Wir haben hier einige Aufgaben zu den linearen Abbildungen zusammengestellt. Die Beweisstrukturen können dir helfen, andere ähnliche Aufgaben zu lösen.
Hier ist zur Erinnerung nochmal die Definition einer linearen Abbildung:
Linearität einer Abbildung zeigen[Bearbeiten]
Lineare Abbildungen von
nach
[Bearbeiten]
Aufgabe (Lineare Abbildung in den Körper)
Sei
definiert durch
.
Zeige, dass die Abbildung
linear ist.
Wie kommt man auf den Beweis? (Lineare Abbildung in den Körper)
Zunächst musst du die Additivität der Abbildung zeigen und danach die Homogenität der Abbildung.
Lösung (Lineare Abbildung in den Körper)
Beweisschritt: Additivität
Beweisschritt: Homogenität
Lösung (Lineare Abbildung von
nach
)
Aktuelles Ziel: Additivität
Aktuelles Ziel: Skalierung
Aufgabe (Linearität der Einbettung)
Zeige, dass für
die Abbildung
linear ist.
Lösung (Linearität der Einbettung)
Seien
und
, sowie
. Nach Definition der Abbildung
gilt:
Also ist
linear.
Aufgabe (Linearität von
)
Sei
gegeben mit
Zeige, dass die Abbildung
linear ist.
Lösung (Linearität von
)
ist ein
-Vektorraum. Außerdem ist die Abbildung wohldefiniert.
Beweisschritt: Additivität
Beweisschritt: Homogenität
Damit ist die Abbildung linear.
Wichtige Spezialfälle[Bearbeiten]
Lineare Abbildungen zwischen Abbildungsräumen[Bearbeiten]
Aufgabe (Abbildung vom Funktionenraum)
Betrachte den Funktionenraum
aller Funktionen von
nach
, sowie die Abbildung
Zeige, dass
linear ist.
Lösung (Abbildung vom Funktionenraum)
Die Verknüpfungen auf dem Funktionenraum sind jeweils elementweise definiert.
Das bedeutet: für
,
und
gilt,
dass
und
.
Insbesondere trifft das für
zu, woraus
und
folgt.
Damit haben wir die Linearität gezeigt.
Aufgabe (Die Präkomposition mit einer Abbildung ist linear.)
Sei
ein Vektorraum, seien
Mengen und sei
bzw.
der Vektorraum der Abbildungen von
bzw.
nach
. Sei
beliebig, aber fest. Wir betrachten die Abbildung
Zeige, dass
linear ist.
Es ist wichtig, dass du dich genau an die Definitionen hältst. Mache dir klar, dass
eine Abbildung ist, die jeder Abbildung von
nach
eine Abbildung von
nach
zuordnet. Diese Abbildungen, die Elemente von
bzw.
sind, müssen selbst aber nicht linear sein, da auf den Mengen
und
keine Vektorraumstruktur vorhanden ist.
Lösung (Die Präkomposition mit einer Abbildung ist linear.)
Seien
.
Beweisschritt: Additivität
Seien
und
.
Beweisschritt: Homogenität
Die Additivität und Homogenität von
bedeutet aber, dass
eine lineare Abbildung ist.
Aufgabe (Folgenvektorraum)
Sei
der
-Vektorraum aller Folgen reeller Zahlen. Zeige, dass die Abbildung
linear ist.
Wie kommt man auf den Beweis? (Folgenvektorraum)
Um Linearität zu zeigen, sind zwei Eigenschaften zu prüfen:
ist additiv:
für alle 
ist homogen:
für alle
und 
Die Vektoren
und
sind Folgen reeller Zahlen, d.h. sie sind von der Form
und
mit
für alle
.
Lösung (Folgenvektorraum)
Beweisschritt: Additivität
Seien
und
. Dann gilt
Daraus folgt, dass
additiv ist.
Beweisschritt: Homogenität
Sei
und
. Dann gilt
Also ist
homogen.
Somit wurde nachgewiesen, dass
eine
-lineare Abbildung ist.
