Lineare Abbildung: Bild – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Herleitung[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

evtl. Bilder überlegen, z.B. z.B. \R^2\to\R^3 mit Bild Ebene oder \R^2\to \R^2 mit Bild Gerade, evtl. noch ein surjektives Bspl.

Wir betrachten eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen. Ein Vektor wird von in einen Vektor überführt. Es werden nicht zwingend alle Elemente aus von getroffen, denn die Abbildung ist nicht unbedingt surjektiv. Die abgebildeten Vektoren bilden die Teilmenge . Sie heißt Bild von .

Weil linear ist, erhält die Struktur der Vektorräume und . Deshalb vermuten wir, dass der Vektorraum von wieder auf einen Vektorraum abgebildet wird. Folglich sollte das Bild von , also die Menge ein Untervektorraum von sein. Das werden wir unten formal in einem Satz beweisen.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Bild einer linearen Abbildung)

Es seien und zwei -Vektorräume und linear. Dann nennen wir das Bild von .

Hinweis

In der Literatur wird auch oft die Notation statt für das Bild von verwendet.

In der Herleitung haben wir uns schon überlegt, dass ein Untervektorraum von sein sollte. Das beweisen wir nun formal.

Satz (Das Bild ist ein Untervektorraum)

Es sei eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Dann ist ein Untervektorraum von .

Beweis (Das Bild ist ein Untervektorraum)

Um zu zeigen, dass ein Untervektorraum ist, müssen wir die Untervektorraumkriterien überprüfen:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und für alle gilt .

Beweisschritt:

Für jedes gilt . Also ist .

Beweisschritt:

Da eine lineare Abbildung ist, gilt . Somit ist .

Beweisschritt: Für alle gilt .

Hierzu seien gegeben. Dann gibt es Vektoren und aus mit und . Um zu zeigen, dass gilt, müssen wir einen Vektor aus finden, der von auf abgebildet wird. Es gilt:

Wegen und ist im Bild von .

Beweisschritt: Für alle und für alle gilt .

Sei und . Dann gibt es einen Vektor mit . Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor in gibt, der auf abgebildet wird. Es gilt:

Weil ist, gilt .

Bild und Surjektivität[Bearbeiten]

Wir wissen bereits, dass eine Abbildung genau dann surjektiv ist, wenn durch die Abbildung alle Elemente von getroffen werden. Formal heißt das: ist surjektiv genau dann, wenn . Ist nun linear und endlich dimensional, dann ist genau dann surjektiv, wenn gilt, da ein Untervektorraum von ist.

Beispiel

  • Die Identität ist eine lineare Abbildung. Sie ist surjektiv, da und somit gilt.
  • Die Abbildung ist ebenfalls linear und es gilt: . ist also surjektiv.
  • Die Einbettung ist auch linear und es gilt: . Also ist nicht surjektiv.

Bild und lineare Gleichungssysteme[Bearbeiten]

Sei eine Matrix und . Das zugehörige lineare Gleichungssystem ist . Wir können uns auch als eine lineare Abbildung vorstellen.

Wir wollen jetzt wissen, was das Bild von ist. Ist , gibt es gibt ein , so dass ist. Nach Definition von gilt . In anderen Worten, das lineare Gleichungssystem ist lösbar.

  • Umgekehrt, falls lösbar ist, dann gibt es ein mit , d.h. b ist im Bild von .
  • Es folgt, dass das Gleichungssystem genau dann lösbar ist, wenn im Bild von ist.
  • Das Bild gibt also ein Kriterium zur Lösbarkeit von LGS. Es gibt allerdings keine Aussage über die Eindeutigkeit der Lösung (dazu siehe Kern).

