Eigenschaften Linearer Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Es werden einige Eigenschaften linearer Abbildungen zwischen Vektorräumen betrachtet.

Zusammenfassung[Bearbeiten]

Eine lineare Abbildung bzw. ein Vektorraumhomomorphismus erhält die Struktur des Vektorraums beim Abbilden. Dies zeigt sich in folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung :

  • Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet:
  • Inverse werden auf Inverse abgebildet:
  • Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
  • Kompositionen linearer Abbildungen sind linear
  • Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume
  • Das Bild eines Spanns ist der Spann der einzelnen Bildvektoren: ( ist eine beliebige Menge von Vektoren)

Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet[Bearbeiten]

Da der Ursprung in unserer Anschauung von Vektorräumen eine zentrale Bedeutung hat, wäre dies eine erhaltenswerte Struktur. Was wir anschaulich mit dem Ursprung bezeichnen ist formal das neutrale Element der Addition. Uns reicht es also, wenn wir den folgenden Satz zeigen.

Satz (Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet)

Jede lineare Abbildung bildet das neutrale Element auf das neutrale Element ab. Formal bedeutet das .

Wie kommt man auf den Beweis? (Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet)

Wir beginnen zunächst mit dem Vektor , der das neutrale Element der Addition des Vektorraumes ist. Er ändert also den Vektor, zu dem er addiert wird, nicht. Deshalb gilt insbesondere .

Des Weiteren benötigen wir die Additionseigenschaft einer linearen Abbildung (diese kannst du auch hier nochmal nachlesen).

Mit diesen Voraussetzungen können wir nun Schritt für Schritt den obigen Satz zeigen.

Beweis (Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet)

Es ist

Wir haben also

Nun addieren wir zu beiden Seiten:

Somit gilt .

Inverse werden auf Inverse abgebildet[Bearbeiten]

Eine weitere wichtige Struktur des Vektorraums ist, dass es zu jedem Element ein Inverses gibt. Wir wollen nun zeigen, dass diese durch lineare Abbildungen konsistent abgebildet werden.

Satz (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Jede lineare Abbildung bildet das Inverse eines Elements auf das Inverse des Bildes von dem Element ab. Formal bedeutet das, dass für alle in gilt, dass .

Wie kommt man auf den Beweis? (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Wir wissen bereits, dass im Vektorraum das Inverse eines beliebigen Vektors durch gegeben ist. Deshalb wenden wir nun zunächst die lineare Abbildung auf diese beiden Vektoren an. Anschließend zeigen wir noch, dass dann im Vektorraum der Vektor der inverse Vektor zu ist. Dies zeigen wir erneut, indem wir die Eigenschaften einer linearen Abbildung zu Nutze machen und den vorherigen Satz anwenden.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Es soll rüberkommen, dass wir zeigen müssen, dass f(-v) die Eigenschaft des Inversen zu f(v) erfüllt, also dass f(-v) + f(v) = 0 ist.

Beweis (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Unser Ziel ist es zu zeigen, dass gilt. Beginnen wir mit einer Annahme, von der wir wissen, dass sie wahr ist: .

Die Addition von einem Element mit seinem Inversen ergibt immer . Also gilt auf jeden Fall, und wir wollen nun zeigen, dass auch gilt. Da wir mit Abbildungen arbeiten, sollten wir ihre Eigenschaften nutzen. Wir können es mit der Additivität ausprobieren.

Sei wieder ein beliebiges Element des Vektorraums . Es gilt

Wir sehen also, dass gilt und daraus folgt, dass das additive Inverse zu bezüglich ist.

Jetzt können wir setzen. Es gilt also .

Alternativer Beweis (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Sei ein beliebiges Element des Vektorraums .

Somit gilt nun .

Wir haben hier benutzt, dass für und für alle . Dieser Zusammenhang gilt in jedem Vektorraum. Den Beweis findest du hier.

Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet[Bearbeiten]

Lineare Abbildungen erhalten die Struktur einer Linearkombination und bilden damit Linearkombinationen im Definitionsbereich auf Ihre korrespondierenden Linearkombinationen im Wertebereich ab:

Satz

Eine Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele aus und aus gilt:

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir wollen zeigen, dass und gilt eine lineare Abbildung ist.

Wir wissen aus der Definition der linearen Abbildung, dass für diese die Eigenschaften der Additivität und Homogenität gelten, welche wir uns zu Nutze machen.

