Aufgaben zu linearen Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir haben hier einige Aufgaben zu den linearen Abbildungen zusammengestellt. Die Beweisstrukturen können dir helfen, andere ähnliche Aufgaben zu lösen. Hier ist zur Erinnerung nochmal die Definition einer linearen Abbildung:

Definition (Lineare Abbildung)

Sei eine Abbildung zwischen den beiden Vektorräumen und . Wir nennen eine lineare Abbildung von nach , wenn die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind:

  1. Additivität: Für alle gilt, dass
  2. Homogenität: Für alle und gilt, dass

Linearität einer Abbildung zeigen[Bearbeiten]

Lineare Abbildungen von nach [Bearbeiten]

Aufgabe (Lineare Abbildung in den Körper)

Sei definiert durch . Zeige, dass die Abbildung linear ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Lineare Abbildung in den Körper)

Zunächst musst du die Additivität der Abbildung zeigen und danach die Homogenität der Abbildung.

Lösung (Lineare Abbildung in den Körper)

Beweisschritt: Additivität

Seien dazu und .

Damit ist additiv.

Beweisschritt: Homogenität

Sei und .

Damit ist homogen und insgesamt ist linear.

Aufgabe (Lineare Abbildung von nach )

Zeige, dass die Abbildung mit linear ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Lineare Abbildung von nach )

Es ist zu zeigen, dass für und gilt:

und weiter für :

Lösung (Lineare Abbildung von nach )

Aktuelles Ziel: Additivität

Aktuelles Ziel: Skalierung

Aufgabe (Linearität der Einbettung)

Zeige, dass für die Abbildung linear ist.

Lösung (Linearität der Einbettung)

Seien und , sowie . Nach Definition der Abbildung gilt:

Also ist linear.

Aufgabe (Linearität von )

Sei gegeben mit

Zeige, dass die Abbildung linear ist.

Lösung (Linearität von )

ist ein -Vektorraum. Außerdem ist die Abbildung wohldefiniert.

Beweisschritt: Additivität

Seien und beliebige Vektoren aus der Ebene . Dann gilt:


Beweisschritt: Homogenität

Sei und , dann gilt:

Damit ist die Abbildung linear.

Wichtige Spezialfälle[Bearbeiten]

Aufgabe (Identität ist lineare Abbildung)

Sei ein -Vektorraum. Beweise, dass die Identität mit eine lineare Abbildung ist.

Lösung (Identität ist lineare Abbildung)

Die Identität ist additiv: Seien , dann

Die Identität ist homogen: Seien und , dann

Aufgabe (Nullabbildung ist lineare Abbildung)

Seien zwei -Vektorräume. Zeige, dass die Nullabbildung , die alle Vektoren auf den Nullvektor abbildet, linear ist.

Lösung (Nullabbildung ist lineare Abbildung)

ist additiv: Seien Vektoren in . Dann

ist homogen: Sei und sei . So folgt

Damit folgt, die Nullabbildung linear ist.

Lineare Abbildungen zwischen Abbildungsräumen[Bearbeiten]

Aufgabe (Abbildung vom Funktionenraum)

Betrachte den Funktionenraum aller Funktionen von nach , sowie die Abbildung

Zeige, dass linear ist.

Lösung (Abbildung vom Funktionenraum)

Die Verknüpfungen auf dem Funktionenraum sind jeweils elementweise definiert. Das bedeutet: für , und gilt, dass und . Insbesondere trifft das für zu, woraus

und

folgt. Damit haben wir die Linearität gezeigt.

Aufgabe (Die Präkomposition mit einer Abbildung ist linear.)

Sei ein Vektorraum, seien Mengen und sei bzw. der Vektorraum der Abbildungen von bzw. nach . Sei beliebig, aber fest. Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass linear ist.

Es ist wichtig, dass du dich genau an die Definitionen hältst. Mache dir klar, dass eine Abbildung ist, die jeder Abbildung von nach eine Abbildung von nach zuordnet. Diese Abbildungen, die Elemente von bzw. sind, müssen selbst aber nicht linear sein, da auf den Mengen und keine Vektorraumstruktur vorhanden ist.

Zusammenfassung des Beweises (Die Präkomposition mit einer Abbildung ist linear.)

Um die Linearität von zu beweisen, müssen wir wieder die zwei Eigenschaften prüfen:

  1. ist additiv: für alle
  2. ist homogen: für alle und

Bei beiden Punkten ist also eine Gleichheit von Abbildungen zu zeigen. Dazu werten wir die Abbildungen an jedem Element aus.

Lösung (Die Präkomposition mit einer Abbildung ist linear.)

Seien .

