Abbildungsmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Verallgemeinerung auf abstrakte Vektorräume

To-Do:

DAS Diagramm zur Veranschaulichung, was passiert einfügen und darauf verweisen.

• Wir haben im Artikel Hinführung zu Matrizen gesehen, wie wir eine lineare Abbildung $K^{n}\to K^{m}$ durch eine Matrix beschreiben können.
• Damit können wir lineare Abbildungen vergleichsweise einfach angeben.
• Frage ist nun: Bekommen wir in allgemeinen Vektorräumen ebenfalls eine solche Beschreibung?
• Das heißt gegeben allgemeine endlichdimensionale Vektorräume $V$ und $W$, und eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$, wie können wir $f$ vollständig beschreiben?
• Im Artikel Isomorphismus haben wir gesehen, dass jeder endlich dimensionale Vektorraum zu einem $K^{m}$ isomorph ist.
• Also gilt $V\cong K^{n}$ und $W\cong K^{m}$.
• Dieser Isomorphismus funktionierte wie folgt: Wir wählen eine Basis $B$ von $V$. Durch Darstellung jedes Vektors in $V$ erhalten wir die Koordinatenabbildung $k_{B}\colon V\to K^{n}$. Diese ist ein gewählter Isomorphismus $V\cong K^{n}$.
• Genauso erhalten wir obigen Isomorphismus $W\cong K^{m}$ nach Wahl einer Basis $C$ von $W$ durch die Koordinatenabbildung $k_{C}\colon W\to K^{m}$.
• Nun erhalten wir eine Bijektion zwischen $\operatorname {Hom} (V,W)$ und $\operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})$ durch die Zuordnung $f\mapsto k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}$. Die Umkehrabbildung ist durch $f\mapsto k_{C}^{-1}\circ f\circ k_{B}$ gegeben.
• Wir können nun $k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}$ wie im Artikel Hinführung zu Matrizen eine Matrix $M$ zuordnen und diese als die $f$ zugeordnete Matrix bezeichnen.
• Wir müssen mit diese "laxen" Bezeichnung vorsichtig sein! Wir haben weiter oben Basen für einen Isomorphismus wählen müssen.
• Das heißt, wir haben eigentlich mehrere Wege gefunden, eine Matrix zuzuordnen.
• Erst nachdem wir Basen gewählt haben, wurde der Weg eindeutig.
• Wir sollten also besser sagen: Die $f$ zugeordnete Matrix bezüglich der Basen $B$ und $C$.

Definition

Definition (Abbildungsmatrix)

Seien $K$ ein Körper, $V$ und $W$ $K$-Vektorräume der Dimension $n$ bzw. $m$. Sei $B$ eine Basis von $V$ mit Koordinatenabbildung $k_{B}:V\to K^{n}$ und $C$ eine Basis von $W$ mit Koordinatenabbildung $k_{C}:W\to K^{m}$. Sei $f:V\to W$ eine lineare Abbildung. Definiere $g:K^{n}\to K^{m}$ durch $g=k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}$. Nun ist die Abbildungsmatrix von $f$ bzgl. der Basen $B$ und $C$ gegeben durch die zugehörige Matrix von $g$, d.h. die $i$-te Spalte der $m\times n$ Matrix enthält das Bild $g(e_{i})$ des $i$-ten Standardbasisvektors unter $g$. Wir schreiben diese als $M_{C}^{B}(f)$.

• Andere Begriffe für Abbildungsmatrix nennen: Darstellungsmatrix, zugeordnete Matrix

Rechnen mit Abbildungsmatrizen

Berechnung einer Abbildungsmatrix

To-Do:

Auf DAS Diagram verweisen

• Wie können wir das jetzt konkret ausrechnen?
• Wir wollen den Wert von k_C\circ f\circ k_B^{-1}(e_i) berechnen.
• Die definierende Eigenschaft von k_B ist, dass k_B(v_i) = e_i gilt.
• Das heißt es gilt k_C\circ f\circ k_B^{-1}(e_i) = k_C\circ f(v_i).
• Um den ij-ten eintrag von M^B_C(f) zu finden, müssen wir den i-ten Eintrag von k_C\circ f(v_j) bestimmen.
• Nun hat f(v_j) eine Basisdarstellung f(v_j) = \sum_{i=0}^m a_{ij}w_i. Das heißt es gilt k_C(f(v_j)) = (a_{1j}, \dots, a_{mj})^T
• Damit ist der ij-te Eintrag von M^B_C(f) als der Eintrag a_{ij} aus der Basisdarstellung f(v_j) = \sum_{i=0}^m a_{ij}w_i gegeben.

Definition (Abbildungsmatrix, alternative)

Seien $K$ ein Körper, $V$ und $W$ endlich-dimensionale $K$-Vektorräume. Sei $B=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ eine Basis von $V$ und $C=\{w_{1},\dots ,w_{m}\}$ eine Basis von $W$. Sei $f:V\to W$ eine lineare Abbildung. Seien $a_{ij}\in K$ so, dass $f(v_{j})=\sum _{i=0}^{m}a_{ij}w_{i}$ für alle $j\in \{1,\dots ,n\}$ gilt. Dann definieren wir die Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich $B$ und $C$ als die Matrix $M_{C}^{B}(f)=(a_{ij}){ij}$.

Verwendung der Abbildungsmatrix

To-Do:

Notation vereinheitlichen / an den vorherigen Abschnitten anpassen

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor $L(v)$ jedes Vektors $v\in V$ berechnen. Dazu stellen wir zunächst $v$ bezüglich der Basis $B$ von $V$ dar, also $v=v_{1}b_{1}+v_{2}b_{2}+\cdots +v_{n}b_{n}$. Dann gilt wegen der Linearität von $L$

$L(v)=\sum _{j=1}^{n}v_{j}L(b_{j})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}b_{i}^{*}\right)=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)b_{i}^{*}$

Für die Koordinaten $w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m}$ von $L(v)$ bezüglich $B^{*}$ gilt also

$w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}$.

Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation mit einem Vektor ("Zeile mal Spalte") können wir dies auch so ausdrücken:

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}v_{j}\\\sum _{j=1}^{n}a_{2j}v_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}v_{j}\end{pmatrix}}$

Die Matrix ${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})$ heißt Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von $L$ bezüglich $B$ und $B^{*}$.

Eins zu Eins Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen

• Blick auf die Rückrichtung: Noch einmal verdeutlichen, wie man aus einer Matrix die zugehörige Lineare Abbildung erhält. Betonen, dass es auf die Wahl der Basis ankommt.

• Haben oben gesehen, dass man nach fester Wahl der Basen B und C einer Abbildung f auf eindeutige Weise die Matrix M^B_C(f) zuordnen kann.
• Wir haben in der Herleitung bereits gesehen, dass wir eine Bijektion zwischen Hom(V,W) und Hom(K^n,K^m) haben.
• Im Artikel Hinführung zu Matrizen haben wir gesehen, dass Hom(K^n,K^m)\cong K^{m\times n}.
• Damit haben wir einen Iso Hom(V,W) \cong Hom(K^n, K^m) \cong K^{m\times n}
• Die Richtung Hom(V,W) \to K^{m\times n} ist genau der Weg f\mapsto M^B_C(f).

• Überleitung zu ausführlichem Weg.

Hinweis: Im folgendem mit den Indizes aufpassen, das wirkich die richtige Matrix rauskommt (nicht die Transponierte oder so), hab das nicht überprüft

• Erinnerung: Ist eine Basis eines Vektorraums angegeben mit n Basiselemente, so kann man jedes Element des Vektorraums durch n Koeffizienten aus dem Körper beschreiben
• genauer: Sei B = { v_1, \dots ,v_n} eine Basis von V

• sei v ein Vektor von V, dann existieren lambda_i mit v = summe lambda_i v_i
• dann ist f(v) = summe lambda_i f(v_i)
• diese Bilder f(v_i) sind Elemente von W

