Endomorphismus, Automorphismus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Herleitung[Bearbeiten]

Wir kennen schon lineare Abbildungen. Es sind diejenigen Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, welche sich mit der Struktur der Vektorräume verträgt. Wir untersuchen nun ein paar Beispiele von linearen Abbildungen, die wir schon in früheren Artikeln kennengelernt haben.

Beispiele im [Bearbeiten]

Streckung in -Richtung[Bearbeiten]

Zuerst betrachten wir die Streckung eines Vektors in der Ebene um den Faktor in -Richtung. Unsere Abbildung ist damit

Man kann einfach nachprüfen, dass eine lineare Abbildung ist. Wir können wie folgt veranschaulichen: Wir legen ein Schachbrettmuster in die Ebene. Dann wenden wir auf das Schachbrettmuster an.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

animiertes Bild dazu

Wir sehen, dass die Boxen nach rechts gestreckt werden.

Drehung um den Ursprung[Bearbeiten]

Wir betrachten nun eine Drehung um den Winkel gegen den Urzeigersinn mit dem Ursprung als Drehzentrum. Es handelt sich dabei also um eine Abbildung , die jedem Vektor den um den Winkel gedrehten Vektor zuordnet:

Drehung eines Vektors um den Winkel

Wir können uns wie im ersten Beispiel veranschaulichen, indem wir die Abbildung auf das Schachbrettmuster anwenden.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

animiertes Bild dazu; evtl einfach die Animation von oben benutzen

Die einzelnen Felder bleiben gleich, sie werden nur gedreht.

Projektion auf eine Gerade[Bearbeiten]

Anwendung von auf zwei Vektoren

Zuletzt betrachten wir die Abbildung

Ein Vektor wird von auf die Gerade "gedrückt". Man kann einfach nachrechnen, dass eine lineare Abbildung ist. Auch diese lineare Abbilding können wir auf das Schachbrettmuster anwenden und damit veranschaulichen.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

animiertes Bild dazu

Das gesamte Gitter wird auf die Gerade "plattgedrückt".

Lineare Verformungen eines beliebigen Vektorraums[Bearbeiten]

In allen obigen Beispielen konnten wir die linearen Abbildung als Verzerrungen des Schachbrettmusters im darstellen. Das war möglich, weil alle obigen Funktionen vom wieder in den abbilden. Wir können beliebige lineare Abbildungen als Verformung des Shachbrettmusters veranschaulichen. Jede lineare Abbildung ist eine lineare Verformung des Raums .

Diese Idee wollen wir auf allgemeine Vektorräume verallgemeinern. Wir können uns lineare Abbildungen von nach als lineare Verformungen bzw. Transformationen des Vektorraums vorstellen. Im Gegensatz dazu ist eine lineare Abbildung ein Transport des Vektorraums nach . Wir geben denjenigen linearen Abbildungen, die den Vektorraum verformen, d.h. die von nach abbilden, einen eigenen Namen. Wir nennen eine solche lineare Abbildung Endomorphismus. Also sind Endomorphismen genau die linearen Abbildungen, die den gleichen Definitions- und Zielbereich haben.

Rückgängig machbare Verformungen[Bearbeiten]

In den Beispielen im haben wir gesehen, dass einige Abbildungen den Raum erhalten und andere etwas platt drücken. Die Abbildungen, die den Raum erhalten, können wir rückgängig machen. Wenn etwas plattgedrückt wird, ist das jedoch nicht möglich, da Information verloren geht. Es gibt also Verformungen des Raums, die man rückgängig machen kann, und welche, bei denen das nicht geht. Man kann eine Abbildung rückgängig machen, wenn sie invertierbar ist. Das gibt uns die Definition einer rückgängig machbaren Verformung des Raums, d.h. ein invertierbarer Endomorphismus. Eine solche Abbildung heißt Automorphismus.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Endomorphismus und Automorphismus)

Sei ein -Vektorraum. Eine lineare Abbildung , die auf sich selbst abbildet, d.h. , heißt Endomorphismus.

Einen bijektiven Endomorphismus nennen wir Automorphismus.