Beispiele[Bearbeiten]

Lineare Abbildungen episch machen[Bearbeiten]

  • Wir wissen, dass wir Abbildungen zwischen Mengen f:M\to N surjektiv machen können, indem wir nur auf das Bild abbilden
  • Sei f:V\to W eine lineare Abbildung. Wenn wir f:V \to W als Abbildung zwischen Mengen betrachten, dann ist das klar, dass wir f surjektiv machen können. wir können nämlich f auf das Bild einschränken. Wir definieren dafür f’:V\to Bild(f), v\mapsto f(v)
  • Aber ist das was rauskommt wieder eine lineare Abbildung?
  • Wenn wir jetzt f als lineare Abbildung betrachten und genau das Gleiche machen, dann ist diese Einschränkung eine lineare Abbildung, falls Bild(f) ein Vektorraum ist.
  • Da Bild(f) ein Untervektorraum von W ist, ist das erfüllt.
  • D.h. gegeben f: V -> W, bekommt man eine surjektive lineare Abbildung (Epimorphismus) f': V -> Bild(f).
  • Damit können wir diesen Trick für alle Abbildungen zwischen Mengen verwenden. Wenn diese irgendeine Struktur tragen und f diese Struktur erhalten soll, müssen wir die Kompatibilität mit der Struktur in diesen Fällen wieder von Hand prüfen. (Hier noch kurz Beispiele einfügen, Gruppen oder topologische Räume oder Ringe…)

Ausblick: Wie surjektiv ist eine lineare Abbildung? – Der Kokern[Bearbeiten]

  • Beim Artikel Kern haben wir gesehen, dass der Kern die Information in V ist, die f verliert
  • f ist injektiv gdw. Ker(f)=0
  • Dabei war die Größe von Ker(f) ein Maß, wie nicht-injektiv die Abbildung ist
  • Wir wollen jetzt ein Maß für die Surjektivität der Abbildung
  • Bild(f) reicht hierfür nicht aus: Beispiel f:\R^2\to\R^2, (x,y)\mapsto (x,y) und g:\R^2\to\R^3, (x,y)\mapsto (x,y,0); Hier gilt Bild(f)\cong Bild(g), aber f ist surjektiv und g ist nicht surjektiv
  • Ob f surjektiv ist, hängt somit auch vom Zielraum W ab
  • Wir brauchen also einen Vektorraum, der den Anteil von W misst, der von f nicht getroffen wird
  • Wir wissen schon, dass Bild(f) genau die Information repräsentiert, die f trifft.
  • Das heißt wir wollen den Vektorraum W “ohne” den Untervektorraum Bild(f) betrachten
  • Im Artikel Faktorraum haben wir schon gesehen, dass der gesuchte Vektorraum der Faktorraum, bzw. Quotientenraum W/Bild(f) ist.
  • W/Bild(f) nennen wir Kokern von f
  • f ist surjektiv gdw. W/Bild(f)=0
  • Die Größe des Kokerns W/Bild(f) misst wie nicht-surjektiv f ist.
  • Ist W endlich dimensional, dann können wir die Größe von W/im(f) mit Hilfe der Dimension messen. Damit ist dim(W/Bild(f))=dim(W)-dim(Bild(f)) eine Zahl, mit der wir die nicht-Surjektivität von W beziffern können.
  • W/Bild(f) ist sogar noch ein wenig genauer als eine “Dimensionsaussage”, da es auch genau angibt, was nicht getroffen wird.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Zuordnen von Abbildung und Bild)

Wir betrachten die folgenden vier Unterräume vom Vektorraum

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To-Do:

4 Bilder einfügen mit diesen UVR mit Farbe und Bezeichnung eingezeichnet. Den ganzen , Ursprungsgerade durch , -Achse und Ursprungsgerade durch .

Die folgenden linearen Abbildungen sind gegeben:

Ordne jeder Abbildung den Unterraum zu, der ihr Bild ist.

Lösung (Zuordnen von Abbildung und Bild)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Wenn die Bilder feststehen die Lösung schreiben

Aufgabe (Surjektivität und Dimension von und )

Seien und zwei endlichdimensionale Vektorräume. Zeige, dass es genau dann eine surjektive lineare Abbildung gibt, wenn gilt.

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To-Do:

Wie kommt man auf den Beweis schreiben (besonders für =>). Dort noch genauer erklären, was die Aussage anschaulich bedeutet.

