Dualraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin oder dem Autor Zeit, den Inhalt anzupassen!

Wir haben bereits den Vektorraum der linearen Abbildungen zwischen zwei -Vektorräumen und kennengelernt. Wir werden hier nun den Fall betrachten, dass der Vektorraum dem Körper entspricht.

Motivation[Bearbeiten]

Betrachten wir folgendes Beispiel: Wir möchten Äpfel und Birnen kaufen. Ein Apfel kostet € und eine Birne €. Wenn die Anzahl der Äpfel und die Anzahl der Birnen bezeichnen, wie viel müssen wir insgesamt bezahlen? Die Formel des Gesamtpreises ist . Diese Gleichung können wir als -lineare Abbildung

auffassen. Nehmen wir an, dass die Preise sich um die Hälfte erhöhen. Um die Formel zu erhalten, die den neuen Gesamtpreis angibt, müssen wir die alte Formel mit multiplizieren. Die Formel, die diesen Preis angibt, würde dann lauten. Die zugehörige lineare Abbildung ist

Wir sehen, dass . Angenommen stattdessen steigt der Preis der Äpfel um € und Preis der Birnen um €. Die entsprechende Formel für den Gesamtpreis erhalten wir durch Addition auf die ursprüngliche Formel, das heißt . Das kann wie folgt als Addition linearer Abbildungen aufgefasst werden. Wir definieren durch und . Dann gilt . Wir haben in diesem Beispiel also lineare Abbildungen von nach addiert und mit Skalaren multipliziert.

Wir haben also lineare Abbildungen von , die den Gesamtpreis angeben. Eine solche Abbildung ordnet jedem Vektor einen Wert, nämlich den Preis, zu. Wir können sagen, dass die Abbildung diese Vektoren misst. Deshalb nennen wir lineare Abbildungen von nach lineare Messfunktionen. Wir haben oben gesehen, dass Summen und skalare Vielfache von solchen Abbildungen wieder lineare Abbildungen sind. In anderen Worten sind Linearkombinationen von linearen Messabbildungen wieder lineare Messabbildungen. Es gibt also eine Vektorraumstruktur auf den linearen Messabbildungen von .

Wie sieht es bei anderen Vektorräumen aus? Betrachten wir den -Vektorraum der komplexen Polynome vom Grad höchstens . Hier gibt es eine Reihe von einfachen Messabbildungen. Diese können zum Beispiel einem Polynom seinen Wert an einem Punkt zuordnen

Alternativ kann man einem Polynom den Wert seiner Ableitung im Punkt zuordnen

Da die Koeffizienten von Polynomen Skalare sind, können wir sie benutzen um weitere Messabbildungen zu definieren. Betrachte zum Beispiel für die Abbildungen definiert durch und . Dann gilt . Wir sehen auch hier, dass Summen von Messabbildungen wieder Messabbildungen sind.

Allgemein kann man auch über einem beliebigen -Vektorraum den Raum der linearen Messabbildungen betrachen. Wir werden sehen, dass dieser, wie in den Beispielen zuvor, ein Vektorraum ist. Diesen nennt man den Dualraum von .

Definition[Bearbeiten]

Definition (Dualraum)

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Dann heißt der Raum der linearen Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen und Dualraum von .

Der folgende Satz besagt, dass der Dualraum ein Vektorraum ist.

Satz ( ist ein Vektorraum)

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Dann ist mit den beiden Verknüpfungen

und

ein -Vektorraum.

Beweis ( ist ein Vektorraum)

Wir wissen, dass für -Vektorräume und auch ein -Vektorraum ist. Da ein -Vektorraum ist, ist für jeden -Vektorraumauch auch ein -Vektorraum.

Beispiele für Vektoren im Dualraum[Bearbeiten]

Beispiel (Charakterisierung von )

Der Dualraum von ist der Vektorraum aller linearen Abbildungen von nach . Jede solche lineare Abbildung ist durch Multiplikation mit einer (1x2)-Matrix gegeben und ist also von der Form

für gewisse . Also werden die Elemente im Dualraum von durch lineare Gleichungen der Form beschrieben.

