Das Bild einer linearen Abbildung
ist die Menge aller Vektoren in
, die von
getroffen werden. Diese Menge von Vektoren bildet einen Untervektorraum von
und kann benutzt werden, um die lineare Abbildung
surjektiv zu machen.
Wir betrachten eine lineare Abbildung
zwischen zwei
-Vektorräumen
und
. Ein Vektor
wird von
in einen Vektor
überführt. Die Abbildung
trifft nicht zwingend alle Elemente aus
, denn
ist nicht unbedingt surjektiv. Die abgebildeten Vektoren
bilden die Teilmenge
. Diese Menge heißt Bild von
.
Weil
linear ist, erhält
die Struktur der Vektorräume
und
. Deshalb vermuten wir, dass
den Vektorraum
wieder auf einen Vektorraum abbildet. Folglich sollte das Bild von
, also die Menge
ein Untervektorraum von
sein. Das werden wir unten in einem Satz beweisen.
Hinweis
In der Literatur wird auch oft die Notation
statt
für das Bild von
verwendet.
In der Herleitung haben wir uns schon überlegt, dass
ein Untervektorraum von
sein sollte. Das beweisen wir nun formal.
Bild und Surjektivität[Bearbeiten]
Wir wissen bereits, dass eine Abbildung
genau dann surjektiv ist, wenn die Abbildung alle Elemente von
trifft. Formal heißt das:
ist genau dann surjektiv, wenn
. Wenn
eine lineare Abbildung ist, dann ist
ein Untervektorraum von
. Ist zusätzlich
endlich-dimensional, dann ist
genau dann surjektiv, wenn
gilt.
Beispiel
Die Identität
ist eine lineare Abbildung. Sie ist surjektiv, da jedes Element
das Urbild
hat. Damit ist
und insbesondere
.
Die Abbildung
ist ebenfalls linear. Weiter hat jedes Element
ein Urbild, beispielsweise
. Damit haben wir
gezeigt und
ist surjektiv. Es gilt
.
Die Einbettung
ist auch linear, aber nicht surjektiv. Der Vektor
ist nicht in
enthalten. Damit muss
gelten: Tatsächlich ist
.
Manchmal ist es nützlich die Surjektivität von
zu zeigen, indem man
beweist.
Beispiel
Wir betrachten die lineare Abbildung
und fragen uns, ob
surjektiv ist. Wir wollen die Frage beantworten, indem wir die Dimension von
bestimmen und diese mit
vergleichen. Dafür suchen wir zunächst linear unabhängige Vektoren im Bild von
.
Die Vektoren
und
sind linear unabhängig.
Damit muss
gelten.
Nun ist
und somit gilt auch
.
Wir erhalten
und somit ist
surjektiv.
Der Zusammenhang von Bild und Erzeugendensystemen[Bearbeiten]
Wir haben im Artikel über Epimorphismen gesehen,
dass eine lineare Abbildung
genau dann Erzeugendensysteme von
erhält, wenn sie surjektiv ist.
In diesem Fall erzeugt das Bild jedes Erzeugendensystems von
den ganzen Zielvektorraum
. Insbesondere erzeugt das Bild jedes Erzeugendensystems von
das Bild
von
. Die letzte Aussage gilt auch für nicht-surjektive lineare Abbildungen:
Beweis (Das Bild ist der Spann der Bilder eines Erzeugendensystems)
Wir zeigen die beiden Inklusionen.
Beweisschritt: 
Sei
.
Dann gibt es
,
und Koeffizienten
, sodass
Da die
in
liegen,
existieren
mit
für
.
Dann gilt wegen der Linearität von
Beweisschritt: 
Sei
.
Dann gibt es ein
mit
.
Da
ein Erzeugendensystem von
ist,
gibt es ein
,
und Koeffizienten
, sodass
Dann folgt wegen der Linearität von
:
Bild und lineare Gleichungssysteme [Bearbeiten]
Sei
eine
-Matrix und
. Das dazugehörige lineare Gleichungssystem ist
. Wir können die Matrix
auch als eine lineare Abbildung
auffassen. Insbesondere ist das Bild
von
eine Teilmenge von
.
Ist
, so gibt es ein
, so dass
gilt. Nach Definition von
folgt
. Das lineare Gleichungssystem
ist also lösbar. Wenn umgekehrt
lösbar ist, so existiert ein
mit
. Für dieses
gilt nun
. Somit ist
.
Damit gibt uns das Bild ein Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen: Ein lineares Gleichungssystem
ist genau dann lösbar, wenn
im Bild von
liegt. Das Kriterium macht allerdings keine Aussage über die Eindeutigkeit von Lösungen. Dafür kann man den Kern nutzen.
Wir wollen uns nun ansehen, wie man das Bild einer linearen Abbildung bestimmen kann.
Beispiel
Wir betrachten die lineare Abbildung
Das ist eine Projektion auf die
-Achse.
Intuitiv sollte also das Bild von
die
-Achse sein, d.h.
Dies wollen wir jetzt beweisen:
Wenn
ist, dann gibt es
mit
. Also ist
.
