Eigenschaften Linearer Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir betrachten einige Eigenschaften linearer Abbildungen zwischen Vektorräumen.

Zusammenfassung

Eine lineare Abbildung bzw. ein Vektorraumhomomorphismus erhält die Struktur des Vektorraums beim Abbilden. Dies zeigt sich in folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung $f:V\to W$:

• Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet: $f(0)=0$
• Inverse werden auf Inverse abgebildet: $f(-v)=-f(v)$
• Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
• Kompositionen linearer Abbildungen sind linear
• Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume
• Urbilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume
• Das Bild eines Spanns ist der Spann der einzelnen Bildvektoren: $f(\operatorname {span} (M))=\operatorname {span} (f(M))$ ($M\subseteq V$ ist eine beliebige Menge)

Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet

Der Ursprung hat in unserer Anschauung von Vektorräumen eine zentrale Bedeutung. Deshalb sollte der Ursprung durch eine lineare Abbildung auf den Ursprung geschickt werden. Was wir anschaulich mit dem Ursprung bezeichnen, ist formal das neutrale Element $0$ der Addition. Wir zeigen also folgenden Satz:

Satz (Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet)

Jede lineare Abbildung $f:V\to W$ zwischen zwei $K$-Vektorräumen bildet das neutrale Element von $V$ auf das neutrale Element in $W$ ab. Formal bedeutet das $f(0_{V})=0_{W}$.

Wie kommt man auf den Beweis? (Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet)

Wir beginnen zunächst mit dem Vektor $0_{V}$, der das neutrale Element der Addition des Vektorraumes $V$ ist. Er ändert also den Vektor, zu dem er addiert wird, nicht. Deshalb gilt insbesondere $0_{V}+_{V}0_{V}=0_{V}$.

Wir benötigen die Additivität einer linearen Abbildung. Damit folgt $f(0_{V}+0_{V})=f(0_{V})+f(0_{V})$.

Verwenden wir diese beiden Eigenschaften, erhalten wir $f(0_{V})=f(0_{V})+f(0_{V})$. Diese Gleichung wird nur von $0_{W}$ erfüllt. Wir können auf beiden Seiten $f(0_{V})$ abziehen und bekommen $f(0_{V})=0_{W}$.

Beweis (Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet)

Es ist

${\begin{aligned}&f(0_{V})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 0_{V}=0_{V}+_{{}_{V}}0_{V}\right.}\\[0.3em]=&f(0_{V}+_{{}_{V}}0_{V})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f(0_{V})+_{{}_{W}}f(0_{V}).\\[0.3em]\end{aligned}}$

Wir haben also

$f(0_{V})=f(0_{V})+_{{}_{W}}f(0_{V}).$

Nun addieren wir $-f(0_{V})$ zu beiden Seiten:

${\begin{aligned}0_{W}=&f(0_{V})+_{{}_{W}}(-f(0_{V}))\\[0.3em]=&f(0_{V})+_{{}_{W}}f(0_{V})+_{{}_{W}}(-f(0_{V}))\\[0.3em]=&f(0_{V})+_{{}_{W}}0_{W}\\[0.3em]=&f(0_{V}).\end{aligned}}$

Somit gilt $0_{W}=f(0_{V})$.

Inverse werden auf Inverse abgebildet

Eine weitere wichtige Struktur des Vektorraums ist, dass es zu jedem Element ein additives Inverses gibt. Wir wollen nun zeigen, dass Inverse durch lineare Abbildungen erhalten bleiben.

Satz (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Jede lineare Abbildung bildet das Inverse eines Elements auf das Inverse des Bildes von dem Element ab. Formal bedeutet das, dass für alle $v$ in $V$ gilt $f(-v)=-f(v)$.

