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Wir betrachten den Vektorraum der linearen Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen.
Der Vektorraum der linearen Abbildungen[Bearbeiten]
To-Do:
Im Bild heißt Hom_K(V, W) noch L(V,W)
Bildung des Vektorraums

Seien
ein Körper und
zwei
-Vektorräume. Wir wollen nun die Menge aller
-linearen Abbildungen von
nach
betrachten. Diese Menge nennen wir
. Also:
Wir vermuten, dass diese Menge einen
-Vektorraum bildet, genauer gesagt einen Unterraum von
. Von dieser Menge wissen wir bereits, dass sie ein
-Vektorraum ist.
Wie kommt man auf den Beweis?
Es reicht zu zeigen, dass
ein
-Untervektorraum von
ist. Dazu müssen wir zeigen:

- Für alle
gilt
.
- Für alle
und alle
gilt
.
Beweis
Wir zeigen, dass
ein Untervektorraum von
ist.
Beweisschritt: 
Beweisschritt: Für alle
gilt
.
Wir müssen zeigen, dass die Abbildung
eine
-lineare Abbildung ist.
Beweisschritt: Additivität von 
Seien
. Dann gilt
Beweisschritt: Homogenität von 
Damit ist
ein Unterraum von
.
Die Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen[Bearbeiten]
Wir wollen im Folgenden die Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen zwischen zwei endlich-dimensionalen Vektorräumen berechnen.
Beweis (Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen)
Wir wählen zunächst zwei Basen:
Es sei
eine Basis von
,
Es sei
eine Basis von
.
Wir wollen für jedes
eine lineare Abbildung
definieren. Aufgrund des Prinzips der linearen Fortsetzung können wir diese eindeutig durch ihre Werte auf der Basis
festgelegen:
Sei
.
Diese Menge hat
Elemente.
Um die Aussage des Satzes zu beweisen, müssen wir also begründen, dass
eine Basis von
ist.
Dazu müssen wir zeigen, dass
linear unabhängig und ein Erzeugendensystem ist.
Beweisschritt:
ist linear unabhängig
Seien
, sodass
.
Wir müssen nun zeigen, dass bereits
für alle
.
Sei
.
Dann ist:
Da die
eine Basis von
bilden, sind sie linear unabhängig.
Daher folgt breits
für alle
und unser festes
.
Da dieses
beliebig gewählt wurde, folgt nun
für alle
.
Also sind die
linear unabhängig.
Beweisschritt:
ist ein Erzeugendensystem
Sei
.
Für jedes
ist
.
Da
eine Basis von
ist, gibt es eine eindeutige Zerlegung
mit
.
Wir zeigen nun:
Wegen der Linearität lässt sich dies auf den Basisvektoren
verifizieren.
Sei dazu
beliebig.
Dann ist:
Daher ist
ein Erzeugendensystem.
Damit haben wir die Aussage des Satzes bewiesen.
Sei
ein
Vektorraum. Wir wissen bereits, dass auch
einen
-Vektorraum bildet.
Daher können wir als Spezialfall den Vektorraum
betrachten. Diesen nennen wir den Dualraum.
To-Do:
Artikel zum Dualraum verlinken