Konstruktion einer linearen Abbildung aus vorgegebenen Werten[Bearbeiten]
Aufgabe (Konstruktion einer linearen Abbildung)
Seien
.
Zudem seien
gegeben.
Gib eine lineare Abbildung
mit
für alle
an.
Lösung (Konstruktion einer linearen Abbildung)
Wir sehen, dass
eine Basis des
ist, nämlich die Standardbasis.
Nach dem Satz von der linearen Fortsetzung können wir eine lineare Abbildung

definieren durch
Nun müssen wir nur noch überprüfen, ob
erfüllt ist. Es gilt
, daher ist
Damit ist die Bedingung
für jedes
erfüllt. Die Abbildung
ist nach Definition linear, also sind wir fertig.
Aufgabe (Lineare Abbildungen mit vorgegebenen Bedingungen)
Seien
und
.
Gibt es eine
-lineare Abbildung
, die den Bedingungen
genügt?
Wie kommt man auf den Beweis? (Lineare Abbildungen mit vorgegebenen Bedingungen)
Als erstes sollte man überprüfen, ob die Vektoren
linear unabhängig sind. Ist das nämlich der Fall, so bildet
, wegen
eine Basis des
. Mit dem Prinzip der linearen Fortsetzung würde die Existenz einer solchen linearen Abbildung
folgen. Seien also
, mit
Dann müssen aber auch
und damit
erfüllt sein. Diese Gleichung hat allerdings nicht nur die "triviale" Lösung
. Tatsächlich ist die obere Gleichung für
erfüllt. Man erhält also
Für eine solche Abbildung
müsste dann aber
gelten, was aber
widerspricht.
Lösung (Lineare Abbildungen mit vorgegebenen Bedingungen)
Nehmen wir zunächst an eine solche lineare Abbildung
würde existieren. Durch die folgende Rechnung
sieht man, dass
gelten müsste. Das ist aber ein Widerspruch zu den anderen Bedingungen, weil mit diesen
gilt. Es gibt also kein solches
.
Lineare Unabhängigkeit von zwei Urbildern[Bearbeiten]
Aufgaben zu Isomorphismen[Bearbeiten]
Lösung (komplexe
-Vektorräume)
Setze
.
Wir wählen eine
-Basis
von
.
Definiere
für alle
.
Wir müssen zeigen:
bilden eine
-Basis von
.
Dann gilt
.
Nach einem Satz folgt also
als
-Vektorräume.
Wir zeigen zunächst die
-lineare Unabhängigkeit.
Beweisschritt:
ist
-linear unabhängig
Seien
und gelte
.
Wir setzen für
die Definition ein, fassen die Summen zusammen und erhalten
.
Wegen
-linearer Unabhängigkeit der
gilt
für alle
.
Folglich ist
für alle
.
Dies zeigt die
-lineare Unabhängigkeit.
Nun fehlt nur noch ein Schritt:
Beweisschritt:
ist ein
-Erzeugendensystem
Sei
beliebig.
Da
eine
-Basis von
ist, finden wir
,
sodass
gilt.
Wir schreiben
mit
für alle
.
Dann gilt
Also liegt
im
-Span von
.
Dies zeigt die Behauptung.
Aufgabe (Isomorphiekriterien für Endomorphismen)
Sei
ein Körper,
ein endlich-dimensionaler
-Vektorraum und
eine
-lineare Abbildung.
Weise nach, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:
(i)
ist ein Isomorphismus.
(ii)
ist injektiv.
(iii)
ist surjektiv.
(Achtung: Für diese Aufgabe kann es hilfreich sein, die Begriffe Kern und Bild einer linearen Abbildung zu kennen. Unter Verwendung des Dimensionssatzes wird diese Aufgabe wesentlich einfacher. Wir geben hier als Lösungsvorschlag eine Version, die ohne den Dimensionssatz auskommt.)
Lösung (Isomorphiekriterien für Endomorphismen)
(i)
(ii) und (iii): Nach der Definition eines Isomorphismus ist
bijektiv, also injektiv und surjektiv. Daher gelten (ii) und (iii).