Wie kommt man auf den Beweis? (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Es ist unser Ziel ist zu zeigen, dass $f(-v)=-f(v)$. Wir wissen bereits, dass im Vektorraum $V$ das Inverse eines beliebigen Vektors $v$ durch $(-1)\cdot _{{}_{V}}v$ gegeben ist. Genauso gilt für einen beliebigen Vektor $w\in W$, dass $-w=(-1)\cdot _{{}_{W}}w$. Damit vereinfacht sich die Aussage, die wir zeigen sollen, zu $f((-1)\cdot _{{}_{V}}v)=(-1)\cdot _{{}_{W}}f(v)$.

Wir können den Ausdruck $f((-1)\cdot _{{}_{V}}v)$ mit Hilfe der Homogenität der linearen Abbildung $f$ in den Ausdruck $(-1)\cdot _{{}_{W}}f(v)$ umformen.

Beweis (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Sei $v$ ein beliebiges Element des Vektorraums $V$.

${\begin{aligned}&f(-v)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ -v=(-1)\cdot _{{}_{V}}v\right.}\\[0.3em]=&f((-1)\cdot _{{}_{V}}v)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}f\right.}\\[0.3em]=&(-1)\cdot _{{}_{W}}f(v)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ (-1)\cdot _{{}_{W}}f(v)=-f(v)\right.}\\[0.3em]=&-f(v)\end{aligned}}$

Somit gilt nun $f(-v)=-f(v)$.

Wir haben hier benutzt, dass $-v=(-1)\cdot _{{}_{V}}v$ für $v\in V$ und $-w=(-1)\cdot _{{}_{W}}w$ für alle $w\in W$. Dieser Zusammenhang gilt in jedem Vektorraum. Den Beweis findest du hier.

Alternativer Beweis (Inverses wird auf Inverses abgebildet)

Sei $v$ wieder ein beliebiges Element des Vektorraums $V$. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass $-f(v)=f(-v)$ gilt. Beginnen wir mit einer Aussage, von der wir wissen, dass sie wahr ist: $f(v)+(-f(v))=0_{V}$.

Die Addition von einem Element mit seinem Inversen ergibt immer $0$. Also gilt $f(v)+(-f(v))=0_{V}$ auf jeden Fall, und wir wollen nun zeigen, dass auch $f(v)+f(-v)=0_{W}$ gilt. Da wir mit Abbildungen arbeiten, sollten wir ihre Eigenschaften nutzen. Wir können es mit der Additivität ausprobieren.

Es gilt

${\begin{aligned}&f(v)+_{{}_{W}}f(-v)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f(v+_{{}_{V}}(-v))\\[0.3em]=&f(0_{V})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{vorheriger Satz}}\right.}\\[0.3em]=&0_{W}\end{aligned}}$

Wir sehen damit, dass $f(v)+_{{}_{W}}f(-v)=0_{W}$ gilt. Daraus folgt, dass $f(-v)$ das additive Inverse zu $f(v)$ bezüglich $+_{{}_{W}}$ ist. Es gilt also $f(-v)=-f(v)$.

Die Aussage dieses Satzes gilt auch allgemeiner in abelschen Gruppen. Dort existiert allerdings keine Skalarmultiplikation. Daher muss in diesem Fall die alternative Version des Beweises benutzt werden.

Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet

Lineare Abbildungen erhalten die Struktur einer Linearkombination und bilden damit Linearkombinationen im Definitionsbereich auf Ihre korrespondierenden Linearkombinationen im Wertebereich ab:

Satz (Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet)

Eine Abbildung $f:V\to W$ zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele $v_{1},\dots ,v_{n}\in V$ und $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K$ gilt:

$f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)$

Wie kommt man auf den Beweis? (Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet)

Wir wollen zeigen, dass für alle $v_{i}\in V$ und $\lambda _{i}\in K$ gilt: $f{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{V}v_{i}{\bigg )}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{W}f(v_{i})\iff f$ ist eine lineare Abbildung.

Wir wissen aus der Definition der linearen Abbildung, dass für diese die Eigenschaften der Additivität und Homogenität gelten, welche wir uns zu Nutze machen.