Hinweis

Jeder Automorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung und damit auch ein Isomorphismus. Aber nicht jeder Isomorphismus ist ein Automorphismus. Denn Isomorphismen können auch zwei verschiedene Vektorräume aufeinander abbilden.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Beispiele aus dem Artikel “Lineare Abbildung” mit Veranschaulichung (Schachbrettmuster)
    • Streckung in x-Achse
    • Drehung
    • Spiegelung in eine Richtung
    • platt drücken auf eine Gerade oder x-Achse
  • evtl. Bsp im \R^3
  • Beispiel im Raum der schließlich 0 werdenden Folgen: Tausche gerade und ungerade Folgenglieder --> Ist eine Transformation dieses VR

Endomorphismen bilden einen Ring mit Eins[Bearbeiten]

Im Artikel Vektorraum linearer Abbildungen haben wir schon gesehen, dass die Menge der linearen Abbildungen zwischen zwei -Vektorräumen und wieder einen Vektorraum bildet. Da ist auch die Menge der Endomorphismen ein Vektorraum. Also können wir Endomorphismen eines Vektorraums addieren und mit Skalaren multiplizieren.

Anders als bei allgemeinen linearen Abbildungen können wir Endomorphismen zu einem Vektorraum immer miteinander verknüpfen. Haben wir nämlich zwei Endomorphismen und können wir die Komposition bilden.

  • Man kann alle Endomorphismen verknüpfen (anders als bei allgemeinen linearen Abbildungen)
  • zurückgreifen auf (Vektorraum der linearen Abbildungen)
  • Die Multiplikation ist die Verknüpfung von Abbildungen; im Allgemeinen nicht kommutativ
    • Zweidimensionales Beispiel mit Automorphismen geben
    • Aufgabe, die Auffordert, die Aussage \dim V \ge 2 impliziert \operatorname{End}_K(V) nicht kommutativ, zu beweisen.
    • Noch feststellen, dass der Endomorphismenring für kommutativ ist.
  • Wir können diese Eigenschaften zusammenfassen: Die Endomorphismen bilden einen Ring.
  • Die Eins ist die Identität auf V.


Satz (Endomorphismenring)

Gegeben seien ein Körper mit Addition und Multiplikation sowie ein -Vektorraum mit Addition und skalare Multiplikation . Wir betrachten die Menge der Endomorphismen .

Für zwei Endomorphismen definieren wir

und für .

Wir behaupten nun, dass die Menge zusammen mit den beiden zweistelligen Operationen

einen Ring mit Eins bildet.

Kurz ausgedrückt: Das Tupel bildet einen Ring mit Eins.

Beweis (Endomorphismenring)

Damit einen Ring mit Eins bildet, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:

  • Das Tupel () ist eine abelsche Gruppe.
    1. Assoziativgesetz der Addition:
    2. Kommutativgesetz der Addition:
    3. Existenz eines additiven neutralen Elements:
    4. Existenz von additiven Inversen:
  • Das Tupel () ist ein Monoid
    1. Assoziativgesetz der Multiplikation:
    2. Existenz eines multiplikativen neutralen Elements:
  • Es gelten die Distributivgesetze
    1. Distributivgesetz I:
    2. Distributivgesetz II:

Bevor wir mit dem Beweis starten, wollen wir folgende einfache Tatsache im Hinterkopf behalten:

Seien und . Die Abbildungen und bilden Elemente von auf Elemente von ab. Dementsprechend sind Elemente von . Nach Voraussetzung ist ein -Vektorraum. Deshalb können wir die Rechenregeln, die im -Vektorraum gelten, auch auf die Elemente anwenden.

Beweisschritt: () ist eine abelsche Gruppe

Beweisschritt: Assoziativgesetz der Addition

Das Assoziativgesetz der Addition lautet:

Diese Gleichung beweisen wir, indem wir für alle die Gleichung für jeden Vektor beweisen.

Seien daher und . Dann gilt

Damit ist die Assoziativität gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativgesetz der Addition

Das Kommutativgesetz der Addition lautet: Diese Gleichung beweisen wir, in dem wir für alle die Gleichung für jedes beweisen.

Seien daher und . Dann gilt

Damit ist die Kommutativität gezeigt.

