Lineare Abbildungen, Homomorphismus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Lineare Abbildungen sind spezielle Abbildungen zwischen Vektorräumen, die sich gut mit der Vektorraumstruktur vertragen. Sie sind eines der wichtigsten Konzepte der linearen Algebra und haben zahlreiche Anwendungen.

Motivation[Bearbeiten]

Die Besonderheit linearer Abbildungen[Bearbeiten]

Wir haben die Struktur der Vektorräume kennengelernt und verschiede Eigenschaften von ihnen untersucht. Nun wollen wir Vektorräume nicht nur isoliert voneinander betrachten, sondern wollen auch Abbildungen zwischen ihnen betrachten. Manche dieser Abbildungen vetragen sich gut mit der zugrundeliegenden Vektorraumstruktur und sie werden deswegen lineare Abbildungen oder Vektorraumhomomorphismen genannt.

Dass wir solche strukturerhaltenden Abbildungen untersuchen, ist eine typische Vorgehensweise der Algebra. Für viele algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper untersucht die Algebra die dazugehörigen strukturerhaltenden Abbildungen zwischen den jeweiligen algebraischen Strukturen – Gruppenhomomorphismen, Ringhomomorphismen und Körperhomomorphismus. Bei Vektorräumen sind die strukturerhaltenden Abbildungen die linearen Abbildungen bzw die Vektorraumhomomorphismen.

Seien also und zwei Vektorräume. Wann ist eine Abbildung strukturerhaltend bzw. verträgt sich gut mit den zugrundeliegenden Vektorraumstrukturen in und ? Wiederholen wir hierzu, was die Vektorraumstruktur ausmacht: Vektorräume sind Strukturen, in denen zwei Operationen möglich sind:

  • Addition von Vektoren: Zwei Vektoren können miteinander addiert werden, wobei die Addition der Addition von Zahlen in ihren Eigenschaften ähnelt.
  • Skalare Multiplikation: Vektoren mit einem Skalierungsfaktor aus einem Körper (in der Regel oder ) skaliert (gestaucht, gestreckt oder gespiegelt) werden.

Verträglichkeit der Addition[Bearbeiten]

Beginnen wir mit der Addition von Vektoren: Wann verträgt sich eine Funktion mit den Additionen und auf den jeweiligen Vektorräumen und ? Hier kann man folgende Hypothese aufstellen:

Eine Abbildung ist verträglich mit der Addition, wenn eine Summe durch die Abbildung erhalten bleibt. Wenn also im Vektorraum eine Summe ist, so bilden auch die Bilder von , und im Vektorraum eine Summe:

Eine mit der Addition verträgliche Abbildung erfüllt also für alle die Implikation:

Diese Implikation kann in einer Gleichung zusammengefasst werden, indem die Prämisse in die zweite Gleichung eingsetzt wird. Es soll also für alle gelten:

Diese Gleichung beschreibt die charakteristische Eigenschaft der linearen Abbildung, verträglich zur Vektoraddition zu sein. Diese kann man auch gut für Abbildungen visualisieren. Eine Abbildung verträgt sich genau dann mit der Addition, wenn das durch die Vektoren , und gegebene Dreieck im Definitionsbereich durch die Abbildung erhalten bleibt. Sprich: Auch die drei Vektoren , und bilden ein (Additions-)Dreieck:

Abbildungen sind verträglich mit der Addition, wenn sie Dreiecke durch sie erhalten bleiben

Wenn unverträglich ist mit der Addition, gibt es Vektoren und mit . Das durch , und erzeugte Dreieck bleibt dann nicht erhalten, weil die Dreiecksseite des Ausgangsdreiecks nicht auf die Dreiecksseite des Zieldreiecks abgebildet wird:

Sind Abbildungen nicht verträglich mit der Addition, so bleibt mindestens ein Dreieck durch die Abbildung nicht erhalten.

Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation[Bearbeiten]

Analog können wir uns überlegen, dass eine Abbildung genau dann verträglich mit der skalaren Multiplikation, wenn diese durch die Abbildung erhalten bleibt. Es sollte also für alle und für alle Skalare gelten:

Beachte, dass ein Skalar und kein Vektor ist und dieser damit nicht durch die betrachtete Funktion veändert wird. Damit wir in der obigen Implikation denselben Skalar verwenden können, müssen beide Vektorräume denselben zugrundeliegenden Körper haben, aus dem die Skalierungsfaktoren stammen. Sowohl der Definitionsbereich als auch der Wertebereich müssen -Vektorräume sein.

