Abbildungsmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Verallgemeinerung auf abstrakte Vektorräume

To-Do:

DAS Diagramm zur Veranschaulichung, was passiert einfügen und darauf verweisen.

• Wir haben im Artikel Hinführung zu Matrizen gesehen, wie wir eine lineare Abbildung $K^{n}\to K^{m}$ durch eine Matrix beschreiben können.
• Damit können wir lineare Abbildungen vergleichsweise einfach angeben.
• Frage ist nun: Bekommen wir in allgemeinen Vektorräumen ebenfalls eine solche Beschreibung?
• Das heißt gegeben allgemeine endlichdimensionale Vektorräume $V$ und $W$, und eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$, wie können wir $f$ vollständig beschreiben?
• Im Artikel Isomorphismus haben wir gesehen, dass jeder endlich dimensionale Vektorraum zu einem $K^{m}$ isomorph ist.
• Also gilt $V\cong K^{n}$ und $W\cong K^{m}$.
• Dieser Isomorphismus funktionierte wie folgt: Wir wählen eine geordnete Basis $B=(b_{1},\dots ,b_{n})$ von $V$. Durch Darstellung jedes Vektors in $V$ bzgl. $B$ erhalten wir die Koordinatenabbildung $k_{B}\colon V\to K^{n}$. Diese ist ein gewählter Isomorphismus $V\cong K^{n}$.
• Genauso erhalten wir obigen Isomorphismus $W\cong K^{m}$ nach Wahl einer geordneten Basis $C$ von $W$ durch die Koordinatenabbildung $k_{C}\colon W\to K^{m}$.
• Wichtig: $B$ und $C$ müssen geordnete Basen sein, da sich durch unterschiedliche Anordnungen einer Basis unterschiediche Koordinatenabbildungen ergeben. Wenn wir keine Reihenfolge festlegen, ist die Koordinatenabbildung nicht eindeutig bestimmt.
• ? Definition geordnete Basis wiederholen?
• Nun erhalten wir eine Bijektion zwischen $\operatorname {Hom} (V,W)$ und $\operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})$ durch die Zuordnung $f\mapsto k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}$. Die Umkehrabbildung ist durch $f\mapsto k_{C}^{-1}\circ f\circ k_{B}$ gegeben.
• Wir können nun $k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}$ wie im Artikel Hinführung zu Matrizen eine Matrix $M$ zuordnen und diese als die $f$ zugeordnete Matrix bezeichnen.
• Wir müssen mit diese "laxen" Bezeichnung vorsichtig sein! Wir haben weiter oben Basen für einen Isomorphismus wählen müssen.
• Das heißt, wir haben eigentlich mehrere Wege gefunden, eine Matrix zuzuordnen.
• Erst nachdem wir geordnete Basen gewählt haben, wurde der Weg eindeutig.
• Wir sollten also besser sagen: Die $f$ zugeordnete Matrix bezüglich der geordneten Basen $B$ und $C$.

Definition

Definition (Abbildungsmatrix)

Seien $K$ ein Körper, $V$ und $W$ $K$-Vektorräume der Dimension $n$ bzw. $m$. Sei $B$ eine Basis von $V$ mit Koordinatenabbildung $k_{B}:V\to K^{n}$ und $C$ eine Basis von $W$ mit Koordinatenabbildung $k_{C}:W\to K^{m}$. Sei $f:V\to W$ eine lineare Abbildung. Definiere $g:K^{n}\to K^{m}$ durch $g=k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}$. Nun ist die Abbildungsmatrix von $f$ bzgl. der Basen $B$ und $C$ gegeben durch die zugehörige Matrix von $g$, d.h. die $i$-te Spalte der $m\times n$ Matrix enthält das Bild $g(e_{i})$ des $i$-ten Standardbasisvektors unter $g$. Wir schreiben diese als $M_{C}^{B}(f)$.

