Lineare Abbildung: Bild – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Das Bild einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren in , die von getroffen werden. Diese Menge von Vektoren bildet einen Untervektorraum von und kann benutzt werden, um die lineare Abbildung surjektiv zu machen.

Herleitung[Bearbeiten]

Bild der linearen Abbildung
Visualisierung der linearen Abbildung

Wir betrachten eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und . Ein Vektor wird von in einen Vektor überführt. Die Abbildung trifft nicht zwingend alle Elemente aus , denn ist nicht unbedingt surjektiv. Die abgebildeten Vektoren bilden die Teilmenge . Diese Menge heißt Bild von .

Weil linear ist, erhält die Struktur der Vektorräume und . Deshalb vermuten wir, dass den Vektorraum wieder auf einen Vektorraum abbildet. Folglich sollte das Bild von , also die Menge ein Untervektorraum von sein. Das werden wir unten in einem Satz beweisen.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Bild einer linearen Abbildung)

Es seien und zwei -Vektorräume und eine lineare Abbildung. Dann nennen wir das Bild von .

Hinweis

In der Literatur wird auch oft die Notation statt für das Bild von verwendet.

In der Herleitung haben wir uns schon überlegt, dass ein Untervektorraum von sein sollte. Das beweisen wir nun formal.

Satz (Das Bild ist ein Untervektorraum)

Sei eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Dann ist ein Untervektorraum von .

Beweis (Das Bild ist ein Untervektorraum)

Um zu zeigen, dass ein Untervektorraum ist, müssen wir die Untervektorraumkriterien überprüfen:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und für alle gilt .

Beweisschritt:

Für jedes gilt . Also ist .

Beweisschritt:

Da eine lineare Abbildung ist, gilt . Somit ist .

Beweisschritt: Für alle gilt .

Hierzu seien gegeben. Es gibt Vektoren und aus mit und . Wir zeigen, dass gilt. Dafür müssen wir einen Vektor aus finden, der von auf abgebildet wird. Es gilt:

Wegen und liegt im Bild von .

Beweisschritt: Für alle und für alle gilt .

Sei und . Dann gibt es einen Vektor mit . Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor in gibt, der auf abgebildet wird. Es gilt:

Weil ist, gilt .

Bild und Surjektivität[Bearbeiten]

Wir wissen bereits, dass eine Abbildung genau dann surjektiv ist, wenn die Abbildung alle Elemente von trifft. Formal heißt das: ist genau dann surjektiv, wenn . Wenn eine lineare Abbildung ist, dann ist ein Untervektorraum von . Ist zusätzlich endlich-dimensional, dann ist genau dann surjektiv, wenn gilt.

Beispiel

Die Identität ist eine lineare Abbildung. Sie ist surjektiv, da jedes Element das Urbild hat. Damit ist und insbesondere .

Die Abbildung ist ebenfalls linear. Weiter hat jedes Element ein Urbild, beispielsweise . Damit haben wir gezeigt und ist surjektiv. Es gilt .

Die Einbettung ist auch linear, aber nicht surjektiv. Der Vektor ist nicht in enthalten. Damit muss gelten: Tatsächlich ist .

Manchmal ist es nützlich die Surjektivität von zu zeigen, indem man beweist.

Beispiel

Wir betrachten die lineare Abbildung und fragen uns, ob surjektiv ist. Wir wollen die Frage beantworten, indem wir die Dimension von bestimmen und diese mit vergleichen. Dafür suchen wir zunächst linear unabhängige Vektoren im Bild von . Die Vektoren und sind linear unabhängig. Damit muss gelten. Nun ist und somit gilt auch . Wir erhalten und somit ist surjektiv.

Der Zusammenhang von Bild und Erzeugendensystemen[Bearbeiten]

Wir haben im Artikel über Epimorphismen gesehen, dass eine lineare Abbildung genau dann Erzeugendensysteme von erhält, wenn sie surjektiv ist. In diesem Fall erzeugt das Bild jedes Erzeugendensystems von den ganzen Zielvektorraum . Insbesondere erzeugt das Bild jedes Erzeugendensystems von das Bild von . Die letzte Aussage gilt auch für nicht-surjektive lineare Abbildungen:

Satz (Das Bild ist der Spann der Bilder eines Erzeugendensystems)

Sei eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und . Sei ein Erzeugendensystem von . Dann gilt:

Beweis (Das Bild ist der Spann der Bilder eines Erzeugendensystems)

Wir zeigen die beiden Inklusionen.