Umgekehrt hat wegen
jeder Vektor der Form
ein Urbild unter
. Also liegt jeder solche Vektor in
.
Damit ist die Aussage bewiesen.
Beispiel
Sei
ein Körper. Wir betrachten die lineare Abbildung
Wir wollen das Bild von
bestimmen. Dafür nutzen wir aus, dass
eine Basis von
ist – insbesondere also ein Erzeugendensystem. Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass dann
gilt.
Wir können diesen Raum explizit angeben, indem wir den Spann ausrechnen:
Nachdem wir zwei Beispiele in endlich-dimensionalen Vektorräumen betrachtet haben, können wir uns an ein Beispiel mit einem unendlich-dimensionalen Vektorraum wagen. Wir haben die gleiche Funktion bereits bei den Beispielen zur Bestimmung des Kerns einer linearen Abbildung kennengelernt.
Beispiel
Unser Ziel ist, das Bild der linearen Abbildung der Ableitung
von Polynomen über
zu bestimmen. Die Menge
ist eine Basis von
. Die Ableitungsfunktion
ist durch
für alle
definiert.
Wir wollen nun wissen, ob
surjektiv ist. Dafür bemerken wir, dass
für jedes
gilt. Damit wird jedes Basiselement von
getroffen. Also ist
und
ist surjektiv.
Beim Lösen von linearen Gleichungssystemen werden wir viele weitere Beispiele sehen. Außerdem werden wir einen methodischen Lösungsweg für die Bestimmung von Bildern kennenlernen.
To-Do:
verlinken, sobald es geschrieben ist.
Lineare Abbildungen episch machen[Bearbeiten]
Wir wollen nun aus einer linearen Abbildung
eine surjektive lineare Abbildung konstruieren. Wenn wir
als eine Abbildung von Mengen ansehen, wissen wir schon, wie wir dies erreichen können: Wir schränken das Ziel von
auf
ein und erhalten die Abbildung
. Wir müssen nur noch checken, dass
linear ist. Dies wissen wir aber, da
ein Untervektorraum von
ist. Alles, was wir noch tun müssen, um
surjektiv zu machen (also zu einem Epimorphismus) ist, das Ziel von
auf
einzuschränken.
Diese Methode liefert uns auch einen Ansatz, wie wir Abbildungen zwischen anderen Strukturen surjektiv machen können: Wir müssen checken, dass die Einschränkung auf das Bild wieder die Struktur erhält. Beispielsweise können wir für einen Gruppenhomomorphismus
zeigen, dass
wieder eine Gruppe ist und
wieder ein Gruppenhomomorphismus ist.
Ausblick: Wie surjektiv ist eine lineare Abbildung? – Der Kokern[Bearbeiten]
Im Kern-Artikel sehen wir, dass der Kern genau diejenige Information speichert, welche eine lineare Abbildung
"verliert". Weiter ist
genau dann injektiv ist, wenn
ist und der Kern stellt intuitiv ein Maß für die nicht-Injektivität von
dar.
Wir wollen jetzt ein ähnliches Maß für die Surjektivität von
konstruieren. Das Bild von
reicht hierfür nicht aus: Beispielsweise sind die Bilder von
und
isomorph, aber
ist surjektiv und
ist es nicht. Allein aus dem Bild lassen sich keine Rückschlüsse darauf ziehen, ob
surjektiv ist, denn die Surjektivität hängt auch vom Zielraum
ab. Um die "Nicht-Surjektivität" zu messen, benötigen wir hingegen einen Vektorraum, der den Anteil von
misst, welcher von
nicht getroffen wird.
Der Raum
enthält die Information, welche Vektoren von
getroffen werden. Ziel ist es, aus
"diese Information zu entfernen". Dieses "Entfernen von Informationen" haben wir im Artikel zum Faktorraum bereits durch die Konstruktion eines Raums
realisiert. Diesen Raum
nennen wir den Kokern von
. Er eignet sich tatsächlich für die Charakterisierung der "Nicht-Surjektivität" von
, denn
ist genau dann gleich dem Nullraum
, wenn
surjektiv ist: Ein Vektor in
, der nicht von
getroffen wird, liefert ein nichttriviales Element in
und umgekehrt liefert ein nichttriviales Element in
ein Element in
, welches nicht von
getroffen wird.
Der Kokern misst sogar, wie nicht-surjektiv
genau ist: Wenn
größer ist, werden mehr Vektoren von
nicht getroffen. Wenn
endlichdimensional ist, können wir die Größe von
mit Hilfe der Dimension messen. Damit ist
eine Zahl, mit der wir die Nicht-Surjektivität von
beziffern können. Diese Zahl erlaubt im Gegensatz zu
allerdings keine Rekonstruktion der genauen Vektoren angibt, die nicht von
getroffen werden.
Aufgabe (Zuordnung von Abbildung und Bild)
Wir betrachten die folgenden vier Unterräume vom Vektorraum
, gegeben als Bilder der linearen Abbildungen
-
-
-
-
Ordne diese vier Unterräume den Unterräumen
auf den Abbildungen unten zu.