Für die Richtung von links nach rechts des Beweises wählen wir 2 Linearkombinationen so, dass wir durch Einsetzen in die obige Formel die zwei Eigenschaften erhalten.

Für die Rückrichtung wissen wir, dass $f$ eine lineare Abbildung ist. Wir können durch vollständige Induktion zeigen, dass obige Formel für alle Elemente gilt. Dabei reduzieren wir die Linearkombination auf einzelne Additionen und Skalarmultiplikationen, auf die wir die Additivität und Homogenität anwenden können.

Beweis (Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet)

Beweisschritt: $\left(\forall v_{1},\dots ,v_{n}\in V\,\forall \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K:\,f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)\right)\implies f$ ist eine lineare Abbildung.

Seien $v,v_{1},v_{2}\in V$ und $\lambda \in K$. Die beiden Terme $v_{1}+v_{2}$ und $\lambda \cdot v$ sind zwei Linearkombinationen in $V$. Wenn wir diese in die Formel ${\textstyle f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)}$ einsetzen, so erhalten wir

${\begin{aligned}f(v_{1}+v_{2})&=f(v_{1})+f(v_{2})\\[0.5em]f(\lambda \cdot v)&=\lambda \cdot f(v)\end{aligned}}$

Damit erfüllt $f$ die Definition einer linearen Abbildung.

Beweisschritt: $f$ ist eine lineare Abbildung $\implies \left(\forall v_{1},\dots ,v_{n}\in V\,\forall \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K:\,f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)\right)$.

Sei $f$ eine lineare Abbildung. Wir beweisen die Gleichung mit vollständiger Induktion über $n$:

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N}$ bewiesen werden soll:

$\forall v_{1},\dots ,v_{n}\in V\,\forall \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K:\,f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)$

1. Induktionsanfang:

Wir fangen die Induktion bei $n=1$ an und stellen fest, dass hierfür die Eigenschaft der Homogenität ausreicht:

${\begin{aligned}&f\left(\lambda _{1}\cdot _{{}_{V}}v_{1}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}f\right.}\\[0.3em]=&\lambda _{1}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{1}\right)\end{aligned}}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\forall v_{1},\dots ,v_{n}\in V\,\forall \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K:\,f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)$

2b. Induktionsbehauptung:

$\forall v_{1},\dots ,v_{n},v_{n+1}\in V\,\forall \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},\lambda _{n+1}\in K:\,f\left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Seien $v_{1},\dots ,v_{n+1}\in V$ und $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n+1}\in K$. Dann

${\begin{aligned}&f\left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Summe aufteilen}}\right.}\\[0.3em]=&f\left(\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)+_{{}_{V}}\left(\lambda _{n+1}\cdot _{{}_{V}}v_{n+1}\right)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)+_{{}_{W}}f\left(\lambda _{n+1}\cdot _{{}_{V}}v_{n+1}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)+_{{}_{W}}\left(\lambda _{n+1}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{n+1}\right)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsannahme}}\right.}\\[0.3em]=&\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)\right)+_{{}_{W}}\left(\lambda _{n+1}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{n+1}\right)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Summe zusammenfassen}}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)\end{aligned}}$

Kompositionen linearer Abbildungen sind linear

Nehmen wir zwei lineare Abbildungen $f:V_{1}\to V_{2}$ und $g:V_{2}\to V_{3}$. Beide vertragen sich mit der Vektorraumstruktur und erhalten Linearkombinationen. Dann sollte dies insbesondere auch für die Hintereinanderausführung beider Abbildungen $g\circ f:V_{1}\to V_{3}$ mit $(g\circ f)(v)=g(f(v))$ gelten. Dies beweist der folgende Satz:

Satz (Komposition linearer Abbildungen)

Seien $f:V_{1}\to V_{2}$ und $g:V_{2}\to V_{3}$ zwei lineare Abbildungen zwischen den $K$-Vektorräumen $V_{1}$, $V_{2}$ und $V_{3}$. Dann ist auch die Komposition $g\circ f:V_{1}\to V_{3}$ dieser beiden Abbildungen mit $(g\circ f)(v)=g(f(v))$ für $v\in V_{1}$ eine lineare Abbildung.

