Vektorraum linearer Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Der Vektorraum der linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Bildung des Vektorraums

Seien ein Körper und zwei -Vektorräume. Wir wollen nun die Menge aller -linearen Abbildungen von nach betrachten. Diese Menge nennen wir . Also:

Wir vermuten, dass diese Menge einen -Vektorraum bildet, genauer gesagt einen Unterraum von . Von dieser Menge wissen wir bereits, dass sie ein -Vektorraum ist.

Es reicht also zu zeigen, dass ein -Untervektorraum von ist. Dazu müssen wir zeigen:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und alle gilt .

Satz

Sei ein Körper und und zwei -Vektorräume. Dann ist die Menge der linearen Abbildungen von nach ein -Vektorraum.

Beweis

Wir zeigen, dass ein Untervektorraum von ist.

Die Abbildung ist eine -lineare Abbildung. Also ist .

  • Für alle gilt .

Wir müssen zeigen, dass die Abbildung

eine -lineare Abbildung ist.

Beweisschritt: (L1) Additivität von

Seien . Dann gilt

Beweisschritt: (L2) Skalar Multiplikation von

Sei und . Dann gilt

  • Für alle und alle gilt .

Sei eine lineare Abbildung und . Wir müssen zeigen, dass die Abbildung

eine -lineare Abbildung ist.

Beweisschritt: (L1) Additivität von

Seien . Dann gilt

Beweisschritt: (L2) Skalar Multiplikation von

Sei und . Dann gilt

Damit ist ein Unterraum von