-> müssen eigentlich nur n Vektoren f(v_i) von W angeben, um die lineare Abbildung festzulegen

• Vektoren in W kann man eindeutig als Linearkombination von Elementen einer Basis C von W schreiben
• Ist m = Kardinalität von C, so reicht es eigentlich, jeweils nur die m Koeffizienten anzugeben
• genauer: f(v_i) = summe(j) a_{i,j} w_j
• für das allgemeine v heißt das: f(v) = summe(i) lambda_i f(v_i) = summe(i,j) lambda_i a_{ij} w_i
• die lambda_i hängen von dem konkreten v ab, das wir betrachten
• die a_{i,j} nur von den gewählten Basen

-> brauchen n*m Koeffizienten um die Bilder aller Vektoren und somit die lineare Abbildung eindeutig zu beschreiben

• a_{i,j} beschreibt genau den Anteil von w_j in f(v_i)
• wir erinnern uns nochmal was wir oben gesehen haben:

    f(v) = ... =
         = (lambda_1 a_11 + lambda_2 a_12 + ... ) * w_1
         + (lambda_1 a_21 + lambda_2 a_22 + ... ) * w_2
         + (lambda_1 a_31 + lambda_2 a_32 + ... ) * w_3
         ...

• schreiben die a_{ij} tabellarisch auf , nennen das ganze Matrix M^B_C (f)
• Hinweis: das hängt von den gewählten Basen ab

Beispiele

• Beispiel mit nicht-standard-Basis im k^n
  • Gleiche Abbildung verschiedene Matrizen, und
  • Gleiche Matrix und verschiedene Abbildungen
• Beispiel nicht im k^n (Polynome?)

To-Do:

Das folgende Beispiel später ausweiten

Beispiel (Anschauliches Beispiel)

Es werde wieder die lineare Abbildung $L$ des obigen Beispiels betrachtet, also

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},L{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x-3y\\x-2y+z\end{pmatrix}}$

Diesmal wird im Zielraum $\mathbb {R} ^{2}$ jedoch die geordnete Basis

$B^{*}=\left\lbrace {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace$

verwendet. Nun gilt:

$L\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

$L\left({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

$L\left({\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von $L$ bezüglich der Basen $B$ und $B^{*}$:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})={\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}}$

Alter Inhalt

Eine Abbildungs- oder Darstellungsmatrix ist eine Matrix, die in der linearen Algebra verwendet wird, um eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen zu beschreiben. Hier haben wir uns bereits mit einer intuitiven Herangehensweise damit beschäftigt. In diesem Artikel werden wir die Abbildungsmatrix nun formal aufschreiben.

Aufbau einer Abbildungsmatrix

Voraussetzungen

Wir wollen uns nun im Detail anschauen, wie eine Abbildungs- oder Darstellungsmatrix aufgebaut wird.

Hinweis

Wir legen hier fest, dass wir die Koordinaten von Vektoren in der Spaltenschreibweise notieren. Dazu muss man den Vektor, der abgebildet werden soll, als Spaltenvektor (bzgl. der gewählten Basis) schreiben.

Es seien $V$ und $W$ zwei endlich-dimensionale $K$-Vektorräume mit $\operatorname {dim} V=n$ und $\operatorname {dim} W=m$. Weiterhin seien $B=\lbrace b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\rbrace$ eine Basis von $V$ und $B^{*}=\lbrace b_{1}^{*},b_{2}^{*},\ldots ,b_{m}^{*}\rbrace$ eine Basis von $W$. Wir halten im folgenden die Reihenfolge der Vektoren in beiden Basen fest.

Warnung

Bei einem Wechsel der Basen in einem der betroffenen Räume muss die Matrix transformiert werden, sonst beschreibt sie eine andere lineare Abbildung.

