Aufgaben zu linearen Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir geben hier einige Beweisstrukturen vor, die dir helfen sollen, ähnliche Beweise selbstständig durchzuführen. Im Einzelnen sind dies:

  1. Linearität einer Abbildung
  2. Konstruktion einer linearen Abbildung
  3. Lineare Unabhängigkeit von zwei Urbildern

Linearität einer Abbildung zeigen[Bearbeiten]

Lineare Abbildung in den Körper[Bearbeiten]

Sei definiert durch

Aufgabe (Linearität obiger Abbildung)

Zeige, dass die Abbildung linear ist.

Zusammenfassung des Beweises (Linearität obiger Abbildung)

Zunächst musst du die Additivität der Abbildung zeigen und danach die Homogenität der Abbildung.

Beweis (Linearität obiger Abbildung)

Zunächst die Additivität

Seien dazu und .

Damit ist additiv.

Nun zeigst du die Homogenität.

Sei und .

Damit ist homogen und insgesamt ist linear.

Konstruktion einer linearen Abbildung aus vorgegebenen Werten[Bearbeiten]

Aufgabe (Konstruktion einer linearen Abbildung)

Seien .

Zudem seien gegeben.

Gib eine lineare Abbildung mit für alle an.

Wie kommt man auf den Beweis? (Konstruktion einer linearen Abbildung)

Tipp: Verwende das Prinzip der linearen Fortsetzung!

Lösung (Konstruktion einer linearen Abbildung)

Wir sehen, dass eine Basis des ist, nämlich die Standardbasis.

Nach dem Satz von der linearen Fortsetzung können wir eine lineare Abbildung

definieren durch

Nun müssen wir nur noch überprüfen, ob erfüllt ist. Es gilt , daher ist

Damit ist die Bedingung für jedes erfüllt. Die Abbildung ist nach Definition linear, also sind wir fertig.

Lineare Unabhängigkeit von zwei Urbildern[Bearbeiten]

Aufgabe

Sei eine lineare Abbildung und seien und zwei verschiedene Vektoren aus , die beide auf einen Vektor mit abgebildet werden. Beweise, dass und linear unabhängig sind.

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir zeigen, dass die beiden Vektoren nicht linear abhängig sein können. Angenommen sind linear abhängig, dann gibt es ein derart, dass . Wir bilden nun diese beiden abhängigen Vektoren mit der linearen Abbildung in den Vektorraum ab. Wir erhalten dann

Da nach Voraussetzung ist dies ein Widerspruch und unsere Annahme der linearen Abhängigkeit falsch.

Beweis

Angenommen und sind linear abhängig, dann gibt es ein mit und . Da die Abbildung linear ist, folgt:

Damit folgt

Da nach Voraussetzung muss sein. Dies widerspricht aber unserer Annahme . Damit erhalten wir insgesamt einen Widerspruch zu unserer Annahme der linearen Abhängigkeit. Also sind die Vektoren linear unabhängig.