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Abbildungsmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Artikel lernen wir, wie wir lineare Abbildungen zwischen beliebigen endlichdimensionalen Vektorräumen mithilfe von Matrizen beschreiben können. Die darstellende Matrix einer solchen linearen Abbildung ist von der Wahl von Basen in und in abhängig. Ihre Spalten sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren von .

Verallgemeinerung auf abstrakte Vektorräume[Bearbeiten]

Im Artikel zur Hinführung zu Matrizen haben wir gesehen, wie wir eine lineare Abbildung durch eine Matrix beschreiben können. Auf diese Weise können wir lineare Abbildungen zwischen und vergleichsweise einfach angeben und klassifizieren. Können wir so eine Beschreibung auch für lineare Abbildungen zwischen allgemeinen Vektorräumen finden?

Formell ausgedrückt, betrachten wir die Frage: Gegeben zwei endlichdimensionale -Vektorräume und , wie können wir eine lineare Abbildung vollständig beschreiben?

Um diese Frage zu beantworten, können wir versuchen, sie auf den Fall von und zurückzuführen. Im Artikel Isomorphismus haben wir gesehen, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum zu einem isomorph ist. Das heißt, es gilt und . Dabei ist und . Dieser Isomorphismus funktioniert wie folgt: Wir wählen eine geordnete Basis von . Durch Darstellung eines Vektors in bzgl. erhalten wir die Koordinatenabbildung , die auf abbildet. Genauso erhalten wir den Isomorphismus nach Wahl einer Basis von . Hierbei ist es wichtig, dass und geordnete Basen sind, da wir für unterschiedliche Anordnung der Basisvektoren eine andere Abbildung bekommen würden.

Mithilfe dieser Isomorphismen können wir aus unserer Abbildung eine Abbildung machen: Wir setzen dafür . Um diese Konstruktion zu verstehen, können wir uns einmal das folgende Diagramm ansehen:

Verschieben einer linearen Abbildung in den Koordinatenraum
Verschieben einer linearen Abbildung in den Koordinatenraum

Zu dieser Abbildung können wir wie im Artikel Hinführung zu Matrizen eine Matrix zuordnen.

Haben wir damit unser Ziel erreicht? Wenn dem so ist, können wir aus die Abbildung rekonstruieren. Aus dem Artikel Hinführung zu Matrizen wissen wir bereits, dass wir mit der induzierten Abbildung aus die Abbildung rekonstruieren können. Nun sind und Isomorphismen. Das heißt, wir können die Abbildung aus rekonstruieren, indem wir bilden.

Also können wir die zu zugeordnete Matrix nennen. Wir müssen mit dieser Bezeichnung jedoch vorsichtig sein: Sie hängt von der Wahl der geordneten Basen von und von ab. Das heißt, wir haben eigentlich mehrere Wege gefunden, um aus eine Matrix zu konstruieren. Erst nachdem wir die Basen und gewählt haben, haben wir einen eindeutigen Weg gefunden, um für eine Matrix zu finden. Somit sollte die oben konstruierte Matrix eigentlich "die zu bezüglich den Basen und zugeordnete Matrix" heißen. Passenderweise können wir mit bezeichnen. Durch die Konstruktion füllt diese Matrix genau die untere Zeile im folgenden Diagramm:

Diagramm, das die Abbildungsmatrix charakterisiert
Diagramm, das die Abbildungsmatrix charakterisiert

Definition[Bearbeiten]

Definition (Abbildungsmatrix)

Seien ein Körper, und -Vektorräume der Dimension bzw. . Sei eine Basis von mit Koordinatenabbildung und eine Basis von mit Koordinatenabbildung . Sei eine lineare Abbildung. Definiere durch . Nun ist die Abbildungsmatrix von bzgl. der Basen und gegeben durch die zugehörige Matrix von , d.h. die -te Spalte der Matrix enthält das Bild des -ten Standardbasisvektors unter . Wir schreiben diese als .

Warnung

Beachte, dass die Matrix von den gewählten (geordneten) Basen und abhängt! Wählt man andere Basen, bekommt man im Allgemeinen einen andere Matrix. Das gilt auch, wenn man nur die Reihenfolge der Basisvektoren ändert. Deshalb verwenden wir geordnete Basen.