Wie kommt man auf den Beweis? (Komposition linearer Abbildungen)

Wir wissen, dass die Komposition von zwei Abbildungen wieder eine Abbildung ist. Wir müssen also nur zeigen, dass $g\circ f$ linear ist. Dafür müssen wir nachweisen, dass $(g\circ f)$ die Additivität und Homogenität erfüllt, d.h.

• Für alle $v_{1},\,v_{2}\in V_{1}$ gilt $(g\circ f)(v_{1}+v_{2})=(g\circ f)(v_{1})+(g\circ f)(v_{2})$ und
• Für alle $\lambda \in K$ und $v\in V$ gilt $(g\circ f)(\lambda \cdot v)$.

Um das nachzuweisen, nutzen wir die Additivität und Homogenität der einzelnen Abbildungen $f$ und $g$ aus.

Beweis (Komposition linearer Abbildungen)

Seien zunächst $v_{1},v_{2}\in V_{1}$ zwei beliebige Vektoren. Es ist

${\begin{aligned}&(g\circ f)(v_{1}+v_{2})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\circ f\right.}\\[0.3em]=&g(f(v_{1}+v_{2}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}f\right.}\\[0.3em]=&g(f(v_{1})+(v_{2}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}g\right.}\\[0.3em]=&g(f(v_{1}))+g(f(v_{2}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\circ f\right.}\\[0.3em]&(g\circ f)(v_{1})+(g\circ f)(v_{2})\end{aligned}}$

Zum Beweis der Homogenität wählen wir ein beliebiges $\lambda \in K$ und ein beliebiges $v\in V_{1}$:

${\begin{aligned}&(g\circ f)(\lambda \cdot v)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\circ f\right.}\\[0.3em]=&g(f(\lambda \cdot v))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}f\right.}\\[0.3em]=&g(\lambda \cdot f(v))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}g\right.}\\[0.3em]=&\lambda \cdot g(f(v))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\circ f\right.}\\[0.3em]&\lambda \cdot (g\circ f)(v)\end{aligned}}$

Untervektorräume werden auf Untervektorräume abgebildet

Dass lineare Abbildungen die Vektorraumstruktur erhalten, kann man auch an folgender Eigenschaft sehen: Die Bilder von Untervektorräumen einer linearen Abbildung sind wieder Untervektorräume.

Satz (Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume bei linearen Abbildungen)

Sei $f:V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$. Dann ist das Bild $f(U)=\{f(v):v\in U\}$ jedes Untervektorraums $U\subseteq V$ ein Untervektorraum in $W$.

Beweis (Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume bei linearen Abbildungen)

Sei $U$ ein Untervektorraum von $V$. Das Bild $f(U)=\{f(v):v\in U\}$ ist die Menge aller Funktionswerte von Argumenten aus $U$ und damit eine Teilmenge des Wertebereichs $W$. Um zu zeigen, dass $f(U)$ ein Untervektorraum ist, müssen folgende Kriterien gezeigt werden:

1. $f(U)\neq \emptyset$
2. Für alle $w_{1},w_{2}\in f(U)$ gilt $w_{1}+w_{2}\in f(U)$.
3. Für alle $w\in f(U)$ und für alle $\lambda \in K$ gilt $\lambda \cdot w\in f(U)$.

Beweisschritt: $f(U)\neq \emptyset$

Da $U$ ein Untervektorraum von $V$ ist, ist $0_{V}\in U$. Mit $f(0_{V})$ gibt es in $f(U)$ mindestens ein Element und damit ist $f(U)\neq \emptyset$.

