Definition der Matrix – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation und Einleitung[Bearbeiten]

Wie du sicherlich schon erkannt hast, ist es ein wichtiges Prinzip in der Mathematik, die Abstraktion realer Probleme in mathematische Konzepte und Systeme zu überführen. Dies wird in der Absicht getan, auf schnellerem Weg zur Lösung kommen zu können, was auch häufig erreicht wird. Eine dieser Abstraktionen, welche in vielen Fällen Anwendungsmöglichkeiten bereithalten, ist die Matrix-Schreibweise (Der Singular von Matrizen ist Matrix). Im nächsten Kapitel werden wir uns der Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen widmen (dazu sagt man Abbildungsmatrix), denn das ist eine sehr wichtige Anwendung von Matrizen. Zunächst wollen wir aber definieren, was eine Matrix überhaupt ist.

Was sind denn nun Matrizen?[Bearbeiten]

Zunächst ist eine Matrix einfach ein rechteckiges Schema, in das Zahlen (oder andere mathematische Objekte) eingetragen werden. Das ist wie eine Tabelle, in der in jeder Zelle genau eine Zahl steht.

Ein Beispiel für eine Matrix ist .

Das gesamte Zahlenschema bezeichnen wir mit . Die Objekte, die in der Matrix stehen, nennen wir ihre Komponenten oder ihre Einträge.

Die jeweils nebeneinander stehenden Einträge bilden eine Zeile der Matrix, die jeweils untereinander stehenden Einträge bilden eine Spalte. Die obige Matrix besitzt 3 Zeilen und 2 Spalten. Wir bezeichnen sie als eine -Matrix, um ihre "Größe" anzugeben. Man sagt dazu auch Typ der Matrix.

Die Komponente, die in der -ten Zeile und in der -ten Spalte steht, wird mit bezeichnet. Für die Matrix ist daher etwa und .

Hinweis

Achtung, hierbei ist die Reihenfolge der Indizes wichtig! Merkregel: Zeile zuerst, Spalte später!

Nun können Matrizen aber nicht nur Zahlen enthalten. Möchte man allgemein eine Matrix vom Typ mit Einträgen aus der Menge angeben, so schreibt man . In diesem Fall heißt eine Matrix vom Typ über .

Einige Spezialfälle[Bearbeiten]

  1. Matrizen vom Typ heißen quadratische Matrizen. Diese haben die gleiche Anzahl von Zeilen wie Spalten.
  2. Matrizen vom Typ werden meist (Zeilen-)Vektoren genannt und mit nur einem Index geschrieben, also .
  3. Matrizen vom Typ werden meist (Spalten-)Vektoren genannt und mit nur einem Index geschrieben, also .
  4. Eine Matrix, bei der jeder Eintrag 0 ist, wird Nullmatrix genannt. Achtung, es gibt nicht nur eine Nullmatrix, sondern zu jeder zu Grunde liegenden Menge und jedem Typ eine eigene Nullmatrix.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel (Matrizen über )

ist eine -Matrix.

Hier ist beispielsweise .

ist eine -Matrix.

ist eine -Matrix.

ist eine -Matrix.

Beispiel (Matrix über )

Beispiel (Verschiedene Nullmatrizen)

Transponierte Matrix[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Definition der Transposition, Beispiel