Abbildungsmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Eine Abbildungs- oder Darstellungsmatrix ist eine Matrix, die in der linearen Algebra verwendet wird, um eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen zu beschreiben. Hier haben wir uns bereits mit einer intuitiven Herangehensweise damit beschäftigt. In diesem Artikel werden wir die Abbildungsmatrix nun formal aufschreiben.

Aufbau einer Abbildungsmatrix

Voraussetzungen

Wir wollen uns nun im Detail anschauen, wie eine Abbildungs- oder Darstellungsmatrix aufgebaut wird.

Hinweis

Wir legen hier fest, dass wir die Koordinaten von Vektoren in der Spaltenschreibweise notieren. Dazu muss man den Vektor, der abgebildet werden soll, als Spaltenvektor (bzgl. der gewählten Basis) schreiben.

Es seien $V$ und $W$ zwei endlich-dimensionale $K$-Vektorräume mit $\operatorname {dim} V=n$ und $\operatorname {dim} W=m$. Weiterhin seien $B=\lbrace b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\rbrace$ eine Basis von $V$ und $B^{*}=\lbrace b_{1}^{*},b_{2}^{*},\ldots ,b_{m}^{*}\rbrace$ eine Basis von $W$. Wir halten im folgenden die Reihenfolge der Vektoren in beiden Basen fest.

Warnung

Bei einem Wechsel der Basen in einem der betroffenen Räume muss die Matrix transformiert werden, sonst beschreibt sie eine andere lineare Abbildung.

Aufstellen der Abbildungsmatrix

Wir betrachten eine lineare Abbildung $L:V\rightarrow W$. Für jeden Basisvektor $b_{j}$ aus $B$ lässt sich der Bildvektor $L(b_{j})$ als Linearkombination der Basisvektoren $b_{1}^{*},\ldots ,b_{m}^{*}$ darstellen:

$L(b_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}b_{i}^{*}$

Die $a_{ij},\,i=1,\ldots ,m,\,j=1,\ldots ,n$ bilden die Einträge der Matrix ${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})$:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

In der $j$-ten Spalte stehen also die Koordinaten von $L(b_{j})$ bezüglich der Basis $B^{*}$.

Wegen des Prinzips der linearen Fortsetzung wissen wir, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder der Vektoren einer Basis des Startvektorraums eindeutig bestimmt ist. Das bedeutet, dass alle wichtigen Informationen über die Abbildung in der Abbildungsmatrix stecken, die ja genau die Bilder der Basisvektoren enthält.

Verwendung der Abbildungsmatrix

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor $L(v)$ jedes Vektors $v\in V$ berechnen. Dazu stellen wir zunächst $v$ bezüglich der Basis $B$ von $V$ dar, also $v=v_{1}b_{1}+v_{2}b_{2}+\cdots +v_{n}b_{n}$. Dann gilt wegen der Linearität von $L$

$L(v)=\sum _{j=1}^{n}v_{j}L(b_{j})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}b_{i}^{*}\right)=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)b_{i}^{*}$

Für die Koordinaten $w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m}$ von $L(v)$ bezüglich $B^{*}$ gilt also

$w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}$.

Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation mit einem Vektor ("Zeile mal Spalte") können wir dies auch so ausdrücken:

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}v_{j}\\\sum _{j=1}^{n}a_{2j}v_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}v_{j}\end{pmatrix}}$

Die Matrix ${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})$ heißt Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von $L$ bezüglich $B$ und $B^{*}$.

Zusammenfassung

Nach der Wahl einer Basis aus der Definitionsmenge und der Zielmenge stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums: Jede Spalte der Matrix ist das Bild eines Vektors der Urbildbasis. Eine Abbildungsmatrix ${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})$ aus einem $n$-dimensionalen Vektorraum in einen $m$-dimensionalen Vektorraum hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.

Das Bild eines Koordinatenvektors kann man dann so berechnen:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})\cdot v=w$

Dabei ist $w$ der Bildvektor, $v$ der Vektor, der abgebildet wird, jeweils in den zur gewählten Basis ihres Raumes gehörenden Koordinaten. Damit lässt sich eine lineare Abbildung darstellen als Multiplikation der Abbildungsmatrix mit dem Vektor der abgebildet werden soll.

Beispiele

Abbildungen auf Koordinatentupel

Sei $L\colon V\to \mathbb {R} ^{m}$ eine lineare Abbildung und $B=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ eine geordnete Basis von $V$.