Lösung (Surjektivität und Dimension von und )

Beweisschritt: ""

Es gebe eine solche Abbildung . Wir zeigen, dass die Dimension von nicht größer sein kann als die Dimension von (das gilt für jede lineare Abbildung). Wegen der Surjektivität von folgt dann .

Seien also linear unabhängig. Es gibt mit für . Wir zeigen, dass ebenfalls linear unabhängig sind: Seien mit . Dann gilt auch

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit der folgt, dass . Also sind auch linear unabhängig. Insgesamt haben wir also gezeigt:

Insbesondere gilt, dass eine Basis von (eine maximale linear unabhängige Teilmenge von ) mindestens so viele Elemente enthalten muss wie eine Basis von , also .

Beweisschritt: ""

Es gelte umgekehrt . Wir benutzen, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren schon eindeutig bestimmt ist. Sei eine Basis von und eine Basis von . Definiere die gesuchte surjektive lineare Abbildung durch

Das geht, da nach Annahme gilt. Die so konstruierte Abbildung ist surjektiv, da per Konstruktion gilt. Da das Bild von ein Unterraum von ist, liegt auch der von diesen Vektoren erzeugte Unterraum, also , im Bild von . Also gilt und ist surjektiv.

Aufgabe (Bild einer Matrix)

  1. Betrachte die Matrix und die davon induzierte Abbildung . Bestimme .
  2. Sei nun eine beliebige Matrix über einem Körper , wobei die Spalten von bezeichnen. Betrachte die davon induzierte Abbildung . Zeige, dass gilt. Das Bild einer Matrix ist also der Spann ihrer Spalten.

Lösung (Bild einer Matrix)

Lösung Teilaufgabe 1:

Wir wissen, dass das Bild der linearen Abbildung ein Unterraum von ist. Da der -Vektorraum die Dimension hat, kann ein Unterraum nur die Dimension oder haben. Im ersten Fall ist der Unterraum der Nullvektorraum, in zweiten Fall ist er schon ganz . Also hat nur die beiden Untervektorräume und . Da gilt, ist . Damit muss sein.

Lösung Teilaufgabe 2:

Beweisschritt: ""

Sei . Dann gibt es mit . Wir können schreiben als . Setzen wir das in die Gleichung ein, erhalten wir

Da , folgt .

Beweisschritt: ""

Sei mit für . Wir wollen finden mit . Wir definieren . Dieselbe Rechnung wie im ersten Beweisschritt zeigt dann

Alter Inhalt[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

Der Begriff des Bildes einer Abbildung ist uns bereits bekannt. Kennt man das Bild einer Abbildung, so kann man entscheiden, ob diese surjektiv ist. Bisher haben wir Bilder von beliebigen Abbildungen betrachtet. Im Folgenden untersuchen wir das Bild von linearen Abbildungen genauer. Wir führen eine exakte Schreibweise für das Bild ein:

Definition (Bild einer linearen Abbildung)

Es seien und zwei -Vektorräume und linear. Dann nennen wir das Bild von .

Das Bild ist ein Untervektorraum[Bearbeiten]

Nun zeigen wir, dass das Bild ein Untervektorraum des Zielvektorraums ist:

Satz

Es sei eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Dann ist ein Untervektorraum von .

Beweis

Um die Behauptung zu überprüfen, müssen wir vier Dinge zeigen:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und für alle gilt .

Beweisschritt:

Die erste Behauptung folgt direkt aus der Definition.

Beweisschritt:

Da L eine lineare Abbildung ist, gilt . Somit ist folglich ist .

Beweisschritt: Für alle gilt .

Hierzu seien gegeben. Dann gibt es Vektoren und aus mit und . Um zu zeigen, dass gilt, müssen wir einen Vektor aus finden, der von auf abgebildet wird. Es gilt:

Wegen und ist im Bild von .

Beweisschritt: Für alle und für alle gilt .

