Dualraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

Um das Konzet des Dualraums zu erklären, werden wir ein wenig weiter ausholen. Wir werden zunächst eine Anwendung des Dualraums beschreiben, um euch klarzumachen wozu nützlich ist. Danach werden wir das ganze weiter abstrahieren, um die Überleitung zur formalen Definition glatt zu gestalten.

Wir wollen uns zunächst mit folgender Frage beschäftigen: Wie gibt einen Punkt im an? In der Schule habt ihr das vermutlich so beantwortet: Man gibt die Koordinaten dieses ausgewählten Punktes an. Diese Koordinaten bekommt man dadurch, dass man von einem Tupel z.B. die erste Koordinate herausnimmt. Wir nennen dies auch "projezieren". Man sieht auch gleich, dass der Vorgang des Projezierens linear ist. Denn addiert man zwei Vektoren so ist z.B. seine erste Koordinate .

Dabei verwenden wir, dass jeder Vektor aus durch Koordinaten angegeben wird. Ähnlich funktioniert das mit dem Vektorraum für beliebiges , oder sogar für irgendeinen Körper . Wie verallgemeinert man das aber auf einen Vektorraum über , der kein Koordinatenraum ist? Dort ist das nämlich nicht so einfach möglich, denn ein Vektor ist dort im Allgemeinen einfach nur ein abstraktes Objekt. Wir erinnern uns daran, dass die Projektionen lineare Abbildungen sind. Wir können allgemeiner alle linearen Abbildungen betrachten. Ein solches nennt man Funktional. Die Menge aller Funktionale bezeichnen wir als Dualraum und schreiben dafür .

Wir werden folgendes feststellen: Ein Vektor ist eindeutig durch die Werte bestimmt, wobei über ganz läuft. Allerdings kann auch sehr groß sein und sich dadurch keine wirkliche Vereinfachung ergeben. Aber wir wissen bereits, dass im Fall zwei solche Funktionale ausreichen, nämlich die beiden Projektionen. Dies nimmt einen weiteren Satz vorweg, den wir unten zeigen wollen: In einem endlich-dimensionalen Vektorraum kann man stets endlich viele solche Abbildungen geschickt auswählen, so dass ein Vektor in bereits eindeutig durch endlich viele Werte bestimmt ist.

Bisher haben wir nur die Projektionen als Beispiele für Funktionale gesehen. Aus diesen lässt sich eine Vielzahl neuer Funktionale bauen: Addieren wir zum Beispiel die beiden Projektionen von , so erhalten wir die Abbildung . Skalieren wir nun dieses Funktional noch mit , so erhalten wir die Abbildung -- also den Mittelwert von und . Die Operationen "Addieren" und "Skalieren", die wir hier auf die Funktionale angewendet haben, erinnern an Vektorraumoperationen. Und tatsächlich wird der Dualraum durch diese Operationen zum Vektorraum.

Definition[Bearbeiten]

Wir haben bereits im Abschnitt Funktionenräume gesehen, dass die Menge der linearen Abbildungen zwischen zwei Vektorräume und über einem Körper wieder ein Vektorraum (über dem gleichen Körper) ist. Wir werden im Folgenden den Spezialfall betrachten. Dann erhalten wir sofort folgenden Satz:

Satz ( ist ein Vektorraum über )

Mit den beiden Verknüpfungen

und

ist ein -Vektorraum.

Damit erhalten wir folgende Definition des Dualraums:

Definition (Dualraum)

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Dann heißt der Raum der linearen Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen und Dualraum von . Man schreibt:

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel (Ableitung)

Sei der Raum der einmal stetig-differenzierbaren Funktionen . Die Abbildung

für einen festen Punkt ist linear. Das heißt: Für und gilt

Dies folgt aus den Eigenschaften der Ableitung.

Beispiel (Integral)

Sei der Raum der stetigen Funktionen . Die Abbildung

ist linear. Das heißt: Für und gilt

Dies folgt aus bekannten Eigenschaften des Integrals.

Beispiel (Limes von konvergenten Folgen)

Sei der Raum der konvergenten Folgen . Weil Summen und skalare Vielfache konvergenter Folgen wieder konvergente Folgen sind, ist ein -Vektorraum. Einen detaillerten Beweis der Vektorraumeigenschaften kannst Du hier nachlesen.

Die Abbildung , die eine Folge auf ihren Grenzwert schickt, ist -linear, da Grenzwertbildung linear ist. Dies folgt aus den Eigenschaften des Grenzwertes.

