Spann, Erzeugnis, lineare Hülle – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir wollen nun den Zusammenhang zwischen Linearkombinationen und Untervektorräumen genauer beleuchten. Dabei werden wir unter anderem feststellen, dass eine Ebene als Untervektorraums des Raumes nichts weiter ist als die Menge der Linearkombinationen von zwei Vektoren. Im Rahmen dieser Feststellung werden wir auf die neuen Begriffe Erzeugnis und Spann treffen.

Herleitung des Spanns

Wir beginnen unsere Betrachtungen mit dem uns wohl bekannten euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$. Hier wollen wir uns zunächst auf die $(x,y)$-Ebene beschränken, also auf die Menge aller Vektoren der Form $(a,b,0)^{T}$ mit $a,b\in \mathbb {R}$:

To-Do:

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Jeder Vektor, der Element dieser Ebene ist, lässt sich nach unserer eben beschriebenen Beobachtung als Linearkombination der Vektoren $(1,0,0)^{T}$ und $(0,1,0)^{T}$ schreiben:

${\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}}=a\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+b\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}.$

Darüber hinaus liegt auch jede weitere Linearkombination der beiden Vektoren $(1,0,0)^{T}$ und $(0,1,0)^{T}$ in der $(x,y)$-Ebene, da die $z$-Komponente der beiden betrachteten Vektoren $0$ ist und damit auch die dritte Komponente der Linearkombination der Vektoren $0$ betragen muss.

Zusammenfassend können wir also festhalten: Wir haben gesehen, dass jeder Vektor der Ebene eine Linearkombination von $(1,0,0)^{T}$ und $(0,1,0)^{T}$ ist und zusätzlich jede Linearkombination dieser beiden Vektoren wieder in der Ebene ist. Unser Ergebnis können wir auch so formulieren: Die beiden Vektoren $(1,0,0)^{T}$ und $(0,1,0)^{T}$ spannen die betrachtete Ebene auf. Die gleiche Ebene lässt sich aber auch durch andere Vektoren aufspannen. Denke etwa an die beiden Vektoren $(1,0,0)^{T}$ und $(1,1,0)^{T}$, denn

${\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}}=(a-b)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+b\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}.$

Die beiden Vektoren, die wir für die Beschreibung unserer Ebene benötigen, sind also nicht zwingend eindeutig. Da wir uns bei unseren Betrachtungen im $\mathbb {R} ^{3}$ bewegen und eine Ebene betrachten, stellt diese Ebene einen Untervektorraum $U$ des $\mathbb {R} ^{3}$ dar. Wir machen uns an dieser Stelle klar, dass die beiden Vektoren $(1,0,0)^{T}$ und $(0,1,0)^{T}$ selbst in dieser Ebene liegen und somit Element des Untervektorraums $U$ sind. Da wir eben schon festgestellt haben, dass diese beiden Vektoren die Ebene aufspannen, schreiben wir im Folgenden

$U=\operatorname {span} \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\right\}$

Wir sagen „$U$ ist der Spann der beiden Vektoren $(1,0,0)^{T}$ und $(0,1,0)^{T}$“ beziehungsweise „$U$ ist das Erzeugnis der beiden Vektoren $(1,0,0)^{T}$ und $(0,1,0)^{T}$“. Intuitiv können wir uns den Spann von Vektoren als die Menge aller möglichen Linearkombinationen vorstellen, die man aus diesen Vektoren bilden kann. Eine weitere Intuition ist: Der Spann einer Menge $M$ beschreibt den Vektorraum, der sich ergibt, wenn alle durch Elemente aus $M$ repräsentierten Richtungen zu einem Vektorraum zusammengeführt werden.

Wir untersuchen im Folgenden noch ein etwas komplizierteres Beispiel: Sehen wir uns den Vektorraum $V$ der Polynome an. Sei $M=\{x^{n}|n{\text{ ist gerade}}\}\subseteq V$. Beispiele für Elemente aus $M$ sind die Monome $x^{2}$, $x^{4}$ usw., die einen geraden Exponenten besitzen. Jedoch ist $x^{3}\notin M$. Betrachten wir nun $\operatorname {span} (M)$, die Menge aller endlichen Linearkombinationen mit Vektoren aus $M$ (Beispielsweise $2\cdot x^{2}+5\cdot x^{4}+2\cdot x^{8}$). Wir zeigen nun, dass $\operatorname {span} (M)$ ein Untervektorraum von $V$ ist.

Da die Menge $M$ nicht leer ist, ist auch die Menge $\operatorname {span} (M)$ nicht leer ( $\operatorname {span} (M)$ enthält zumindest alle Elemente aus $M$ (d.h. $M\subseteq \operatorname {span} (M)$ ), wie wir später sehen werden).

Betrachten wir nun zwei beliebige Polynome $p,q$ aus $\operatorname {span} (M)$. Nach Konstruktion von $\operatorname {span} (M)$ bestehen $p$ und $q$ ausschließlich aus Monomen mit einem geraden Exponenten. Somit ergibt sich bei der Addition von $p$ und $q$ ebenfalls ein Polynom mit ausschließlich geraden Exponenten. Die Menge $\operatorname {span} (M)$ ist also abgeschlossen bzgl. der Addition.

Selbiges Argument gilt für die skalare Multiplikation und somit ist die Menge $\operatorname {span} (M)$ ein Untervektorraum, des Vektorraums aller Polynome. Wie wir später noch sehen werden, ist es sogar der kleinste Untervektorraum, welcher $M$ enthält.

Definition des Spanns

Definition (Spann)

Wir haben einen Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ sowie eine nicht-leere Menge $M\subseteq V$ gegeben. Den Spann $\operatorname {span} (M)$ von $M$ definieren wir als die Menge aller Vektoren aus $V$, welche sich als eine endliche Linearkombination von Vektoren aus $M$ darstellen lassen:

$\operatorname {span} (M)=\left\{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot m_{i}:n\in \mathbb {N} ,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K,m_{1},\ldots ,m_{n}\in M\right\}$

Für die leere Menge definieren wir:

$\operatorname {span} (\emptyset )=\{0\}$

Alternativ kann man den Spann einer Menge auch Erzeugnis oder lineare Hülle nennen.

Hinweis

Gelegentlich wird für den Spann auch die Schreibweise $\langle M\rangle _{K}$ verwendet. Die Schreibweise hat den Vorteil, dass hierbei deutlich wird, über welchen Körper der Vektorraum definiert ist. Es macht wirklich einen Unterschied, welchen Grundkörper wir anschauen. Zum Beispiel für $M:=\{1\}$ gilt, dass $\pi \cdot 1\in \langle M\rangle _{\mathbb {R} }$, aber $\pi \cdot 1\notin \langle M\rangle _{\mathbb {Q} }$. Wir können zeigen, dass $\langle M\rangle _{\mathbb {Q} }=\mathbb {Q}$ und $\langle M\rangle _{\mathbb {R} }=\mathbb {R}$.

Beispiele

Beispiel (Ursprungsgerade als Erzeugnis)

Sei $x=(1,2)^{T}$. Betrachten wir $\lbrace x\rbrace$ als einen Vektorraum über $\mathbb {R}$. Das Erzeugnis $\operatorname {span} (\lbrace x\rbrace )$ ist die Gerade durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor $(1,2)^{T}$.

$\operatorname {span} (\lbrace x\rbrace )=\operatorname {span} \left(\left\lbrace {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\right\rbrace \right)=\left\lbrace \rho \cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,|\,\rho \in \mathbb {R} \right\rbrace$

Beispiel (Ursprungsebene als Erzeugnis)

Seien $(5,0,0)^{T}$ und $(0,3,0)^{T}$ zwei Vektoren aus $\mathbb {R} ^{3}$. Das Erzeugnis dieser beiden Vektoren ist die $(x_{1},x_{2})$-Ebene. Folgende Umformung zeigt dies:

${\begin{aligned}\operatorname {span} \left(\left\lbrace {\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}\right\rbrace \right)&=\left\lbrace \lambda \cdot {\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}}+\mu \cdot {\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}:\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \right\rbrace \\[0.3em]&=\,\left\lbrace \lambda \cdot 5\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\mu \cdot 3\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}:\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \right\rbrace \\[0.3em]&=\,\left\lbrace \lambda '\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\mu '\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}:\lambda ',\mu '\in \mathbb {R} \right\rbrace \\[0.3em]&=\,\left\lbrace {\begin{pmatrix}\lambda '\\\mu '\\0\end{pmatrix}}:\lambda ',\mu '\in \mathbb {R} \right\rbrace \end{aligned}}$

Übersicht: Eigenschaften des Spanns

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $M,N\subseteq V$ Teilmengen von $V$ und $W\subseteq V$ ein Untervektorraum von $V$, dann

• $M\subseteq \operatorname {span} (M)$
• $\operatorname {span} (M)$ ist der kleinste Untervektorraum von $V$, der $M$ enthält
• Wenn $N\subseteq M$, dann $\operatorname {span} (N)\subseteq \operatorname {span} (M)$
• $\operatorname {span} (\operatorname {span} (M))=\operatorname {span} (M)$
• $N\subseteq \operatorname {span} (M)\iff \operatorname {span} (M)=\operatorname {span} (M\cup N)$
• $\operatorname {span} (W)=W$
• Für einen Vektor $v\in V$ gilt $\operatorname {span} (\{v\})=\{\lambda \cdot v|\lambda \in K\}$
• Aus $\operatorname {span} (N)=\operatorname {span} (M)$ folgt im Allgemeinen nicht $N=M$

Eigenschaften des Spanns

Spann vergrößert die Menge

Satz (Spann vergrößert die Menge)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $M\subseteq V$. Dann gilt $M\subseteq \operatorname {span} (M)$.

Beweis (Spann vergrößert die Menge)

Sei $v\in M$ beliebig. Dann lässt sich $v$ durch $v=1\cdot v$ darstellen. Insbesondere ist $v$ eine Linearkombination von Elementen aus $M$. Damit gilt $v\in \operatorname {span} (M)$. Daraus folgt die Behauptung $M\subseteq \operatorname {span} (M)$.

Spann und kleinster Untervektorraum

Satz (Spann und kleinster Untervektorraum)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und seien $m_{1},...,m_{n}\in V$ für ein $n\in \mathbb {N}$. Wir definieren $M:=\{m_{1},...,m_{n}\}\$. Dann ist $\operatorname {span} (M)$ der kleinste Untervektorraum von $V$, der $m_{1},...,m_{n}$ enthält.

Wie kommt man auf den Beweis? (Spann und kleinster Untervektorraum)

Wir wollen versuchen den Satz zu beweisen, indem wir den Beweis in zwei Schritte aufteilen. Wir zeigen zunächst, dass $\operatorname {span} (M)$ ein Untervektorraum ist. Im zweiten Teil wollen wir noch zeigen, dass $\operatorname {span} (M)$ der kleinste Untervektorraum ist. Um den ersten Schritt zu zeigen, schauen wir uns nochmal das Untervektorraumkriterium an. Dafür müssen wir zunächst zeigen, dass $\operatorname {span} (M)\neq \emptyset$. Das können wir mithilfe der Tatsache machen, dass $M\subseteq \operatorname {span} (M)$ ist. Außerdem muss es gelten, dass $\operatorname {span} (M)\subseteq V$ ist. Das gilt aber einfach nach Definition vom Vektorraum und Spann. Weiter ist zu zeigen, dass $\forall v,w\in \operatorname {span} (M)$ auch $v+w\in \operatorname {span} (M)$ gilt. Nehmen wir uns also zwei Elemente $v,w\in \operatorname {span} (M)$. Dann sind diese von der Form $v=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}m_{i}$, $w=\sum _{i=0}^{n}\mu _{i}m_{i}$. Damit - und unter Verwendung der Rechenregeln für das Summenzeichen - können wir schreiben:

$v+w=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}m_{i}+\sum _{i=0}^{n}\mu _{i}m_{i}=\sum _{i=0}^{n}(\lambda _{i}+\mu _{i})\cdot m_{i}\in \operatorname {span} M$

Um das Untervektorraumkritierium zu erfüllen bleibt abschließend nur noch zu zeigen, dass $\forall \rho \in K,v\in V$ gilt: $\rho \cdot v\in \operatorname {span} (M)$. Auch hier können wir einfach unter Anwendung der Rechenregeln für das Summenzeichen nachrechnen:

$\rho \cdot v=\rho \sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}m_{i}=\sum _{i=0}^{n}\rho \lambda _{i}m_{i}\in \operatorname {span} (M)$

Damit haben wir den ersten Teil des Beweises bereits erbracht.

Wenden wir uns nun dem zweiten Teil des Beweises zu. Um zu zeigen, dass $\operatorname {span} (M)$ der kleinste Untervektorraum ist, der $M$ enthält, nehmen wir uns einen weiteren Untervektorraum, der ebenfalls $M$ enthält. Nennen wir diesen Untervektorraum $W$. Unser Ziel ist es nun zu zeigen, dass $\operatorname {span} (M)\subseteq W$. Dies wäre gezeigt, wenn es uns gelingt zu begründen, dass ein Element aus $\operatorname {span} (M)$ auch in $W$ liegt. Da $M\subseteq W$ ist, gilt das aber einfach nach Definition von Untervektorraum.

Beweis (Spann und kleinster Untervektorraum)

Wir unterteilen den Beweis in zwei Teile. Im ersten Teil des Beweises zeigen wir mit Hilfe des Untervektorraumkriteriums, dass $\operatorname {span} (M)$ ein Untervektorraum ist. Anschließend zeigen wir, dass $\operatorname {span} (M)$ zudem auch noch der kleinste Untervektorraum ist.

Offensichtlich ist $\operatorname {span} (M)$ nicht leer, da $M\subseteq \operatorname {span} (M)$ und $M\neq \emptyset$. Wir wissen, dass $\operatorname {span} (M)$ aus Linearkombinationen von Elementen aus $M$ besteht. Somit ist $\operatorname {span} (M)\subseteq V$, da $M\subseteq V$ und $V$ als Vektorraum abgeschlossen unter Addition und Multiplikation ist. Es bleibt die Abgeschlossenheit von $\operatorname {span} (M)$ unter Addition und Multiplikation zu zeigen. Um die Abgeschlossenheit unter Addition zu sehen, betrachten wir $v=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}m_{i}\in \operatorname {span} (M)$ und $w=\sum _{i=0}^{n}\mu _{i}m_{i}\in \operatorname {span} (M)$. Dann gilt:

$v+w=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}m_{i}+\sum _{i=0}^{n}\mu _{i}m_{i}=\sum _{i=0}^{n}(\lambda _{i}+\mu _{i})\cdot m_{i}$

Da $K$ als Körper unter Addition abgeschlossen ist, gehören $\lambda _{i}+\mu _{i}$ für alle $i=1,...,n$ ebenfalls zu $K$. Also gilt, dass $v+w=\sum _{i=0}^{n}(\lambda _{i}+\mu _{i})\cdot m_{i}\in \operatorname {span} (M)$.

Da $K$ auch unter Multiplikation abgeschlossen ist, gilt weiterhin für $\rho \in \mathbb {R}$:

$\rho \cdot v=\rho \sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}m_{i}=\sum _{i=0}^{n}\rho \lambda _{i}m_{i}\in \operatorname {span} (M)$

Damit haben wir gezeigt, dass $\operatorname {span} (M)$ ein Untervektorraum ist.

Im zweiten Teil des Beweises zeigen wir noch, dass $\operatorname {span} (M)$ der kleinste Untervektorraum ist, der $m_{1},...,m_{n}$ enthält. Betrachten wir dazu einen Untervektorraum $W$ von $V$, welcher $\{m_{1},...,m_{n}\}$ enthält. Aufgrund des Unterraumkriteriums sind auch alle Linearkombinationen der $m_{1},...,m_{n}$ in $W$ enthalten. Daraus folgt schließlich unsere Behauptung, dass $\operatorname {span} (M)\subseteq W$.

Hinweis

Die Aussage gilt auch, wenn $M$ eine nicht-endliche Menge ist. Der Beweis dafür ist etwas aufwändiger als im endlichen Fall. Er geht aber analog.

Spann erhält Teilmengenbeziehung

Satz (Spann erhält Teilmengenbeziehung)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und seien $M,N\subseteq V$. Ist $N\subseteq M$, dann ist $\operatorname {span} (N)\subseteq \operatorname {span} (M)$.

Beweis (Spann erhält Teilmengenbeziehung)

Sei $N\subseteq M$ und gelte ohne Beschränkung der Allgemeinheit, dass $N\neq \emptyset$ (sonst gilt die Aussage offensichtlich, weil $\operatorname {span} (\emptyset )=\{0\}$ und 0 im Spann jeder Menge enthalten ist). Wir betrachten ein $v\in \operatorname {span} (N)$. Nach der Definition des Spannes existieren Vektoren $v_{1},...,v_{n}\in N$ und $\lambda _{1},...,\lambda _{n}\in K$, sodass $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}$. Wegen $N\subseteq M$ gilt für alle $v_{i}$ mit $1\leq i\leq n$, dass $v_{i}\in M$. Dann ist auch $v\in \operatorname {span} (M)$. Folglich gilt $\operatorname {span} (N)\subseteq \operatorname {span} (M)$.

Hinweis

Die Umkehrung ($\operatorname {span} (N)\subseteq \operatorname {span} (M)\implies N\subseteq M$) gilt im Allgemeinen nicht! Betrachten wir hierfür das folgende Gegenbeispiel: Seien $N=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\right\}$ und $M=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\}$, also $M\subseteq N$. Dann ist:

$\operatorname {span} (N)=\left\{\lambda _{1}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+\lambda _{2}\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}|\lambda _{1},\lambda _{2}\in K\right\}=\left\{(\lambda _{1}+2\lambda _{2})\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}|\lambda _{1},\lambda _{2}\in K\right\}$

$\operatorname {span} (M)=\left\{\mu \cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}|\mu \in K\right\}$

Nun sind $\operatorname {span} (N)=\operatorname {span} (M)$, da wir in beiden Fällen genau die Vielfachen des Vektors $(1,0)^{T}$ erhalten. Wenn der Spann beider Teilmengen gleich ist, gilt insbesondere $\operatorname {span} (N)\subseteq \operatorname {span} (M)$, aber $N\nsubseteq M$. Daher kann die Umkehrung des Satzes im Allgemeinen nicht gelten.

Idempotenz des Spannes

Satz (Idempotenz des Spannes)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $M\subseteq V$. Dann gilt $\operatorname {span} (\operatorname {span} (M))=\operatorname {span} (M)$. Diese Eigenschaft des Spannes wird Idempotenz genannt.

Beweis (Idempotenz des Spannes)

Wir wissen bereits, dass $\operatorname {span} (M)\subseteq \operatorname {span} (\operatorname {span} (M))$. Es bleibt also nur zu zeigen, dass $\operatorname {span} (\operatorname {span} (M))\subseteq \operatorname {span} (M)$.

Sei dazu $v\in \operatorname {span} (\operatorname {span} (M))$. Dann lässt sich $v$ darstellen als

$v=\lambda _{1}\cdot {\tilde {v}}_{1}+...+\lambda _{n}\cdot {\tilde {v}}_{n}$

Dabei ist $\lambda _{1},...,\lambda _{n}\in K$ und ${\tilde {v}}_{1},...,{\tilde {v}}_{n}\in \operatorname {span} (M)$. Da ${\tilde {v}}_{i}\in \operatorname {span} (M)$ für alle $1\leq i\leq n$ ist, lässt sich jedes ${\tilde {v_{i}}}$ als Linearkombination von Elementen aus $M$ schreiben:

${\tilde {v}}_{i}=\mu _{1}\cdot {\hat {v}}_{1}+...+\mu _{m_{i}}\cdot {\hat {v}}_{m_{i}}$

Hier ist $\mu _{1},...,\mu _{m_{i}}\in K$ und ${\hat {v}}_{1},...,{\hat {v}}_{m_{i}}\in M$. Ersetzen wir nun in der Darstellung von $v$ die ${\tilde {v}}_{i}$ durch ihre Darstellung als Linearkombination der ${\hat {v}}_{j}$, so haben wir $v$ als Linearkombination von Elementen aus $M$ geschrieben:

${\begin{aligned}v&=\lambda _{1}\cdot {\tilde {v}}_{1}+...+\lambda _{n}\cdot {\tilde {v}}_{n}\\[0.3em]&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\tilde {v}}_{i}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\tilde {v}}_{i}=\mu _{1}\cdot {\hat {v}}_{1}+...+\mu _{m_{i}}\cdot {\hat {v}}_{m_{i}}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left(\sum _{j=1}^{m_{i}}\mu _{j}{\hat {v}}_{j}\right)\\[0.3em]&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}(\lambda _{i}\mu _{j}){\hat {v}}_{j}\end{aligned}}$

Für alle $1\leq i\leq n$ liegt $\sum _{j=1}^{m_{i}}\lambda _{i}\mu _{j}$ in $K$ nach Definition von einem Körper. Also folgt, dass $v\in \operatorname {span} (M)$, und damit die Aussage.

Elemente des Spannes verändern den Spann nicht

Satz (Elemente des Spannes verändern den Spann nicht)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $M$, $N\subseteq V$. Dann gilt

$N\subseteq \operatorname {span} (M)\Longleftrightarrow \operatorname {span} (M)=\operatorname {span} (M\cup N)$

Beweis (Elemente des Spannes verändern den Spann nicht)

Wir beweisen zuerst die Hinrichtung $\Longrightarrow$:

Die Aussage $\operatorname {span} (M)\subseteq \operatorname {span} (M\cup N)$ gilt immer, da $M\subseteq M\cup N$. Es bleibt also nur zu zeigen, dass $\operatorname {span} (M\cup N)\subseteq \operatorname {span} (M)$ gilt.

Betrachten wir dazu ein Element $u\in \operatorname {span} (M\cup N)$. Dieses können wir schreiben als

$u=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}v_{i}+\sum _{i=0}^{m}\mu _{i}w_{i},$

wobei $v_{1},...,v_{n}\in M$, $w_{1},...,w_{m}\in N$, $\lambda _{1},...,\lambda _{n}\in K$ und $\mu _{1},...,\mu _{m}\in K$. Da $N\subseteq \operatorname {span} (M)$, kann man $w_{i}$ für alle $1\leq i\leq m$ als Linearkombination von Elementen aus $M$ schreiben:

$w_{i}=\rho _{1}\cdot {\hat {v}}_{1}+...+\rho _{m_{i}}\cdot {\hat {v}}_{m_{i}}$

Hier ist $\rho _{1},...,\rho _{m_{i}}\in K$ und ${\hat {v}}_{1},...,{\hat {v}}_{m_{i}}\in M$. Nun setzen wir diese Darstellung von $w_{i}$ in die vorherige Formel ein:

${\begin{aligned}u&=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}v_{i}+\sum _{i=0}^{m}\mu _{i}\left(\sum _{j=1}^{m_{i}}\rho _{j}{\hat {v}}_{j}\right)\\[0.3em]&=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m_{i}}(\mu _{i}\rho _{j}){\hat {v}}_{j}\end{aligned}}$

Somit haben wir $u$ als Linearkombination aus Vektoren aus $M$ darstellen können und somit gilt: $\operatorname {span} (M)=\operatorname {span} (M\cup N)$

Nun schauen wir uns die Rückrichtung $\Longleftarrow$ an:

Hierzu nehmen wir an, dass $w\in N$ aber $w\notin \operatorname {span} (M)$. Wir definieren uns nun ein Element $u:=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}v_{i}+w$, wobei $v_{1},...,v_{n}\in M$ und $\lambda _{1},...,\lambda _{n}\in K$.

Nun ist $u$ eine Linearkombination aus Vektoren aus $M\cup N$. Es gilt also $u\in \operatorname {span} (M\cup N)$, da $w\in N$. Allerdings gilt $u\notin \operatorname {span} (M)$, da $w\notin \operatorname {span} (M)$. Dies würde aber der Voraussetzung $\operatorname {span} (M)=\operatorname {span} (M\cup N)$ widersprechen.

Wir haben somit unseren gewünschten Widerspruch und es muss gelten $N\subseteq \operatorname {span} (M)$.

Beweise zum Spann führen

Nachdem wir einige Eigenschaften des Spannes nachgewiesen haben, wollen wir in diesem Abschnitt beispielhaft darstellen, wie wir nachweisen können, ob ein Vektor eines Vektorraums $V$ innerhalb des Spannes einer Teilmenge dieses Vektorraums liegt oder nicht. Wir werden feststellen, dass wir, um diese Frage beantworten zu können, lediglich ein lineares Gleichungssystem lösen müssen.

Beispiel (Die Ebene und Ursprungsgerade)

Sehen wir uns zu Beginn ein einfaches Beispiel aus dem $\mathbb {R} ^{2}$ an. Wir betrachten die Ursprungsgerade $\operatorname {span} (M)$ mit der einelementigen Teilmenge des $\mathbb {R} ^{2}$ $M=\{(4,3)^{T}\}$. Die Fragestellung lautet nun, ob der Vektor $(12,9)^{T}$ im Spann von $M$ liegt. Man kann sofort sehen, dass

${\begin{pmatrix}12\\9\end{pmatrix}}=3\cdot {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$

gilt. Mit anderen Worten

${\begin{pmatrix}12\\9\end{pmatrix}}\in \operatorname {span} (M)$

Rein formal liegt die Aufgabe im Lösen eines Gleichungssystems. In unserem einfachen Beispiel also konkret darin, ob es uns gelingt ein $\lambda \in K$ zu finden, derart, dass

${\begin{pmatrix}12\\9\end{pmatrix}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$

Aus dieser Gleichung gewinnen wir das lineare Gleichungssystem

${\begin{aligned}12&=\lambda \cdot 4\\9&=\lambda \cdot 3\end{aligned}}$

mit der offensichtlichen Lösung $\lambda =3$.

Beispiel (Polynome)

Untersuchen wir nun ein Beispiel, dessen Lösung nicht auf den ersten Blick ersichtlich ist. Dafür betrachten wir die Teilmenge der Monome $N=\{x^{3},x^{1},x^{0}\}$ und das Polynom $(x-2)^{3}+3(x-2)^{2}$. Wir wollen zeigen, dass das Polynom nicht im Spann von $N$ liegt. Es kann uns also nicht gelingen, das Polynom als Linearkombination der Monome von $N$ darzustellen. Das können wir einsehen, indem wir das Polynom umformen zu

$(x-2)^{3}+3(x-2)^{2}=x^{3}-3x^{2}+4$

Wir sehen, dass nun ein Summand die Variable $x$ in zweiter Potenz enthält, dieses Monom $x^{2}$ aber nicht in $N$ enthalten ist. Damit liegt das Polynom nicht im Spann der Menge $N$.

Beispiel (Vektoren aus dem $\mathbb {R} ^{4}$)

Wir betrachten die Teilmenge $M=\{(1,-2,3,2)^{T},(3,0,2,1)^{T},(0,-2,1,-3)^{T},(1,1,-2,2)^{T}\}$ des $\mathbb {R} ^{4}$ und wollen beweisen, dass der Vektor $(2,-9,2,-3)^{T}\in \operatorname {span} (M)$. Dafür müssen zeigen, dass es Koeffizienten $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4}\in \mathbb {R}$ gibt, derart, dass

${\begin{pmatrix}2\\-9\\2\\-3\end{pmatrix}}=\lambda _{1}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-2\\3\\2\end{pmatrix}}+\lambda _{2}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\\2\\1\end{pmatrix}}+\lambda _{3}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-2\\1\\-3\end{pmatrix}}+\lambda _{4}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\2\end{pmatrix}}$

Aus dieser Darstellung erhalten wir das lineare Gleichungssystem

${\begin{aligned}2&=1\cdot \lambda _{1}&+3\cdot \lambda _{2}&+0\cdot \lambda _{3}&+1\cdot \lambda _{4}\\-9&=-2\cdot \lambda _{1}&+0\cdot \lambda _{2}&-2\cdot \lambda _{3}&+1\cdot \lambda _{4}\\2&=3\cdot \lambda _{1}&+2\cdot \lambda _{2}&+1\cdot \lambda _{3}&-2\cdot \lambda _{4}\\-3&=2\cdot \lambda _{1}&+1\cdot \lambda _{2}&-3\cdot \lambda _{3}&+2\cdot \lambda _{4}\\\end{aligned}}$

mit der Lösung $\lambda _{1}=2$, $\lambda _{2}=-1$, $\lambda _{3}=4$, $\lambda _{4}=3$. Damit gilt

${\begin{pmatrix}2\\-9\\2\\-3\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}1\\-2\\3\\2\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\\2\\1\end{pmatrix}}+4\cdot {\begin{pmatrix}0\\-2\\1\\-3\end{pmatrix}}+3\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\2\end{pmatrix}}$

und somit $(2,-9,2,-3)^{T}\in \operatorname {span} (M)$.