Lineare Abbildungen erhalten also Skalierungen. Aus folgt . Für den Fall, dass ist, werden Geraden der Form auf die Gerade abgebildet. Obige Implikation kann in eine Gleichung zusammengefasst werden. Es soll also für alle und gelten:

Für Abbildungen bedeutet dies, dass ein skalierter Vektoren auf die entsprechende Skalierung des Bildvektors abgebildet wird:

Lineare Abbildungen erhalten Skalierungen.

Wenn eine Abbildung nicht verträglich ist zur skalaren Multiplikation, so gibt es einen Vektor und einen Skalierungsfaktor , so dass ist:

Abbildung bei der eine Skalierung nicht erhalten bleibt. Eine solche Abbildung ist keine lineare Abbildung.

Zusammenfassung[Bearbeiten]

Eine lineare Abbildung ist eine spezielle Abbildung zwischen Vektorräumen, die sich mit der Struktur der zugrundeliegenden Vektorräumen verträgt. Dies bedeutet insbesondere, dass eine lineare Abbildung die beiden folgenden charakteristischen Eigenschaften besitzt:

  • Verträglichkeit mit der Addition:
  • Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation:

Die Verträglichkeit mit der Addition nennt man Additivität und die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation wird Homogenität genannt.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Lineare Abbildung)

Seien und Vektorräume über demselben Körper . Dabei seien und die jeweiligen inneren Verknüpfungen. Weiter seien und die skalaren Multiplikationen.

Nun sei eine Abbildung zwischen diesen Vektorräumen. Wir nennen eine lineare Abbildung von nach , wenn die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind:

  1. Additivität: Für alle gilt, dass

  2. Homogenität: Für alle und gilt, dass

Hinweis

Wenn es aus dem Kontext klar ist, schreiben wir zukünftig auch einfach „“ anstatt und . Ebenso wird häufig „“ anstelle von und verwendet. Manchmal wird der Punkt für die skalare Multiplikation auch ganz weggelassen.

Hinweis

In der Literatur wird für den Begriff lineare Abbildung auch der Begriff Vektorraumhomomorphismus oder kurz Homomorphismus genutzt. Das altgriechische Wort homós steht für „gleich“, morphé steht für „Form“. Wörtlich übersetzt ist ein Vektorraumhomomorphismus also ein Vektorraum, der beim „formen“ gleich bleibt.

Erklärung zur Definition[Bearbeiten]

Die charakteristischen Gleichungen der linearen Algebra sind und . Was bedeuten diese beiden Eigenschaften intuitiv? Die Additivitätseigenschaft besagt, dass egal, ob man und zuerst addiert und dann abbildet oder ob man beide Vektoren erst abbildet und dann addiert, beide Wege zumselben Ergebnis führen:

Die zweite Eigenschaft der Homogenität zeigt, dass auch hier das Ergebnis das gleiche ist, unabhängig davon ob man zuerst mit multipliziert und dann abbildet oder den Vektor erst abbildet und dann mit multipliziert:

Die charakteristischen Eigenschaften der linearen Abbildungen verdeutlichen also, dass die Reihenfolge der Funktionsabbildung und der Vektorraumoperationen egal ist.

Charakterisierung: Linearkombination werden auf Linearkombination abgebildet[Bearbeiten]

Neben der definierenden Eigenschaft, dass lineare Abbildungen sich gut mit der zugrundeliegenden Vektorraumstruktur vertragen, können lineare Abbildungen auch über folgende Eigenschaft charakterisiert werden:

Lineare Abbildungen sind genau die Abbildungen, die Linearkombinationen auf Linearkombinationen abbilden.