Beweisschritt: Additivität

Für alle gilt

Damit haben wir gezeigt, das heißt ist additiv.

Seien und .

Beweisschritt: Homogenität

Für alle gilt

Damit haben wir gezeigt, was bedeutet ist homogen.

Die Additivität und Homogenität von bedeutet aber, dass eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe (Folgenvektorraum)

Sei der -Vektorraum aller Folgen reeller Zahlen. Zeige, dass die Abbildung

linear ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Folgenvektorraum)

Um Linearität zu zeigen, sind zwei Eigenschaften zu prüfen:

  1. ist additiv: für alle
  2. ist homogen: für alle und

Die Vektoren und sind Folgen reeller Zahlen, d.h. sie sind von der Form und mit für alle .

Lösung (Folgenvektorraum)

Beweisschritt: Additivität

Seien und . Dann gilt

Daraus folgt, dass additiv ist.

Beweisschritt: Homogenität

Sei und . Dann gilt

Also ist homogen.

Somit wurde nachgewiesen, dass eine -lineare Abbildung ist.

Konstruktion einer linearen Abbildung aus vorgegebenen Werten[Bearbeiten]

Aufgabe (Konstruktion einer linearen Abbildung)

Seien .

Zudem seien gegeben.

Gib eine lineare Abbildung mit für alle an.

Wie kommt man auf den Beweis? (Konstruktion einer linearen Abbildung)

Tipp: Verwende das Prinzip der linearen Fortsetzung!

Lösung (Konstruktion einer linearen Abbildung)

Wir sehen, dass eine Basis des ist, nämlich die Standardbasis.

Nach dem Satz von der linearen Fortsetzung können wir eine lineare Abbildung

definieren durch

Nun müssen wir nur noch überprüfen, ob erfüllt ist. Es gilt , daher ist

Damit ist die Bedingung für jedes erfüllt. Die Abbildung ist nach Definition linear, also sind wir fertig.

Aufgabe (Lineare Abbildungen mit vorgegebenen Bedingungen)

Seien und . Gibt es eine -lineare Abbildung , die den Bedingungen genügt?

Wie kommt man auf den Beweis? (Lineare Abbildungen mit vorgegebenen Bedingungen)

Als erstes sollte man überprüfen, ob die Vektoren linear unabhängig sind. Ist das nämlich der Fall, so bildet , wegen eine Basis des . Mit dem Prinzip der linearen Fortsetzung würde die Existenz einer solchen linearen Abbildung folgen. Seien also , mit

Dann müssen aber auch und damit erfüllt sein. Diese Gleichung hat allerdings nicht nur die "triviale" Lösung . Tatsächlich ist die obere Gleichung für erfüllt. Man erhält also

Für eine solche Abbildung müsste dann aber gelten, was aber

widerspricht.

Lösung (Lineare Abbildungen mit vorgegebenen Bedingungen)

Nehmen wir zunächst an eine solche lineare Abbildung würde existieren. Durch die folgende Rechnung

sieht man, dass gelten müsste. Das ist aber ein Widerspruch zu den anderen Bedingungen, weil mit diesen

gilt. Es gibt also kein solches .


Lineare Unabhängigkeit von zwei Urbildern[Bearbeiten]

Aufgabe

Sei eine lineare Abbildung und seien und zwei verschiedene Vektoren aus , die beide auf einen Vektor mit abgebildet werden. Beweise, dass und linear unabhängig sind.

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir zeigen, dass die beiden Vektoren nicht linear abhängig sein können. Angenommen sind linear abhängig, dann gibt es ein derart, dass . Wir bilden nun diese beiden abhängigen Vektoren mit der linearen Abbildung in den Vektorraum ab. Wir erhalten dann

Da nach Voraussetzung ist dies ein Widerspruch und unsere Annahme der linearen Abhängigkeit falsch.

Lösung

Angenommen und sind linear abhängig, dann gibt es ein mit und . Da die Abbildung linear ist, folgt:

Damit folgt

Da nach Voraussetzung muss sein. Dies widerspricht aber unserer Annahme . Damit erhalten wir insgesamt einen Widerspruch zu unserer Annahme der linearen Abhängigkeit. Also sind die Vektoren linear unabhängig.

Aufgaben zu Isomorphismen[Bearbeiten]

Aufgabe (komplexe -Vektorräume)

Sei ein endlich-dimensionaler -Vektorraum. Zeige als -Vektorräume.

Lösung (komplexe -Vektorräume)

Setze . Wir wählen eine -Basis von . Definiere für alle .

Wir müssen zeigen: bilden eine -Basis von . Dann gilt . Nach einem Satz folgt also als -Vektorräume.