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To-Do:

Beispiel feedbacken.

Beispiel (Limes von konvergenten Folgen)

Sei der Raum der konvergenten Folgen . Weil Summen und skalare Vielfache konvergenter Folgen wieder konvergente Folgen sind, ist ein -Vektorraum. Einen Beweis der Vektorraumeigenschaften kannst Du hier nachlesen.

Wir betrachten die Abbildung , die eine Folge auf ihren Grenzwert schickt. So ist z.B. oder . Aus den Eigenschaften des Grenzwertes wissen wir, dass

für alle konvergenten Folgen und Skalare gilt. Daraus folgt, dass eine lineare Abbildung und damit gilt .

Beispiel (Polynomraum und Auswertungsabbildung)

Sei ein Körper. Wir betrachten den Polynomring als -Vektorraum. Für ein definieren wir die Abbildung

die ein Polynom an der Stelle auswertet. Zum Beispiel ist und .

Wir rechnen nach, dass diese Abbildung -linear, also ein Element von ist:

Für und gilt:

Beispiel (Ableitung)

Sei der Raum der einmal stetig-differenzierbaren Funktionen . Sei fest und betrachte die Abbildung

die eine differenzierbare Funktion auf ihre Ableitung im Punkt schickt. Zum Beispiel ist für der Wert der Abbildung in gegeben durch

Wir rechnen nach, dass die Abbildung (für festes ) linear ist: Für und gilt

Dies folgt aus den Eigenschaften der Ableitung. Also ist ein Element von .

Beispiel (Integral)

Sei der Raum der stetigen Funktionen . Betrachte die Abbildung

die eine auf stetige Funktion auf ihr Integral schickt. Zum Beispiel ist für

Wir rechnen nach, dass die Abbildung linear ist: Für und gilt

Dies folgt aus bekannten Eigenschaften des Integrals. Also ist ein Element von .

Duale Basis[Bearbeiten]

Wir wissen nun, was der Dualraum eines -Vektorraums ist: Er besteht aus allen linearen Abbildungen von nach . Intuitiv können wir diese Abbildungen als lineare Abbildungen auffassen, die Vektoren aus messen. Deshalb nennen wir Elemente des Dualraums in diesem Artikel manchmal "(lineare) Messfunktionen".

Motiviert durch diese intuitive Vorstellung von "Messungen" fragen wir uns: Gibt es eine Teilmenge von Messfunktionen, mit der sich Vektoren eindeutig bestimmen lassen? Das heißt, gibt es eine Teilmenge , sodass wir für jede Wahl von Vektoren mit eine Messfunktion mit finden?

Wir überlegen uns zuerst an einem Beispiel, was das bedeutet:

Beispiel (Eindeutiges Bestimmen von Vektoren durch Messfunktionen)

Betrachten wir . Dann ist der Dualraum der Vektorraum aller linearen Abbildungen . Betrachte die linearen Abbildungen mit

Falls , können wir Vektoren damit nicht eindeutig bestimmen: Für und gilt zwar , aber .

Auch mit den Messfunktionen in lassen sich und nicht unterscheiden: Es ist auch .

Betrachten wir aber stattdessen die Teilmenge von Messfunktionen , dann sind Vektoren in durch die Messungen in eindeutig bestimmt: Seien und beliebige Vektoren mit . Angenommen, es gilt und . Aus folgt . Zusammen mit würde dann auch , also folgen. Somit wäre , was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist. Also gilt oder (oder beides). Also liefert für jede Wahl von verschiedenen Vektoren in mindestens eine der beiden Messungen in unterschiedliche Werte für und . Vektoren sind also durch die Messungen in eindeutig bestimmt.

In der kontraponierten Form lautet unsere Frage: Gibt es eine Teilmenge , sodass für alle Vektoren gilt: Wenn für alle Messungen gilt, dann muss sein.

Wir versuchen, diese Frage erstmal im zu beantworten.