Dies ist eine wichtige Eigenschaft, weil über Linearekombinationen wichtige Struktureigenschaften von Vektoren wie die lineare Unabhängigkeit oder das Erzeugendensystemen definiert werden. Auch die Definition der Basis gründet sich auf den Begriff der Linearkombination. Den Zusammenhang zu den Linearkombinationen erkennt man, wenn man sich die beiden charakteristischen Gleichungen linearer Abbildungen anschaut:

Wenn wir nun auf eine Linearkombination wie obige beide Formeln schrittweise anwenden, so können wir diese Linearkombination aus der Funktion schrittweise „herausziehen“:

Die Linearkombination wird durch auf und bleibt damit in ihrer Struktur erhalten. Ähnlich verhält es sich bei anderen Linearkombinationen. Da durch die Eigenschaft Summen und durch die Eigenschaft skalare Multiplikationen herausziehbar sind, erhalten insgesamt lineare Abbildungen Linearkombinationen. Wir erhalten so folgende alternative Charakterisierung der linearen Abbildung:

Satz

Eine Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele aus und aus gilt:

Beweis

Beweisschritt: Gilt stets für alle und , so ist eine lineare Abbildung.

Die beiden Terme und sind zwei Linearkombinationen. Wenn wir diese in die Formel einsetzen, so erhalten wir

Damit erfüllt die Definition einer linearen Abbildung.

Beweisschritt: Für lineare Abbildungen gilt für alle und , so ist .

Wir beweisen die Gleichung mit vollständiger Induktion über :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:

1. Induktionsanfang:

Wir fangen die Induktion bei an und stellen fest, dass hierfür die Eigenschaft der Homogenität ausreicht:

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

2b. Induktionsbehauptung:

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Beispiele[Bearbeiten]

Streckung in -Richtung[Bearbeiten]

Unser erstes Beispiel ist die Streckung um den Faktor in -Richtung. Dabei wird jeder Vektor abgebildet auf . Das folgende Bild zeigt diese Abbildung für . Die -Koordinate bleibt dabei gleich und die -Koordinate wird verdoppelt:

Streckung eines Vektors

Schauen wir uns nun an, ob diese Abbildung verträglich mit der Addition ist. Nehmen wir also zwei Vektoren und , bilden die Summe und strecken diese dann in -Richtung. Das Ergebnis ist dasselbe, als wenn wir beide Vektoren zuerst in -Richtung strecken und dann addieren:

Streckung der Summe zweier Vektoren

Das lässt sich auch mathematisch zeigen. Unsere Abbildung ist die Funktion . Wir können nun die Eigenschaft nachprüfen:

Schauen wir uns nun die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation an. Die folgende Grafik zeigt, dass es egal ist, ob der Vektor zuerst mit einem Faktor skaliert und dann in -Richtung gestreckt wird oder zuerst in -Richtung gestreckt und dann mit skaliert wird:

Streckung und Skalierung eines Vektors

Auch das lässt sich mathematisch zeigen:

Drehungen[Bearbeiten]

Im Folgenden betrachten wir eine Drehung der Ebene um den Winkel (gegen den Uhrzeigersinn gemessen) mit dem Ursprung als Drehzentrum. Es handelt sich dabei also um eine Abbildung , die jedem Vektor den um den Winkel gedrehten Vektor zuordnet:

Drehung eines Vektors um den Winkel

Wir wollen uns jetzt davon überzeugen, dass eine lineare Abbildun ist. Dazu müssen wir zeigen:

  1. ist additiv: Für alle ist .
  2. ist homogen: Für alle und ist .

Überprüfen wir zunächst die Additivität, also die Gleichung . Addieren wir zwei Vektoren zuerst und drehen ihre Summe anschließend um den Winkel , so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir erst die Vektoren um den Winkel drehen und im Anschluss die gedrehten Vektoren und addieren. Dies machen wir uns an folgenden beiden Videos klar:

Kommen wir nun zur Homogenität (). Strecken wir zunächst einen Vektor um einen Faktor und drehen das Resultat danach um den Winkel , so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir als Erstes die Drehung um den Winkel durchführen und daraufhin das Ergebnis um den Faktor skalieren. Auch dies wird durch zwei Videos ersichtlich:

Somit handelt es sich bei Drehungen im um lineare Abbildungen.

Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen unterschiedlicher Dimension[Bearbeiten]

Ein Beispiel einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen mit unterschiedlicher Dimension ist die folgende Projektion des Raums auf die Ebene :

Wir prüfen nun, ob die Vektoraddition erhalten bleibt, d.h. wir müssen prüfen:

Dies können wir direkt nachweisen:

Nun überprüfen wir die Homogenität. Für alle soll also gelten:

Es ist

Damit ist die Projektion eine lineare Abbildung.