Für die Richtung von links nach rechts des Beweises wählen wir 2 Linearkombinationen so, dass wir durch einsetzen in die obige Formel die zwei Eigenschaften erhalten.

Für die Rückrichtung wissen wir, dass eine lineare Abbildung ist. Wir können durch die vollständigen Induktion zeigen, dass obige Formel für alle Elemente gilt, wobei uns die Homogenität dabei helfen wird.

Beweis

Beweisschritt: ist eine lineare Abbildung.

Die beiden Terme und sind zwei Linearkombinationen. Wenn wir diese in die Formel einsetzen, so erhalten wir

Damit erfüllt die Definition einer linearen Abbildung.

Beweisschritt: ist eine lineare Abbildung .

Sei eine lineare Abbildung. Wir beweisen die Gleichung mit vollständiger Induktion über :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:

1. Induktionsanfang:

Wir fangen die Induktion bei an und stellen fest, dass hierfür die Eigenschaft der Homogenität ausreicht:

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

2b. Induktionsbehauptung:

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Seien und . Dann

Kompositionen linearer Abbildungen sind linear[Bearbeiten]

Nehmen wir zwei lineare Abbildungen und . Beide vetragen sich mit der Vektorraumstruktur und erhalten Linearkombinationen. Dann sollte dies insbesondere auch für die Hintereinanderausführung beider Abbildungen mit gelten. Dies beweist der folgende Satz

Satz (Komposition linearer Abbildungen)

Seien und zwei lineare Abbildungen zwischen den -Vektorräumen , und . Dann ist auch die Komposition dieser beiden Abbildungen mit eine lineare Abbildung.

Wie kommt man auf den Beweis? (Komposition linearer Abbildungen)

Wir wissen, dass die Komposition von zwei Abbildungen wieder eine Abbildung ist. Wir müssen also nur zeigen, dass auch linear ist. Das machen wir indem wir nachweisen, dass die Additivität für und die Homogenität für erfüllt sind. Dafür nutzen wir die Additivität und Homogenität der einzelnen Abbildungen und aus.

Beweis (Komposition linearer Abbildungen)

Sei zunächst zwei beliebige Vektoren. Es ist

Zum Beweis der Homogenität betrachten wir ein beliebiges und ein beliebiges :

Untervektorräume werden auf Untervektorräume abgebildet[Bearbeiten]

Dass lineare Abbildungen die Vektorraumstruktur erhalten, kann man auch an folgender Eigenschaft sehen: Die Bilder von Untervektorräumen einer linearen Abbildung sind wieder Untervektorräume.

Satz (Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume bei linearen Abbildungen)

Sei eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen und . Dann ist das Bild jedes Untervektorraums ein Untervektorraum in .

Beweis (Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume bei linearen Abbildungen)

Sei ein Untervektorraum von . Das Bild ist die Menge aller Funktionswerte von Argumenten aus und damit eine Teilmenge des Wertebereichs . Um zu zeigen, dass ein Untervektorraum ist, müssen folgende Kriterien gezeigt werden:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und für alle gilt .

Beweisschritt:

Mit gibt es in mindestens ein Element und damit ist .

Beweisschritt: Für alle gilt

Nehmen wir zwei beliebige Vektoren . Weil diese Vektoren im Bild liegen, gibt es mindestens zwei Vektoren mit und . Nun ist

Damit ist das Bild von (Der Vektor wird auf abgebildet) und damit liegt es auch in .

Beweisschritt: Für alle und für alle gilt

Sei und . Weil im Bild von liegt, gibt es ein mit . Nun ist

Damit ist das Bild von (Der Vektor wird auf abgebildet) und damit liegt es auch in .

Hinweis

Obiger Satz beweist auch, dass das Bild einer linearen Abbildung stets ein Vektorraum ist. Dies ergibt sich daraus, dass der Vektorraum auch ein Untervektorraum von sich selbst ist. Nach dem obigen Satz ist damit ein Untervektorraum von .


Spanne werden auf Spanne abgebildet[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Einführender Text

Satz (Spann vom Bild ist Bild vom Spann)

Sei eine beliebige Teilmenge (nicht zwingend ein Untervektorraum!)

Beweis (Spann vom Bild ist Bild vom Spann)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beweis ausformulieren, evtl. kann man den Beweis mehr oder weniger kopieren aus dem Artikel zum Prinzip der linearen Fortsetzung