Sei und . Dann gibt es einen Vektor mit . Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor in gibt, der auf abgebildet wird. Es gilt:

Weil ist, gilt .

Der Zusammenhang von der Surjektivität und dem Bild einer linearen Abbildung[Bearbeiten]

Die Hauptaussage dieses Abschnitts kennen wir bereits. Sie ist bei beliebigen Abbildungen gültig. Der folgende Satz dient also zur Erinnerung.

Satz

Es sei eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Dann ist genau dann surjektiv, wenn . Für einen endlich-dimensionalen Zielvektorraum ist genau dann surjektiv, wenn gilt.

Beweis

Beweisschritt: :

Sei surjektiv. Dann gibt es für alle Vektoren ein mit . Somit ist .

Beweisschritt: :

Sei . Dann gibt es nach Definiton von zu jedem einen Vektor mit . Also ist surjektiv.

Falls nun und ein Untervektorraum, dann ist genau dann, wenn gilt. Damit ist, wenn surjektiv ist und umgekehrt.

Der Zusammenhang von Bild und Erzeugendensystemen[Bearbeiten]

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To-Do:

Einführungstext

Wir haben im Artikel über Epimorphismen gelernt, dass eine lineare Abbildungen genau dann Erzeugendensystem erhält, wenn sie surjektiv ist. In diesem Fall erzeugen die Bilder des Erzeugendensystems genau das Bild der linearen Abbildung, nämlich den Zielvektorraum. Wir zeigen nun, dass eine analoge Aussage immer gilt.

Satz (Das Bild ist der Spann der Bilder eines Erzeugendensystems)

Sei eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und . Sei ein Erzeugendensystem von . Dann gilt:

Beweis (Das Bild ist der Spann der Bilder eines Erzeugendensystems)

Wir zeigen die beiden Inklusionen.

Beweisschritt:

Sei . Dann gibt es , und Koeffizienten , sodass

Da die in liegen, existieren mit für . Dann gilt wegen der Linearität von

Beweisschritt:

Sei . Dann gibt es ein mit . Da ein Erzeugendensystem von ist, gibt es ein , und Koeffizienten , sodass

Dann folgt wegen der Linearität von :

Beispiele zum Bestimmen des Bildes[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Diesen Abschnitt löschen und durch einen neuen ersetzen

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To-Do:

Hier werden Dinge verwendet, die noch nicht unbedingt bekannt sind (Rang, implizit die Dimensionsformel). Diese können evtl. umgangen werden, indem man alle Spalten der darstellenden Matrix nimmt (diese bilden nach einer Folgerung aus dem Prinzip von der linearen Fortsetzung ein Erzeugendensystem des Bildes). Dann kann man noch ausrechnen, welche man evtl. wegen linearer Abhängigkeit weglassen kann (das tut wieder der Gauß-Jordan-Algorithmus). Es sollte unbedingt erklärt werden, warum diese "Lösungsmethode" funktioniert.

Lösungsmethode[Bearbeiten]

Wenn wir nun das Bild einer linearen Abbildung direkt bestimmen wollen, kann man wie folgt vorgehen: Seien und endlich-dimensionale Vektorräume und eine lineare Abbildung. Wir möchten nun das Bild von bestimmen:

  1. Die darstellende Matrix von aufstellen (Wenn sie noch nicht angegeben ist).
  2. Gauß-Jordan-Algorithmus auf die Matrix anwenden.
  3. bestimmen, das ist die Anzahl der benötigten Vektoren
  4. So viele linear unabhängige Vektoren aus der darstellenden Matrix finden wie nötig. Das ist dann die Basis für

Beispielaufgabe in endlich-dimensionalen Vektorräumen[Bearbeiten]

Wir wollen nun an einem Beispiel zeigen, wie man das Bild einer linearen Abbildung konkret bestimmen kann.

Beispiel

Sei ein beliebiger Körper, und , mit der Standardbasis bzw, .

Wir definieren die lineare Abbildung durch lineare Fortsetzung von

Dann ist .