Nichtlineare Abbildungen[Bearbeiten]

Als nächstes untersuchen wir, ob es auch nicht lineare Abbildungen gibt. Hierzu betrachten wir die Normabbildung auf der Ebene, die jedem Vektor ihre Länge zuordnet:

Diese Abbildung ist keine lineare Abbildung, denn sie erhält weder die Vektoraddition und noch die Skalar Multiplikation. So gilt

Das Ergebnis dieser Gleichung ist aber ungleich dem Ergebnis der folgenden Gleichung:

Damit ist:

Auch ist die Normabbildung nicht homogen, denn es ist:

Angewandte Beispiele[Bearbeiten]

Lineare Abbildungen werden in vielen Bereichen verwendet, ohne dass wir uns dessen bewusst sind:

  1. Lineare Abbildungen sind eine der einfachsten Formen einer Abbildung. So werden komplexere Abbildungen häufig durch lineare Abbildungen approximiert.
  2. Der bekannteste Fall, in dem uns lineare Abbildungen das Leben erleichtern, sind Computergrafiken. Jedes Skalieren eines Fotos oder einer Grafik ist eine lineare Abbildung. Auch verschiedene Bildschirmauflösungen wurden letztlich nur linear abgebildet und könnten als lineare Abbildung aufgeschrieben werden.
  3. Suchmaschinen nutzen Pageranks einer Website, um ihre Suchergebnisse zu sortieren. „Mathe für Nicht-Freaks“, eine zufällige Seite aus dem Internet, erhält so zum Beispiel ein Ranking. Um den Pagerank einer Seite zu bestimmen, wird eine sogenannte Markov-Kette verwendet, die wiederum eine lineare Abbildung ist.

Strukturerhaltung bei linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Zusammenfassung[Bearbeiten]

Wir nennen eine lineare Abbildung auch Vektorraumhomomorphismus (kurz Homomorphismus), da sie die Struktur des Vektorraums beim Abbilden erhält. Dies zeigt sich in folgende Eigenschaften einer linearen Abbildung

  • Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet:
  • Inverse werden auf Inverse abgebildet:
  • Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
  • Kompositionen linearer Abbildungen sind linear
  • Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume

Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet[Bearbeiten]

Da der Ursprung in unserer Anschauung von Vektorräumen eine zentrale Bedeutung hat, wäre dies eine erhaltenswerte Struktur. Was wir anschaulich mit dem Ursprung bezeichnen ist formal das neutrale Element der inneren Verknüpfung. Uns reicht es also, wenn wir den folgenden Satz zeigen.

Satz (Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet)

Jede lineare Abbildung bildet das neutrale Element auf das neutrale Element ab. Formal bedeutet das .

Beweis (Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet)

Es ist

Wir haben also

Somit gilt .

Inverses auf Inverses[Bearbeiten]

Eine weitere wichtige Struktur des Vektorraums ist, dass es zu jedem Element ein Inverses gibt. Wir wollen nun zeigen, dass diese durch lineare Abbildungen konsistent abgebildet werden.

Satz

Jede lineare Abbildung bildet das Inverse eines Elements auf das Inverse des Bildes von dem Element ab. Formal bedeutet das, dass für alle in gilt, dass .

Beweis

Sei ein beliebiges Element des Vektorraums .

Somit gilt nun .

Kompositionen linearer Abbildungen sind linear[Bearbeiten]

Nehmen wir zwei lineare Abbildungen und . Beide vetragen sich mit der Vektorraumstruktur und erhalten Linearkombinationen. Dann sollte dies insbesondere auch für die Hintereinanderausführung beider Abbildungen mit gelten. Dies beweist der folgende Satz

Satz (Komposition linearer Abbildungen)

Seien und zwei lineare Abbildungen zwischen den -Vektorräumen , und . Dann ist auch die Komposition dieser beiden Abbildungen mit eine lineare Abbildung.

Beweis (Komposition linearer Abbildungen)

Sei zunächst zwei beliebige Vektoren. Es ist

Zum Beweis der Homogenität betrachten wir ein beliebiges und ein beliebiges :

Bilder von Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum[Bearbeiten]

Dass lineare Abbildungen die Vektorraumstruktur erhalten, kann man auch an folgender Eigenschaft sehen: Die Bilder von Untervektorräumen einer linearen Abbildung ist wieder ein Untervektorraum.

