecksmatrix.

Die allgemeine Gestalt der unteren Dreiecksmatrix ist:

$L={\begin{pmatrix}a_{11}&0&\ldots &0\\a_{21}&a_{22}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Die allgemeine Gestalt der oberen Dreiecksmatrix ist:

$R={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\0&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Dreiecksmatrizen spielen unter anderem beim Lösen von Linearen Gleichungssystemen eine wichtige Rolle. Darauf gehen wir genauer in einem späteren Kapitel ein.

Symmetrische Matrizen

Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn sie gleich ihrer transponierten Matrix ist, d.h. wenn gilt: $A\,=\,{A}^{T}$ Dies gilt genau dann, wenn $a_{ij}=a_{ji}\ \forall i,j=1,...,n$.

Beispiel (Symmetrische Matrix)

$A={\begin{pmatrix}2&4&6\\4&3&8\\6&8&1\end{pmatrix}}=A^{T}$

Anschaulich bedeutet $A=A^{T}$, dass die Einträge der Matrix längs der Diagonalen gespiegelt werden.