Beweisschritt:

Sei . Dann gibt es , und Koeffizienten , sodass

Da die in liegen, existieren mit für . Dann gilt wegen der Linearität von

Beweisschritt:

Sei . Dann gibt es ein mit . Da ein Erzeugendensystem von ist, gibt es ein , und Koeffizienten , sodass

Dann folgt wegen der Linearität von :

Bild und lineare Gleichungssysteme [Bearbeiten]

Sei eine -Matrix und . Das dazugehörige lineare Gleichungssystem ist . Wir können die Matrix auch als eine lineare Abbildung auffassen. Insbesondere ist das Bild von eine Teilmenge von .

Ist , so gibt es ein , so dass gilt. Nach Definition von folgt . Das lineare Gleichungssystem ist also lösbar. Wenn umgekehrt lösbar ist, so existiert ein mit . Für dieses gilt nun . Somit ist .

Damit gibt uns das Bild ein Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen: Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn im Bild von liegt. Das Kriterium macht allerdings keine Aussage über die Eindeutigkeit von Lösungen. Dafür kann man den Kern nutzen.

Beispiele[Bearbeiten]

Wir wollen uns nun ansehen, wie man das Bild einer linearen Abbildung bestimmen kann.

Beispiel

Wir betrachten die lineare Abbildung

Das ist eine Projektion auf die -Achse. Intuitiv sollte also das Bild von die -Achse sein, d.h.

Dies wollen wir jetzt beweisen:

Wenn ist, dann gibt es mit . Also ist .

Umgekehrt hat wegen jeder Vektor der Form ein Urbild unter . Also liegt jeder solche Vektor in .

Damit ist die Aussage bewiesen.

Beispiel

Sei ein Körper. Wir betrachten die lineare Abbildung


Wir wollen das Bild von bestimmen. Dafür nutzen wir aus, dass eine Basis von ist – insbesondere also ein Erzeugendensystem. Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass dann gilt.

Wir können diesen Raum explizit angeben, indem wir den Spann ausrechnen:

Nachdem wir zwei Beispiele in endlich-dimensionalen Vektorräumen betrachtet haben, können wir uns an ein Beispiel mit einem unendlich-dimensionalen Vektorraum wagen. Wir haben die gleiche Funktion bereits bei den Beispielen zur Bestimmung des Kerns einer linearen Abbildung kennengelernt.

Beispiel

Unser Ziel ist, das Bild der linearen Abbildung der Ableitung von Polynomen über zu bestimmen. Die Menge ist eine Basis von . Die Ableitungsfunktion ist durch für alle definiert.

Wir wollen nun wissen, ob surjektiv ist. Dafür bemerken wir, dass für jedes gilt. Damit wird jedes Basiselement von getroffen. Also ist und ist surjektiv.

Beim Lösen von linearen Gleichungssystemen werden wir viele weitere Beispiele sehen. Außerdem werden wir einen methodischen Lösungsweg für die Bestimmung von Bildern kennenlernen.

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Lineare Abbildungen episch machen[Bearbeiten]

Wir wollen nun aus einer linearen Abbildung eine surjektive lineare Abbildung konstruieren. Wenn wir als eine Abbildung von Mengen ansehen, wissen wir schon, wie wir dies erreichen können: Wir schränken das Ziel von auf ein und erhalten die Abbildung . Wir müssen nur noch checken, dass linear ist. Dies wissen wir aber, da ein Untervektorraum von ist. Alles, was wir noch tun müssen, um surjektiv zu machen (also zu einem Epimorphismus) ist, das Ziel von auf einzuschränken.

