Aufgaben zu linearen Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir geben hier einige Beweisstrukturen vor, die dir helfen sollen, ähnliche Beweise selbstständig durchzuführen. Im Einzelnen sind dies:

1. Linearität einer Abbildung
2. Konstruktion einer linearen Abbildung
3. Lineare Unabhängigkeit von zwei Urbildern

Linearität einer Abbildung zeigen

Aufgabe (Lineare Abbildung in den Körper)

Sei $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ definiert durch $f((x,y,z)^{T}):=5x+y-3z$. Zeige, dass die Abbildung $f$ linear ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Lineare Abbildung in den Körper)

Zunächst musst du die Additivität der Abbildung zeigen und danach die Homogenität der Abbildung.

Lösung (Lineare Abbildung in den Körper)

Beweisschritt: Additivität

Seien dazu $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ und $w={\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$.

${\begin{aligned}f(v+w)&=\\[0.3em]&=\ f\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\right)=f{\begin{pmatrix}v_{1}+w_{1}\\v_{2}+w_{2}\\v_{3}+w_{3}\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Abbildung }}f\right.}\\[0.3em]&=\ 5(v_{1}+w_{1})+(v_{2}+w_{2})-3(v_{3}+w_{3})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=\ 5v_{1}+5w_{1}+v_{2}+w_{2}-3v_{3}-3w_{3}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität und Assoziativität in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=\ (5v_{1}+v_{2}-3v_{3})+(5w_{1}+w_{2}-3w_{3})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Abbildung }}f\right.}\\[0.3em]&=\ f{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}+f{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}=f(v)+f(w)\end{aligned}}$

Damit ist $f$ additiv.

Beweisschritt: Homogenität

Sei $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ und $\lambda \in \mathbb {R}$.

${\begin{aligned}f(\lambda \cdot v)&=f\left(\lambda \cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right)=f{\begin{pmatrix}\lambda v_{1}\\\lambda v_{2}\\\lambda v_{3}\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Abbildung }}f\right.}\\[0.3em]&=\ 5(\lambda v_{1})+(\lambda v_{2})-3(\lambda v_{3})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Multiplikation in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=\ \lambda \cdot (5v_{1})+\lambda \cdot (v_{2})-\lambda \cdot (3v_{3})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=\ \lambda \cdot (5v_{1}+v_{2}-3v_{3})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Abbildung }}f\right.}\\[0.3em]&=\ \lambda \cdot f{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}=\lambda \cdot f(v)\end{aligned}}$

Damit ist $f$ homogen und insgesamt ist $f$ linear.

Aufgabe (Lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{3}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$)

Zeige, dass die Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ mit $L{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}v_{2}-v_{3}\\3v_{1}+5v_{3}\end{pmatrix}}$ linear ist.

Wie kommt man auf den Beweis? (Lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{3}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$)

Es ist zu zeigen, dass für $v=(v_{1},v_{2},v_{3})^{T}$ und $w=(w_{1},w_{2},w_{3})^{T}$ gilt:

$L\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\right)=L{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}+L{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}$

und weiter für $\rho \in \mathbb {R}$:

$L\left(\rho \cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right)=\rho \cdot L{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$

Lösung (Lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{3}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$)

Aktuelles Ziel: Additivität

${\begin{aligned}L\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\right)&=L{\begin{pmatrix}v_{1}+w_{1}\\v_{2}+w_{2}\\v_{3}+w_{3}\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L\right.}\\[0.3em]&=\ {\begin{pmatrix}(v_{2}+w_{2})-(v_{3}+w_{3})\\3(v_{1}+w_{1})+5(v_{3}+w_{3})\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{kommutativ, assoziativ, distributiv in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=\ {\begin{pmatrix}(v_{2}-v_{3})+(w_{2}-w_{3})\\(3v_{1}-5v_{3})+(3w_{1}-5w_{3})\end{pmatrix}}\\[0.3em]&=\ {\begin{pmatrix}(v_{2}-v_{3})\\(3v_{1}-5v_{3})\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}(w_{2}-w_{3})\\(3w_{1}-5w_{3})\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L\right.}\\[0.3em]&=\ L{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}+L{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Aktuelles Ziel: Skalierung

