Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In diesem Artikel wollen wir das Austauschlemma und den Austauschssatz von Steinitz behandeln. Diese besagen wie eine gegebene Basis eines Vektorraums in eine andere umgewandelt werden kann, indem man manche der alten Basisvektoren geschickt durch neue Vektorraumelemente ersetzt. Das ist vor allem dann hilfreich, wenn man eine Basis konstruieren möchte, die gewisse vorher überlegte Vektoren enthält. Eine weitere Aussage des Austauschsatzes ist die Tatsache, dass linear unabhängige Mengen allgemein höchstens so mächtig sind wie Basen. Dieses Resultat ist zum Beispiel für die Definition der Dimension eines Vektorraums wesentlich. Wir beweisen zunächst das Austauschlemma.

Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz[Bearbeiten]

Austauschlemma[Bearbeiten]

Wir wollen zunächst zeigen, dass ein Basiselement gegen einen anderen Vektor ausgetauscht werden kann derart, dass auch eine Basis von ist.

Satz (Austauschlemma)

Sei ein Vektorrraum über und eine Basis von . Weiterhin sei mit der Linearkombination , wobei . Ist derart, dass , dann ist ebenfalls eine Basis von .

Beweis (Austauschlemma)

Sei die Menge, in der mit ausgetauscht wurde. Wir müssen zeigen, dass auch die neue Menge eine Basis ist. Dazu zeigen wir, dass ein Erzeugendensystem von und linear unabhängig ist.

Beweisschritt: ist ein Erzeugendensystem

Wir wissen mit und . Nach obiger Annahme muss sein. Damit gilt folgende Umformung:

Es wurde dabei verwendet, dass , als Nicht-Nullelement, ein Inverses in hat. Weil eine Basis von ist, gibt es für jeden Vektor Skalare , sodass ist. Wir setzen nun für obiges Ergebnis ein und erhalten:

Damit ist der Vektor dargestellt als Linearkombination von und ist ein Erzeugendensystem von

Beweisschritt: ist linear unabhängig

Seien , sodass . Wir ersetzen durch seine Darstellung als Linearkombination der Basiselemente und erhalten:

Da linear unabhängig ist, gilt und für alle .

Aus und folgt . Damit ist aber auch für alle . Das bedeutet ist linear unabhängig.

Als nächstes beweisen wir jetzt eine leichte Abwandlung des Austauschlemmas, welche zeigt dass dieses "fast immer" anwendbar ist. Dabei setzen wir nämlich nur voraus, dass der neue Basisvektor nicht der Nullvektor ist:

Satz (Austauschlemma Version 2)

Sei ein Vektorrraum über und eine Basis von . Weiterhin sei . Dann gibt es einen Index derart, dass ebenfalls eine Basis von ist.

Wir können damit gegen austauschen.

Beweis (Austauschlemma Version 2)

Wir schreiben als Linearkombination in . Seien also mit .

Da ist, muss mindestens einer der Skalare ungleich Null sein. Wenn nämlich alle wären, dann müsste auch Null sein. Also sei , so dass . Mit diesem ist die Voraussetzung aus der oberen Version des Austauschlemmas erfüllt.


Anwendung des Austauschlemmas[Bearbeiten]

Aufgabe

Seien die kanonische Basis des und und

  1. Zeige, dass eine Basis des ist.
  2. Zeige, dass keine Basis des ist.

    Hinweis

    Prüfe die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit.



Lösung

Lösung Teilaufgabe 1:

Gemäß dem Austauschlemma können wir den Vektor mit ersetzen, wenn eine Linearkombination existiert mit .

Wir erkennen leicht, dass dies der Fall für und ist, also:

Somit folgt mit dem Austauschlema, dass eine Basis des ist.

Lösung Teilaufgabe 2:

Nehmen wir uns als Ausgangsbasis und ersetzen mit , so lässt sich der Vektor darstellen, als:

Ergänzende Bemerkung[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Formatierung ändern

Durch das Austauschlemma haben wir nun die Möglichkeit durch geschickte Wahl von Linearkombinationen eine neue Basis zu identifizieren:

Seien eine bekannte Basis und eine zu prüfende Basis, dann wenden wir das Austauschlemma so oft auf Vektoren aus an, bis entsteht.