Beispiel (Polynomraum und Auswertungsabbildung)

Sei ein Körper. Wir betrachten den Polynomring als -Vektorraum. Für ein definieren wir die Abbildung

die ein Polynom an der Stelle auswertet.

Diese Abbildung ist -linear, also ein Element von .

Tatsächlich: Für und gilt:

Beispiel (Koordinatenräume)

Sei ein Körper. Sei der -Vektorraum für ein . Dann sind die Projektionen auf die Koordinaten (wie in der Motivation) Beispiele für Elemente des Dualraums von . Mit Hilfe von Skalarprodukten können wir das verallgemeinern.

Für ist das Skalarprodukt definiert durch

Für den und den kennt man das vielleicht schon aus der Schule.

Sei nun der -te Standardeinheitsvektor, d.h. und für . Dann ist .

Die Abbildung "Skalarprodukt mit nehmen" ist also gleich der Projektion auf die -te Koordinate. Allgemeiner entspricht die Abbildung "Skalarprodukt mit nehmen" der Projektion auf .
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Zeichnung

Falls ist die Länge der Projektion von auf gegeben durch .

Insbesondere ist diese Abbildung also ein Element des Dualraums.

Wir können nun für einen allgemeinen Vektor die Abbildung

betrachten. Man kann nachrechnen, dass diese Abbildung linear ist und somit ein Element des Dualraums von .

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

nachrechnen

Tatsächlich kann man zeigen, dass das schon alle Elemente des Dualraums ergibt.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

beweisen (kommt evtl. weiter unten)

Duale Abbildungen[Bearbeiten]

Definition (Duale Abbildung)

Seien zwei -Vektorräume und eine lineare Abbildung. Die zu duale Abbildung ist definiert durch

Hinweis

Bemerke, dass sich die Reihenfolge der Vektorräume und umdreht.

Außerdem ist nicht offensichtlich, dass die Abbildung tatsächlich im Dualraum liegt. Dass das der Fall ist, zeigt der nächste Satz.

Satz (Linearität der dualen Abbildung)

Sei eine lineare Abbildung. Dann ist eine wohldefinierte lineare Abbildung.

Beweis (Linearität der dualen Abbildung)

Wir müssen zeigen, dass für jedes die Abbildung linear ist, d.h., dass in liegt. Weiterhin müssen wir zeigen, dass die Abbildung , die auf abbildet, ebenfalls linear ist. Wichtig: das sind verschiedene Aussagen!

Beweisschritt: Linearität von

Seien und . Aus der Linearität von erhalten wir, dass . Außerdem ist . Dies zeigt, liegt in , d.h. ist wohldefiniert.

Beweisschritt: Additivität

Seien . Wir müssen zeigen, dass . Bei den Objekten auf beiden Seiten handelt es sich um Elemente von , d.h. um lineare Abbildungen . Um zu zeigen, dass sie gleich sind, müssen wir also zeigen, dass sie für jedes den selben Wert annehmen. Sei . Wir rechnen:

Dabei verwenden wir die Definition der Addition auf und .

Beweisschritt: Homogenität

Seien und . Wir müssen zeigen, dass . Wir gehen vor wie bei der Additivität. Sei . Wir rechnen:

Dabei verwenden wir die Definition der Skalarmultiplikation auf und .

Satz (Duale Abbildungen und Verknüpfungen)

Seien und lineare Abbildungen. Dann gilt .

Beweis (Duale Abbildungen und Verknüpfungen)

Beide Seiten der Gleichung sind Abbildungen . Um zu zeigen, dass beide Seiten gleich sind, müssen wir also zeigen, dass sie auf jedem Element von denselben Wert in annehmen. Sei . Dann gilt nach Definition

Dies zeigt die Behauptung.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Trennungslemma, Bestimmung von Elementen durch Werte auf Dualraumelementen.

Satz (Trennungslemma)

Sei ein -Vektorraum, ein Untervektorraum endlicher Dimension . Zu jedem Vektor aus exisitiert eine duale Abbildung mit und für alle .

Beweis (Trennungslemma)

Wir wissen, dass eine Basis von existiert. Weiterhin wissen wir, dass die Menge linear unabhängig ist, da nicht in liegt. Wir betrachten nun den Basisvektor aus dem Dualraum zum Unterraum . Für diesen gelte: und . Die vom Satz geforderte Abbildung erhalten wir nun durch: für und für .

Satz (Ein Vektor ist durch seine Werte auf den Dualraumelementen eindeutig bestimmt)

Sei ein -Vektorraum und . Falls für alle , so gilt .

