Abbildungsmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Verallgemeinerung auf abstrakte Vektorräume[Bearbeiten]

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To-Do:

DAS Diagramm zur Veranschaulichung, was passiert einfügen und darauf verweisen.

  • Wir haben im Artikel Hinführung zu Matrizen gesehen, wie wir eine lineare Abbildung durch eine Matrix beschreiben können.
  • Damit können wir lineare Abbildungen vergleichsweise einfach angeben.
  • Frage ist nun: Bekommen wir in allgemeinen Vektorräumen ebenfalls eine solche Beschreibung?
  • Das heißt gegeben allgemeine endlichdimensionale Vektorräume und , und eine lineare Abbildung , wie können wir vollständig beschreiben?
  • Im Artikel Isomorphismus haben wir gesehen, dass jeder endlich dimensionale Vektorraum zu einem isomorph ist.
  • Also gilt und .
  • Dieser Isomorphismus funktionierte wie folgt: Wir wählen eine geordnete Basis von . Durch Darstellung jedes Vektors in bzgl. erhalten wir die Koordinatenabbildung . Diese ist ein gewählter Isomorphismus .
  • Genauso erhalten wir obigen Isomorphismus nach Wahl einer geordneten Basis von durch die Koordinatenabbildung .
  • Wichtig: und müssen geordnete Basen sein, da sich durch unterschiedliche Anordnungen einer Basis unterschiediche Koordinatenabbildungen ergeben. Wenn wir keine Reihenfolge festlegen, ist die Koordinatenabbildung nicht eindeutig bestimmt.
  • ? Definition geordnete Basis wiederholen?
  • Nun erhalten wir eine Bijektion zwischen und durch die Zuordnung . Die Umkehrabbildung ist durch gegeben.
  • Wir können nun wie im Artikel Hinführung zu Matrizen eine Matrix zuordnen und diese als die zugeordnete Matrix bezeichnen.
  • Wir müssen mit diese "laxen" Bezeichnung vorsichtig sein! Wir haben weiter oben Basen für einen Isomorphismus wählen müssen.
  • Das heißt, wir haben eigentlich mehrere Wege gefunden, eine Matrix zuzuordnen.
  • Erst nachdem wir geordnete Basen gewählt haben, wurde der Weg eindeutig.
  • Wir sollten also besser sagen: Die zugeordnete Matrix bezüglich der geordneten Basen und .

Definition[Bearbeiten]

Definition (Abbildungsmatrix)

Seien ein Körper, und -Vektorräume der Dimension bzw. . Sei eine Basis von mit Koordinatenabbildung und eine Basis von mit Koordinatenabbildung . Sei eine lineare Abbildung. Definiere durch . Nun ist die Abbildungsmatrix von bzgl. der Basen und gegeben durch die zugehörige Matrix von , d.h. die -te Spalte der Matrix enthält das Bild des -ten Standardbasisvektors unter . Wir schreiben diese als .

  • Andere Begriffe für Abbildungsmatrix nennen: Darstellungsmatrix, zugeordnete Matrix

Rechnen mit Abbildungsmatrizen[Bearbeiten]

Berechnung einer Abbildungsmatrix[Bearbeiten]

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To-Do:

Auf DAS Diagram verweisen

  • Wie können wir das jetzt konkret ausrechnen?
  • Wir wollen den Wert von k_C\circ f\circ k_B^{-1}(e_i) berechnen.
  • Die definierende Eigenschaft von k_B ist, dass k_B(v_i) = e_i gilt.
  • Das heißt es gilt k_C\circ f\circ k_B^{-1}(e_i) = k_C\circ f(v_i).
  • Um den ij-ten eintrag von M^B_C(f) zu finden, müssen wir den i-ten Eintrag von k_C\circ f(v_j) bestimmen.
  • Nun hat f(v_j) eine Basisdarstellung f(v_j) = \sum_{i=0}^m a_{ij}w_i. Das heißt es gilt k_C(f(v_j)) = (a_{1j}, \dots, a_{mj})^T
  • Damit ist der ij-te Eintrag von M^B_C(f) als der Eintrag a_{ij} aus der Basisdarstellung f(v_j) = \sum_{i=0}^m a_{ij}w_i gegeben.

