Vektorraum linearer Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir betrachten den Vektorraum der linearen Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen.

Der Vektorraum der linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Im Bild heißt Hom_K(V, W) noch L(V,W)

Bildung des Vektorraums

Seien ein Körper und zwei -Vektorräume. Wir wollen nun die Menge aller -linearen Abbildungen von nach betrachten. Diese Menge nennen wir . Also:

Wir vermuten, dass diese Menge einen -Vektorraum bildet, genauer gesagt einen Unterraum von . Von dieser Menge wissen wir bereits, dass sie ein -Vektorraum ist.

Satz

Sei ein Körper und und zwei -Vektorräume. Dann ist die Menge der linearen Abbildungen von nach ein -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis?

Es reicht zu zeigen, dass ein -Untervektorraum von ist. Dazu müssen wir zeigen:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und alle gilt .

Beweis

Wir zeigen, dass ein Untervektorraum von ist.

Beweisschritt:

Die Abbildung ist eine -lineare Abbildung. Also ist .

Beweisschritt: Für alle gilt .

Wir müssen zeigen, dass die Abbildung

eine -lineare Abbildung ist.

Beweisschritt: Additivität von

Seien . Dann gilt

Beweisschritt: Homogenität von

Sei und . Dann gilt

Beweisschritt: Für alle und alle gilt .

Sei eine lineare Abbildung und . Wir müssen zeigen, dass die Abbildung

eine -lineare Abbildung ist.

Beweisschritt: Additivität von

Seien . Dann gilt

Beweisschritt: Homogenität von

Sei und . Dann gilt

Damit ist ein Unterraum von .

Die Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Wir wollen im Folgenden die Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen zwischen zwei endlich-dimensionalen Vektorräumen berechnen.

Satz (Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen)

Sei ein Körper, zwei -Vektorräume mit .

Dann gilt .

Wie kommt man auf den Beweis? (Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen)

Um die Dimension von zu finden, müssen wir eine Basis dieses Raumes konstruieren.

Wollen wir eine Abbildung von nach definieren, so müssen wir für verschiedene Basisvektoren von ihr Bild in festlegen. Dieses lässt sich wieder als Linearkombination der verschiedenen Basisvektoren von darstellen.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Besser machen

Beweis (Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen)

Wir wählen zunächst zwei Basen:

Es sei eine Basis von ,

Es sei eine Basis von .

Wir wollen für jedes eine lineare Abbildung definieren. Aufgrund des Prinzips der linearen Fortsetzung können wir diese eindeutig durch ihre Werte auf der Basis festgelegen:

Sei .

Diese Menge hat Elemente.

Um die Aussage des Satzes zu beweisen, müssen wir also begründen, dass eine Basis von ist.

Dazu müssen wir zeigen, dass linear unabhängig und ein Erzeugendensystem ist.

Beweisschritt: ist linear unabhängig

Seien , sodass .

Wir müssen nun zeigen, dass bereits für alle .

Sei .

Dann ist:

Da die eine Basis von bilden, sind sie linear unabhängig. Daher folgt breits für alle und unser festes .

Da dieses beliebig gewählt wurde, folgt nun für alle .

Also sind die linear unabhängig.

Beweisschritt: ist ein Erzeugendensystem

Sei .

Für jedes ist . Da eine Basis von ist, gibt es eine eindeutige Zerlegung mit .

Wir zeigen nun:

Wegen der Linearität lässt sich dies auf den Basisvektoren verifizieren. Sei dazu beliebig.

Dann ist:

Daher ist ein Erzeugendensystem.

Damit haben wir die Aussage des Satzes bewiesen.

Hinweis

Eine ähnliche Aussage gilt auch für unendlich-dimensionale Vektorräume:

Ist oder , und , gilt auch .

Ist allerdings und beliebig (oder andersherum), so gilt .

Der Dualraum[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum. Wir wissen bereits, dass auch einen -Vektorraum bildet.

Daher können wir als Spezialfall den Vektorraum betrachten. Diesen nennen wir den Dualraum.

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To-Do:

Artikel zum Dualraum verlinken