In diesem Fall bietet sich häufig die kanonische Basis als Ausgangsbasis an.

Eine solche konkrete Anwendung soll im Folgenden betrachtet werden. Wir vergleichen zwei alternative Möglichkeiten eine Basis nachzuweisen:

  • Direkt über Nachweis eines Erzeugendensystems und linearer Unabhängigkeit
  • Anwendung des Austauschlemmas



Aufgabe (Nachweis einer Basis im klassischen Sinne)

Seien mit .

Zeige, dass die drei Vektoren eine Basis von bilden, durch:

  1. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem.
  2. Die Vektoren sind linear unabhängig.

Lösung (Nachweis einer Basis im klassischen Sinne)

Lösung Teilaufgabe 1:

Das Erzeugendensystem

soll aus erzeugt werden.

Wir suchen also , für die gilt:

Wir betrachten die Koordinaten zeilenweise und schreiben als Gleichungssystem:

Setzten wir nun die mit ein, ergibt sich:

Somit bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem vom

Lösung Teilaufgabe 2:

Wir prüfen nun noch die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit. Daher ist zu zeigen:

mit

Wenden wir diese Definition auf an, so erhalten wir:

Die Gleichung gilt, wenn:

Wenn also .

Damit sind die drei Vektoren linear unabhängig.


Teilaufgabe 1 und 2 zeigen: Die Vektoren bilden eine Basis des .


Aufgabe (Nachweis einer Basis durch Anwendung des Austauschlemmas)

Seien mit .

Zeige, dass die drei Vektoren eine Basis von bilden, durch:

  1. Austausch von in der kanonischen Basis durch
  2. Austausch von durch

Lösung (Nachweis einer Basis durch Anwendung des Austauschlemmas)

Lösung Teilaufgabe 1:

Für den Nachweis von als Basis des benötigen wir eine, uns schon bekannte Basis. Beispielsweise die kanonische Basis:

Aus dieser Basis wollen wir Schritt für Schritt duch Anwendung des Austauschlemmas aufbauen.

Wir ersetzen durch durch Wahl von .

Somit gilt:

Mit gilt nach dem Austauschlemma, dass ein zulässiger Basisvektor der transformierten Basis ist.

Somit ist auch eine Basis des .

Lösung Teilaufgabe 2:

Im nächsten Schritt wollen wir nun die geforderte Basis aus bilden.

Es verbleibt den Vektor mit auszutauschen:

Wählen wir und , so erhalten wir den gewünschten Vektor:

Nach dem Austauschlemma ist dann eine Basis des .

Bei geschickter Wahl der Vektoren und Skalare, kann das Austauschlemma also schneller zum Erfolg führen, als der klassische Basisnachweis.

Was passiert aber bei ungeschickter Wahl? Betrachten wir uns hierzu ein abschließendes Beispiel:


Die geschickte Wahl der zu tauschenden Vektoren motiviert somit eine Erweiterung des Austauschlemmas:

ENDE

Wir wollen nun eines der obigen Basiselemente gegen den Vektor austauschen. Dazu stellen wir zunächst als Linearkombination der dar.

Nun müssen wir den Basisvektor identifizieren, den wir gegen austauschen können. Nach dem Austauschsatz von Steinitz können wir den Vektor der gegebenen Basis autauschen, dessen Skalar ist. In unserem Beispiel können oder ausgetauscht werden, dagegen nicht, da der Skalar ist.

Nun wenden wir das Austauschlemma an und entscheiden uns dafür gegen auszutauschen. Dann ist nach dem Austauschlemma ebenfalls eine Basis des .

Wir wollen uns nun noch ansehen, was passiert, wenn wir statt den Vektor durch ersetzen, obwohl den Skalar in der Darstellung von als Linearkombination der hat. Wir müssen also die Vektoren

untersuchen. Wir untersuchen zunächst, ob diese linear unabhängig sind und sich überhaupt als Basis des eignen. Wir zeigen, dass es

gibt, die nicht alle sind,

derart dass

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Herleitung von erklären und die Folgerung in die richtige Richtung machen. Also aus der Wahl von folgt, dass der Vektor gleich Null ist.