• Andere Begriffe für Abbildungsmatrix nennen: Darstellungsmatrix, zugeordnete Matrix

Rechnen mit Abbildungsmatrizen

Berechnung einer Abbildungsmatrix

To-Do:

Auf DAS Diagram verweisen

• Wie können wir das jetzt konkret ausrechnen?
• Wir wollen den Wert von $k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}(e_{i})$ berechnen.
• Die definierende Eigenschaft von $k_{B}$ ist, dass $k_{B}(v_{i})=e_{i}$ gilt.
• Das heißt es gilt $k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}(e_{i})=k_{C}\circ f(v_{i})$.
• Um den $ij$-ten eintrag von $M_{C}^{B}(f)$ zu finden, müssen wir den $i$-ten Eintrag von $k_{C}\circ f(v_{j})$ bestimmen.
• Nun hat $f(v_{j})$ eine Basisdarstellung $f(v_{j})=\sum _{i=0}^{m}a_{ij}w_{i}$. Das heißt es gilt $k_{C}(f(v_{j}))=(a_{1j},\dots ,a_{mj})^{T}$
• Damit ist der $ij$-te Eintrag von $M_{C}^{B}(f)$ als der Eintrag $a_{ij}$ aus der Basisdarstellung $f(v_{j})=\sum _{i=0}^{m}a_{ij}w_{i}$ gegeben.

Definition (Abbildungsmatrix, alternative)

Seien $K$ ein Körper, $V$ und $W$ endlich-dimensionale $K$-Vektorräume. Sei $B=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ eine Basis von $V$ und $C=\{w_{1},\dots ,w_{m}\}$ eine Basis von $W$. Sei $f:V\to W$ eine lineare Abbildung. Seien $a_{ij}\in K$ so, dass $f(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$ gilt. Dann definieren wir die Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich $B$ und $C$ als die Matrix $M_{C}^{B}(f)=(a_{ij}){ij}$.

Verwendung der Abbildungsmatrix

To-Do:

Notation vereinheitlichen / an den vorherigen Abschnitten anpassen

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor $L(v)$ jedes Vektors $v\in V$ berechnen. Dazu stellen wir zunächst $v$ bezüglich der Basis $B$ von $V$ dar, also $v=v_{1}b_{1}+v_{2}b_{2}+\cdots +v_{n}b_{n}$. Dann gilt wegen der Linearität von $L$

$L(v)=\sum _{j=1}^{n}v_{j}L(b_{j})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}b_{i}^{*}\right)=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)b_{i}^{*}$

Für die Koordinaten $w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m}$ von $L(v)$ bezüglich $B^{*}$ gilt also

$w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}$.

Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation mit einem Vektor ("Zeile mal Spalte") können wir dies auch so ausdrücken:

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}v_{j}\\\sum _{j=1}^{n}a_{2j}v_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}v_{j}\end{pmatrix}}$

Die Matrix ${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})$ heißt Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von $L$ bezüglich $B$ und $B^{*}$.

Eins zu Eins Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen

• Haben oben gesehen, dass man nach fester Wahl der geordneten Basen B und C einer Abbildung f auf eindeutige Weise die Matrix M^B_C(f) zuordnen kann.
• Wir haben in der Herleitung bereits gesehen, dass wir eine Bijektion zwischen $\operatorname {Hom} (V,W)$ und $\operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})$ haben.
• Im Artikel Hinführung zu Matrizen haben wir gesehen, dass $\operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})\cong K^{m\times n}$.
• Damit haben wir einen Iso $\operatorname {Hom} (V,W)\cong \operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})\cong K^{m\times n}$
• Die Richtung $\operatorname {Hom} (V,W)\to K^{m\times n}$ ist genau der Weg $f\mapsto M_{C}^{B}(f)$.