Beweisschritt: Existenz eines additiven neutralen Elements

Wir müssen folgende Aussage zeigen:

Diese Aussage beweisen wir, in dem wir folgende Aussage zeigen:

Wir wählen , wobei die Nullabbildung von nach ist. Wir zeigen nun, dass das neutrale Element der Addition ist. Seien dafür und . Dann gilt

Das additive neutrale Element ist hier also die Nullabbildung .

Beweisschritt: Existenz von additiven Inversen

Wir müssen folgende Aussage zeigen:

Diese Aussage beweisen wir, in dem wir folgende Aussage zeigen:

Da ein -Vektorraum ist, hat ein beliebiger Vektor ein additive Inverse, nämlich . Es gilt dann . Wir können daher für einen beliebigen Endomorphismus einfach wählen. Das müssen wir nun noch zeigen. Seien dafür und . Dann gilt

Also ist die additive Inverse einer Abbildung die Abbildung .

Wir haben damit bewiesen, dass eine abelsche Gruppe ist.

Diese Aussage hätten wir auch anders zeigen können. Im Artikel Vektorraum linearer Abbildungen haben wir die Menge der linearen Abbildungen zwischen zwei -Vektorräumen und betrachtet. Diese Menge nennen wir . Wir haben gesehn, dass einen -Vektorraum bildet. Es gilt . Also ist auch ein Vektorraum und damit eine abelsche Gruppe.

Beweisschritt: () ist ein Monoid

Beweisschritt: Assoziativgesetz der Multiplikation

Das Assoziativgesetz der Multiplikation lautet:

Diese Gleichung beweisen wir, in dem wir für alle die Gleichung für jeden Vektor beweisen. Seien dafür . Dann gilt

Damit ist die Assoziativität gezeigt.

Beweisschritt: Existenz eines multiplikativen neutralen Elements

Wir müssen folgende Aussage zeigen:

Diese Aussage beweisen wir, in dem wir folgende Aussage zeigen:

Wir wählen , wobei die Identität auf ist. Wir wollen noch zeigen, dass das neutrale Element der Multiplikation ist. Seien dafür und . Dann gilt

Also ist das multiplikative neutrale Element die Identität auf , d.h. .

Beweisschritt: Distributivgesetze

Beweisschritt: Distributivgesetz I

Das Distributivgesetz I lautet:

Diese Gleichung beweisen wir, indem wir für alle die Gleichung für jedes zeigen. Seien und . Dann gilt

Damit ist die Distributivität I gezeigt.

Beweisschritt: Distributivgesetz II

Das Distributivgesetz I lautet:

Diese Gleichung beweisen wir, in dem wir die Gleichung für alle und zeigen. Seien dafür und . Dann gilt

Damit ist die Distributivität II gezeigt.

Automorphismen und platt drücken[Bearbeiten]

  • Wir haben gesehen: Bei Drehungen/anderen Beispielen von Oben: Wenn wir nichts Plattdrücken (nicht sowas wie eine Projektion haben), dann haben wir einen Automorphismus.
  • Im Endlichdimensionalen: Wenn wir nichts plattdrücken, dann geht nichts verloren, also wird alles getroffen (weil im Endlichdimensionalen kein Platz für alles in einem Unterraum ist). Umgekehrt wird nichts plattgedrückt, also geht nichts verloren, wenn alles getroffen wird (weil der Raum sonst nicht reicht, um alles auszufüllen, wenn verschiedene Richtungen auf dasselbe abgebildet werden) -- evtl. verweisen auf eine Erklärung im Artikel "Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen", wenn dieser geschrieben ist.