(ii)
(i): Sei nun
eine injektive Abbildung. Wir müssen noch zeigen, dass
auch surjektiv ist. Das Bild
von
ist ein Untervektorraum von
. Dies kann man durch Nachrechnen überprüfen. Wir definieren nun eine Abbildung, die das gleiche macht wie
, mit dem Unterschied, dass sie per Definition surjektiv sein wird. Wir schaffen dies durch die Konstruktion:
Die Surjektivität kommt daher, weil jedes Element
sich als
schreiben lässt, für ein
. Außerdem ist die Abbildung
injektiv und linear. Dies kommt daher, dass
bereits diese beiden Eigenschaften aufweist. Also sind
und
isomorph. Daher haben
und
diegleiche endliche Dimension. Da
ein Untervektorraum von
ist, gilt
. Dies kann man dadurch einsehen, dass man eine Basis in
wählt. Wähle also zum Beispiel eine solche Basis mit Vektoren
. Die
sind insbesondere linear unabhängig. Das ist ein Fakt der auch in
gilt, da ja
. Und da die
und
diegleiche Dimension haben, sind die
auch in
ein maximales System linear unabhängiger Vektoren. Also bilden
auch in
eine Basis. Die beiden Vektorräume
und
müssen nun gleich sein, denn alle Elemente aus ihnen sind
-Linearkombinationen gebildet mit den
. Damit haben wir gezeigt, dass
surjektiv ist.
(iii)
(i): Nehmen wir nun an
ist surjektiv. Wir müssen nun zeigen, dass
auch injektiv ist. Sei
der Kern der Abbildung
. Es handelt sich dabei um einen Untervektorraum von
, wovon man sich durch Nachrechnen überzeugt. Sei
eine Basis von
. Diese Basis kann man zu einer Basis von
ergänzen. Dazu nehmen wir die Vektoren
hinzu. Wir werden nun zeigen, dass
linear unabhängig sind. Seien also Koeffizienten
gegeben, sodass
gilt. Wegen der Linearität von
folgern wir:
. Das bedeutet, dass die Linearkombination
im Kern von
liegt. Wir kennen aber bereits eine Basis von
. Daher gibt es Koeffizienten
, sodass
gilt. Wegen der linearen Unabhängigkeit von
folgt nun, dass
gilt. Daher sind die
linear unabhängig. Als nächstes werden wir zeigen, dass diese Vektoren auch eine Basis von
bilden. Dazu zeigen wir, dass jeder Vektor in
als Linearkombination der
geschrieben werden kann. Sei
. Wegen der Surjektivität von
gibt es ein
, mit
. Da die
eine Basis von
bilden, gibt es Koeffizienten
, sodass
gilt. Wenden wir nun
auf diese Gleichung an, so erhalten wir:
Hier haben wir gleich die Linearität von
benutzt. Da die ersten
Elemente unserer Basis im Kern liegen, verschwinden deren Bilder. Also erhalten wir eine gewünschte Darstellung von
:
Somit haben wir gezeigt, dass
ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von
bildet. Also formen diese Vektoren eine Basis von
. Wäre nun
nicht
, so wären zwei endliche Basen in
nicht gleich mächtig. Dies kann nicht sein. Daher ist
. Dies bedeutet, dass
der triviale Vektorraum ist. Daraus folgt, dass
injektiv ist.
Lösung (Abbildungsräume)
Wir wissen schon nach einem Satz, dass zwei endlichdimensionale Vektorräume genau dann isomorph sind, wenn sie die gleiche Dimension besitzen. Also müssen wir nur zeigen, dass
gilt.
Um das zu zeigen, brauchen wir zunächst eine Basis von
. Seien dafür
die Elemente der Menge
. Wir definieren
durch
Wir zeigen jetzt, dass die Funktionen
tatsächlich eine Basis von
bilden.
Beweisschritt:
sind linear unabhängig
Seien
mit
, diese Summe ist die Nullabbildung. Wir wenden diese Abbildung auf ein beliebiges
mit
an. So erhalten wir:
. Aus der Definition von
folgt, dass

.
