Endomorphismus, Automorphismus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Endomorphismus[Bearbeiten]

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To-Do:

genau erklären, warum Endomorphismen wichtig sind und was ds besondere an ihnen ist

Definition (Endomorphismus)

Ein Endomorphismus ist ein -Vektorraumhomomorphismus von einem -Vektorraum auf sich selbst, d.h. .

Beispiele für Vektorraum-Endomorphismus[Bearbeiten]

Beispiel (Endomorphismus)

Die Abbildung ist eine Endomorphismus.

Anschauung: Endomorphismen skalieren den Raum[Bearbeiten]

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To-Do:

Anschauung erklären, dass lineare Abbildungen den Raum skalieren. Dies sieht man daran, dass jedes Gitter durch eine lineare Abbildung skaliert wird.

Automorphismus[Bearbeiten]

Definition (Automorphismus)

Ein Automorphismus ist ein bijektiver Endomorphismus, also insbesondere ein Isomorphismus.

Beispiele für Vektorraum-Automorphismen[Bearbeiten]

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To-Do:

Linearität nachrechnen, wer es für nötig hält.

Aufgabe (Automorphismus)

Zeige, dass die Abbildung ein Automorphismus ist.

Lösung (Automorphismus)

Linearität lässt sich leicht nachrechnen. Da Definitions- und Zielbereich gleich sind, ist also ein Endomorphismus.

Wir wollen nun zeigen, dass bijektiv ist. Dazu müssen wir zeigen, dass injektiv und surjektiv ist.

Wir beginnen mit der Injektivität. Seien und mit . Dann gilt für , dass , also und somit . Dies zeigt die Injektivität.

Nun zeigen wir die Surjektivität. Sei dazu . Definiere . Dann gilt . Also ist surjektiv.

Wir haben also gezeigt, dass ein Automorphismus ist.

Endomorphismenring und Automorphismengruppe[Bearbeiten]

Satz (Endomorphismenring)

Sei ein Körper, ein -Vektorraum. Die Menge ist ein Ring mit der Addition und Multiplikation .

Beweis (Endomorphismenring)

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To-Do:

Beweis

Satz (Die (Nicht-)Kommutativität des Endomorphismenringes)

Sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann ist genau dann kommutativ, wenn .

Beweis (Die (Nicht-)Kommutativität des Endomorphismenringes)

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To-Do:

beweis

Satz (Automorphismengruppe)

Sei ein Körper, ein -Vektorraum. Die Menge bildet eine Gruppe bezüglich der Komposition .

Es gilt zudem .

Beweis (Automorphismengruppe)

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To-Do:

Beweis