Diese Methode liefert uns auch einen Ansatz, wie wir Abbildungen zwischen anderen Strukturen surjektiv machen können: Wir müssen checken, dass die Einschränkung auf das Bild wieder die Struktur erhält. Beispielsweise können wir für einen Gruppenhomomorphismus zeigen, dass wieder eine Gruppe ist und wieder ein Gruppenhomomorphismus ist.

Ausblick: Wie surjektiv ist eine lineare Abbildung? – Der Kokern[Bearbeiten]

Im Kern-Artikel sehen wir, dass der Kern genau diejenige Information speichert, welche eine lineare Abbildung "verliert". Weiter ist genau dann injektiv ist, wenn ist und der Kern stellt intuitiv ein Maß für die nicht-Injektivität von dar.

Wir wollen jetzt ein ähnliches Maß für die Surjektivität von konstruieren. Das Bild von reicht hierfür nicht aus: Beispielsweise sind die Bilder von und isomorph, aber ist surjektiv und ist es nicht. Allein aus dem Bild lassen sich keine Rückschlüsse darauf ziehen, ob surjektiv ist, denn die Surjektivität hängt auch vom Zielraum ab. Um die "Nicht-Surjektivität" zu messen, benötigen wir hingegen einen Vektorraum, der den Anteil von misst, welcher von nicht getroffen wird.

Der Raum enthält die Information, welche Vektoren von getroffen werden. Ziel ist es, aus "diese Information zu entfernen". Dieses "Entfernen von Informationen" haben wir im Artikel zum Faktorraum bereits durch die Konstruktion eines Raums realisiert. Diesen Raum nennen wir den Kokern von . Er eignet sich tatsächlich für die Charakterisierung der "Nicht-Surjektivität" von , denn ist genau dann gleich dem Nullraum , wenn surjektiv ist: Ein Vektor in , der nicht von getroffen wird, liefert ein nichttriviales Element in und umgekehrt liefert ein nichttriviales Element in ein Element in , welches nicht von getroffen wird.

Der Kokern misst sogar, wie nicht-surjektiv genau ist: Wenn größer ist, werden mehr Vektoren von nicht getroffen. Wenn endlichdimensional ist, können wir die Größe von mit Hilfe der Dimension messen. Damit ist eine Zahl, mit der wir die Nicht-Surjektivität von beziffern können. Diese Zahl erlaubt im Gegensatz zu allerdings keine Rekonstruktion der genauen Vektoren angibt, die nicht von getroffen werden.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Zuordnung von Abbildung und Bild)

Wir betrachten die folgenden vier Unterräume vom Vektorraum , gegeben als Bilder der linearen Abbildungen


Ordne diese vier Unterräume den Unterräumen auf den Abbildungen unten zu.

Lösung (Zuordnung von Abbildung und Bild)

Zuerst suchen wir das Bild von : Um zu finden, können wir einen Satz von oben anwenden: Wenn ein Erzeugendensystem von ist, dann gilt . Wir nehmen die Standardbasis als Erzeugendensystem des . Dann gilt

Wenden wir nun auf die Standardbasis an.:

Die Vektoren erzeugen das Bild von . Außerdem sind sie linear unabhängig und damit eine Basis von . Deshalb ist . Also .


Als nächstes wollen wir das Bild von finden. Es ist aber auch möglich, das Bild direkt per Definition auszurechnen, was wir hier demonstrieren werden.

Also wird das Bild von von dem Vektor aufgespannt. Somit ist .


Nun bestimmen wir das Bild von z.B. mit der gleichen Methode wie bei . Das bedeutet, wir wenden auf die Standardbasis an.

Beide Vektoren sind linear abhängig. Also folgt und somit .


Als letztes bestimmen wir noch das Bild von . Dazu gehen wir beispielsweise vor wie bei .

Das Bild von wird also vom Vektor aufgespannt. Somit ist die -Achse, also .

Aufgabe (Surjektivität und Dimension von und )

Seien und zwei endlichdimensionale Vektorräume. Zeige, dass es genau dann eine surjektive lineare Abbildung gibt, wenn gilt.