Als Basis $B^{*}$ für die Zielmenge $\mathbb {R} ^{m}$ wird die kanonische Standardbasis gewählt:

$B^{*}=\lbrace e_{1},e_{2},\ldots ,e_{m}\rbrace$

Die Abbildungsmatrix ergibt sich, indem man die Bilder der Basisvektoren von $V$ als Spalten einer Matrix auffasst:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})={\begin{pmatrix}L(b_{1})_{1}&L(b_{2})_{1}&\cdots &L(b_{n})_{1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\L(b_{1})_{i}&L(b_{2})_{i}&\cdots &L(b_{n})_{i}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\L(b_{1})_{m}&L(b_{2})_{m}&\cdots &L(b_{n})_{m}\end{pmatrix}}$

Beispiel (Anschauliches Beispiel)

Wir betrachten die lineare Abbildung

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},L{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x-3y\\x-2y+z\end{pmatrix}}$

Sowohl im Urbildraum $\mathbb {R} ^{3}$ als auch im Zielraum $\mathbb {R} ^{2}$ wird die kanonische Standardbasis gewählt:

$B=\left\lbrace {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace \,,\quad B^{*}=\left\lbrace {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace$

Es gilt:

$L{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},\quad L{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}},\quad L{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

Damit ist die Abbildungsmatrix von $L$ bezüglich der gewählten Basen $B$ und $B^{*}$:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})={\begin{pmatrix}2&-3&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}$

Abbildungen in allgemeine Vektorräume

Falls die Elemente des Zielraums keine Koordinatentupel sind, oder aus anderen Gründen eine andere Basis $B^{*}=(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m})$ anstelle der kanonischen Standardbasis gewählt wird, so müssen die Bilder $L(v_{j})$ als Linearkombinationen der Basisvektoren $w_{i}$ dargestellt werden, um die Einträge $a_{ij}$ der Abbildungsmatrix zu ermitteln:

$L(v_{j})=a_{1j}w_{1}+a_{2j}w_{2}+\cdots +a_{mj}w_{m}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$

Die Abbildungsmatrix ergibt sich, indem man die Koeffizienten der Linearkombinationen spaltenweise in die Matrix einträgt:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1j}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2j}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mj}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

Beispiel (Anschauliches Beispiel)

Es werde wieder die lineare Abbildung $L$ des obigen Beispiels betrachtet, also

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},L{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x-3y\\x-2y+z\end{pmatrix}}$

Diesmal wird im Zielraum $\mathbb {R} ^{2}$ jedoch die geordnete Basis

$B^{*}=\left\lbrace {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace$

verwendet. Nun gilt:

$L\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

$L\left({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

$L\left({\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von $L$ bezüglich der Basen $B$ und $B^{*}$:

${\mathcal {M}}(L,B,B^{*})={\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}}$

Umkehrung: Die induzierte Abbildung

Wir haben nun gesehen, dass wir zu einer gegebenen linearen Abbildung $L:V\to W$ und Basen $B_{V},B_{W}$ auf eindeutige Weise eine Matrix $A$ zuordnen können. Dies können wir nun auch umdrehen. Das heißt, zu einer gegebener Matrix $A$ können wir auch eine lineare Abbildung definieren:

Definition (Induzierte Abbildung)

Sei $A\in K^{m\times n}$ eine Matrix über dem Körper $K$. Dann heißt die Abbildung:

$L_{A}:\,K^{n}\to K^{m},\;L_{A}(v):=Av$

die von der Matrix $A$ induzierte lineare Abbildung.

Die Abbildung $L_{A}$ bildet vom Vektorraum $K^{n}$ auf den Vektorraum $K^{m}$ ab. Nun wäre es interessant, zu $L_{A}$ wiederum eine Abbildungsmatrix zu bestimmen. Dazu müssen wir allerdings zunächst Basen $B_{1},B_{2}$ für die Vektorräume $K^{n}$ und $K^{m}$ festlegen. Falls wir nun sowohl für $B_{1}$ als auch für $B_{2}$ die Standardbasis gegeben durch $B_{1}=\{e_{1},...,e_{n}\}$ und $B_{2}=\{e_{1},...,e_{m}\}$ mit $e_{i}=(0,..,0,\underbrace {1} _{i{\text{-te Stelle}}},0,..,0)$ wählen. Dann gilt für die Abbildungsmatrix:

To-Do:

Beweis ergänzen

${\mathcal {M}}(L_{A},B_{1},B_{2})=A$

In Worten: Die Abbildungsmatrix der von $A$ induzierten linearen Abbildung $L_{A}$ bezüglich der Standardbasen ergibt wieder die Matrix $A$.