Wir zeigen zunächst die -lineare Unabhängigkeit.

Beweisschritt: ist -linear unabhängig

Seien und gelte . Wir setzen für die Definition ein, fassen die Summen zusammen und erhalten . Wegen -linearer Unabhängigkeit der gilt für alle . Folglich ist für alle . Dies zeigt die -lineare Unabhängigkeit.

Nun fehlt nur noch ein Schritt:

Beweisschritt: ist ein -Erzeugendensystem

Sei beliebig.

Da eine -Basis von ist, finden wir , sodass gilt. Wir schreiben mit für alle . Dann gilt

Also liegt im -Span von . Dies zeigt die Behauptung.

Aufgabe (Isomorphe Koordinatenräume)

Sei ein Körper, . Zeige: genau dann, wenn gilt.

Lösung (Isomorphe Koordinatenräume)

Wir wissen, dass für alle gilt. Wir benutzen den Satz, der besagt, dass endlichdimensionale Vektorräume genau dann isomorph sind, wenn ihre Dimensionen übereinstimmen. Also gilt genau dann, wenn gilt.

Aufgabe (Isomorphiekriterien für Endomorphismen)

Sei ein Körper, ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und eine -lineare Abbildung. Weise nach, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:

(i) ist ein Isomorphismus.

(ii) ist injektiv.

(iii) ist surjektiv.

(Achtung: Für diese Aufgabe kann es hilfreich sein, die Begriffe Kern und Bild einer linearen Abbildung zu kennen. Unter Verwendung des Dimensionssatzes wird diese Aufgabe wesentlich einfacher. Wir geben hier als Lösungsvorschlag eine Version, die ohne den Dimensionssatz auskommt.)

Lösung (Isomorphiekriterien für Endomorphismen)

(i)(ii) und (iii): Nach der Definition eines Isomorphismus ist bijektiv, also injektiv und surjektiv. Daher gelten (ii) und (iii).

(ii)(i): Sei nun eine injektive Abbildung. Wir müssen noch zeigen, dass auch surjektiv ist. Das Bild von ist ein Untervektorraum von . Dies kann man durch Nachrechnen überprüfen. Wir definieren nun eine Abbildung, die das gleiche macht wie , mit dem Unterschied, dass sie per Definition surjektiv sein wird. Wir schaffen dies durch die Konstruktion:

Die Surjektivität kommt daher, weil jedes Element sich als schreiben lässt, für ein . Außerdem ist die Abbildung injektiv und linear. Dies kommt daher, dass bereits diese beiden Eigenschaften aufweist. Also sind und isomorph. Daher haben und diegleiche endliche Dimension. Da ein Untervektorraum von ist, gilt . Dies kann man dadurch einsehen, dass man eine Basis in wählt. Wähle also zum Beispiel eine solche Basis mit Vektoren . Die sind insbesondere linear unabhängig. Das ist ein Fakt der auch in gilt, da ja . Und da die und diegleiche Dimension haben, sind die auch in ein maximales System linear unabhängiger Vektoren. Also bilden auch in eine Basis. Die beiden Vektorräume und müssen nun gleich sein, denn alle Elemente aus ihnen sind -Linearkombinationen gebildet mit den . Damit haben wir gezeigt, dass surjektiv ist.

(iii)(i): Nehmen wir nun an ist surjektiv. Wir müssen nun zeigen, dass auch injektiv ist. Sei der Kern der Abbildung . Es handelt sich dabei um einen Untervektorraum von , wovon man sich durch Nachrechnen überzeugt. Sei eine Basis von . Diese Basis kann man zu einer Basis von ergänzen. Dazu nehmen wir die Vektoren hinzu. Wir werden nun zeigen, dass linear unabhängig sind. Seien also Koeffizienten gegeben, sodass

gilt. Wegen der Linearität von folgern wir: . Das bedeutet, dass die Linearkombination

im Kern von liegt. Wir kennen aber bereits eine Basis von . Daher gibt es Koeffizienten , sodass

gilt. Wegen der linearen Unabhängigkeit von folgt nun, dass gilt. Daher sind die linear unabhängig. Als nächstes werden wir zeigen, dass diese Vektoren auch eine Basis von bilden. Dazu zeigen wir, dass jeder Vektor in als Linearkombination der geschrieben werden kann. Sei . Wegen der Surjektivität von gibt es ein , mit . Da die eine Basis von bilden, gibt es Koeffizienten , sodass

gilt. Wenden wir nun auf diese Gleichung an, so erhalten wir:

Hier haben wir gleich die Linearität von benutzt. Da die ersten Elemente unserer Basis im Kern liegen, verschwinden deren Bilder. Also erhalten wir eine gewünschte Darstellung von :

Somit haben wir gezeigt, dass ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von bildet. Also formen diese Vektoren eine Basis von . Wäre nun nicht , so wären zwei endliche Basen in nicht gleich mächtig. Dies kann nicht sein. Daher ist . Dies bedeutet, dass der triviale Vektorraum ist. Daraus folgt, dass injektiv ist.