Damit gilt, wie du leicht nachprüfen kannst,

und die drei Vektoren sind linear abhängig und können keine Basis des sein.

Austauschsatz von Steinitz[Bearbeiten]

Satz (Austauschsatz von Steinitz)

Sei eine -elementige Basis des -Vektorraums und sei eine -elementige Menge linear unabhängiger Vektoren. Dann gilt und man kann bestimmte Vektoren der Basis , durch die Vektoren ersetzen und erhält mit diesen Vektoren eine neue Basis des -Vektorraums .

Nach eventueller Umnummerierung der Indizes können wir schreiben

Beweis (Austauschsatz von Steinitz)

Wir beweisen den Satz durch vollständige Induktion nach k.

Beweisschritt: Induktionsanfang

Sei eine Basis von und sei linear unabhängig, also , dann folgt mit obigem Austauschlemma, dass für ein bestimmtes eine Basis von ist.

Jetzt benennen wir zu , zu ,....., zu um.

Es folgt dann, dass eine Basis ist. Das zeigt den Induktionsanfang.

Beweisschritt: Induktionsschritt

Seien linear unabhängig. Nach Induktionsvoraussetzung gilt , woraus wir folgern wollen. Angenommen es wäre . Dann folgt, wegen und , dass gilt. Da linear unabhängig ist, können wir nach Induktionsvoraussetzung durch ersetzen. Wir erhalten, wegen , dass eine Basis von ist.

Wir können also als Linearkombination in darstellen. Seien , mit . Dann gilt:

Das ist aber ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von . Also muss auch gelten.

Es bleibt zu zeigen, dass nach eventueller Umbennenung der

eine Basis von ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist zunächst eine Basis von ist. Dabei wurden unter Umständen die Indizes der vertauscht. Wir schreiben als Linearkombination in .

Seien dafür , mit . Beachte dabei, dass dies nicht zwingend die gleichen wie vorher sind. Angenommen es wäre für alle . Dann würde

gelten, was der linearen Unabhängigkeit von widersprechen würde. Sei also , mit . Nach dem Austauschlemma ist eine Basis von .

Schließlich benennen wir zu , zu ,....., zu um.

Dann ist eine Basis von , was den Beweis abschließt.

Anwendungen des Steinitzschen Austauschsatzes[Bearbeiten]

Beispiel 2: Basisergänzung durch Hereintauschen in eine bekannte Basis

Wir wollen die beiden Vektoren

zu einer Basis des ergänzen.

Zunächst müssen wir prüfen, ob die beiden Vektoren linear unabhängig sind, dies ist aber leicht einzusehen, denn für

muss sein, was dann bedeutet, dass auch ist.

Wir wollen nun mit Hilfe des Austauschsatzes gegen zwei Basisvektoren einer bekannten Basis des austauschen. Für den nehmen wir einfach die kanonische Basis

Durch wiederholte Anwendung des Austauschsatzes von Steinitz werden, die Vektoren nacheinander ausgetauscht. Dabei gehen wir folgendermaßen vor.

Der Vektor wird als Linearkombination der Vektoren dargestellt.

Es wird nun derjenige Vektor ausgetauscht, dessen zugehöriger Skalar ist.

Nach dem Austauschsatz von Steinitz können wir irgendein Basiselement austauschen, da für jedes die zugehörigen Skalare sind, genauer .

Tauschen wir also ohne Beschränkung der Allgemeinheit gegen aus. Nach dem Austauschsatz ist eine Basis es . Wir wiederholen nun das obige Verfahren für mit der Basis .

Auch hier können wir die Vektoren austauschen, allerdings ist der Austausch von nicht zielführend, also tauschen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit aus. Damit bilden die Vektoren eine Basis des und wir haben die linear unabhängigen Vektoren mit zu einer Basis des ergänzt.