Eigenschaften Linearer Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir betrachten einige Eigenschaften linearer Abbildungen zwischen Vektorräumen.

Zusammenfassung[Bearbeiten]

Eine lineare Abbildung bzw. ein Vektorraumhomomorphismus erhält die Struktur des Vektorraums beim Abbilden. Dies zeigt sich in folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung :

  • Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet:
  • Inverse werden auf Inverse abgebildet:
  • Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
  • Kompositionen linearer Abbildungen sind linear
  • Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume
  • Das Bild eines Spanns ist der Spann der einzelnen Bildvektoren: ( ist eine beliebige Menge)

Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet[Bearbeiten]

Der Ursprung hat in unserer Anschauung von Vektorräumen eine zentrale Bedeutung. Deshalb sollte der Ursprung durch eine lineare Abbildung auf den Ursprung geschickt werden. Was wir anschaulich mit dem Ursprung bezeichnen, ist formal das neutrale Element der Addition. Wir zeigen also folgenden Satz:

Satz (Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet)

Jede lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen bildet das neutrale Element von auf das neutrale Element in ab. Formal bedeutet das .

Wie kommt man auf den Beweis? (Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet)

Wir beginnen zunächst mit dem Vektor , der das neutrale Element der Addition des Vektorraumes ist. Er ändert also den Vektor, zu dem er addiert wird, nicht. Deshalb gilt insbesondere .

Wir benötigen die Additivität einer linearen Abbildung. Damit folgt .

Verwenden wir diese beiden Eigenschaften, erhalten wir . Diese Gleichung wird nur von erfüllt. Wir können auf beiden Seiten abziehen und bekommen .

Beweis (Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet)

Es ist

Wir haben also

Nun addieren wir zu beiden Seiten:

Somit gilt .

Inverse werden auf Inverse abgebildet[Bearbeiten]

Eine weitere wichtige Struktur des Vektorraums ist, dass es zu jedem Element ein additives Inverses gibt. Wir wollen nun zeigen, dass Inverse durch lineare Abbildungen erhalten bleiben.

Satz (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Jede lineare Abbildung bildet das Inverse eines Elements auf das Inverse des Bildes von dem Element ab. Formal bedeutet das, dass für alle in gilt .

Wie kommt man auf den Beweis? (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Es ist unser Ziel ist zu zeigen, dass . Wir wissen bereits, dass im Vektorraum das Inverse eines beliebigen Vektors durch gegeben ist. Genauso gilt für einen beliebigen Vektor , dass . Damit vereinfacht sich die Aussage, die wir zeigen sollen, zu .

Wir können den Ausdruck mit Hilfe der Homogenität der linearen Abbildung in den Ausdruck umformen.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Es soll rüberkommen, dass wir zeigen müssen, dass f(-v) die Eigenschaft des Inversen zu f(v) erfüllt, also dass f(-v) + f(v) = 0 ist.

Beweis (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Sei ein beliebiges Element des Vektorraums .

Somit gilt nun .

Wir haben hier benutzt, dass für und für alle . Dieser Zusammenhang gilt in jedem Vektorraum. Den Beweis findest du hier.

Beachte, dass die Aussage des Satzes auch allgemeiner in (abelschen) Gruppen gilt. Dort existiert allerdings keine Skalarmultiplikation und es muss in diesem Fall die alternative Version des Beweises benutzt werden.

Alternativer Beweis (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Sei wieder ein beliebiges Element des Vektorraums . Unser Ziel ist es zu zeigen, dass gilt. Beginnen wir mit einer Aussage, von der wir wissen, dass sie wahr ist: .

Die Addition von einem Element mit seinem Inversen ergibt immer . Also gilt auf jeden Fall, und wir wollen nun zeigen, dass auch gilt. Da wir mit Abbildungen arbeiten, sollten wir ihre Eigenschaften nutzen. Wir können es mit der Additivität ausprobieren.