Aufgabe (Abbildungsräume)

Sei eine endliche Menge der Mächtigkeit und sei ein Körper. Wir haben gesehen, dass die Menge der Abbildungen von nach einen -Vektorraum bildet. Diesen haben wir mit bezeichnet. Zeige: .

Lösung (Abbildungsräume)

Wir wissen schon nach einem Satz, dass zwei endlichdimensionale Vektorräume genau dann isomorph sind, wenn sie die gleiche Dimension besitzen. Also müssen wir nur zeigen, dass gilt.

Um das zu zeigen, brauchen wir zunächst eine Basis von . Seien dafür die Elemente der Menge . Wir definieren durch

Wir zeigen jetzt, dass die Funktionen tatsächlich eine Basis von bilden.

Beweisschritt: sind linear unabhängig

Seien mit , diese Summe ist die Nullabbildung. Wir wenden diese Abbildung auf ein beliebiges mit an. So erhalten wir: . Aus der Definition von folgt, dass

.

Da beliebig war und für alle gelten muss, folgt . Wir haben also gezeigt, dass linear unabhängig sind.

Beweisschritt: erzeugen

Sei beliebig. Wir möchten nun als Linearkombination von schreiben. Dafür zeigen wir , d.h. ist eine Linearkombination von mit Koeffizienten . Wir prüfen nun, dass für alle . Sei beliebig. Mit der Definition der erhalten wir:

.

Da die Gleichheit für alle gilt, stimmen die Abbildungen in jedem Punkt überein und sind somit identisch. Wir haben also gezeigt, dass den erzeugen.

Damit haben wir bewiesen, dass eine Basis von ist. Da wir Basiselemente von haben, gilt .

Aufgaben zum Bild[Bearbeiten]

Aufgabe (Zuordnung von Abbildung und Bild)

Wir betrachten die folgenden vier Unterräume vom Vektorraum , gegeben als Bilder der linearen Abbildungen


Ordne diese vier Unterräume den Unterräumen auf den Abbildungen unten zu.

Lösung (Zuordnung von Abbildung und Bild)

Zuerst suchen wir das Bild von : Um zu finden, können wir einen Satz von oben anwenden: Wenn ein Erzeugendensystem von ist, dann gilt . Wir nehmen die Standardbasis als Erzeugendensystem des . Dann gilt

Wenden wir nun auf die Standardbasis an.:

Die Vektoren erzeugen das Bild von . Außerdem sind sie linear unabhängig und damit eine Basis von . Deshalb ist . Also .


Als nächstes wollen wir das Bild von finden. Es ist aber auch möglich, das Bild direkt per Definition auszurechnen, was wir hier demonstrieren werden.

Also wird das Bild von von dem Vektor aufgespannt. Somit ist .


Nun bestimmen wir das Bild von z.B. mit der gleichen Methode wie bei . Das bedeutet, wir wenden auf die Standardbasis an.

Beide Vektoren sind linear abhängig. Also folgt und somit .


Als letztes bestimmen wir noch das Bild von . Dazu gehen wir beispielsweise vor wie bei .

Das Bild von wird also vom Vektor aufgespannt. Somit ist die -Achse, also .

Aufgabe (Bild einer Matrix)

  1. Betrachte die Matrix und die davon induzierte Abbildung . Was ist das Bild ?
  2. Sei nun eine beliebige Matrix über einem Körper , wobei die Spalten von bezeichnen. Betrachte die davon induzierte Abbildung . Zeige, dass gilt. Das Bild einer Matrix ist also der Spann ihrer Spalten.

Lösung (Bild einer Matrix)

Lösung Teilaufgabe 1:

Wir wissen, dass das Bild der linearen Abbildung ein Unterraum von ist. Da der -Vektorraum die Dimension hat, kann ein Unterraum nur die Dimension oder haben. Im ersten Fall ist der Unterraum der Nullvektorraum, in zweiten Fall ist er schon ganz . Also hat nur die beiden Untervektorräume und . Da gilt, ist . Damit muss sein.

Lösung Teilaufgabe 2:

Beweisschritt: ""

Sei . Dann gibt es mit . Wir können schreiben als . Setzen wir das in die Gleichung ein, erhalten wir

Da , folgt .