Wie kommt man auf den Beweis? (Surjektivität und Dimension von und )

Wir wollen die Dimensionen von und gegeneinander abschätzen. Die Dimension ist über die Kardinalität einer Basis definiert. Das heißt, wenn eine Basis von und eine Basis von ist, müssen wir zeigen, dass genau dann gilt, wenn eine surjektive lineare Abbildung existiert. "Genau dann wenn" bedeutet, dass zwei Richtungen zu zeigen sind.

Wenn wir eine surjektive lineare Abbildung haben, müssen wir zeigen, dass die Dimension von mindestens ist. Nun sind Basen maximal linear unabhängige Teilmengen. Das heißt, um die Dimension nach unten abzuschätzen müssen wir eine linear unabhängige Teilmenge mit Elemente konstruieren. Im Bild haben wir bereits eine -elementige, linear unabhängige Teilmenge gegeben: die Basis . Weil surjektiv ist, können wir diese zu Vektoren mit liften. Nun müssen wir überprüfen, dass in linear unabhängig sind. Dies sehen wir, indem wir eine Linearkombination mit in eine Linearkombination überführen und die lineare Unabhängigkeit von ausnutzen.

Wenn umgekehrt gilt, müssen wir eine surjektive lineare Abbildung konstruieren. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung können wir die lineare Abbildung konstruieren, indem wir angeben, was auf einer Basis von macht. Dafür brauchen wir Elemente von , auf die wir schicken können. Wir haben oben schon eine Basis von gewählt. Daher bietet es sich an, wie folgt zu definieren:

Dann wird das Bild von durch die Vektoren aufgespannt. Diese Vektoren spannen jedoch auch ganz auf und somit ist surjektiv.

Lösung (Surjektivität und Dimension von und )

Beweisschritt: ""

Angenommen, es gebe eine geeignete surjektive Abbildung . Wir zeigen, dass die Dimension von nicht größer sein kann als die Dimension von (das gilt für jede lineare Abbildung). Wegen der Surjektivität von folgt, dass .

Seien also linear unabhängig. Es gibt mit für . Wir zeigen, dass ebenfalls linear unabhängig sind: Seien mit . Dann gilt auch

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit der folgt, dass . Also sind auch linear unabhängig. Insgesamt haben wir also gezeigt:

Insbesondere gilt, dass eine Basis von (eine maximale linear unabhängige Teilmenge von ) mindestens so viele Elemente enthalten muss wie eine Basis von , also .

Beweisschritt: ""

Es gelte umgekehrt . Wir benutzen, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren schon eindeutig bestimmt ist. Sei eine Basis von und eine Basis von . Definiere die gesuchte surjektive lineare Abbildung durch

Das geht, da nach Annahme gilt. Die so konstruierte Abbildung ist surjektiv, da per Konstruktion gilt. Da das Bild von ein Unterraum von ist, liegt auch der von diesen Vektoren erzeugte Unterraum, also , im Bild von . Dementsprechend gilt und ist surjektiv.

Aufgabe (Bild einer Matrix)

  1. Betrachte die Matrix und die davon induzierte Abbildung . Was ist das Bild ?
  2. Sei nun eine beliebige Matrix über einem Körper , wobei die Spalten von bezeichnen. Betrachte die davon induzierte Abbildung . Zeige, dass gilt. Das Bild einer Matrix ist also der Spann ihrer Spalten.

Lösung (Bild einer Matrix)

Lösung Teilaufgabe 1:

Wir wissen, dass das Bild der linearen Abbildung ein Unterraum von ist. Da der -Vektorraum die Dimension hat, kann ein Unterraum nur die Dimension oder haben. Im ersten Fall ist der Unterraum der Nullvektorraum, in zweiten Fall ist er schon ganz . Also hat nur die beiden Untervektorräume und . Da gilt, ist . Damit muss sein.

Lösung Teilaufgabe 2:

Beweisschritt: ""

Sei . Dann gibt es mit . Wir können schreiben als . Setzen wir das in die Gleichung ein, erhalten wir

Da , folgt .

Beweisschritt: ""

Sei mit für . Wir wollen finden mit . Wir definieren . Dieselbe Rechnung wie im ersten Beweisschritt zeigt dann