Beweisschritt: Für alle $w_{1},w_{2}\in f(U)$ gilt $w_{1}+w_{2}\in f(U)$

Nehmen wir zwei beliebige Vektoren $w_{1},w_{2}\in f(U)$. Weil diese Vektoren im Bild liegen, gibt es mindestens zwei Vektoren $v_{1},v_{2}\in U$ mit $f(v_{1})=w_{1}$ und $f(v_{2})=w_{2}$. Nun ist

$w_{1}+w_{2}=f(v_{1})+f(v_{2})=f(v_{1}+v_{2})$

Damit ist $w_{1}+w_{2}$ das Bild von $v_{1}+v_{2}$ (der Vektor $v_{1}+v_{2}$ wird auf $w_{1}+w_{2}$ abgebildet). Weil $U$ ein Unterraum von $V$ ist, gilt $v_{1}+v_{2}\in U$ und damit liegt $w_{1}+w_{2}$ in $f(U)$.

Beweisschritt: Für alle $w\in f(U)$ und für alle $\lambda \in K$ gilt $\lambda \cdot w\in f(U)$

Sei $\lambda \in K$ und $w\in f(U)$. Weil $w$ im Bild von $U$ liegt, gibt es ein $v\in V$ mit $f(v)=w$. Nun ist

$\lambda \cdot w=\lambda \cdot f(v)=f(\lambda \cdot v)$

Damit ist $\lambda \cdot w$ das Bild von $\lambda \cdot v$ (der Vektor $\lambda \cdot v$ wird auf $\lambda \cdot w$ abgebildet). Weil $U$ ein Unterraum von $V$ ist, gilt $\lambda \cdot v\in U$ und damit liegt $\lambda \cdot w$ in $f(U)$.

Hinweis

Obiger Satz beweist auch, dass das Bild $f(V)$ einer linearen Abbildung $f:V\to W$ stets ein Vektorraum ist. Dies ergibt sich daraus, dass der Vektorraum $V$ auch ein Untervektorraum von sich selbst ist. Nach dem obigen Satz ist damit $f(V)=\{f(v):v\in V\}$ ein Untervektorraum von $W$.

Urbilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume

Dass lineare Abbildungen die Vektorraumstruktur erhalten, kann man auch an folgender Eigenschaft sehen: Die Urbilder von Untervektorräumen einer linearen Abbildung sind wieder Untervektorräume.

Satz (Urbilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume bei linearen Abbildungen)

Sei $f:V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$. Dann ist das Urbild $f^{-1}(U)=\{v\in V:f(v)\in U\}$ jedes Untervektorraums $U\subseteq W$ ein Untervektorraum in $V$.

Beweis (Urbilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume bei linearen Abbildungen)

Sei $U$ ein Untervektorraum von $W$. Das Urbild $f^{-1}(U)=\{v\in V:f(v)\in U\}$ ist die Menge aller Vektoren in $V$, deren Bild in $U$ liegt. Damit ist das Urbild eine Teilmenge des Definitionsbereichs $V$. Um zu zeigen, dass $f^{-1}(U)$ ein Untervektorraum ist, müssen folgende Kriterien gezeigt werden:

1. $f^{-1}(U)\neq \emptyset$
2. Für alle $v_{1},v_{2}\in f^{-1}(U)$ gilt $v_{1}+v_{2}\in f^{-1}(U)$.
3. Für alle $v\in f^{-1}(U)$ und für alle $\lambda \in K$ gilt $\lambda \cdot v\in f(U)$.

Beweisschritt: $f^{-1}(U)\neq \emptyset$

Da $U$ ein Untervektorraum von $W$ ist, gilt $0_{W}\in U$. Nach Voraussetzung ist $f$ eine lineare Abbildung, also gilt $f(0_{V})=0_{W}$. Somit $0_{V}\in f^{-1}(U)$.