Lösung (Zuordnung von Abbildung und Bild)
Zuerst suchen wir das Bild von
:
Um
zu finden, können wir einen Satz von oben anwenden: Wenn
ein Erzeugendensystem von
ist, dann gilt
. Wir nehmen die Standardbasis
als Erzeugendensystem des
. Dann gilt
Wenden wir nun
auf die Standardbasis an.:
Die Vektoren
erzeugen das Bild von
. Außerdem sind sie linear unabhängig und damit eine Basis von
.
Deshalb ist
. Also
.
Als nächstes wollen wir das Bild von
finden. Es ist aber auch möglich, das Bild
direkt per Definition auszurechnen, was wir hier demonstrieren werden.
Also wird das Bild von
von dem Vektor
aufgespannt. Somit ist
.
Nun bestimmen wir das Bild von
z.B. mit der gleichen Methode wie bei
. Das bedeutet, wir wenden
auf die Standardbasis an.
Beide Vektoren sind linear abhängig. Also folgt
und somit
.
Als letztes bestimmen wir noch das Bild von
. Dazu gehen wir beispielsweise vor wie bei
.
Das Bild von
wird also vom Vektor
aufgespannt. Somit ist
die
-Achse, also
.
Wie kommt man auf den Beweis? (Surjektivität und Dimension von
und
)
Wir wollen die Dimensionen von
und
gegeneinander abschätzen. Die Dimension ist über die Kardinalität einer Basis definiert. Das heißt, wenn
eine Basis von
und
eine Basis von
ist, müssen wir zeigen, dass
genau dann gilt, wenn eine surjektive lineare Abbildung existiert. "Genau dann wenn" bedeutet, dass zwei Richtungen zu zeigen sind.
Wenn wir eine surjektive lineare Abbildung
haben, müssen wir zeigen, dass die Dimension von
mindestens
ist. Nun sind Basen maximal linear unabhängige Teilmengen. Das heißt, um die Dimension nach unten abzuschätzen müssen wir eine linear unabhängige Teilmenge mit
Elemente konstruieren. Im Bild haben wir bereits eine
-elementige, linear unabhängige Teilmenge gegeben: die Basis
. Weil
surjektiv ist, können wir diese zu Vektoren
mit
liften. Nun müssen wir überprüfen, dass
in
linear unabhängig sind. Dies sehen wir, indem wir eine Linearkombination
mit
in eine Linearkombination
überführen und die lineare Unabhängigkeit von
ausnutzen.
Wenn umgekehrt
gilt, müssen wir eine surjektive lineare Abbildung
konstruieren. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung können wir die lineare Abbildung
konstruieren, indem wir angeben, was
auf einer Basis von
macht. Dafür brauchen wir Elemente von
, auf die wir
schicken können. Wir haben oben schon eine Basis von
gewählt. Daher bietet es sich an,
wie folgt zu definieren:
Dann wird das Bild von
durch die Vektoren
aufgespannt. Diese Vektoren spannen jedoch auch ganz
auf und somit ist
surjektiv.
Lösung (Surjektivität und Dimension von
und
)
Beweisschritt: "
"
Angenommen, es gebe eine geeignete surjektive Abbildung
. Wir zeigen, dass die Dimension von
nicht größer sein kann als die Dimension von
(das gilt für jede lineare Abbildung). Wegen der Surjektivität von
folgt, dass
.
Seien also
linear unabhängig. Es gibt
mit
für
. Wir zeigen, dass
ebenfalls linear unabhängig sind: Seien
mit
. Dann gilt auch
woraus wegen der linearen Unabhängigkeit der
folgt, dass
. Also sind auch
linear unabhängig. Insgesamt haben wir also gezeigt:
Insbesondere gilt, dass eine Basis von
(eine maximale linear unabhängige Teilmenge von
) mindestens so viele Elemente enthalten muss wie eine Basis von
, also
.
Beweisschritt: "
"
Es gelte umgekehrt
. Wir benutzen, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren schon eindeutig bestimmt ist. Sei
eine Basis von
und
eine Basis von
. Definiere die gesuchte surjektive lineare Abbildung
durch
Das geht, da nach Annahme
gilt. Die so konstruierte Abbildung ist surjektiv, da per Konstruktion
gilt. Da das Bild von
ein Unterraum von
ist, liegt auch der von diesen Vektoren erzeugte Unterraum, also
, im Bild von
. Dementsprechend gilt
und
ist surjektiv.
Aufgabe (Bild einer Matrix)
- Betrachte die Matrix
und die davon induzierte Abbildung
. Was ist das Bild
?
- Sei nun
eine beliebige Matrix über einem Körper
, wobei
die Spalten von
bezeichnen. Betrachte die davon induzierte Abbildung
. Zeige, dass
gilt. Das Bild einer Matrix ist also der Spann ihrer Spalten.
Lösung (Bild einer Matrix)
Lösung Teilaufgabe 2:
Beweisschritt: "
"
Sei
. Dann gibt es
mit
. Wir können
schreiben als
. Setzen wir das in die Gleichung
ein, erhalten wir
Da
, folgt
.
Beweisschritt: "
"