Ein Erzeugendensystem ist eine Teilmenge eines Vektorraum, die den kompletten Vektorraum aufspannt. So kann jeder Vektor des Vektorraums allein mit Vektoren des Erzeugendensystems dargestellt werden.
Herleitung und Definition[Bearbeiten]
Zerlegung eines 3D-Vektors in seine 3 Komponenten
Betrachten wir die drei Vektoren
des
. Jeden Vektor des
können wir als Linearkombination dieser drei Vektoren angeben, denn für alle
gilt:
Sei
Es gilt:
, das heißt,
erzeugt den gesamten Vektorraum. Man nennt Mengen mit dieser Eigenschaft Erzeugendensystem:
Ist
ein Erzeugendensystem von
, dann gibt es zu jedem
Elemente
und
, so dass
. Jeder Vektor
lässt sich also als Linearkombination von Elementen aus
schreiben.
Hinweis
Jeder Vektorraum besitzt ein Erzeugendensystem. Denn es gilt
, also ist
ein Erzeugendensystem für sich selbst.
Erzeugendensystem der Ebene[Bearbeiten]
Die Vektoren
und
erzeugen die Ebene
. Für alle
gilt nämlich
Damit lässt sich jeder Vektor der Ebene als Linearkombination von
und
schreiben.
Vektorraum der Polynome[Bearbeiten]
Betrachten wir den Vektorraum
der Polynome vom Grad kleiner gleich zwei. Hier lässt sich jedes beliebige Polynom durch eine Linearkombination aus den Polynomen
,
und
bilden. Jedes Polynom mit Grad kleiner gleich zwei hat nämlich die Form
. Damit ist
ein Erzeugendensystem von
.
Das können wir auch für Polynome mit beliebigem Grad formulieren:
Ist
ein Körper und
der Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten in
, dann hat jedes Element darin die Form
, ist also eine (endliche!) Linearkombination von
.
Daher ist die (unendliche) Menge der Monome
ein Erzeugendensystem von
.
Erzeugendensysteme sind nicht eindeutig[Bearbeiten]
Die Zerlegung von Vektoren ist nicht eindeutig
Ein Vektorraum kann mehrere Erzeugendensysteme haben. Das Erzeugendensystem ist also nicht eindeutig bestimmt.
Nehmen wir als Beispiel die Ebene
. Die Menge
ist ein Erzeugendensystem der Ebene, da alle
sich als Linearkombination der beiden Vektoren
und
darstellen lassen:
Die Vektoren
,
,
erzeugen ebenfalls den
, denn
lässt sich auch folgendermaßen darstellen (siehe Bild):
Damit lässt sich der Vektor
durch zwei unterschiedliche Linearkombination von
und
darstellen. Dies zeigt, dass Vektorräume mehrere Erzeugendensysteme haben können.
Beweise zum Erzeugendensystem führen[Bearbeiten]
Wie beweist man, dass eine Menge ein Erzeugendensystem des
ist?[Bearbeiten]
Wir skizzieren in diesem Abschnitt, wie man zeigt, dass eine Menge ein Erzeugendensystem eines Vektorraums des Typs
ist (
ist ein Körper). Eine Teilmenge
eines Vektorraums
heißt Erzeugendensystem, wenn sich jeder Vektor
als Linearkombination der Vektoren aus
darstellen lässt.
Sei
die gegebene Menge der Vektoren. Dann muss man zeigen, dass für alle Vektoren
Koeffizienten
existieren, sodass
Diese Gleichung kann in der Regel in ein Gleichungsystem übersetzt werden, und die
sind die Lösung dieses Gleichungssystems. Wir können das allgemeine Vorgehen so zusammenfassen:
- Allgemeinen Vektor
des Vektorraums
wählen.
mit einer Linearkombination der Vektoren
mit unbekannten Koeffizienten
gleichsetzen.
- Gleichungssystem nach den Unbekannten
lösen. Wenn es stets mindestens eine Lösung gibt, so ist
ein Erzeugendensystem. Falls es für einen Vektor
keine Lösung gibt, so ist
kein Erzeugendensystem.
Aufgabe (Erzeugnis des Raums
)
Seien
,
und
. Zeige, dass
ein Erzeugendensystem des
ist.
Lösung (Erzeugnis des Raums
)
Sei
ein beliebiger Vektor des
. Wir suchen
mit
Daraus erhalten wir das Gleichungssystem
Aus der ersten Gleichung folgt:
Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt
Damit erhält man in der ersten Gleichung
Setzen wir nun
und
in die dritte Gleichung ein, dann erhalten wir:
Damit ist
Somit gilt:
Damit haben wir einen Weg gefunden, jeden Vektor des
als Linearkombination der drei gegebenen Vektoren
,
und
darzustellen. Dies beweist, dass die Menge
den Raum
aufspannt.