Erzeugendensystem – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Ein Erzeugendensystem ist eine Teilmenge eines Vektorraum, die den kompletten Vekotrraum aufspannt. So kann jeder Vektor des Vektorraums allein mit Vektoren des Erzeugendensystems dargestellt werden.

Herleitung und Definition[Bearbeiten]

Betrachten wir die drei Vektoren des . Jeden Vektor des können wir als Linearkombination dieser drei Vektoren angeben, denn für alle gilt:


Sei

Es gilt: , das heißt, erzeugt den gesamten Vektorraum. Man nennt Mengen mit dieser Eigenschaft Erzeugendensystem:

Definition (Erzeugendesystem eines Vektorraums)

Eine Teilmenge eines Vektorraums über den Körper ist ein Erzeugendensystem von , wenn der Spann von den gesamten Vektorraum ergibt, also . In diesem Fall nennen wir ein Erzeugendensystem von .

heißt endlich erzeugt, wenn eine endliche Menge existiert mit .

Ist ein Erzeugendensystem von , dann gibt es zu jedem Elemente und , so dass . Jeder Vektor lässt sich also als Linearkombination von Elementen aus schreiben.

Hinweis

Jeder Vektorraum besitzt ein Erzeugendensystem. Denn es gilt , also ist ein Erzeugendensystem für sich selbst.

Beispiele[Bearbeiten]

Erzeugendensystem der Ebene[Bearbeiten]

Die Vektoren und erzeugen die Ebene . Für alle gilt nämlich

Damit lässt sich jeder Vektor der Ebene als Linearkombination von und schreiben.

Vektorraum der Polynome[Bearbeiten]

Betrachten wir den Vektrorraum der Polynome vom Grad kleiner/gleich zwei. Hier lässt sich jedes beliebige Polynom durch eine Linearkombination aus den Polynomen , und bilden. Jedes Polynom mit Grad kleiner/gleich zwei hat nämlich die Form .

Erzeugendensysteme sind nicht eindeutig[Bearbeiten]

Ein Vektorraum kann mehrere Erzeugendensysteme haben. Das Erzeugendensystem ist also nicht eindeutig bestimmt.

Nehmen wir als Beispiel die Ebene . Die Menge ist ein Erzeugendensystem der Ebene, da alle sich als Linearkombination der beiden Vektoren und darstellen lassen:

Die Vektoren , , erzeugen ebenfalls den , denn lässt sich auch folgendermaßen darstellen:

Damit lässt sich der Vektor durch zwei unterschiedliche Linearkombination von und darstellen. Dies zeigt, dass Vektorräume mehrere Erzeugendensysteme haben können.

Beweise zum Erzeugendensystem führen[Bearbeiten]

Wie beweist man, dass eine Menge ein Erzeugendensystem des ist?[Bearbeiten]

Wir skizzieren in diesem Abschnitt, wie man zeigt, dass eine Menge ein Erzeugendensystem eines Vektorraums des Typs ist ( ist ein Körper). Eine Teilmenge eines Vektorraums heißt Erzeugendensystem, wenn sich jeder Vektor als Linearkombination der Vektoren aus darstellen lässt.

Sei die gegebene Menge der Vektoren. Dann muss man zeigen, dass für alle Vektoren Koeffizienten existieren, sodass

Diese Gleichung kann in der Regel in ein Gleichungsystem übersetzt werden, und die sind die Lösung dieses Gleichungssystems. Wir können das allgemeine Vorgehen so zusammenfassen:

  1. Allgemeinen Vektor des Vektorraums wählen.
  2. mit einer Linearkombination der Vektoren mit unbekannten Koeffizienten gleichsetzen.
  3. Gleichungssystem nach den Unbekannten lösen. Wenn es stets mindestens eine Lösung gibt, so ist ein Erzeugendensystem. Falls es für einen Vektor keine Lösung gibt, so ist kein Erzeugendensystem.

Beispielaufgabe[Bearbeiten]

Aufgabe (Erzeugnis des Raums )

Seien , und . Zeige, dass ein Erzeugendensystem des ist.

Lösung (Erzeugnis des Raums )

Sei ein beliebiger Vektor des . Wir suchen mit

Daraus erhalten wir das Gleichungssystem

Aus der ersten Gleichung folgt:

Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt

Damit erhält man in der ersten Gleichung

Setzen wir nun und in die dritte Gleichung ein, dann erhalten wir:

Damit ist

Somit gilt:

Damit haben wir einen Weg gefunden, jeden Vektor des als Linearkombination der drei gegebenen Vektoren , und darzustellen. Dies beweist, dass die Menge den Raum aufspannt.