Messfunktionen zum eindeutigen Bestimmen von Vektoren[Bearbeiten]

Ein Vektor ist durch seine Einträge eindeutig bestimmt. Wenn wir also Messfunktionen aus so auswählen, dass ihre Werte uns die Einträge eines Vektors liefern, haben wir sichergestellt, dass ein Vektor durch diese Werte schon eindeutig bestimmt ist. Betrachten wir also für die Abbildungen

Man kann überprüfen, dass die Abbildungen linear sind. Außerdem gilt für jedes . Die Abbildung liefert also den ten Eintrag von Vektoren in . Ein Vektor ist durch die Werte der schon eindeutig bestimmt: Angenommen wir haben Vektoren und in mit gleichen Funktionswerten unter den , also mit für alle . Dann gilt für alle und damit . Also gilt: Sind mit für alle , dann folgt .

Es ist intuitiv auch klar, dass wir keine der Messfunktionen weglassen können, um einen Vektor durch die Werte eindeutig zu bestimmen. Lassen wir zum Beispiel die weg, , dann gilt für

zwar für alle Messfunktionen mit , aber es ist . Die Messfunktionen mit bestimmen einen Vektor also nicht mehr eindeutig.

Wir haben mit den mit eine Menge an Messfunktionen gefunden, die Vektoren aus eindeutig bestimmen und die minimal ist, weil wir keine der Funktionen weglassen können.

Können wir diese Überlegungen auf einen allgemeinen Vektorraum verallgemeinern? Im haben wir benutzt, dass ein Vektor durch seine Einträge eindeutig bestimmt ist. Die sind aber gerade die Koordinaten von bezüglich der Standardbasis : Es gilt

In einem allgemeinen Vektorraum haben wir keine Standardbasis. Sobald wir aber eine Basis gewählt haben, können wir genauso wie im von den Koordinaten eines Vektors bzgl. sprechen. So wie im mit der Standardbasis, so ist dann auch in mit der gewählten Basis ein Vektor durch seine Koordinaten bzgl. eindeutig bestimmt. Sobald wir also eine Basis gewählt haben, können wir versuchen, genauso wie im vorzugehen.

Wir nehmen im Folgenden an, dass endlichdimensional ist, d.h. . Sei eine Basis von . Dann ist jeder Vektor von der Form

mit eindeutig bestimmten Koordinaten . Analog zum definieren wir nun für die linearen Messfunktionen in

Eine der Messfunktionen bestimmt also gerade die te Koordinate von Vektoren bzgl. der Basis . Es gilt also

für jeden Vektor .

Warnung

Beachte, dass die Definition der von der gewählten Basis abhängt.

Weil Vektoren in durch ihre Koordinaten schon eindeutig bestimmt sind, sind Vektoren durch die Werte der schon eindeutig bestimmt. Mit anderen Worten, es gilt für alle

Aus demselben Grund wie bei kann man auf keines der verzichten: Fehlt die te Messfunktion , , dann lassen sich Vektoren, deren te Koordinate bzgl. verschieden ist, nicht mehr unterscheiden.

Frage: Welche zwei Vektoren kann man hier wählen?

Wir wählen ein Beispiel analog zum und setzen

und

Dann gilt für alle , aber . Lässt man die te Messfunktion weg, sind Vektoren also nicht mehr eindeutig durch die Funktionswerte der bestimmt.

Die Messfunktionen bilden eine Basis[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum mit gewählter Basis und seien die definiert wie oben. Will man Vektoren durch die Werte der eindeutig bestimmen, kann auf keines der verzichten. Der Grund dafür ist, dass man das Ergebnis einer Messung (die te Koordinate von bzgl. ) nicht aus den anderen Messungen kombinieren kann. Wir können also keine der Messfunktionen als Linearkombination der anderen () darstellen. Mit anderen Worten, die Messfunktionen sind linear unabhängig.