${\begin{aligned}L\left(\rho \cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\right)&=L{\begin{pmatrix}\rho v_{1}\\\rho v_{2}\\\rho v_{3}\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L\right.}\\[0.3em]&=\ {\begin{pmatrix}\rho v_{2}-\rho v_{3}\\3(\rho v_{1})+5(\rho v_{3})\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{kommutativ, assoziativ, distributiv in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=\ {\begin{pmatrix}\rho (v_{2}-v_{3})\\(\rho (3v_{1}+5v_{3})\end{pmatrix}}\\[0.3em]&=\ \rho \cdot {\begin{pmatrix}(v_{2}-v_{3})\\(3v_{1}+5v_{3})\end{pmatrix}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}L\right.}\\[0.3em]&=\ \rho \cdot L{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Konstruktion einer linearen Abbildung aus vorgegebenen Werten

Aufgabe (Konstruktion einer linearen Abbildung)

Seien $a_{1}=(1,0,0)^{T},a_{2}=(0,1,0)^{T},a_{3}=(1,1,0)^{T},a_{4}=(0,0,1)^{T}\in \mathbb {R} ^{3}$.

Zudem seien $b_{1}=(1,5)^{T},b_{2}=(5,3)^{T},b_{3}=(6,8)^{T},b_{4}=(0,1)^{T}\in \mathbb {R} ^{2}$ gegeben.

Gib eine lineare Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ mit $f(a_{i})=b_{i}$ für alle $i\in \{1,2,3,4\}$ an.

Wie kommt man auf den Beweis? (Konstruktion einer linearen Abbildung)

Tipp: Verwende das Prinzip der linearen Fortsetzung!

Lösung (Konstruktion einer linearen Abbildung)

Wir sehen, dass $(a_{1},a_{2},a_{4})$ eine Basis des $\mathbb {R} ^{3}$ ist, nämlich die Standardbasis.

Nach dem Satz von der linearen Fortsetzung können wir eine lineare Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ definieren durch $f(a_{1}):=b_{1},f(a_{2}):=b_{2},f(a_{4}):=b_{4}$

Nun müssen wir nur noch überprüfen, ob $f(a_{3})=b_{3}$ erfüllt ist. Es gilt $a_{3}=a_{1}+a_{2}$, daher ist

$f(a_{3})=f(a_{1}+a_{2})=f(a_{1})+f(a_{2})=b_{1}+b_{2}=(1,5)^{T}+(5,3)^{T}=(6,8)^{T}=b_{3}$

Damit ist die Bedingung $f(a_{i})=b_{i}$ für jedes $i\in \{1,2,3,4\}$ erfüllt. Die Abbildung $f$ ist nach Definition linear, also sind wir fertig.

Lineare Unabhängigkeit von zwei Urbildern

Aufgabe

Sei $L\colon V\to W$ eine lineare Abbildung und seien $v_{1}$ und $v_{2}$ zwei verschiedene Vektoren aus $V$, die beide auf einen Vektor $w\in W$ mit $w\neq 0_{W}$ abgebildet werden. Beweise, dass $v_{1}$ und $v_{2}$ linear unabhängig sind.

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir zeigen, dass die beiden Vektoren nicht linear abhängig sein können. Angenommen $v_{1},v_{2}$ sind linear abhängig, dann gibt es ein $\rho \in K$ derart, dass $v_{1}=\rho \cdot v_{2}$. Wir bilden nun diese beiden abhängigen Vektoren mit der linearen Abbildung $L$ in den Vektorraum $W$ ab. Wir erhalten dann

$w=\rho \cdot w$

Da nach Voraussetzung $w\neq 0$ ist dies ein Widerspruch und unsere Annahme der linearen Abhängigkeit falsch.

Beweis

Angenommen $v_{1}$ und $v_{2}$ sind linear abhängig, dann gibt es ein $\rho \in K$ mit $v_{1}=\rho \cdot v_{2}$ und $\rho \neq 1$. Da die Abbildung $L$ linear ist, folgt:

$w=L(v_{2})=L(v_{1})=L(\rho \cdot v_{2})=\rho \cdot L(v_{2})=\rho \cdot w$

Damit folgt

$w=\rho \cdot w\Rightarrow w-\rho \cdot w=(1_{K}-\rho )\cdot w=0_{W}\Rightarrow 1_{K}-\rho =0_{K}\,\lor \,w=0_{W}$

Da nach Voraussetzung $w\neq 0_{W}$ muss $1_{K}-\rho =0_{K}$ sein. Dies widerspricht aber unserer Annahme $\rho \neq 1_{K}$. Damit erhalten wir insgesamt einen Widerspruch zu unserer Annahme der linearen Abhängigkeit. Also sind die Vektoren $v_{1},v_{2}\in V$ linear unabhängig.