Satz (Endomorphismen auf endlichdimensionalen Vektorräumen)

Sei ein endich-dimensionaler Vektorraum und ein Endomorphismus. Dann ist äquivalent

  • ist ein Isomorphismus
  • ist ein Monomorphismus
  • ist ein Epimorphismus

Beweis (Endomorphismen auf endlichdimensionalen Vektorräumen)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Ist Spezialfall des Satzes über lineare Abbildungen mit , der an anderer Stelle bewiesen werden wird. Den Satz verlinken, sobald er geschrieben wurde

  • Im unendlich dimensionalen funktioniert diese Argumentation nicht mehr, weil
    • wir im Zielraum genug platz haben, damit nichts verloren geht, aber nicht alles getroffen wird
    • eir im Definitionsraum genug Platz haben, damit nicht alles getroffen wird, aber trotzdem etwas platt gedrückt wird/ verloren geht
  • Konkrete Beispiele davon, die im Folgenraum leben, einfügen
    • Verschiebung der Folgenglieder nach rechts um 1 (verweis, dass das ähnlich wie bei Hilberts Hotel ist)
    • Verschiebung der Folgenglieder nach links um 1
  • Automorphismen bilden eine Gruppe

Satz (Automorphismengruppe)

Sei ein Körper, ein -Vektorraum. Die Menge bildet eine Gruppe bezüglich der Komposition .

Es gilt zudem .

Beweis (Automorphismengruppe)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beweis

    • keine additive Struktur mehr
    • Automorphismen sind für \dim V \ge 2 nicht mehr kommutativ. Ggf. Verweis auf die Aussage für den Endomorphismenring oben.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Automorphismus)

Zeige, dass die Abbildung ein Automorphismus ist.

Lösung (Automorphismus)

Linearität lässt sich leicht nachrechnen. Da Definitions- und Zielbereich gleich sind, ist also ein Endomorphismus.

Wir wollen nun zeigen, dass bijektiv ist. Dazu müssen wir zeigen, dass injektiv und surjektiv ist.

Wir beginnen mit der Injektivität. Seien und mit . Dann gilt für , dass , also und somit . Dies zeigt die Injektivität.

Nun zeigen wir die Surjektivität. Sei dazu . Definiere . Dann gilt . Also ist surjektiv.

Wir haben also gezeigt, dass ein Automorphismus ist.

Aufgabe (Transformation im Raum der Fibonacci-Folgen)

Sei ein Körper und der Vektorraum der Fibonacci-Folgen

wobei der Raum aller Folgen in ist. Zeige:

  1. ist isomorph zu .
  2. Es gibt einen Endomorphismus , der die ersten beiden Einträge jeder Folge vertauscht, das heißt, es gilt und für alle .
  3. ist ein Automorphismus.

Lösung (Transformation im Raum der Fibonacci-Folgen)

Beweisschritt:

Wir zeigen, dass

ein Isomorphismus ist. Die Linearität lässt sich leicht nachrechnen.

Für die Injektivität zeigen wir . Sei also mit , d.h. . Wir zeigen für alle mit vollständiger Induktion. Nach Annahme gilt die Aussage für . Damit ist der Induktionsanfang gezeigt. Sei nun . Für den Beweis des Induktionsschritts müssen wir zeigen und nehmen dafür als Induktionsvoraussetzung an, dass die Aussage für alle gilt. Per Definition der Folge folgt .

Für die Surjektivität benutzen wir, dass jede Folge in durch Angabe der ersten beiden Folgenglieder definiert werden kann: Sei . Wir definieren wie im Beweis der Injektivität induktiv durch , und . Dann gilt und .

Beweisschritt: Es gibt einen Endomorphismus , der die ersten beiden Einträge jeder Folge vertauscht.

Wir benutzen den Isomorphismus aus dem ersten Teil der Aufgabe. Offenbar ist

linear und bildet von nach ab, ist also ein Endomorphismus. Damit ist auch als Verkettung linearer Abbildungen linear. Da von nach abbildet, ist ein Endomorphismus, und per Konstruktion gilt

für alle . Also vertauscht die ersten beiden Einträge jeder Folge.

Beweisschritt: ist ein Automorphismus.

Wir müssen zeigen, dass ein Isomorphismus ist. Da ein Isomorphismus ist, ist ein Isomorphismus genau dann wenn ein Isomorphismus ist. Der Endomorphismus vertauscht einfach nur die beiden Komponenten eines Vektors in , bildet also die (geordnete) Basis von auf die Basis ab. Da eine lineare Abbildung genau dann bijektiv ist, wenn sie Basen auf Basen abbildet, ist ein Isomorphismus.