Definition (Abbildungsmatrix, alternative)

Seien ein Körper, und endlich-dimensionale -Vektorräume. Sei eine Basis von und eine Basis von . Sei eine lineare Abbildung. Seien so, dass für alle gilt. Dann definieren wir die Abbildungsmatrix von bezüglich und als die Matrix .

Verwendung der Abbildungsmatrix[Bearbeiten]

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To-Do:

Notation vereinheitlichen / an den vorherigen Abschnitten anpassen

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor jedes Vektors berechnen. Dazu stellen wir zunächst bezüglich der Basis von dar, also . Dann gilt wegen der Linearität von

Für die Koordinaten von bezüglich gilt also

.

Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation mit einem Vektor ("Zeile mal Spalte") können wir dies auch so ausdrücken:

Die Matrix heißt Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von bezüglich und .


Eins zu Eins Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen[Bearbeiten]

  • Haben oben gesehen, dass man nach fester Wahl der geordneten Basen B und C einer Abbildung f auf eindeutige Weise die Matrix M^B_C(f) zuordnen kann.
  • Wir haben in der Herleitung bereits gesehen, dass wir eine Bijektion zwischen und haben.
  • Im Artikel Hinführung zu Matrizen haben wir gesehen, dass .
  • Damit haben wir einen Iso
  • Die Richtung ist genau der Weg .
  • Überleitung zu ausführlichem Weg.
  • Wie sieht nun die Umkehrung dieses Isomorphismusses aus?
  • Wir haben im Abschnitt zur Berechnung von Abbildungsmatrizen schon einmal gesehen, dass die Spalten der Matrix genau die Bilder der Basisvektoren dargestellt in der anderen Basis sind.
  • Wenn wir geordnete Basen von und von gegeben haben, wollen wir zu einer Matrix die Abbildung finden, für die gilt.
  • Wir wissen, dass gelten muss.
  • Aus dem Prinzip der linearen Fortsetzung erhalten wir eine eindeutige linerae Abbildung , die dies erfüllt.
  • Diese Konstruktion macht folgendes deutlich: Die Abbildungsmatrix speichert genau wie "vorher" in der -ten Spalte das Bild des -ten Basisvektors .
  • Weil allgemeine Vektoren in nur schwer klassifizierbar sind, stellen wir diese ebenfalls in einer Basis dar. Das heißt wir erhalten
  • Wie finden wir jetzt den Wert für ein gegebenes ?
  • Wir stellen in einer bzgl. der Basis als dar.
  • Nun können wir eine Matrix-Vektor-Multuplikation durchführen und erhalten die Koeffizienten bzgl. von . Das heißt es gilt .
  • Für die Basisvektoren bedeutet dies, dass das Gewicht von im Ergebnis von ist.

Beispiele[Bearbeiten]

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To-Do:

Das folgende Beispiel später ausweiten

Beispiel (Anschauliches Beispiel)

Wir betrachten die lineare Abbildung

Sowohl im Urbildraum als auch im Zielraum wird die kanonische Standardbasis gewählt:

Es gilt:

Damit ist die Abbildungsmatrix von bezüglich der gewählten Basen und :

Beispiel (Anschauliches Beispiel mit anderer Basis)

Wir betrachten wieder die lineare Abbildung des obigen Beispiels, also

Diesmal verwenden wir im Zielraum die geordnete Basis

verwendet. Nun gilt:

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von bezüglich der Basen und :

  • Wir sehen also, hier explizit, dass die Abbildungsmatrix von der Wahl der Basis abhängt und nicht nur von der Abbildung.
  • Umgekehrt könnnen aber auch verschiedene Abbildungen die gleiche Abbildungsmatrix haben, wenn man sie zu verschiedenen Basen darstellt:

Beispiel (Anschauliches Beispiel mit anderer Abbildung und gleicher Matrix)

TODO Beispiel für Abbildug

mit der Standardbasis ergänzen.

  • Wir können noch ein komplizierteres Beispiel anschauen:

Beispiel (Polynome verschiedenen Grades)

Seien , der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit Koeffizienten aus und der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3 mit Koeffizienten aus . Sei definiert als die Multiplikation eines Polynoms mit der Variable , d.h. für alle sei . Sei und .

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To-Do:

berechnen