Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir beweisen den Austauschssatz, um später die Wohldefiniertheit der Dimension zu zeigen.

Motivation[Bearbeiten]

In diesem Artikel wollen wir das Austauschlemma und den Austauschssatz von Steinitz behandeln. Diese besagen, wie eine gegebene Basis eines Vektorraums in eine andere umgewandelt werden kann, indem man manche der alten Basisvektoren geschickt durch neue Vektorraumelemente ersetzt. Das ist vor allem dann hilfreich, wenn man eine Basis konstruieren möchte, die gewisse vorher überlegte Vektoren enthält. Eine weitere Aussage des Austauschsatzes ist die Tatsache, dass linear unabhängige Mengen allgemein höchstens so mächtig sind wie Basen. Dieses Resultat ist zum Beispiel für die Definition der Dimension eines Vektorraums wesentlich. Wir beweisen zunächst das Austauschlemma.

Austauschlemma[Bearbeiten]

Das Austauschlemma[Bearbeiten]

Satz (Austauschlemma)

Sei ein Vektorraum über einem Körper und eine Basis von . Weiterhin sei mit der Linearkombination , wobei . Ist derart, dass , dann ist ebenfalls eine Basis von .

Beweis (Austauschlemma)

Sei die Menge, in der mit ausgetauscht wurde. Wir müssen zeigen, dass auch die neue Menge eine Basis ist. Dazu zeigen wir, dass ein Erzeugendensystem von und linear unabhängig ist.

Beweisschritt: ist ein Erzeugendensystem

Wir wissen mit und . Nach obiger Annahme ist und hat deshalb ein Inverses in . Damit gilt folgende Umformung:

Weil eine Basis von ist, gibt es für jeden Vektor Skalare , sodass ist. Wir setzen nun für obiges Ergebnis ein und erhalten:

Damit ist der Vektor dargestellt als Linearkombination von und ist ein Erzeugendensystem von .

Beweisschritt: ist linear unabhängig

Seien , sodass . Wir ersetzen durch seine Darstellung als Linearkombination der Basiselemente und erhalten:

Da linear unabhängig ist, gilt und für alle .

Aus und folgt . Damit ist aber auch für alle . Das bedeutet ist linear unabhängig.

Hinweis

Es gilt auch (hier ohne Beweis) die Rückrichtung des Austauschlemmas:

Sei ein Vektorraum über einem Körper und eine Basis von . Weiterhin sei mit der Linearkombination , wobei . Ist derart, dass ebenfalls eine Basis von ist, dann gilt bereits .

Als nächstes beweisen wir eine leichte Abwandlung des Austauschlemmas. Sie zeigt, dass das Lemma "fast immer" anwendbar ist. Dabei setzen wir nämlich nur voraus, dass der neue Basisvektor nicht der Nullvektor ist:

Satz (Austauschlemma Version 2)

Sei ein Vektorraum über einem Körper und eine Basis von . Weiterhin sei . Dann gibt es einen Index derart, dass ebenfalls eine Basis von ist.

Wir können damit gegen austauschen.

Beweis (Austauschlemma Version 2)

Wir schreiben als Linearkombination in . Seien also mit .

Da ist, muss mindestens einer der Skalare ungleich Null sein. Wenn nämlich alle wären, dann müsste auch sein. Also sei , so dass . Mit diesem ist die Voraussetzung aus der oberen Version des Austauschlemmas erfüllt.

Anwendung des Austauschlemmas[Bearbeiten]

Beispiel

Seien die kanonische Basis des und Wir zeigen, dass eine Basis des ist. Gemäß dem Austauschlemma können wir den Vektor mit ersetzen, wenn der Linearkombination gilt: .

Wir erkennen, dass gilt:

Somit folgt mit dem Austauschlema, dass eine Basis des ist.

Wir sehen aber aus dieser Diskussion auch, dass wir mithilfe des Austauschlemmas nicht zeigen könne, dass eine Basis ist: In der Linearkombination von ist . Deshalb kann man das Austauschlemma hier nicht anwenden.

Es gilt sogar, dass keine Basis des ist: , also sind die Vektoren linear abhängig, insbesondere also keine Basis.

Beispiel (Basisergänzung durch Hereintauschen in eine bekannte Basis)

Wir wollen die beiden Vektoren zu einer Basis des ergänzen.

Zunächst sollten wir prüfen, ob die beiden Vektoren linear unabhängig sind, dies ist aber leicht einzusehen, denn für

muss sein, was dann bedeutet, dass auch ist.

Wir wollen nun mit Hilfe des Austauschlemmas gegen zwei Basisvektoren einer bekannten Basis des austauschen. Für den nehmen wir einfach die kanonische Basis . Durch wiederholte Anwendung des Austauschlemmas werden die Vektoren nacheinander ausgetauscht. Dabei gehen wir folgendermaßen vor:

Der Vektor wird als Linearkombination der Vektoren dargestellt.

Nach dem Austauslemma können wir irgendein Basiselement austauschen, da für jedes die zugehörigen Skalare sind.

Tauschen wir also etwa gegen aus, es ist nun also eine Basis des . Wir wiederholen nun das obige Verfahren für mit der Basis .

Auch hier können wir jeden der Vektoren austauschen, allerdings ist der Austausch von nicht zielführend, also tauschen wir etwa aus. Damit bilden die Vektoren eine Basis des und wir haben die linear unabhängigen Vektoren mit zu einer Basis des ergänzt.

Austauschsatz von Steinitz[Bearbeiten]

Satz (Austauschsatz von Steinitz)

Sei eine -elementige Basis des -Vektorraums und sei eine -elementige Menge linear unabhängiger Vektoren. Dann gilt und man kann bestimmte Vektoren der Basis , durch die Vektoren ersetzen und erhält mit diesen Vektoren eine neue Basis des -Vektorraums .

Nach eventueller Umnummerierung der Indizes können wir schreiben

Beweis (Austauschsatz von Steinitz)

Wir beweisen den Satz durch vollständige Induktion nach k.

Beweisschritt: Induktionsanfang

Sei eine Basis von und sei linear unabhängig, also , dann folgt mit obigem Austauschlemma, dass für ein bestimmtes eine Basis von ist.

Jetzt benennen wir zu um. Es folgt dann, dass eine Basis ist. Das zeigt den Induktionsanfang.

Beweisschritt: Induktionsschritt

Seien linear unabhängig. Nach Induktionsvoraussetzung gilt , woraus wir folgern wollen. Angenommen es wäre . Dann folgt, wegen und , dass gilt. Da linear unabhängig ist und , können wir nach Induktionsvoraussetzung durch ersetzen. Wir erhalten, dass eine Basis von ist.

Wir können also als Linearkombination in darstellen. Seien , mit . Dann gilt:

Das ist aber ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von . Also muss auch gelten.

Es bleibt zu zeigen, dass nach eventueller Umbennenung der

eine Basis von ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist eine Basis von . Dabei wurden unter Umständen die Indizes der vertauscht. Wir schreiben als Linearkombination in .

Seien dafür , mit . Beachte dabei, dass dies nicht zwingend die gleichen wie vorher sind. Angenommen es wäre für alle . Dann würde

gelten, was der linearen Unabhängigkeit von widersprechen würde. Sei also , mit . Nach dem Austauschlemma ist eine Basis von .

Schließlich benennen wir zu um. Dann ist eine Basis von , was den Beweis abschließt.