Beweisschritt: Für alle $v_{1},v_{2}\in f^{-1}(U)$ gilt $v_{1}+v_{2}\in f^{-1}(U)$

Nehmen wir zwei beliebige Vektoren $v_{1},v_{2}\in f^{-1}(U)$. Weil diese Vektoren im Urbild liegen, gilt $f(v_{1})\in U$ und $f(v_{2})\in U$. Da $U$ ein Unterraum von $W$ und $f$ linear ist, gilt auch $f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})\in U$. Somit gilt $v_{1}+v_{2}\in f^{-1}(U)$.

Beweisschritt: Für alle $v\in f^{-1}(U)$ und für alle $\lambda \in K$ gilt $\lambda \cdot v\in f^{-1}(U)$

Sei $\lambda \in K$ und $v\in f^{-1}(U)$. Weil $v$ im Urbild von $U$ liegt, gilt $f(v)\in U$. Da $U$ ein Unterraum von $W$ und $f$ linear ist, gilt auch $f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)\in U$. Somit gilt $\lambda \cdot v\in f^{-1}(U)$.

Hinweis

Dieser Satz beweist auch, dass der Kern $\ker(f)=f^{-1}(\{0_{W}\})$ einer linearen Abbildung $f:V\to W$ stets ein Vektorraum ist. Dies ergibt sich daraus, dass der Vektorraum $\{0_{W}\}$ immer ein Untervektorraum von $W$ ist. Nach dem obigen Satz ist damit $\ker(f)=\{v\in V:f(v)=0_{W}\}$ ein Untervektorraum von $W$.

Spanne werden auf Spanne abgebildet

Nehmen wir nun an, wir haben eine Teilmenge $M\subseteq V$. Für diese Teilmenge gilt nun, dass es egal ist, ob wir zunächst den Spann berechnen und anschließend die Abbildung anwenden oder umgekehrt.

Dass dem wirklich so ist, zeigen wir mit dem folgenden Satz:

Satz (Spann vom Bild ist Bild vom Spann)

Sei $M\subseteq V$ eine beliebige Teilmenge (nicht zwingend ein Untervektorraum!) des Vektorraumes $V$, dann gilt für den Spann von $M$:

$\operatorname {span} (f(M))=f(\operatorname {span} (M))$

Wie kommt man auf den Beweis? (Spann vom Bild ist Bild vom Spann)

Da wir die Gleichheit zweier Mengen zeigen wollen, müssen wir zeigen, dass die Mengen jeweils ineinander enthalten sind. Wenn wir dies gezeigt haben, so folgt die Gleichheit beider Mengen.

Um zu zeigen, dass $f(\operatorname {span} (M))\subseteq \operatorname {span} (f(M))$, wählen wir zuerst einen beliebigen Vektor $v\in \operatorname {span} (M)$. Weil dieser im Spann liegt, lässt er sich als Linearkombination von Elementen aus der Menge $M$ schreiben:

${\begin{aligned}&v=\lambda _{1}\cdot m_{1}+\cdots +\lambda _{n}\cdot m_{n}\\[0.3em]\end{aligned}}$

wobei $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$.

Wir wenden danach die lineare Abbildung sowohl auf $v$ als auch auf die Linearkombination der Elemente aus $M$ an. Dies ergibt folgenden Ausdruck:

${\begin{aligned}&f(v)=f(\lambda _{1}\cdot m_{1}+\cdots +\lambda _{n}\cdot m_{n})\\[0.3em]\end{aligned}}$

Anschließend formen wir unter Verwendung der Eigenschaften von linearen Abbildungen den Ausdruck so um. Dann erhalten wir einen Ausdruck der folgenden Form:

${\begin{aligned}&f(v)=\lambda _{1}\cdot f(m_{1})+\cdots +\lambda _{n}\cdot f(m_{n})\\[0.3em]\end{aligned}}$

Da die rechte Seite in $\operatorname {span} (f(M))$ enthalten ist, gilt $f(v)\in \operatorname {span} (f(M))$.