Hinweis

Die Abbildungsmatrix wird auch Darstellungsmatrix oder zugeordnete Matrix genannt.

Rechnen mit Abbildungsmatrizen[Bearbeiten]

Berechnung einer Abbildungsmatrix[Bearbeiten]

Zusammenhang der Elemente und .

Wie können wir die zugehörige Matrix zu finden? Also wie können wir die Einträge der Matrix konkret berechnen?

Der -te Spaltenvektor der Matrix ist gegeben durch . Wir wollen also diesen Vektor bestimmen. Es gilt . Die definierende Eigenschaft der Koordinatenabbildung ist, dass diese Abbildung den Basisvektor auf abbildet. Deshalb gilt . Die -te Spalte von ist also der Vektor . Um herauszufinden, wie den Vektor abbildet, müssen wir diesen Vektor in der Basis darstellen. Es gibt Skalare , so dass . Dann gilt

Damit ist der -te Eintrag von als der Eintrag aus der Basisdarstellung gegeben.

Definition (Abbildungsmatrix, alternative)

Seien ein Körper, und endlich-dimensionale -Vektorräume. Sei eine Basis von und eine Basis von . Sei eine lineare Abbildung. Seien so, dass für alle gilt. Dann definieren wir die Abbildungsmatrix von bezüglich und als die Matrix .

Hinweis

Die Spalten von sind also die Koordinaten bzgl. der Bilder der Basisvektoren von . Wir können das auch so notieren: Hier ist jeder Eintrag in der Zeile ein Spaltenvektor.

Beispiel (Berechnung der Abbildungsmatrix)

Sei der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit Koeffizienten aus und der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 1 mit Koeffizienten aus . Wir definieren folgende lineare Abbildung

Man kann leicht prüfen, dass tatsächlich eine lineare Abbildung ist. Wir haben die Basen von und von .

Gesucht ist die Matrix .

Dafür berechnen wir die Bilder der Basisvektoren aus und drücken das Ergebnis in der Basis aus:

Die Koeffizienten vor den Basisvektoren in sind die Einträge der gesuchten Matrix. Also ist

Verwendung der Abbildungsmatrix[Bearbeiten]

Nun wissen wir, wie wir die Abbildungsmatrix von bezüglich der Basen und berechnen kann. Wozu können wir diese Matrix nutzen?

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor jedes Vektors berechnen. Dazu stellen wir zunächst bezüglich der Basis von dar, also . Wir bezeichnen die Einträge der Abbildungsmatrix mit . Dann gilt:

Wir erhalten also eine Darstellung des Vektors als Linearkombination der Basisvektoren von , mit Koordinaten

Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation mit einem Vektor ("Zeile mal Spalte") können wir dies auch so ausdrücken:

Mithilfe der Abbildungsmatrix erhalten wir also aus dem Koordinatenvektor von den Koordinatenvektor von . Dafür multiplizieren wir von links mit der darstellenden Matrix :

Die Gleichung besagt, dass, ausgehend von einem Vektor , im Diagramm zur darstellenden Matrix der rote und der blaue Pfad dasselbe Ergebnis liefern.

Das definierende Diagramm einer Abbildungsmatrix
Das definierende Diagramm einer Abbildungsmatrix

Anstatt mit einem Vektor zu beginnen können wir auch mit einem beliebigen Vektor starten. Dann ist der Koordinatenvektor von . Ebenso können wir das Produkt als einen Koordinatenvektor von auffassen. Aus dem Diagramm wissen wir, dass der Koordinatenvektor von ist. Es gilt also

Hier haben wir benutzt, dass die Koordinatenabbildungen Isomorphismen sind, wir die Pfeile von und im Diagramm also auch umgekehrt laufen können. Die Gleichung besagt, dass der rote und blaue Pfad im folgenden Diagramm dasselbe Ergebnis liefern:

Das definierende Diagramm einer Abbildungsmatrix mit invertierter Koordinatenabbildung
Das definierende Diagramm einer Abbildungsmatrix mit invertierter Koordinatenabbildung

Beispiel (Verwendung der Abbildungsmatrix)

Wir betrachten, wie oben die lineare Abbildung

und die Basen von bzw. von .