Es gilt

Wir sehen damit, dass gilt. Daraus folgt, dass das additive Inverse zu bezüglich ist. Es gilt also .

Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet[Bearbeiten]

Lineare Abbildungen erhalten die Struktur einer Linearkombination und bilden damit Linearkombinationen im Definitionsbereich auf Ihre korrespondierenden Linearkombinationen im Wertebereich ab:

Satz

Eine Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele aus und aus gilt:

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir wollen zeigen, dass für alle und gilt: ist eine lineare Abbildung.

Wir wissen aus der Definition der linearen Abbildung, dass für diese die Eigenschaften der Additivität und Homogenität gelten, welche wir uns zu Nutze machen.

Für die Richtung von links nach rechts des Beweises wählen wir 2 Linearkombinationen so, dass wir durch einsetzen in die obige Formel die zwei Eigenschaften erhalten.

Für die Rückrichtung wissen wir, dass eine lineare Abbildung ist. Wir können durch vollständige Induktion zeigen, dass obige Formel für alle Elemente gilt, wobei uns die Homogenität dabei helfen wird.

Beweis

Beweisschritt: ist eine lineare Abbildung.

Die beiden Terme und sind zwei Linearkombinationen. Wenn wir diese in die Formel einsetzen, so erhalten wir

Damit erfüllt die Definition einer linearen Abbildung.

Beweisschritt: ist eine lineare Abbildung .

Sei eine lineare Abbildung. Wir beweisen die Gleichung mit vollständiger Induktion über :

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:

1. Induktionsanfang:

Wir fangen die Induktion bei an und stellen fest, dass hierfür die Eigenschaft der Homogenität ausreicht:

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

2b. Induktionsbehauptung:

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Seien und . Dann

Kompositionen linearer Abbildungen sind linear[Bearbeiten]

Nehmen wir zwei lineare Abbildungen und . Beide vertragen sich mit der Vektorraumstruktur und erhalten Linearkombinationen. Dann sollte dies insbesondere auch für die Hintereinanderausführung beider Abbildungen mit gelten. Dies beweist der folgende Satz:

Satz (Komposition linearer Abbildungen)

Seien und zwei lineare Abbildungen zwischen den -Vektorräumen , und . Dann ist auch die Komposition dieser beiden Abbildungen mit für eine lineare Abbildung.

Wie kommt man auf den Beweis? (Komposition linearer Abbildungen)

Wir wissen, dass die Komposition von zwei Abbildungen wieder eine Abbildung ist. Wir müssen also nur zeigen, dass linear ist. Dafür müssen wir nachweisen, dass die Additivität und Homogenität erfüllt, d.h.

  • Für alle gilt und
  • Für alle und gilt .

Um das nachzuweisen, nutzen wir die Additivität und Homogenität der einzelnen Abbildungen und aus.

Beweis (Komposition linearer Abbildungen)

Seien zunächst zwei beliebige Vektoren. Es ist

Zum Beweis der Homogenität wählen wir ein beliebiges und ein beliebiges :

Untervektorräume werden auf Untervektorräume abgebildet[Bearbeiten]

Dass lineare Abbildungen die Vektorraumstruktur erhalten, kann man auch an folgender Eigenschaft sehen: Die Bilder von Untervektorräumen einer linearen Abbildung sind wieder Untervektorräume.

Satz (Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume bei linearen Abbildungen)

Sei eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen und . Dann ist das Bild jedes Untervektorraums ein Untervektorraum in .

Beweis (Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume bei linearen Abbildungen)

Sei ein Untervektorraum von . Das Bild ist die Menge aller Funktionswerte von Argumenten aus und damit eine Teilmenge des Wertebereichs . Um zu zeigen, dass ein Untervektorraum ist, müssen folgende Kriterien gezeigt werden:

  1. Für alle gilt .
  2. Für alle und für alle gilt .

Beweisschritt:

Mit gibt es in mindestens ein Element und damit ist .

