Vektorraum linearer Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Der Vektorraum der linearen Abbildungen

Bildung des Vektorraums $Hom_{K}(V,W)\quad$

Seien $K$ ein Körper und $V,W$ zwei $K$-Vektorräume. Wir wollen nun die Menge aller $K$-linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ betrachten. Diese Menge nennen wir $Hom_{K}(V,W)$. Also:

$Hom_{K}(V,W):=\{L:V\to W|L{\text{ ist }}K{\text{-linear}}\}$

Wir vermuten, dass diese Menge einen $K$-Vektorraum bildet, genauer gesagt einen Unterraum von $Abb(V,W)$. Von dieser Menge wissen wir bereits, dass sie ein $K$-Vektorraum ist.

Es reicht also zu zeigen, dass $Hom_{K}(V,W)$ ein $K$-Untervektorraum von $Abb(V,W)$ ist. Dazu müssen wir zeigen:

1. $Hom_{K}(V,W)\neq \emptyset$
2. Für alle $L_{1},L_{2}\in Hom_{K}(V,W)$ gilt $L_{1}+L_{2}\in Hom_{K}(V,W)$.
3. Für alle $L\in Hom_{K}(V,W)$ und alle $\lambda \in K$ gilt $\lambda \cdot L\in Hom_{K}(V,W)$.

Satz

Sei $K$ ein Körper und $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume. Dann ist die Menge der linearen Abbildungen $Hom_{K}(V,W)$ von $V$ nach $W$ ein $K$-Vektorraum.

Beweis

Wir zeigen, dass $Hom_{K}(V,W)$ ein Untervektorraum von $Abb(V,W)$ ist.

• $Hom_{K}(V,W)\neq \emptyset$

Die Abbildung $L\colon V\to W,\quad v\mapsto 0_{W}$ ist eine $K$-lineare Abbildung. Also ist $Hom_{K}(V,W)\neq \emptyset$.

• Für alle $L_{1},L_{2}\in Hom_{K}(V,W)$ gilt $L_{1}+L_{2}\in Hom_{K}(V,W)$.

Wir müssen zeigen, dass die Abbildung

$(L_{1}+L_{2})\colon V\to W$

eine $K$-lineare Abbildung ist.

Beweisschritt: (L1) Additivität von $(L_{1}+L_{2})$

Seien $v_{1},v_{2}\in V$. Dann gilt

${\begin{aligned}&(L_{1}+L_{2})(v_{1}+v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L_{1}+L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &L_{1}(v_{1}+v_{2})+L_{2}(v_{1}+v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ L_{1}{\text{ und }}L_{2}{\text{ sind linear}}\right.}\\[0.3em]=\ &L_{1}(v_{1})+L_{1}(v_{2})+L_{2}(v_{1})+L_{2}(v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}W\right.}\\[0.3em]=\ &L_{1}(v_{1})+L_{2}(v_{1})+L_{1}(v_{2})+L_{2}(v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L_{1}+L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &(L_{1}+L_{2})(v_{1})+(L_{1}+L_{2})(v_{2})\end{aligned}}$

Beweisschritt: (L2) Skalar Multiplikation von $(L_{1}+L_{2})$

Sei $v\in V$ und $\lambda \in K$. Dann gilt

${\begin{aligned}&(L_{1}+L_{2})(\lambda \cdot v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L_{1}+L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &L_{1}(\lambda v)+L_{2}(\lambda v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ L_{1}{\text{ und }}L_{2}{\text{ sind linear}}\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot L_{1}(v)+\lambda \cdot L_{2}(v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Skalar Multiplikation distributiv}}\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot (L_{1}(v)+L_{2}(v))=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L_{1}+L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot (L_{1}+L_{2})(v)\end{aligned}}$

• Für alle $L\in Hom_{K}(V,W)$ und alle $\mu \in K$ gilt $\mu \cdot L\in Hom_{K}(V,W)$.

Sei $L:V\to W$ eine lineare Abbildung und $\mu \in K$. Wir müssen zeigen, dass die Abbildung

$\mu \cdot L\colon V\to W,\,v\mapsto \mu \cdot L(v)$

eine $K$-lineare Abbildung ist.

Beweisschritt: (L1) Additivität von $\mu \cdot L$

Seien $v_{1},v_{2}\in V$. Dann gilt

${\begin{aligned}&(\mu \cdot L)(v_{1}+v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\mu L\right.}\\[0.3em]=\ &\mu \cdot L(v_{1}+v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ L{\text{ ist linear}}\right.}\\[0.3em]=\ &\mu (L(v_{1})+L(v_{2}))=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Skalar Multiplikation distributiv}}\right.}\\[0.3em]=\ &\mu \cdot L(v_{1})+\mu \cdot L(v_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\mu \cdot L\right.}\\[0.3em]=\ &(\mu \cdot L)(v_{1})+(\mu \cdot L)(v_{2})\end{aligned}}$

Beweisschritt: (L2) Skalar Multiplikation von $\mu \cdot L$

Sei $v\in V$ und $\lambda \in K$. Dann gilt

${\begin{aligned}&(\mu \cdot L)(\lambda \cdot v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L_{1}+L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &\mu \cdot L(\lambda v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ L{\text{ ist linear}}\right.}\\[0.3em]=\ &\mu \cdot (\lambda \cdot L(v))=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Skalar Multiplikation assoziativ}}\right.}\\[0.3em]=\ &(\lambda \cdot \mu )\cdot L(v)=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L_{1}+L_{2}\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot (\mu \cdot L)(v)\end{aligned}}$

Damit ist $Hom_{K}(V,W)$ ein Unterraum von $\operatorname {Abb} (V,W)$