Beweis (Ein Vektor ist durch seine Werte auf den Dualraumelementen eindeutig bestimmt)

Wir zeigen die Kontraposition. Wir nehmen also an, dass , und zeigen, dass ein existiert mit . Da gilt, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass . Ansonsten vertauschen wir und . Sei der von erzeugte Unterraum. Wir unterscheiden nun zwei Fälle. Falls , so existiert mit . Da , gilt . Ergänze zu einer Basis von . Wir wollen nun mittels lineare Fortsetzung definieren.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

link

Definiere durch und für . Folglich gilt wegen der Linearität .

Falls , so existiert nach dem Trennungslemma ein mit und für alle . Da , gilt insbesondere . Somit haben wir .

  • Orthogonalen Komplemente (links und rechts)


  • Für die dualen Abbildungen gilt: .
  • Restriktion und Inflation
  • Einbettung in den Dualraum via dualer Basis (Basenabhängig!), Isomorphismus im endlich-dimensionalen Fall
  • Definition BiDualraum?
  • Natürliche Einbettung in den Bidualraum

Satz (Einbettung in den Bidualraum)

Sei ein -Vektorraum. Dann ist die Abbildung

ein Monomorphismus von Vektorräumen.

Ist endlich dimensional, so ist sogar ein Isomorphismus.

Hinweis

Insbesondere muss für diese Einbettung keine Basis gewählt werden, im Gegensatz zur Einbettung in den Dualraum via der dualen Basis!

Beweis (Einbettung in den Bidualraum)

Zunächst müssen wir zeigen, dass wohldefiniert und linear ist.

Beweisschritt: ist wohldefiniert

Sei . Wir müssen zeigen, dass eine lineare Funktion ist.

Beweisschritt: ist additiv

Seien . Dann gilt:

Beweisschritt: ist homogen

Seien . Dann gilt:

Also haben wir gezeigt, dass tatsächlich wohldefiniert ist.

Beweisschritt: ist linear

Beweisschritt: ist additiv

Seien . Wir müssen zeigen, dass . Zwei Funktionen sind gleich, falls sie punktweise in allen Punkten übereinstimmen. Sei also ein Element aus dem Dualraum . Dann gilt:

Beweisschritt: ist homogen

Seien . Wir müssen zeigen, dass . Zwei Funktionen sind gleich, falls sie punktweise in allen Punkten übereinstimmen. Sei also ein Element aus dem Dualraum . Dann gilt:

Beweisschritt: ist injektiv

Es genügt zu zeigen, dass . Sei also . Dies bedeutet, dass die Abbildung die Nullabbildung ist. In anderen Worten: für alle . Allerdings gilt auch für , dass für alle .

Nun folgt aber direkt aus dem Trennungslemma, dass .

Falls endlich-dimensional ist, wissen wir, dass injektiv ist, genau dann, wenn bijektiv ist. In diesem Fall ist also ein Isomorphismus.

Satz (Direkte Summe und direktes Produkt)

Sei ein Körper. Sei eine Indexmenge. Dann ist .

Beweis (Direkte Summe und direktes Produkt)

Wir zeigen, dass

ein Isomorphismus ist.

  1. ist ein Vektorraumhomomorphismus

Für und und ist , daher ist .

  1. ist ein Vektorraumisomorphismus mit Inversem

ist wohldefiniert, denn: Für gilt: für alle bis auf endlich viele . Daher ist für alle und die Summe endlich, insbesondere also wohldefiniert und ein Element aus .

  1. ist eine Umkehrabbildung zu . Für und gilt: . Da eine Basis von ist und beide -linear sind, folgt .

Für und gilt . Es fogt .

Also ist Umkehrabbildung zu . ist damit ein bijektiver Vektorraumhomomorphismus, also ein Vektorraumisomorphismus.

  • Dieser Bidualeinbettung ist dasselbe wie in Dualraum mit dualer Basis, und dann Bidualraum mit bidualer basis.
  • Isomorphismus in den Bidualraum falls endlich-dimensional
  • Biduale Abbildung ist mit ursprünglicher Abbildung über diesen Iso kompatibel
  • Darstellende Matrix von der dualen Abbildung bezgl. dualer Basis ist transponierte (adjungierte?) der darstellenden Matrix.
  • Anmerkung: bei unendlich-dimensionalen topologischen Vektorräumen über einem topologischen Körper sind nicht alle Elemente des Dualraums stetig! => Topologischer Dualraum aller stetigen Abbildungen in den Grundkörper.
  • Dualitätsprinzip,