Da
beliebig war und
für alle
gelten muss, folgt
. Wir haben also gezeigt, dass
linear unabhängig sind.
Beweisschritt:
erzeugen 
Sei
beliebig. Wir möchten nun
als Linearkombination von
schreiben. Dafür zeigen wir
, d.h.
ist eine Linearkombination von
mit Koeffizienten
.
Wir prüfen nun, dass
für alle
. Sei
beliebig. Mit der Definition der
erhalten wir:

.
Da die Gleichheit für alle
gilt, stimmen die Abbildungen in jedem Punkt überein und sind somit identisch. Wir haben also gezeigt, dass
den
erzeugen.
Damit haben wir bewiesen, dass
eine Basis von
ist. Da wir
Basiselemente von
haben, gilt
.
Aufgabe (Zuordnung von Abbildung und Bild)
Wir betrachten die folgenden vier Unterräume vom Vektorraum
, gegeben als Bilder der linearen Abbildungen
-
-
-
-
Ordne diese vier Unterräume den Unterräumen
auf den Abbildungen unten zu.
Lösung (Zuordnung von Abbildung und Bild)
Zuerst suchen wir das Bild von
:
Um
zu finden, können wir einen Satz von oben anwenden: Wenn
ein Erzeugendensystem von
ist, dann gilt
. Wir nehmen die Standardbasis
als Erzeugendensystem des
. Dann gilt
Wenden wir nun
auf die Standardbasis an.:
Die Vektoren
erzeugen das Bild von
. Außerdem sind sie linear unabhängig und damit eine Basis von
.
Deshalb ist
. Also
.
Als nächstes wollen wir das Bild von
finden. Es ist aber auch möglich, das Bild
direkt per Definition auszurechnen, was wir hier demonstrieren werden.
Also wird das Bild von
von dem Vektor
aufgespannt. Somit ist
.
Nun bestimmen wir das Bild von
z.B. mit der gleichen Methode wie bei
. Das bedeutet, wir wenden
auf die Standardbasis an.
Beide Vektoren sind linear abhängig. Also folgt
und somit
.
Als letztes bestimmen wir noch das Bild von
. Dazu gehen wir beispielsweise vor wie bei
.
Das Bild von
wird also vom Vektor
aufgespannt. Somit ist
die
-Achse, also
.
Aufgabe (Bild einer Matrix)
- Betrachte die Matrix
und die davon induzierte Abbildung
. Was ist das Bild
?
- Sei nun
eine beliebige Matrix über einem Körper
, wobei
die Spalten von
bezeichnen. Betrachte die davon induzierte Abbildung
. Zeige, dass
gilt. Das Bild einer Matrix ist also der Spann ihrer Spalten.
Lösung (Bild einer Matrix)
Lösung Teilaufgabe 2:
Beweisschritt: "
"
Sei
. Dann gibt es
mit
. Wir können
schreiben als
. Setzen wir das in die Gleichung
ein, erhalten wir
Da
, folgt
.
Beweisschritt: "
"
Wie kommt man auf den Beweis? (Surjektivität und Dimension von
und
)
Wir wollen die Dimensionen von
und
gegeneinander abschätzen. Die Dimension ist über die Kardinalität einer Basis definiert. Das heißt, wenn
eine Basis von
und
eine Basis von
ist, müssen wir zeigen, dass
genau dann gilt, wenn eine surjektive lineare Abbildung existiert. "Genau dann wenn" bedeutet, dass zwei Richtungen zu zeigen sind.
Wenn wir eine surjektive lineare Abbildung
haben, müssen wir zeigen, dass die Dimension von
mindestens
ist. Nun sind Basen maximal linear unabhängige Teilmengen. Das heißt, um die Dimension nach unten abzuschätzen müssen wir eine linear unabhängige Teilmenge mit
Elemente konstruieren. Im Bild haben wir bereits eine
-elementige, linear unabhängige Teilmenge gegeben: die Basis
. Weil
surjektiv ist, können wir diese zu Vektoren
mit
liften. Nun müssen wir überprüfen, dass
in
linear unabhängig sind. Dies sehen wir, indem wir eine Linearkombination
mit
in eine Linearkombination
überführen und die lineare Unabhängigkeit von
ausnutzen.