Beweisschritt: ""

Sei mit für . Wir wollen finden mit . Wir definieren . Dieselbe Rechnung wie im ersten Beweisschritt zeigt dann

Aufgabe (Surjektivität und Dimension von und )

Seien und zwei endlichdimensionale Vektorräume. Zeige, dass es genau dann eine surjektive lineare Abbildung gibt, wenn gilt.

Wie kommt man auf den Beweis? (Surjektivität und Dimension von und )

Wir wollen die Dimensionen von und gegeneinander abschätzen. Die Dimension ist über die Kardinalität einer Basis definiert. Das heißt, wenn eine Basis von und eine Basis von ist, müssen wir zeigen, dass genau dann gilt, wenn eine surjektive lineare Abbildung existiert. "Genau dann wenn" bedeutet, dass zwei Richtungen zu zeigen sind.

Wenn wir eine surjektive lineare Abbildung haben, müssen wir zeigen, dass die Dimension von mindestens ist. Nun sind Basen maximal linear unabhängige Teilmengen. Das heißt, um die Dimension nach unten abzuschätzen müssen wir eine linear unabhängige Teilmenge mit Elemente konstruieren. Im Bild haben wir bereits eine -elementige, linear unabhängige Teilmenge gegeben: die Basis . Weil surjektiv ist, können wir diese zu Vektoren mit liften. Nun müssen wir überprüfen, dass in linear unabhängig sind. Dies sehen wir, indem wir eine Linearkombination mit in eine Linearkombination überführen und die lineare Unabhängigkeit von ausnutzen.

Wenn umgekehrt gilt, müssen wir eine surjektive lineare Abbildung konstruieren. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung können wir die lineare Abbildung konstruieren, indem wir angeben, was auf einer Basis von macht. Dafür brauchen wir Elemente von , auf die wir schicken können. Wir haben oben schon eine Basis von gewählt. Daher bietet es sich an, wie folgt zu definieren:

Dann wird das Bild von durch die Vektoren aufgespannt. Diese Vektoren spannen jedoch auch ganz auf und somit ist surjektiv.

Lösung (Surjektivität und Dimension von und )

Beweisschritt: ""

Angenommen, es gebe eine geeignete surjektive Abbildung . Wir zeigen, dass die Dimension von nicht größer sein kann als die Dimension von (das gilt für jede lineare Abbildung). Wegen der Surjektivität von folgt, dass .

Seien also linear unabhängig. Es gibt mit für . Wir zeigen, dass ebenfalls linear unabhängig sind: Seien mit . Dann gilt auch

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit der folgt, dass . Also sind auch linear unabhängig. Insgesamt haben wir also gezeigt:

Insbesondere gilt, dass eine Basis von (eine maximale linear unabhängige Teilmenge von ) mindestens so viele Elemente enthalten muss wie eine Basis von , also .

Beweisschritt: ""

Es gelte umgekehrt . Wir benutzen, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren schon eindeutig bestimmt ist. Sei eine Basis von und eine Basis von . Definiere die gesuchte surjektive lineare Abbildung durch

Das geht, da nach Annahme gilt. Die so konstruierte Abbildung ist surjektiv, da per Konstruktion gilt. Da das Bild von ein Unterraum von ist, liegt auch der von diesen Vektoren erzeugte Unterraum, also , im Bild von . Dementsprechend gilt und ist surjektiv.

Aufgaben zum Kern[Bearbeiten]

Aufgabe

Sei die lineare Abbildung gegeben. Bestimme den Kern von .

Lösung

Wir suchen die Vektoren , für die gilt. Sei dafür ein beliebiger Vektor in für den gilt. Wir untersuchen nun, welche Eigenschaften dieser Vektor hat. Es gilt

Also ist und . Daraus können wir schließen, dass gelten muss. Mit anderen Worten erfüllt jeder Vektor im Kern von die Bedingung . Nehmen wir jetzt einen Vektor mit . Dann gilt

Wir sehen . Insgesamt gilt

Verständnisfrage: Kannst du dir in der Ebene veranschaulichen? Wie sieht das Bild von aus? Wie verhalten sie sich zueinander?

Der Kern von f

Wir haben schon gesehen, dass

Nun bestimmen wir das Bild von , indem wir auf die Standardbasis anwenden.

Also gilt . Wir sehen, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind. Das heißt, wir können das Bild mit nur einem Vektor erzeugen: .

In unserem Beispiel sind Bild und Kern der Abbildung Geraden durch den Ursprung. Die beiden Geraden schneiden sich nur in der Null und spannen zusammen den ganzen auf.

Aufgabe

Sei ein Vektorraum,