Um danach zu zeigen, dass $\operatorname {span} (f(M))\subseteq f(\operatorname {span} (M))$ gilt, gehen wir ähnlich vor. Nun müssen wir zeigen, dass für ein beliebiges $w\in \operatorname {span} (f(M))$ ein Vektor $v\in \operatorname {span} (M)$ existiert mit $f(v)=w$. Wir wissen

$w=\lambda _{1}\cdot f(m_{1})+\cdots +\lambda _{n}\cdot f(m_{n})$

wobei $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$. Wie können den Ausdruck mit Hilfe der Linearität von $f$ umformen zu:

$w=f(\lambda _{1}\cdot m_{1}+\cdots +\lambda _{n}\cdot m_{n})$

Die rechte Seite ist aber in $f(\operatorname {span} (M))$ und damit gilt das gleiche für $w$.

Beweis (Spann vom Bild ist Bild vom Spann)

Beweisschritt: $f(\operatorname {span} (M))\subseteq \operatorname {span} (f(M))$

Wir nehmen zunächst einen beliebigen Vektor $v\in \operatorname {span} (M)$, für den gilt: $f(v)=w\in W$.

Da wir wissen, dass der Vektor im Spann von $M$ liegt, gibt es Koeffizienten $\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in K$ und Vektoren $m_{1},\cdots ,m_{n}\in M$, sodass gilt:

${\begin{aligned}&v=\lambda _{1}\cdot m_{1}+\cdots +\lambda _{n}\cdot m_{n}\\[0.3em]\end{aligned}}$

Wenden wir nun unsere lineare Abbildung auf diesen Ausdruck an, so erhalten wir:

${\begin{aligned}&f(v)=f(\lambda _{1}\cdot m_{1}+\cdots +\lambda _{n}\cdot m_{n})\\[0.3em]\end{aligned}}$

Die rechte Seite dieses Ausdrucks formen wir nun unter Verwendung der Eigenschaften von linearen Abbildungen weiter um:

${\begin{aligned}&f(\lambda _{1}\cdot m_{1}+\cdots +\lambda _{n}\cdot m_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f(\lambda _{1}\cdot m_{1})+\cdots +f(\lambda _{n}\cdot m_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}f\right.}\\[0.3em]=&\lambda _{1}\cdot f(m_{1})+\cdots +\lambda _{n}\cdot f(m_{n})\\[0.3em]\end{aligned}}$

Auf der rechten Seite steht nun $\operatorname {span} (f(M))$.

Wir haben also gezeigt, dass $w\in \operatorname {span} (f(M))$ und damit $f(\operatorname {span} (M))\subseteq \operatorname {span} (f(M))$.

Beweisschritt: $\operatorname {span} (f(M))\subseteq f(\operatorname {span} (M))$

Wir wählen wieder einen beliebigen Vektor $w\in \operatorname {span} (f(M))$ aus. Da dieser im Spann der Abbildung liegt, können wir ihn schreiben als:

${\begin{aligned}&w=\lambda _{1}\cdot f(m_{1})+\cdots +\lambda _{n}\cdot f(m_{n})\\[0.3em]\end{aligned}}$

Wir können nun analog zum vorherigen Beweisschritt mit dem Umformen des Ausdrucks beginnen:

${\begin{aligned}w=&\lambda _{1}\cdot f(m_{1})+\cdots +\lambda _{n}\cdot f(m_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f(\lambda _{1}\cdot m_{1})+\cdots +f(\lambda _{n}\cdot m_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f(\lambda _{1}\cdot m_{1}+\cdots +\lambda _{n}\cdot m_{n})\\[0.3em]\end{aligned}}$

Auf der rechten Seite steht nun ein Vektor in $f(\operatorname {span} (M))$. Wir haben damit gezeigt, dass $w\in f(\operatorname {span} (M))$ gilt.

Zudem haben wir jetzt die Gleichheit der Mengen $f(\operatorname {span} (M))$ und $\operatorname {span} (f(M))$ gezeigt. Dies liegt daran, dass die Mengen ineinander enthalten sind.