Satz (Bilder von Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum bei linearen Abbildungen)

Sei eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen und . Dann ist das Bild jedes Untervektorraums ein Untervektorraum in .

Beweis (Bilder von Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum bei linearen Abbildungen)

Sei ein Untervektorraum von . Das Bild ist die Menge aller Funktionswerte von Argumenten aus und damit eine Teilmenge des Wertebereichs . Um zu zeigen, dass ein Untervektorraum ist, müssen folgende Kriterien gezeigt werden:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und für alle gilt .

Beweisschritt:

Mit gibt es in mindestens ein Element und damit ist .

Beweisschritt: Für alle gilt

Nehmen wir zwei beliebige Vektoren . Weil diese Vektoren im Bild liegen, gibt es mindestens zwei Vektoren mit und . Nun ist

Damit ist das Bild von (Der Vektor wird auf abgebildet) und damit liegt es auch in .

Beweisschritt: Für alle und für alle gilt

Sei und . Weil im Bild von liegt, gibt es ein mit . Nun ist

Damit ist das Bild von (Der Vektor wird auf abgebildet) und damit liegt es auch in .

Hinweis

Obiger Satz beweis auch, dass das Bild einer linearen Abbildung stets ein Vektorraum ist. Dies ergibt sich daraus, dass der Vektorraum auch ein Untervektorraum von sich selbst ist. Nach dem obigen Satz ist damit ein Untervektorraum von .

Zusammenhang mit linearen Funktionen und affinen Abbildungen[Bearbeiten]

Lineare Funktionen wurden in der Schule als Funktionen der Form mit . Es handelt sich dabei nicht um lineare Abbildungen. Sie sind es nur für . So ist zum Beispiel für und :

Dass die in der Schule geläufigen linearen Funktionen dennoch etwas mit den linearen Abbildungen zu tun haben, wird einem klar, wenn man die linearen Abbildungen von betrachtet. Diese sind Abbildungen der Form mit . Die Funktionen der Form aus der Schule sind sogenannte affin-lineare Abbildungen: Sie sind die Summe einer linearen Abbildung und eines konstanten Terms und stellen somit eine Verschiebung dar.

Affine Abbildung bilden Geraden auf Geraden ab und erhalten dabei Parallelität und Teilverhältnisse von Strecken. Sie kommen bspw. in der Bildbearbeiung und in der Kartografie zum Einsatz, spielen aber auch in der Robotik und in diversen statistischen Verfahren eine wichtige Rolle.

Wir können jede affine Abbildunge immer in eine lineare Abbildung und eine Translation zerlegen. Es gilt also . Weil die Translationen einfach zu beschreiben sind, ist der lineare Teil meistens interessanter. In der Theorie schauen wir uns deswegen nur den linearen Teil an, um nicht das mitzuschleppen.

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Identität ist lineare Abbildung[Bearbeiten]

Aufgabe (Identität ist lineare Abbildung)

Beweise, dass die Identität mit stets eine lineare Abbildung ist.

Beweis (Identität ist lineare Abbildung)

Die Identität ist additiv, weil

Die Identität ist homogen, weil

Nullabbildung ist lineare Abbildung[Bearbeiten]

Aufgabe (Nullabbildung ist lineare Abbildung)

Zeige, dass die Nullabbildung , die alle Vektoren auf den Nullvektor abbildet, linear ist.

Beweis (Nullabbildung ist lineare Abbildung)

Die Additivität ergibt sich durch:

Neben gilt auch und ist die Nullabbildung homogen:

Damit folgt, die Nullabbildung linear ist.

Lineare Abbildungen zwischen den reellen Zahlen[Bearbeiten]

Aufgabe (Lineare Abbildungen zwischen den reellen Zahlen)

Aus der Schule ist uns der Begriff der linearen Funktion bekannt als mit beliebigen . Für welche Parameter und ist diese Abbildung eine lineare Abbildung?

Lösung (Lineare Abbildungen zwischen den reellen Zahlen)

Weil lineare Abbildungen den Ursprung auf den Ursprung abbilden, muss gelten. Nun ist und damit muss sein. Andererseits sind alle Abbildungen lineare Abbildungen. Für eine solche Abbildung gilt nämlich:

Beweisschritt: Additivität

Seien und zwei beliebige reele Zahlen. Es ist

Beweisschritt: Homogenität

Sei und zwei reele Zahlen. Es ist

Also ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn ist.