Wir haben schon die Abbildungsmatrix von bezüglich dieser Basen berechnet:

Diese Matrix können wir nun nutzen, um für ein Polynom zu berechnen. Wir haben oben gesehen, dass

Um das zu verstehen, schauen wir uns ein konkretes Beispiel an: Wir betrachten das Polynom . Zuerst müssen wir , d.h. die Koordinaten bezüglich der Basis , berechnen. Den Koordinatenvektor bildet sich aus den Vorfaktoren der Linearkombination in der Basis . Wir haben

Daraus können wir den Koordinatenvektor finden:

Diesen Vektor können wir mit der Abbildungsmatrix multiplizieren:

Dieser Vektor ist , also der Koordinatenvektor von zu der Basis . Um daraus zu erhalten, müssen wir die Koordinaten im Vektor als Vorfaktoren in der Linearkombination von zu schreiben. Also ist

Abbildungsmatrizen und Komposition linearer Abbildungen[Bearbeiten]

Im folgenden Satz zeigen wir, dass die Verknüpfung von linearen Abbildungen der Multiplikation ihrer darstellenden Matrizen entspricht.

Satz (Abbildungsmatrizen und Komposition linearer Abbildungen)

Seien und lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Seien ferner eine Basis von , eine Basis von und eine Basis von . Dann gilt

Beweis (Abbildungsmatrizen und Komposition linearer Abbildungen)

Sei und sei . Seien außerdem bzw. die darstellenden Matrizen von bzw. .

Nach Definition der darstellenden Matrix wissen wir, dass die die eindeutigen Skalare sind, sodass

für alle gilt. Um zu beweisen, müssen wir

nachrechnen. In der Tat sehen wir:

Wegen der Eindeutigkeit der Koordinaten in der Linearkombination der folgt .

Warnung

Für die Kürzungsregel ist es wichtig, dass bei den darstellenden Matrizen von und in beiden Fällen dieselbe geordnete Basis von gewählt wird. Bildet man für eine andere Basis von , dann gilt die Kürzungsregel nicht mehr: Die Gleichung

ist im Allgemeinen falsch. Weil darstellende Matrizen von der Reihenfolge der Basisvektoren abhängen, gilt das auch dann, wenn nur eine Umordnung von ist.

Eins zu Eins Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Mit Abbildungsmatrizen können wir nach einer festen Wahl geordneter Basen und eine Abbildung eindeutig eine Matrix zuordnen. Das können wir nach der Wahl der Basen mit jeder beliebigen linearen Abbildung machen. Dadurch erhalten wir eine Funktion, die eine Abbildung auf ihre Abbildungsmatrix schickt:

Bei dieser Formel ist , die Menge aller linearer Abbildungen von nach und ist die Menge aller -Matrizen.

Wie sind wir auf die Zuordnung der Matrix zur Abbildung gekommen? Wir haben zu mit Hilfe der Basen und zuerst eine eindeutige Abbildung gefunden und danach die zu zugeordnete Matrix bestimmt. Die Abbildung ist durch die Koordinatenabbildungen definiert: . Also haben wir die Zuordnung

Weil und Bijektionen sind, können wir aus einem auch ein eindeutiges bekommen, dem zugeordnet wird. Dafür müssen wir nur setzen.

Also haben wir eine Bijektion zwischen und .

Auch die Zuordnung

ist eine Bijektion, was wir schon im Artikel Einführung in Matrizen gesehen haben.

Also ist auch eine Bijektion, weil sie die Verknüpfung der beiden Bijektionen und ist. Wie sieht aber die Umkehrung der Bijektion aus?

Die Umkehrabbildung bildet eine Matrix auf eine lineare Abbildung ab, so dass . Seien und geordnete Basen von und und , d.h. ist die -te Komponente der Matrix . Wegen muss gelten

Wegen dem Prinzip der linearen Fortsetzung ist dadurch schon komplett definiert. Wir sehen hier, dass dass die das Gewicht von in ist. Intuitiv speichert die -ten Spalte der Abbildungsmatrix wieder das Bild des -ten Basisvektors, also .