• Überleitung zu ausführlichem Weg.
• Wie sieht nun die Umkehrung dieses Isomorphismusses aus?
• Wir haben im Abschnitt zur Berechnung von Abbildungsmatrizen schon einmal gesehen, dass die Spalten der Matrix genau die Bilder der Basisvektoren dargestellt in der anderen Basis sind.
• Wenn wir geordnete Basen $B=(v_{1},\dots ,v_{n})$ von $V$ und $C=(w_{1},\dots ,w_{m})$ von $W$ gegeben haben, wollen wir zu einer $m\times n$ Matrix $A=(a_{ij})$ die Abbildung $f:V\to W$ finden, für die $M_{C}^{B}(f)=A$ gilt.
• Wir wissen, dass $f(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$ gelten muss.
• Aus dem Prinzip der linearen Fortsetzung erhalten wir eine eindeutige linerae Abbildung $f:V\to W$, die dies erfüllt.
• Diese Konstruktion macht folgendes deutlich: Die Abbildungsmatrix speichert genau wie "vorher" in der $j$-ten Spalte das Bild des $j$-ten Basisvektors $v_{j}$.
• Weil allgemeine Vektoren in $W$ nur schwer klassifizierbar sind, stellen wir diese ebenfalls in einer Basis dar. Das heißt wir erhalten

$(f(v_{1}),\dots ,f(v_{n}))\rightarrow ({\text{Basisdarst. von }}f(v_{1}){\text{ bzgl. }}C,\dots ,{\text{Basisdarst. von }}f(v_{n}){\text{ bzgl. }}C)$

• Wie finden wir jetzt den Wert $f(v)$ für ein gegebenes $v\in V$?
• Wir stellen $v$ in einer bzgl. der Basis $B$ als $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}$ dar.
• Nun können wir eine Matrix-Vektor-Multuplikation $A\cdot (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{m})^{T}$ durchführen und erhalten die Koeffizienten bzgl. $C$ von $f(v)$. Das heißt es gilt $f(v)=\sum _{i=1}^{m}\mu _{i}w_{i}$.
• Für die Basisvektoren $v_{j}$ bedeutet dies, dass $a_{i}j$ das Gewicht von $w_{i}$ im Ergebnis von $f(v_{j})$ ist.

Beispiele

To-Do:

Das folgende Beispiel später ausweiten

Beispiel (Anschauliches Beispiel)

Wir betrachten die lineare Abbildung

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},L{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x-3y\\x-2y+z\end{pmatrix}}$

Sowohl im Urbildraum $\mathbb {R} ^{3}$ als auch im Zielraum $\mathbb {R} ^{2}$ wird die kanonische Standardbasis gewählt:

$B=\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)\,,\quad C=\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)$

Es gilt:

$L{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},\quad L{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}},\quad L{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

Damit ist die Abbildungsmatrix von $L$ bezüglich der gewählten Basen $B$ und $C$:

$M_{C}^{B}(L)={\begin{pmatrix}2&-3&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}$

Beispiel (Anschauliches Beispiel mit anderer Basis)

Wir betrachten wieder die lineare Abbildung $L$ des obigen Beispiels, also

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},L{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x-3y\\x-2y+z\end{pmatrix}}$

Diesmal verwenden wir im Zielraum $\mathbb {R} ^{2}$ die geordnete Basis

$C'=\left({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right)$

verwendet. Nun gilt:

$L\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

$L\left({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

$L\left({\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von $L$ bezüglich der Basen $B$ und $C'$:

$M_{C'}^{B}(L)={\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}}$

• Wir sehen also, hier explizit, dass die Abbildungsmatrix von der Wahl der Basis abhängt und nicht nur von der Abbildung.
• Umgekehrt könnnen aber auch verschiedene Abbildungen die gleiche Abbildungsmatrix haben, wenn man sie zu verschiedenen Basen darstellt:

Beispiel (Anschauliches Beispiel mit anderer Abbildung und gleicher Matrix)

TODO Beispiel für Abbildug

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},L{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-y-z\\-y+2z\end{pmatrix}}$

mit der Standardbasis ergänzen.

• Wir können noch ein komplizierteres Beispiel anschauen:

Beispiel (Polynome verschiedenen Grades)

Seien $K=\mathbb {R}$, $V$ der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$ und $W$ der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3 mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$. Sei $f:V\to W$ definiert als die Multiplikation eines Polynoms mit der Variable $x$, d.h. für alle $p(x)\in V$ sei $f(p)=p(x)\cdot x$. Sei $B=(1,x,x^{2})$ und $C=(1,x,x^{2},x^{3})$.

To-Do:

$M_{C}^{B}(f)$ berechnen