Aufstellen der Abbildungsmatrix

Wir betrachten eine lineare Abbildung $L:V\rightarrow W$. Für jeden Basisvektor $b_{j}$ aus $B$ lässt sich der Bildvektor $L(b_{j})$ als Linearkombination der Basisvektoren $b_{1}^{*},\ldots ,b_{m}^{*}$ darstellen:

$L(b_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}b_{i}^{*}$

Die $a_{ij},\,i=1,\ldots ,m,\,j=1,\ldots ,n$ bilden die Einträge der Matrix ${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})$:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

In der $j$-ten Spalte stehen also die Koordinaten von $L(b_{j})$ bezüglich der Basis $B^{*}$.

Wegen des Prinzips der linearen Fortsetzung wissen wir, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder der Vektoren einer Basis des Startvektorraums eindeutig bestimmt ist. Das bedeutet, dass alle wichtigen Informationen über die Abbildung in der Abbildungsmatrix stecken, die ja genau die Bilder der Basisvektoren enthält.

Zusammenfassung

Nach der Wahl einer Basis aus der Definitionsmenge und der Zielmenge stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums: Jede Spalte der Matrix ist das Bild eines Vektors der Urbildbasis. Eine Abbildungsmatrix ${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})$ aus einem $n$-dimensionalen Vektorraum in einen $m$-dimensionalen Vektorraum hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.

Das Bild eines Koordinatenvektors kann man dann so berechnen:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})\cdot v=w$

Dabei ist $w$ der Bildvektor, $v$ der Vektor, der abgebildet wird, jeweils in den zur gewählten Basis ihres Raumes gehörenden Koordinaten. Damit lässt sich eine lineare Abbildung darstellen als Multiplikation der Abbildungsmatrix mit dem Vektor der abgebildet werden soll.

Beispiele

To-Do:

Einheitsmatrix als Abbildungsmatrix der Identität einführen

Abbildungen auf Koordinatentupel

Sei $L\colon V\to \mathbb {R} ^{m}$ eine lineare Abbildung und $B=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ eine geordnete Basis von $V$.

Als Basis $B^{*}$ für die Zielmenge $\mathbb {R} ^{m}$ wird die kanonische Standardbasis gewählt:

$B^{*}=\lbrace e_{1},e_{2},\ldots ,e_{m}\rbrace$

Die Abbildungsmatrix ergibt sich, indem man die Bilder der Basisvektoren von $V$ als Spalten einer Matrix auffasst:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})={\begin{pmatrix}L(b_{1})_{1}&L(b_{2})_{1}&\cdots &L(b_{n})_{1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\L(b_{1})_{i}&L(b_{2})_{i}&\cdots &L(b_{n})_{i}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\L(b_{1})_{m}&L(b_{2})_{m}&\cdots &L(b_{n})_{m}\end{pmatrix}}$

Beispiel (Anschauliches Beispiel)

Wir betrachten die lineare Abbildung

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},L{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x-3y\\x-2y+z\end{pmatrix}}$

Sowohl im Urbildraum $\mathbb {R} ^{3}$ als auch im Zielraum $\mathbb {R} ^{2}$ wird die kanonische Standardbasis gewählt:

$B=\left\lbrace {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace \,,\quad B^{*}=\left\lbrace {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace$

Es gilt:

$L{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},\quad L{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}},\quad L{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

Damit ist die Abbildungsmatrix von $L$ bezüglich der gewählten Basen $B$ und $B^{*}$:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})={\begin{pmatrix}2&-3&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}$

Abbildungen in allgemeine Vektorräume

Falls die Elemente des Zielraums keine Koordinatentupel sind, oder aus anderen Gründen eine andere Basis $B^{*}=(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m})$ anstelle der kanonischen Standardbasis gewählt wird, so müssen die Bilder $L(v_{j})$ als Linearkombinationen der Basisvektoren $w_{i}$ dargestellt werden, um die Einträge $a_{ij}$ der Abbildungsmatrix zu ermitteln:

$L(v_{j})=a_{1j}w_{1}+a_{2j}w_{2}+\cdots +a_{mj}w_{m}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$

Die Abbildungsmatrix ergibt sich, indem man die Koeffizienten der Linearkombinationen spaltenweise in die Matrix einträgt:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1j}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2j}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mj}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}$