Spann, Erzeugnis, lineare Hülle – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir wollen nun den Zusammenhang zwischen Linearkombinationen und Untervektorräumen genauer beleuchten. Dabei werden wir unter anderem feststellen, dass eine Ebene als Untervektorraums des Raumes nichts weiter ist als die Menge der Linearkombinationen von zwei Vektoren. Im Rahmen dieser Feststellung werden wir auf die neuen Begriffe Erzeugnis und Spann treffen.

Herleitung des Spanns[Bearbeiten]

Wir beginnen unsere Betrachtungen mit dem uns wohl bekannten euklidischen Raum . Hier wollen wir uns zunächst auf die -Ebene beschränken, also auf die Menge aller Vektoren der Form mit :

Die xy-Ebene im dreidimensionalen Raum
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To-Do:

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Jeder Vektor, der Element dieser Ebene ist, lässt sich nach unserer eben beschriebenen Beobachtung als Linearkombination der Vektoren und schreiben:

Darüber hinaus liegt auch jede weitere Linearkombination der beiden Vektoren und in der -Ebene, da die -Komponente der beiden betrachteten Vektoren ist und damit auch die dritte Komponente der Linearkombination der Vektoren betragen muss.

Zusammenfassend können wir also festhalten: Wir haben gesehen, dass jeder Vektor der Ebene eine Linearkombination von und ist und zusätzlich jede Linearkombination dieser beiden Vektoren wieder in der Ebene ist. Unser Ergebnis können wir auch so formulieren: Die beiden Vektoren und spannen die betrachtete Ebene auf. Die gleiche Ebene lässt sich aber auch durch andere Vektoren aufspannen. Denke etwa an die beiden Vektoren und , denn

Die beiden Vektoren, die wir für die Beschreibung unserer Ebene benötigen, sind also nicht zwingend eindeutig. Da wir uns bei unseren Betrachtungen im bewegen und eine Ebene betrachten, stellt diese Ebene einen Untervektorraum des dar. Wir machen uns an dieser Stelle klar, dass die beiden Vektoren und selbst in dieser Ebene liegen und somit Element des Untervektorraums sind. Da wir eben schon festgestellt haben, dass diese beiden Vektoren die Ebene aufspannen, schreiben wir im Folgenden

Wir sagen „ ist der Spann der beiden Vektoren und “ beziehungsweise „ ist das Erzeugnis der beiden Vektoren und “. Intuitiv können wir uns den Spann von Vektoren als die Menge aller möglichen Linearkombinationen vorstellen, die man aus diesen Vektoren bilden kann. Eine weitere Intuition ist: Der Spann einer Menge beschreibt den Vektorraum, der sich ergibt, wenn alle durch Elemente aus repräsentierten Richtungen zu einem Vektorraum zusammengeführt werden.

Wir untersuchen im Folgenden noch ein etwas komplizierteres Beispiel: Sehen wir uns den Vektorraum der Polynome an. Sei . Beispiele für Elemente aus sind die Monome , usw., die einen geraden Exponenten besitzen. Jedoch ist . Betrachten wir nun , die Menge aller endlichen Linearkombinationen mit Vektoren aus (Beispielsweise ). Wir zeigen nun, dass ein Untervektorraum von ist.

Da die Menge nicht leer ist, ist auch die Menge nicht leer ( enthält zumindest alle Elemente aus (d.h. ), wie wir später sehen werden).

Betrachten wir nun zwei beliebige Polynome aus . Nach Konstruktion von bestehen und ausschließlich aus Monomen mit einem geraden Exponenten. Somit ergibt sich bei der Addition von und ebenfalls ein Polynom mit ausschließlich geraden Exponenten. Die Menge ist also abgeschlossen bzgl. der Addition.

Selbiges Argument gilt für die skalare Multiplikation und somit ist die Menge ein Untervektorraum, des Vektorraums aller Polynome. Wie wir später noch sehen werden, ist es sogar der kleinste Untervektorraum, welcher enthält.

Definition des Spanns[Bearbeiten]

Definition (Spann)

Wir haben einen Vektorraum über einem Körper sowie eine nicht-leere Menge gegeben. Den Spann von definieren wir als die Menge aller Vektoren aus , welche sich als eine endliche Linearkombination von Vektoren aus darstellen lassen:

Für die leere Menge definieren wir:

Alternativ kann man den Spann einer Menge auch Erzeugnis oder lineare Hülle nennen.

Hinweis

Gelegentlich wird für den Spann auch die Schreibweise verwendet. Die Schreibweise hat den Vorteil, dass hierbei deutlich wird, über welchen Körper der Vektorraum definiert ist. Es macht wirklich einen Unterschied, welchen Grundkörper wir anschauen. Zum Beispiel für gilt, dass , aber . Wir können zeigen, dass und .

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel (Ursprungsgerade als Erzeugnis)

Sei . Betrachten wir als einen Vektorraum über . Das Erzeugnis ist die Gerade durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor .

Beispiel (Ursprungsebene als Erzeugnis)

Seien und zwei Vektoren aus . Das Erzeugnis dieser beiden Vektoren ist die -Ebene. Folgende Umformung zeigt dies:

Übersicht: Eigenschaften des Spanns [Bearbeiten]

Sei ein -Vektorraum, Teilmengen von und ein Untervektorraum von , dann

  • ist der kleinste Untervektorraum von , der enthält
  • Wenn , dann
  • Für einen Vektor gilt
  • Aus folgt im Allgemeinen nicht

Eigenschaften des Spanns[Bearbeiten]

Spann vergrößert die Menge[Bearbeiten]

Satz (Spann vergrößert die Menge)

Sei ein -Vektorraum und . Dann gilt .

Beweis (Spann vergrößert die Menge)

Sei beliebig. Dann lässt sich durch darstellen. Insbesondere ist eine Linearkombination von Elementen aus . Damit gilt . Daraus folgt die Behauptung .

Spann und kleinster Untervektorraum[Bearbeiten]

Satz (Spann und kleinster Untervektorraum)

Sei ein -Vektorraum und seien für ein . Wir definieren . Dann ist der kleinste Untervektorraum von , der enthält.

Wie kommt man auf den Beweis? (Spann und kleinster Untervektorraum)

Wir wollen versuchen den Satz zu beweisen, indem wir den Beweis in zwei Schritte aufteilen. Wir zeigen zunächst, dass ein Untervektorraum ist. Im zweiten Teil wollen wir noch zeigen, dass der kleinste Untervektorraum ist. Um den ersten Schritt zu zeigen, schauen wir uns nochmal das Untervektorraumkriterium an. Dafür müssen wir zunächst zeigen, dass . Das können wir mithilfe der Tatsache machen, dass ist. Außerdem muss es gelten, dass ist. Das gilt aber einfach nach Definition vom Vektorraum und Spann. Weiter ist zu zeigen, dass auch gilt. Nehmen wir uns also zwei Elemente . Dann sind diese von der Form , . Damit - und unter Verwendung der Rechenregeln für das Summenzeichen - können wir schreiben:

Um das Untervektorraumkritierium zu erfüllen bleibt abschließend nur noch zu zeigen, dass gilt: . Auch hier können wir einfach unter Anwendung der Rechenregeln für das Summenzeichen nachrechnen:

Damit haben wir den ersten Teil des Beweises bereits erbracht.

Wenden wir uns nun dem zweiten Teil des Beweises zu. Um zu zeigen, dass der kleinste Untervektorraum ist, der enthält, nehmen wir uns einen weiteren Untervektorraum, der ebenfalls enthält. Nennen wir diesen Untervektorraum . Unser Ziel ist es nun zu zeigen, dass . Dies wäre gezeigt, wenn es uns gelingt zu begründen, dass ein Element aus auch in liegt. Da ist, gilt das aber einfach nach Definition von Untervektorraum.

Beweis (Spann und kleinster Untervektorraum)

Wir unterteilen den Beweis in zwei Teile. Im ersten Teil des Beweises zeigen wir mit Hilfe des Untervektorraumkriteriums, dass ein Untervektorraum ist. Anschließend zeigen wir, dass zudem auch noch der kleinste Untervektorraum ist.

Offensichtlich ist nicht leer, da und . Wir wissen, dass aus Linearkombinationen von Elementen aus besteht. Somit ist , da und als Vektorraum abgeschlossen unter Addition und Multiplikation ist. Es bleibt die Abgeschlossenheit von unter Addition und Multiplikation zu zeigen. Um die Abgeschlossenheit unter Addition zu sehen, betrachten wir und . Dann gilt:

Da als Körper unter Addition abgeschlossen ist, gehören für alle ebenfalls zu . Also gilt, dass .

Da auch unter Multiplikation abgeschlossen ist, gilt weiterhin für :

Damit haben wir gezeigt, dass ein Untervektorraum ist.

Im zweiten Teil des Beweises zeigen wir noch, dass der kleinste Untervektorraum ist, der enthält. Betrachten wir dazu einen Untervektorraum von , welcher enthält. Aufgrund des Unterraumkriteriums sind auch alle Linearkombinationen der in enthalten. Daraus folgt schließlich unsere Behauptung, dass .

Hinweis

Die Aussage gilt auch, wenn eine nicht-endliche Menge ist. Der Beweis dafür ist etwas aufwändiger als im endlichen Fall. Er geht aber analog.

Spann erhält Teilmengenbeziehung[Bearbeiten]

Satz (Spann erhält Teilmengenbeziehung)

Sei ein -Vektorraum und seien . Ist , dann ist .

Beweis (Spann erhält Teilmengenbeziehung)

Sei und gelte ohne Beschränkung der Allgemeinheit, dass (sonst gilt die Aussage offensichtlich, weil und 0 im Spann jeder Menge enthalten ist). Wir betrachten ein . Nach der Definition des Spannes existieren Vektoren und , sodass . Wegen gilt für alle mit , dass . Dann ist auch . Folglich gilt .

Hinweis

Die Umkehrung () gilt im Allgemeinen nicht! Betrachten wir hierfür das folgende Gegenbeispiel: Seien und , also . Dann ist:

Nun sind , da wir in beiden Fällen genau die Vielfachen des Vektors erhalten. Wenn der Spann beider Teilmengen gleich ist, gilt insbesondere , aber . Daher kann die Umkehrung des Satzes im Allgemeinen nicht gelten.

Idempotenz des Spannes[Bearbeiten]

Satz (Idempotenz des Spannes)

Sei ein -Vektorraum und . Dann gilt . Diese Eigenschaft des Spannes wird Idempotenz genannt.

Beweis (Idempotenz des Spannes)

Wir wissen bereits, dass . Es bleibt also nur zu zeigen, dass .

Sei dazu . Dann lässt sich darstellen als

Dabei ist und . Da für alle ist, lässt sich jedes als Linearkombination von Elementen aus schreiben:

Hier ist und . Ersetzen wir nun in der Darstellung von die durch ihre Darstellung als Linearkombination der , so haben wir als Linearkombination von Elementen aus geschrieben:

Für alle liegt in nach Definition von einem Körper. Also folgt, dass , und damit die Aussage.

Elemente des Spannes verändern den Spann nicht[Bearbeiten]

Satz (Elemente des Spannes verändern den Spann nicht)

Sei ein -Vektorraum und , . Dann gilt

Beweis (Elemente des Spannes verändern den Spann nicht)

Wir beweisen zuerst die Hinrichtung :

Die Aussage gilt immer, da . Es bleibt also nur zu zeigen, dass gilt.

Betrachten wir dazu ein Element . Dieses können wir schreiben als

wobei , , und . Da , kann man für alle als Linearkombination von Elementen aus schreiben:

Hier ist und . Nun setzen wir diese Darstellung von in die vorherige Formel ein:

Somit haben wir als Linearkombination aus Vektoren aus darstellen können und somit gilt:

Nun schauen wir uns die Rückrichtung an:

Hierzu nehmen wir an, dass aber . Wir definieren uns nun ein Element , wobei und .

Nun ist eine Linearkombination aus Vektoren aus . Es gilt also , da . Allerdings gilt , da . Dies würde aber der Voraussetzung widersprechen.

Wir haben somit unseren gewünschten Widerspruch und es muss gelten .

Beweise zum Spann führen[Bearbeiten]

Nachdem wir einige Eigenschaften des Spannes nachgewiesen haben, wollen wir in diesem Abschnitt beispielhaft darstellen, wie wir nachweisen können, ob ein Vektor eines Vektorraums innerhalb des Spannes einer Teilmenge dieses Vektorraums liegt oder nicht. Wir werden feststellen, dass wir, um diese Frage beantworten zu können, lediglich ein lineares Gleichungssystem lösen müssen.

Beispiel (Die Ebene und Ursprungsgerade)

Sehen wir uns zu Beginn ein einfaches Beispiel aus dem an. Wir betrachten die Ursprungsgerade mit der einelementigen Teilmenge des . Die Fragestellung lautet nun, ob der Vektor im Spann von liegt. Man kann sofort sehen, dass

gilt. Mit anderen Worten

Rein formal liegt die Aufgabe im Lösen eines Gleichungssystems. In unserem einfachen Beispiel also konkret darin, ob es uns gelingt ein zu finden, derart, dass

Aus dieser Gleichung gewinnen wir das lineare Gleichungssystem

mit der offensichtlichen Lösung .

Beispiel (Polynome)

Untersuchen wir nun ein Beispiel, dessen Lösung nicht auf den ersten Blick ersichtlich ist. Dafür betrachten wir die Teilmenge der Monome und das Polynom . Wir wollen zeigen, dass das Polynom nicht im Spann von liegt. Es kann uns also nicht gelingen, das Polynom als Linearkombination der Monome von darzustellen. Das können wir einsehen, indem wir das Polynom umformen zu

Wir sehen, dass nun ein Summand die Variable in zweiter Potenz enthält, dieses Monom aber nicht in enthalten ist. Damit liegt das Polynom nicht im Spann der Menge .

Beispiel (Vektoren aus dem )

Wir betrachten die Teilmenge des und wollen beweisen, dass der Vektor . Dafür müssen zeigen, dass es Koeffizienten gibt, derart, dass

Aus dieser Darstellung erhalten wir das lineare Gleichungssystem

mit der Lösung , , , . Damit gilt

und somit .