Auf der anderen Seite verraten uns die Werte der bereits alles, was es über einen Vektor zu wissen gibt: Seine Koordinaten bzgl. der gewählten Basis . Lassen sich alle anderen Messfunktionen aus deshalb aus den kombinieren? Eine beliebige Messfunktion aus ist nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung schon durch ihre Werte auf den Basisvektoren eindeutig bestimmt. Für seien diese Werte. Ferner gilt und für und alle . Durch Einsetzen der erhalten wir, dass

die gleichen Werte auf den Basisvektoren annehmen. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung sind die beiden linearen Abbildungen also gleich. Also lässt sich jedes als Linearkombination der schreiben. Das bedeutet, die Messfunktionen bilden ein Erzeugendensystem von .

Also ist eine Basis des Dualraums und wir können den folgenden Satz beweisen:

Satz (Existenz der dualen Basis)

Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum und eine Basis von . Dann existiert eine eindeutige Basis von , sodass

für alle gilt.

Beweis (Existenz der dualen Basis)

Beweisschritt: Existenz und Eindeutigkeit der .

Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung existieren die linearen Abbildungen und sind durch die Vorgabe der Werte auf den Basisvektoren von eindeutig bestimmt.

Beweisschritt: Die sind linear unabhängig.

Seien mit . Sei . Wegen und für erhalten wir durch Einsetzen von

Weil beliebig war, folgt .

Beweisschritt: Die bilden ein Erzeugendensystem.

Sei beliebig. Für definieren wir und setzen . Dann folgt wie im Beweis der linearen Unabhängigkeit

für jedes . Weil für alle gilt und eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren schon eindeutig bestimmt ist, folgt . Also bilden die ein Erzeugendensystem.

Die eindeutig bestimmte Basis nennen wir die zu duale Basis und schreiben auch für die Basisvektoren. Beachte, dass von der auf gewählten Basis abhängt. Man kann außerdem nicht einzelne Vektoren aus "dualisieren".

Definition (Duale Basis)

Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Basis . Die eindeutig bestimmte Basis mit

heißt die zu duale Basis.

Was passiert im Unendlichdimensionalen?[Bearbeiten]

Oben haben wir nur den Fall betrachtet. Können wir genauso vorgehen, wenn Unendlichdimensional ist? Um die Messfunktionen zu definieren, müssen wir erst eine Basis von wählen. Sei also eine Basis von , wobei eine (unendliche) Indexmenge ist. Das Prinzip der linearen Fortsetzung gilt auch im Unendlichdimensionalen: Für vorgegebene Werte , , gibt es genau eine lineare Abbildung mit für alle . Wir können also genau wie im Endlichdimensionalen für die Abbildung durch die Vorschrift

definieren.

Man kann zeigen, dass dann auch im Unendlichdimensionalen eine linear unabhängige Teilmenge von ist. Der Beweis ist analog zum Beweis der linearen Unabhängigkeit im Satz zur dualen Basis.

Im Unendlichdimensionalen kann aber kein Erzeugendensystem von sein: Man kann die Funktion

die den Wert 1 auf allen Basisvektoren annimmt, nicht als endliche Linearkombination der darstellen.

Im Unendlichdimensionalen ist die "duale Basis" also keine Basis des Dualraums.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Duale Basis bestimmen)

  1. Betrachte die Basis von . Bestimme die duale Basis.
  2. Betrachte die Basis von . Bestimme die duale Basis.

Lösung (Duale Basis bestimmen)

Lösung Teilaufgabe 1:

... Lösung Teilaufgabe 1 ...

Lösung Teilaufgabe 2:

... Lösung Teilaufgabe 2 ...

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

... Lösung der Aufgabe ...

Alter Inhalt[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

Um das Konzept des Dualraums zu erklären, werden wir ein wenig weiter ausholen. Wir werden zunächst eine Anwendung des Dualraums beschreiben, um euch klarzumachen wozu er nützlich ist. Danach werden wir das ganze weiter abstrahieren, um die Überleitung zur formalen Definition glatt zu gestalten.

Wir wollen uns zunächst mit folgender Frage beschäftigen: Wie gibt man einen Punkt im an? In der Schule habt ihr das vermutlich so beantwortet: Man gibt die Koordinaten dieses ausgewählten Punktes an. Diese Koordinaten bekommt man dadurch, dass man von einem Tupel z.B. die erste Koordinate herausnimmt. Wir nennen dies auch "projezieren". Man sieht auch gleich, dass der Vorgang des Projezierens linear ist. Denn addiert man zwei Vektoren so ist z.B. seine erste Koordinate .