Wenn umgekehrt
gilt, müssen wir eine surjektive lineare Abbildung
konstruieren. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung können wir die lineare Abbildung
konstruieren, indem wir angeben, was
auf einer Basis von
macht. Dafür brauchen wir Elemente von
, auf die wir
schicken können. Wir haben oben schon eine Basis von
gewählt. Daher bietet es sich an,
wie folgt zu definieren:
Dann wird das Bild von
durch die Vektoren
aufgespannt. Diese Vektoren spannen jedoch auch ganz
auf und somit ist
surjektiv.
Lösung (Surjektivität und Dimension von
und
)
Beweisschritt: "
"
Angenommen, es gebe eine geeignete surjektive Abbildung
. Wir zeigen, dass die Dimension von
nicht größer sein kann als die Dimension von
(das gilt für jede lineare Abbildung). Wegen der Surjektivität von
folgt, dass
.
Seien also
linear unabhängig. Es gibt
mit
für
. Wir zeigen, dass
ebenfalls linear unabhängig sind: Seien
mit
. Dann gilt auch
woraus wegen der linearen Unabhängigkeit der
folgt, dass
. Also sind auch
linear unabhängig. Insgesamt haben wir also gezeigt:
Insbesondere gilt, dass eine Basis von
(eine maximale linear unabhängige Teilmenge von
) mindestens so viele Elemente enthalten muss wie eine Basis von
, also
.
Beweisschritt: "
"
Es gelte umgekehrt
. Wir benutzen, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren schon eindeutig bestimmt ist. Sei
eine Basis von
und
eine Basis von
. Definiere die gesuchte surjektive lineare Abbildung
durch
Das geht, da nach Annahme
gilt. Die so konstruierte Abbildung ist surjektiv, da per Konstruktion
gilt. Da das Bild von
ein Unterraum von
ist, liegt auch der von diesen Vektoren erzeugte Unterraum, also
, im Bild von
. Dementsprechend gilt
und
ist surjektiv.
Aufgabe
Sei die lineare Abbildung
gegeben. Bestimme den Kern von
.
Lösung
Wir suchen die Vektoren
, für die
gilt. Sei dafür
ein beliebiger Vektor in
für den
gilt. Wir untersuchen nun, welche Eigenschaften dieser Vektor hat. Es gilt
Also ist
und
. Daraus können wir schließen, dass
gelten muss. Mit anderen Worten erfüllt jeder Vektor
im Kern von
die Bedingung
.
Nehmen wir jetzt einen Vektor
mit
. Dann gilt
Wir sehen
. Insgesamt gilt
Verständnisfrage: Kannst du dir
in der Ebene veranschaulichen? Wie sieht das Bild von
aus? Wie verhalten sie sich zueinander?
Wir haben schon gesehen, dass
Nun bestimmen wir das Bild von
, indem wir
auf die Standardbasis anwenden.
Also gilt
.
Wir sehen, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind. Das heißt, wir können das Bild mit nur einem Vektor erzeugen:
.
Bild und Kern von f gemeinsam
In unserem Beispiel sind Bild und Kern der Abbildung
Geraden durch den Ursprung. Die beiden Geraden schneiden sich nur in der Null und spannen zusammen den ganzen
auf.
Lösung
Beweisschritt:
nilpotent 
Beweisschritt: Die umgekehrte Implikation
Die umgekehrte Implikation gilt nicht. Es gibt Abbildungen, die weder injektiv noch nilpotent sind. Zum Beispiel können wir
definieren. Diese Abbildung ist nicht injektiv, denn es gilt
. Sie ist aber auch nicht nilpotent, denn es ist
für alle
.
Wie kommt man auf den Beweis? (Injektivität und Dimension von
und
)
Um die Äquivalenz zu beweisen, müssen wir zwei Implikationen zeigen. Für die Hinrichtung benutzen wir, dass jeder Monomorphismus
lineare Unabhängigkeit erhält: Ist