Beweisschritt: Für alle gilt

Nehmen wir zwei beliebige Vektoren . Weil diese Vektoren im Bild liegen, gibt es mindestens zwei Vektoren mit und . Nun ist

Damit ist das Bild von (Der Vektor wird auf abgebildet) und damit liegt es auch in .

Beweisschritt: Für alle und für alle gilt

Sei und . Weil im Bild von liegt, gibt es ein mit . Nun ist

Damit ist das Bild von (Der Vektor wird auf abgebildet) und damit liegt es auch in .

Hinweis

Obiger Satz beweist auch, dass das Bild einer linearen Abbildung stets ein Vektorraum ist. Dies ergibt sich daraus, dass der Vektorraum auch ein Untervektorraum von sich selbst ist. Nach dem obigen Satz ist damit ein Untervektorraum von .


Spanne werden auf Spanne abgebildet[Bearbeiten]

Nehmen wir nun an, wir haben eine Teilmenge . Für diese Teilmenge gilt nun, dass es egal ist, ob wir zunächst den Spann berechnen und anschließend die Abbildung anwenden oder umgekehrt.

Dass dem wirklich so ist, zeigen wir mit dem folgenden Satz:

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Einführender Text

Satz (Spann vom Bild ist Bild vom Spann)

Sei eine beliebige Teilmenge (nicht zwingend ein Untervektorraum!) des Vektorraumes , dann gilt für den Spann von :

Wie kommt man auf den Beweis? (Spann vom Bild ist Bild vom Spann)

Da wir die Gleichheit zweier Mengen zeigen wollen, müssen wir zeigen, dass die Mengen jeweils ineinander enthalten sind. Wenn wir dies gezeigt haben, so folgt die Gleichheit beider Mengen.

Um zu zeigen, dass , wählen wir zuerst einen beliebigen Vektor . Weil dieser im Spann liegt, lässt er sich als Linearkombination von Elementen aus der Menge schreiben:

wobei .

Wir wenden danach die lineare Abbildung sowohl auf als auch auf die Linearkombination der Elemente aus an. Dies ergibt folgenden Ausdruck:

Anschließend formen wir unter Verwendung der Eigenschaften von linearen Abbildungen den Ausdruck so um. Dann erhalten wir einen Ausdruck der folgenden Form:

Da die rechte Seite in enthalten ist, gilt .

Um danach zu zeigen, dass gilt, gehen wir ähnlich vor. Nun müssen wir zeigen, dass für ein beliebiges ein Vektor existiert mit . Wir wissen

wobei . Wie können den Ausdruck mit Hilfe der Linearität von umformen zu:

Die rechte Seite ist aber in und damit gilt das gleiche für .

Beweis (Spann vom Bild ist Bild vom Spann)

Beweisschritt:

Wir nehmen zunächst einen beliebigen Vektor , für den gilt: .

Da wir wissen, dass der Vektor im Spann von liegt, gibt es Koeffizienten und Vektoren , sodass gilt:

Wenden wir nun unsere lineare Abbildung auf diesen Ausdruck an, so erhalten wir:

Die rechte Seite dieses Ausdrucks formen wir nun unter Verwendung der Eigenschaften von linearen Abbildungen weiter um:

Auf der rechten Seite steht nun .

Wir haben also gezeigt, dass und damit .

Beweisschritt:

Wir wählen wieder einen beliebigen Vektor aus. Da dieser im Spann der Abbildung liegt, können wir ihn schreiben als:

Wir können nun analog zum vorherigen Beweisschritt mit dem Umformen des Ausdrucks beginnen:

Auf der rechten Seite steht nun ein Vektor in . Wir haben damit gezeigt, dass gilt.

Zudem haben wir jetzt die Gleichheit der Mengen und gezeigt. Dies liegt daran, dass die Mengen ineinander enthalten sind.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beweis ausformulieren, evtl. kann man den Beweis mehr oder weniger kopieren aus dem Artikel zum Prinzip der linearen Fortsetzung