Beispiel (1-zu-1 Korrespondenz)

Wir wollen die Eins zu Eins Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen an einem Beispiel besser verstehen. Die Bijektion ist gegeben durch

wobei eine (geordnete) Basis von und eine (geordnete) Basis von ist. Wir betrachten die beiden -Vektorräume und , d.h. die Vektorräume der Polynome mit Koeffizienten aus und Grad höchstens 2 bzw. 1. Für die Eins zu Eins Korrespondenz brauchen wir noch jeweils eine geordnete Basis von und von . Wir wählen und . Was sind die Variablen und in diesem Beispiel? Die Zahl ist die Dimension des Vektorraums und ist die Dimension von . Also sind und .

Wir haben hier also die Bijektion

Das heißt jede lineare Abbildung von nach liefert eine -Matrix

mit Koeffizienten . Zum Beispiel haben wir oben gesehen, dass zu der linearen Abbildung

und den gewählten Basen und die Matrix

korrespondiert.

Die Eins zu Eins Korrespondenz sagt aber noch mehr: Zu jeder -Matrix mit Koeffizienten in gibt es eine eindeutige lineare Abbildung von nach , so dass die Abbildungsmatrix von ist, d.h. .

Hinweis

Wenn wir eine passende Vektorraumstruktur auf der Menge der Matrizen wählen, ist die oben erklärte Bijektion sogar ein Isomorphismus. Die Vektorraumstruktur, die wir auf den Matrizen wählen müssen, ist komponentenweise Addition und skalare Multiplikation. Das betrachten wir ausführlicher im Artikel "Vektorielle Operationen für Matrizen".

Beispiele[Bearbeiten]

Wir berechnen die darstellende Matrix einer konkreten linearen Abbildung bzgl. der Standardbasis.

Beispiel (Konkretes Beispiel)

Wir betrachten die lineare Abbildung

Sowohl im Urbildraum als auch im Zielraum wird die kanonische Standardbasis gewählt:

Es gilt:

Damit ist die Abbildungsmatrix von bezüglich der gewählten Basen und :

Betrachten wir nun dieselbe lineare Abbildung, aber eine andere Basis im Bildbereich.

Beispiel (Konkretes Beispiel mit anderer Basis)

Wir betrachten wieder die lineare Abbildung des obigen Beispiels, also

Diesmal verwenden wir im Zielraum die geordnete Basis

Nun gilt:

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von bezüglich der Basen und :

Wir sehen, dass diese Matrix nicht gleich aus dem ersten Beispiel ist.

Wir sehen aus den beiden vorherigen Beispielen, dass die darstellende Matrix einer linearen Abbildung von der gewählten Basis abhängt. Es ist wichtig, dass wir geordnete Basen betrachten: Die darstellende Matrix hängt auch von der Reihenfolge der Basisvektoren ab.

Beispiel (Konkretes Beispiel mit umgeordneter Basis)

Wir betrachten wieder die lineare Abbildung des obigen Beispiels, also

Diesmal verwenden wir im Zielraum die umgeordnete Standardbasis

Nun gilt:

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von bezüglich der Basen und :

Wir sehen, dass diese Matrix nicht gleich aus dem ersten Beispiel ist.

Umgekehrt können aber auch verschiedene Abbildungen die gleiche Abbildungsmatrix haben, wenn man sie zu verschiedenen Basen darstellt:

Beispiel (Konkretes Beispiel mit anderer Abbildung und gleicher Matrix)

Betrachte die lineare Abbildung

Wir wählen sowohl im Urbild- als auch im Bildbereich die Standardbasis

und berechnen wie in den vorherigen Beispielen die darstellende Matrix von bzgl. dieser Basen zu

Das ist dieselbe Matrix wie die darstellende Matrix aus dem vorherigen Beispiel. Aber die linearen Abbildungen und sind nicht gleich, denn es gilt

Betrachten wir nun noch ein etwas abstrakteres Beispiel:

Beispiel (Polynome verschiedenen Grades)

Seien , der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3 mit Koeffizienten aus und der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit Koeffizienten aus . Sei definiert als die Ableitung eines Polynoms, d.h. für alle sei . Bei betrachtung der Basen: und . Es gilt:

Somit erhält man für Abbildungsmatrix von bezüglich der Basen und :