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To-Do:

Beweis davon

Beweis: Nach Definition von f ist eine Matrixdarstellung mit und gegeben, durch

Alte Beispielaufgaben in endlich-dimensionalen Vektorräumen[Bearbeiten]

Jetzt wollen wir an Beispielen zeigen, wie man das Bild einer linearen Abbildung konkret bestimmen kann.

Wir beginnen mit einem einfachem Beispiel

Beispiel

Sei eine lineare Abbildung, mit . Das ist eine Projektion der Vektoren auf die . Anschaulich betrachtet wäre also die und damit .

Wir bestimmen das Bild aber trotzdem nochmal rechnerisch: Zuerst stellen wir die darstellende Matrix von bezüglich der Standardbasis auf. Diese lautet

.

Wir sehen, dass und damit hat die Basis von nur ein Element. Also können wir einen Vektor aus der Matrix entnehmen und dann ist bzw. .

Ein weiteres Beispiel:

Beispiel

Sei eine lineare Abbildung mit der darstellenden Matrix

.

Die Matrix bringen wir nun mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus in obere Dreiecksform. Wir ziehen das 2-fache der 1. Zeile von der 3. Zeile ab, dann erhalten wir

.

Jetzt subtrahieren wir das 1,5-fache der 1. Zeile vom 2-fachem der 2. Zeile. Dadurch entsteht die Matrix

.

Hier sehen wir schon, dass die 2. und 3. Zeile gleich sind. Wir ziehen die 2. von der 3. Zeile ab und bekommen

.

Wir sehen, dass der Zeilenrang dieser Matrix 2 ist. Damit ist auch . Also besteht die Basis des Bildes aus zwei Vektoren.

Für diese Basis wählen wir nun zwei linear unabhängige Spaltenvektoren unserer Ausgangsmatrix . Zum Beispiel und .

Also ist .

Nun ein etwas komplizierteres Beispiel.

Beispiel

Sei eine lineare Abbildung, mit .

Zuerst stellen wir wieder die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis auf. Es gilt und sowie .

Also sieht unsere Matrix folgendermaßen aus:

.

Nun wenden wir wieder den Gauß-Jordan-Algorithmus an, um die Matrix in eine Dreiecksform zu bringen. Erst ziehen wir von der 3. Zeile die 1. und 2. Zeile ab, dann erhalten wir

.

Dann subtrahieren wir das 2-fache der 1. Zeile von der 2. Zeile. So entsteht die Matrix

.

Nun addieren wir die 2. Zeile zur 4. Zeile.

.

Jetzt ziehen wir das 0,5-fache der 2. Zeile und das 2-fache der 4. Zeile von der 3. Zeile ab. Dann erhalten wir

.

Zum Schluss tauschen wir noch die 3. und 4. Zeile. Das ergibt

.

Den Rang dieser Matrix kann man leicht ablesen: . Also brauchen wir drei Vektoren für die Basis von . Dafür nehmen wir die drei Spaltenvektoren von , da wir nun wissen, dass diese linear unabhängig sind, weil auch der Rang von drei beträgt und damit maximal ist).

Somit ist .

Beispielaufgaben in unendlich-dimensionalen Vektorräumen[Bearbeiten]

Nachdem wir nun einige Beispiele in endlich-dimensionalen Vektorräumen betrachtet haben, können wir uns an ein Beispiel mit einem unendlich-dimensionalen Vektorraum wagen. Wir haben die gleiche Funktion bereits bei den Beispielen zur Bestimmung des Kerns einer linearen Abbildung kennengelernt.

Beispiel

Unser Ziel ist, das Bild der linearen Abbildung der Ableitung von Polynomen über zu bestimmen. Die Menge ist eine Basis von . Die Ableitungsfunktion ist durch für alle definiert.

Wir behaupten, dass diese Abbildung surjektiv ist. Da das Bild ein Untervektorraum von ist, reicht es zu zeigen, dass die Basisvektoren von im Bild enthalten sind. Für alle ist . Außerdem ist . Somit sind alle Basisvektoren im Bild enthalten und folglich ist .