Verallgemeinerung auf abstrakte Vektorräume[Bearbeiten]
To-Do:
DAS Diagramm zur Veranschaulichung, was passiert einfügen und darauf verweisen.
- Wir haben im Artikel Hinführung zu Matrizen gesehen, wie wir eine lineare Abbildung
durch eine Matrix beschreiben können.
- Damit können wir lineare Abbildungen vergleichsweise einfach angeben.
- Frage ist nun: Bekommen wir in allgemeinen Vektorräumen ebenfalls eine solche Beschreibung?
- Das heißt gegeben allgemeine endlichdimensionale Vektorräume
und
, und eine lineare Abbildung
, wie können wir
vollständig beschreiben?
- Im Artikel Isomorphismus haben wir gesehen, dass jeder endlich dimensionale Vektorraum zu einem
isomorph ist.
- Also gilt
und
.
- Dieser Isomorphismus funktionierte wie folgt: Wir wählen eine geordnete Basis
von
. Durch Darstellung jedes Vektors in
bzgl.
erhalten wir die Koordinatenabbildung
. Diese ist ein gewählter Isomorphismus
.
- Genauso erhalten wir obigen Isomorphismus
nach Wahl einer geordneten Basis
von
durch die Koordinatenabbildung
.
- Wichtig:
und
müssen geordnete Basen sein, da sich durch unterschiedliche Anordnungen einer Basis unterschiedliche Koordinatenabbildungen ergeben. Wenn wir keine Reihenfolge festlegen, ist die Koordinatenabbildung nicht eindeutig bestimmt.
- ? Definition geordnete Basis wiederholen?
- Nun erhalten wir eine Bijektion zwischen
und
durch die Zuordnung
. Die Umkehrabbildung ist durch
gegeben.
- Wir können nun
wie im Artikel Hinführung zu Matrizen eine Matrix
zuordnen und diese als die
zugeordnete Matrix bezeichnen.
- Wir müssen mit dieser "laxen" Bezeichnung vorsichtig sein! Wir haben weiter oben Basen für einen Isomorphismus wählen müssen.
- Das heißt, wir haben eigentlich mehrere Wege gefunden, eine Matrix zuzuordnen.
- Erst nachdem wir geordnete Basen gewählt haben, wurde der Weg eindeutig.
- Wir sollten also besser sagen: Die
zugeordnete Matrix bezüglich der geordneten Basen
und
.
- Andere Begriffe für Abbildungsmatrix nennen: Darstellungsmatrix, zugeordnete Matrix
Rechnen mit Abbildungsmatrizen[Bearbeiten]
Berechnung einer Abbildungsmatrix[Bearbeiten]
To-Do:
Auf DAS Diagram verweisen
- Wie können wir das jetzt konkret ausrechnen?
- Wir wollen den Wert von
berechnen.
- Die definierende Eigenschaft von
ist, dass
gilt.
- Das heißt es gilt
.
- Um den
-ten Eintrag von
zu finden, müssen wir den
-ten Eintrag von
bestimmen.
- Nun hat
eine Basisdarstellung
. Das heißt es gilt 
- Damit ist der
-te Eintrag von
als der Eintrag
aus der Basisdarstellung
gegeben.
Definition (Abbildungsmatrix, alternative)
Seien
ein Körper,
und
endlich-dimensionale
-Vektorräume. Sei
eine Basis von
und
eine Basis von
. Sei
eine lineare Abbildung.
Seien
so, dass
für alle
gilt. Dann definieren wir die Abbildungsmatrix von
bezüglich
und
als die Matrix
.
Verwendung der Abbildungsmatrix[Bearbeiten]
To-Do:
Notation vereinheitlichen / an den vorherigen Abschnitten anpassen
Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor
jedes Vektors
berechnen.
Dazu stellen wir zunächst
bezüglich der Basis
von
dar, also
.
Dann gilt wegen der Linearität von
Für die Koordinaten
von
bezüglich
gilt also

.
Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation mit einem Vektor ("Zeile mal Spalte") können wir dies auch so ausdrücken:
Die Matrix
heißt Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von
bezüglich
und
.
To-Do:
Auch die Umkehrung erläutern, das heißt eine Interpretation für Abbildungsmatrix mal Vektor geben. (Ähnlich wie im Basiswechselmatrizen-Artikel)
Eins zu Eins Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen[Bearbeiten]
To-Do:
"Isomorphismus" zu "Bijektion" ändern, da in "Hinführung zu Matrizen" auch nur von einer Bijektion die Rede ist und die Vektorraumstruktur auf
erst in "Vektorielle Operationen auf Matrizen" eingeführt wird.
- Haben oben gesehen, dass man nach fester Wahl der geordneten Basen B und C einer Abbildung f auf eindeutige Weise die Matrix M^B_C(f) zuordnen kann.
- Wir haben in der Herleitung bereits gesehen, dass wir eine Bijektion zwischen
und
haben.
- Im Artikel Hinführung zu Matrizen haben wir gesehen, dass
.
- Damit haben wir einen Iso

- Die Richtung
ist genau der Weg
.
- Überleitung zu ausführlichem Weg.
- Wie sieht nun die Umkehrung dieses Isomorphismusses aus?
- Wir haben im Abschnitt zur Berechnung von Abbildungsmatrizen schon einmal gesehen, dass die Spalten der Matrix genau die Bilder der Basisvektoren dargestellt in der anderen Basis sind.
- Wenn wir geordnete Basen
von
und
von
gegeben haben, wollen wir zu einer
Matrix
die Abbildung
finden, für die
gilt.
- Wir wissen, dass
gelten muss.
- Aus dem Prinzip der linearen Fortsetzung erhalten wir eine eindeutige linerae Abbildung
, die dies erfüllt.
- Diese Konstruktion macht folgendes deutlich: Die Abbildungsmatrix speichert genau wie "vorher" in der
-ten Spalte das Bild des
-ten Basisvektors
.
- Weil allgemeine Vektoren in
nur schwer klassifizierbar sind, stellen wir diese ebenfalls in einer Basis dar. Das heißt wir erhalten
- Wie finden wir jetzt den Wert
für ein gegebenes
?
- Wir stellen
in einer bzgl. der Basis
als
dar.
- Nun können wir eine Matrix-Vektor-Multuplikation
durchführen und erhalten die Koeffizienten bzgl.
von
. Das heißt es gilt
.
- Für die Basisvektoren
bedeutet dies, dass
das Gewicht von
im Ergebnis von
ist.
To-Do:
Das folgende Beispiel später ausweiten
Beispiel (Anschauliches Beispiel)
Wir betrachten die lineare Abbildung
Sowohl im Urbildraum
als auch im Zielraum
wird die kanonische Standardbasis gewählt:
Es gilt:
Damit ist die Abbildungsmatrix von
bezüglich der gewählten Basen
und
:
- Wir sehen also, hier explizit, dass die Abbildungsmatrix von der Wahl der Basis abhängt und nicht nur von der Abbildung.
- Umgekehrt können aber auch verschiedene Abbildungen die gleiche Abbildungsmatrix haben, wenn man sie zu verschiedenen Basen darstellt:
Beispiel (Anschauliches Beispiel mit anderer Abbildung und gleicher Matrix)
TODO Beispiel für Abbildug
mit der Standardbasis ergänzen.
- Wir können noch ein komplizierteres Beispiel anschauen:
Beispiel (Polynome verschiedenen Grades)
Seien
,
der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3 mit Koeffizienten aus
und
der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit Koeffizienten aus
.
Sei
definiert als die Ableitung eines Polynoms, d.h. für alle
sei
. Bei betrachtung der Basen:
und
.
Es gilt:
Somit erhält man für Abbildungsmatrix von
bezüglich der Basen
und
: