Homomorphiesatz und Isomorphiesatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Wir setzen uns jetzt mit einem wichtigen Isomorphismus auseinander. Sei $L:V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$, dann sind $V/\ker L$ und $\operatorname {im} (L)$ isomorph, also $V/\ker L\cong \operatorname {im} (L)$.

Motivation

• Wir betrachten eine lineare Abbildung (Homomorphismus) f zwischen zwei K-Vektorräumen V und W. Wir wollen diese Abbildung so abändern, dass f ein Isomorphismus wird.
• Betrachten wir also eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$. Diese können wir sehr leicht zu einem Epimorphismus machen, in dem wir den Wertebereich von f einschränken auf das Bild von f.
• Wir betrachten den Homomorphismus $f\colon V\to im(f)$. Damit wird jedes Element dieser Teilmenge von W von der Abbildung f getroffen und sie ist natürlicherweise surjektiv und damit ein Epimorphismus, denn das Bild ist ein Unterraum von W.
• Für die Abbildung f sind die von f nicht getroffenen Elemente von W nicht notwendig, um f zu beschreiben. Wir können sie quasi vergessen.
• Um f injektiv zu machen, muss Elemente $v\in V$ auf genau ein $w=f(v)\in W$ abgebildet werden. Da f aber nicht notwendigerweise injektiv ist, wird es mindestens $v_{1};v_{2}\in V;v_{1}\neq v_{2}$ geben mit $f(v_{1})=f(v_{2})$.
• Da f ein Homomorphismus ist, folgt daraus, dass $f(v_{1}-v_{2})=0_{W}$ sein muss. Also liegt $(v_{1}-v_{2})\in ker(f)$.
• Wir suchen zunächst einen Vektorraum, der ker(f) wie ein Element behandelt. Das ist der Vektorraum $V/ker(f)$.
• Wir bezeichnen die Elemente von $V/ker(f)$ mit ${\overline {v}}=v+ker(f)$
• Die Abbildung ${\tilde {f}}\colon V/ker(f)\to W;{\tilde {f}}({\overline {v}})\mapsto f(v)$ ist injektiv.
• Damit haben wir mit dem natürlichen Epimorphismus $\pi \colon V\to V/ker(f);v\mapsto {\overline {v}}$ eine Abbildung ${\tilde {f}}$ konstruiert, für die gilt ${\tilde {f}}\circ \pi =f$.
• Wenn wir nun noch den Wertebereich von f auf das Bild von f reduzieren, habe wir mit ${\tilde {f}}$ den sogenannten induzierten Isomorphismus von f.

Herangehensweise

To-Do:

die folgenden Abschnitte an Motivation anpassen

Konstruktion der Surjektivität und Injektivität

Sei $L:V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$. Wir möchten $L$ so konstruieren, dass es eine bijektive lineare Abbildung wird.

Eine Abbildung surjektiv zu machen ist einfach, man verändert den Wertebereich von $W$ zu $\operatorname {im} (L)$, denn dort wird jedes Element von einem $L(v);\,v\in V$ getroffen, d.h. es gibt zu jedem $w\in \operatorname {im(W)}$ ein $v\in V$ derart dass $w=L(v)$.

Um die Abbildung $L\colon V\to W$ injektiv zu machen, versuchen wir alle Elemente, die auf das gleiche Element (hier speziell das Nullelement $0_{W}$) abgebildet werden, zusammenzufassen. Das ist etwas komplizierter. Wenn $L$ nicht injektiv ist (was im Allgemeinen der Fall sein wird), gibt es $v_{1},\,v_{2}\in V$ mit $v_{1}\neq v_{2}$ und $L(v_{1})=L(v_{2})$.

Damit gilt

$0_{W}=L(v_{1})-L(v_{2})=L(v_{1}-v_{2}){\text{, also ist }}v_{1}-v_{2}\in \ker L$

Das ist gerade die Differenz zwischen $v_{1}$ und $v_{2}$. Diese möchten wir gerne Null setzen, so dass die beiden Vektoren als gleich betrachtet werden können, das heißt, zu einem Vektor zusammengefasst werden können.

Dafür sind die Nebenklassen, die in einem vorherigen Artikel erklärt wurden, nützlich. Betrachten wir den Vektorraum $V/\ker L$. Es fällt auf, dass in diesem Vektorraum für alle $w\in \ker L$ gilt,

$w+\ker L=0+\ker L{\text{, denn }}L(w)=L(0_{V})=0_{W}.$

Also ist auch

$(v_{1}-v_{2})+\ker L=0_{V}+\ker L.$

Nutzen wir nun die Addition in $V/\ker L$, sehen wir

${\begin{aligned}v_{2}+\ker L&=(v_{2}+\ker L)+(0_{V}+\ker L)=(v_{2}+\ker L)+(v_{1}-v_{2}+\ker L)=(v_{2}+v_{1}-v_{2}+\ker L)\\&=v_{1}+\ker L.\end{aligned}}$

Damit haben wir es geschafft, die beiden Vektoren gleichzusetzen und in einem Element zusammenzufassen.

Dass die Abbildung ${\tilde {L}}:V/\ker L\to W$ mit ${\tilde {L}}(v+\ker L)=L(v)$ wirklich injektiv ist, zeigen wir später.

Das kommutierende Diagramm

Um von einem $v\in V$ zu $L(v)$ zu kommen gibt es nun zwei Wege. Entweder wir benutzen die Abbildung $L$ oder wir gehen den Weg über ${\tilde {L}}$, was bedeutet, wir fassen zuerst die Vektoren, die das gleiche Bild haben zusammen und benutzen anschließend ${\tilde {L}}$, um zu $L(v)$ zu kommen.

Anschaulich bedeutet das wir bilden jedes Element $v$ von unserem Vektorraum $V$ auf die affinen Unterräume $v+\ker L$ ab. Man kann es sich auch als Abbildung von den einzelnen Vektoren aus $V$ auf Zusammenfassungen (Nebenklassen) von Vektoren vorstellen. So als würde ein Vektor auf eine Menge von Vektoren abgebildet werden. Diese haben alle das gleiche Bild. Also ist es genau die Abbildung, die wir benutzt haben, um die Vektoren zusammenzufassen.

Formal ausgedrückt:

$\pi \colon V\to V/\ker L;\quad \pi (v)=v+\ker L.$

Diese Abbildung $\pi$ wird die natürliche Projektion genannt.

Wenn wir nun für ein beliebiges $v\in V$ das Bild $L(v)$ bestimmen möchten, haben wir zwei Möglichkeiten:

1. Wir gehen über $L$ direkt zu $L(v)$.
2. Wir benutzen erst $\pi$, um zu $v+\ker L$ zu kommen, und bilden anschließend mit ${\tilde {L}}$ den Vektor $v+\ker L$ auf $L(v)$ ab.

Das kommutierende Diagramm mit der linearen Abbildung L, der natürlichen Abbildung Pi und L-tilde.

Der Homomorphiesatz für Vektorräume

Wir erklären und beweisen in diesem Kapitel den Homomorphiesatz für Vektorräume.

Satz (Homomorphiesatz)

Sei $L\colon V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen und $\pi \colon V\to V/\ker L;\quad \pi (v)=v+\ker L$ die natürliche Projektion, dann gibt es die injektive lineare Abbildung ${\tilde {L}}\colon V/\ker L\to W;\quad {\tilde {L}}(v+\ker L)=L(v)$, so dass das Diagramm kommutiert, d.h. $L={\tilde {L}}\circ \pi$.

Das kommutierende Diagramm mit der linearen Abbildung L, der natürlichen Abbildung Pi und L-tilde.

Wie kommt man auf den Beweis? (Homomorphiesatz)

Wir gehen hier Schritt für Schritt vor. Wir beweisen den Satz in folgenden Schritten.

1. ${\tilde {L}}$ ist wohldefiniert.
2. Wir zeigen, dass das Diagramm kommutativ ist, d.h. $L={\tilde {L}}\circ \pi$.
3. Wir zeigen dann den noch fehlenden Beweis, dass ${\tilde {L}}$ injektiv ist.

Wir überlegen uns, was wir in diesen drei Schritten zeigen müssen, bevor wir dann formal den ganzen Beweis des Homomorphiesatzes zeigen.

Beweisschritt: ${\tilde {L}}$ ist wohldefiniert

Da ${\tilde {L}}$ und $L$ sehr ähnlich sind (das Bild ist gleich), fragen wir uns, inwiefern sich ${\tilde {L}}$ von $L$ unterscheidet. Der Unterschied liegt an sich nur im Definitionsbereich. Wir wissen schon, dass es für jedes $v\in V$ ein $L(v)$ gibt, also gibt es auch für jedes $v+\ker L$ ein ${\tilde {L}}(v+\ker L)$, weil ${\tilde {L}}(v+\ker L)=L(v)$.

Zur Wohldefiniertheit müssen wir müssen noch überprüfen, ob es nur ein solches Bild für einen Vektor gibt, damit nicht der gleiche Vektor zwei verschiedene Bilder hat. Das problematische hier ist jedoch, dass ein Vektor aus $V/\ker L$ mehrere Repräsentanten hat. Das heißt für $v_{1}$ und $v_{2}\in V$ muss aus $v_{1}+\ker L=v_{2}+\ker L$ nicht folgen, dass $v_{1}=v_{2}$. Trotzdem muss gelten ${\tilde {L}}(v_{1}+\ker L)={\tilde {L}}(v_{2}+\ker L)$, also auch $L(v_{1})=L(v_{2})$.

Wenn nun für $v_{1}$ und $v_{2}\in V$ gilt $v_{1}\neq v_{2}$, aber $v_{1}+\ker L=v_{2}+\ker L$, was bedeutet, dass dann für $v_{1}-v_{2}$? Dazu müssen wir zeigen $v_{1}-v_{2}\in \ker L$

Beweisschritt: Das Diagramm ist kommutativ

Dazu müssen wir zeigen $L(v)=({\tilde {L}}\circ \pi )(v)={\tilde {L}}(\pi (v))$ und sehen, worauf das Element $v$ abgebildet wird.

Beweisschritt: ${\tilde {L}}$ ist injektiv

Um die Injektivität von ${\tilde {L}}$ zu beweisen, müssen wir zeigen, $\forall \,v_{1},\,v_{2}\in V$ für die gilt ${\tilde {L}}(v_{1}+\ker L)={\tilde {L}}(v_{2}+\ker L)$ folgt $v_{1}+\ker L=v_{2}+\ker L$.

Wenn wir nun wissen, dass ${\tilde {L}}(v_{1}+\ker L)={\tilde {L}}(v_{2}+\ker L)$, dann gilt auch $L(v_{1})=L(v_{2})$.

Das bedeutet $v_{1}-v_{2}\in \ker L$? Daraus müssen wir folgern, dass $v_{1}+\ker L=v_{2}+\ker L$.

Beweis (Homomorphiesatz)

Für den Beweis müssen wir die obigen drei Schritte nun formal beweisen, also ${\tilde {L}}$ ist wohldefiniert, $L={\tilde {L}}\circ \pi$ und ${\tilde {L}}$ ist injektiv.

Beweisschritt: ${\tilde {L}}$ ist wohldefiniert

Dafür zeigen wir, haben wir zwei Repräsentanten des gleichen Vektors aus $V/\ker L$, so werden beide auf das gleiche Bild abgebildet.

Also seinen $v_{1}+\ker L$ und $v_{2}+\ker L\in V/\ker L$ zwei Vektoren, für die gilt $v_{1}+\ker L=v_{2}+\ker L$. Wir wissen schon (vom Rechnen mit Nebenklassen), dass dann gilt $v_{1}-v_{2}\in \ker L$. Dann ist

${\begin{aligned}{\tilde {L}}(v_{2}+\ker L)&=L(v_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 0_{W}{\text{addieren}}\right.}\\[0.3em]&=\ L(v_{2})+0_{W}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ v_{1}-v_{2}\in \ker L\right.}\\[0.3em]&=\ L(v_{2})+L(v_{1}-v_{2})\\[0.3em]&=\ L(v_{2}+v_{1}-v_{2})\\[0.3em]&=\ L(v_{1})={\tilde {L}}(v_{1}+\ker L)\end{aligned}}$

Da $v_{1}+\ker L$ und $v_{2}+\ker L$ beide auf ${\tilde {L}}(v_{1}+\ker L)={\tilde {L}}(v_{2}+\ker L)$ abgebildet werden und $L$ wohldefiniert ist, ist auch ${\tilde {L}}$ wohldefiniert.

Beweisschritt: $L={\tilde {L}}\circ \pi$; damit ist das Diagramm kommutativ.

Zum Beweis zeigen wir, dass für alle $v\in V$ gilt $L(v)=({\tilde {L}}\circ \pi )(v)$.

Sei $v\in V$, dann ergibt sich offensichtlich

$({\tilde {L}}\circ \pi )(v)={\tilde {L}}(\pi (v))={\tilde {L}}(v+\ker L)=L(v)$

Genau das wollten wir zeigen und damit ist das Diagramm kommutativ.

Beweisschritt: ${\tilde {L}}$ ist injektiv

Dafür müssen wir zeigen, wenn für zwei Vektoren $v_{1}+\ker L,\,v_{2}+\ker L\in V/\ker L$ gilt ${\tilde {L}}(v_{1}+\ker L)={\tilde {L}}(v_{2}+\ker L)$, dann ist $v_{1}+\ker L=v_{2}+\ker L$.

Seien also $v_{1}+\ker L$ und $v_{2}+\ker L\in V/\ker L$ mit ${\tilde {L}}(v_{1}+\ker L)={\tilde {L}}(v_{2}+\ker L)$. Dann gilt auch $L(v_{1})={\tilde {L}}(v_{1}+\ker L)={\tilde {L}}(v_{2}+\ker L)=L(v_{2})$ und somit, da $L$ linear ist, auch $L(v_{1}-v_{2})=L(v_{1})-L(v_{2})=0_{W}$. Also ist $v_{1}-v_{2}\in \ker L$.

Damit gilt:

${\begin{aligned}v_{2}+\ker L&=\\[0.3em]&=\ (v_{2}+\ker L)+(0_{V}+\ker L)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ v_{1}-v_{2}\in \ker L\implies 0+\ker L=v_{1}-v_{2}+\ker L\right.}\\[0.3em]&=\ (v_{2}+\ker L)+(v_{1}-v_{2}+\ker L)\\[0.3em]&=\ v_{2}+v_{1}-v_{2}+\ker L\\[0.3em]&=\ v_{1}+\ker L.\end{aligned}}$

Also ist ${\tilde {L}}$ injektiv.

Aus diesem Satz können wir nun direkt folgern, dass $V/\ker L\cong \operatorname {im} (L)$, also eine Isomorphie zwischen $V/\ker L$ und $\operatorname {im} (L)$. Das sehen wir im nächsten Satz.

Satz (Isomorphiesatz)

Sei $L\colon V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$, dann ist die Abbildung ${\tilde {L}}\colon V/\ker L\to \operatorname {im} (L);\quad {\tilde {L}}(v+\ker L)=L(v)$ein Isomorphismus.

Beweis (Isomorphiesatz)

Für den Beweis müssen wir zeigen, dass ${\tilde {L}}$ sowohl injektiv, als auch surjektiv und linear ist. Weil ${\tilde {L}}\colon :V/\ker L\to W$ injektiv ist, ist auch die Einschränktung auf $\operatorname {im} (L)$ injektiv, da immer noch jeder Vektor höchstens einmal getroffen wird.

Dass ${\tilde {L}}$ surjektiv ist, geht aus dem kommutativen Diagramm von vorher hervor, denn damit hat ${\tilde {L}}$ das gleiche Bild wie $L$. Das bedeutet, dass ${\tilde {L}}$ surjektiv ist. Formal ausgedrückt:

Einerseits gilt $\forall w\in \operatorname {im} (L)\quad \exists v\in V{\text{ mit }}L(v)=w$.

Andererseits ist auch ${\tilde {L}}(v+\ker L)=L(v)=w$ und damit existiert auch ein ${\tilde {v}}=v+\ker L$ derart, dass ${\tilde {L}}({\tilde {v}})=L(v)=w$.

Die Linearität von ${\tilde {L}}$ folgt direkt aus der Linearität von $L$, denn seien $v_{1}+\ker L$ und $v_{2}+\ker L\in V/\ker L$ Vektoren und $\rho \in K$ ein Skalar, dann gilt

${\begin{aligned}{\tilde {L}}((v_{1}+\ker L)+(v_{2}+\ker L))&={\tilde {L}}(v_{1}+v_{2}+\ker L)\\&=\ L(v_{1}+v_{2})=L(v_{1})+L(v_{2})\\&=\ {\tilde {L}}(v_{1}+\ker L)+{\tilde {L}}(v_{2}+\ker L)\end{aligned}}$

und

${\tilde {L}}(\rho \cdot (v_{1}+\ker L))={\tilde {L}}(\rho \cdot v_{1}+\ker L)=L(\rho \cdot v_{1})=\rho \cdot L(v_{1})=\rho \cdot {\tilde {L}}(v_{1}+\ker L)$

Folglich ist ${\tilde {L}}$ bijektiv und eine lineare Abbildung (bzw. ein Vektorraumhomomorphismus) und damit ein Isomorphismus.