Dabei verwenden wir, dass jeder Vektor aus durch Koordinaten angegeben wird. Ähnlich funktioniert das mit dem Vektorraum für beliebiges , oder sogar für irgendeinen Körper . Wie verallgemeinert man das aber auf einen Vektorraum über , der kein Koordinatenraum ist? Dort ist das nämlich nicht so einfach möglich, denn ein Vektor ist dort im Allgemeinen einfach nur ein abstraktes Objekt. Wir erinnern uns daran, dass die Projektionen lineare Abbildungen sind. Wir können allgemeiner alle linearen Abbildungen betrachten. Ein solches nennt man Funktional. Die Menge aller Funktionale bezeichnen wir als Dualraum und schreiben dafür .

Wir werden folgendes feststellen: Ein Vektor ist eindeutig durch die Werte bestimmt, wobei über ganz läuft. Allerdings kann auch sehr groß sein und sich dadurch keine wirkliche Vereinfachung ergeben. Aber wir wissen bereits, dass im Fall zwei solche Funktionale ausreichen, nämlich die beiden Projektionen. Dies nimmt einen weiteren Satz vorweg, den wir unten zeigen wollen: In einem endlich-dimensionalen Vektorraum kann man stets endlich viele solche Abbildungen geschickt auswählen, so dass ein Vektor in bereits eindeutig durch endlich viele Werte bestimmt ist.

Bisher haben wir nur die Projektionen als Beispiele für Funktionale gesehen. Aus diesen lässt sich eine Vielzahl neuer Funktionale bauen: Addieren wir zum Beispiel die beiden Projektionen von , so erhalten wir die Abbildung . Skalieren wir nun dieses Funktional noch mit , so erhalten wir die Abbildung -- also den Mittelwert von und . Die Operationen "Addieren" und "Skalieren", die wir hier auf die Funktionale angewendet haben, erinnern an Vektorraumoperationen. Und tatsächlich wird der Dualraum durch diese Operationen zum Vektorraum.

Definition[Bearbeiten]

Wir haben bereits im Abschnitt Funktionenräume gesehen, dass die Menge der linearen Abbildungen zwischen zwei Vektorräume und über einem Körper wieder ein Vektorraum (über dem gleichen Körper) ist. Wir werden im Folgenden den Spezialfall betrachten. Dann erhalten wir sofort folgenden Satz:

Satz ( ist ein Vektorraum über )

Mit den beiden Verknüpfungen

und

ist ein -Vektorraum.

Damit erhalten wir folgende Definition des Dualraums:

Definition (Dualraum)

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Dann heißt der Raum der linearen Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen und Dualraum von . Man schreibt:


Duale Abbildungen[Bearbeiten]

Definition (Duale Abbildung)

Seien zwei -Vektorräume und eine lineare Abbildung. Die zu duale Abbildung ist definiert durch

Hinweis

Bemerke, dass sich die Reihenfolge der Vektorräume und umdreht.

Außerdem ist nicht offensichtlich, dass die Abbildung tatsächlich im Dualraum liegt. Dass das der Fall ist, zeigt der nächste Satz.

Satz (Linearität der dualen Abbildung)

Sei eine lineare Abbildung. Dann ist eine wohldefinierte lineare Abbildung.

Beweis (Linearität der dualen Abbildung)

Wir müssen zeigen, dass für jedes die Abbildung linear ist, d.h., dass in liegt. Weiterhin müssen wir zeigen, dass die Abbildung , die auf abbildet, ebenfalls linear ist. Wichtig: das sind verschiedene Aussagen!

Beweisschritt: Linearität von

Seien und . Aus der Linearität von erhalten wir, dass . Außerdem ist . Dies zeigt, liegt in , d.h. ist wohldefiniert.

Beweisschritt: Additivität

Seien . Wir müssen zeigen, dass . Bei den Objekten auf beiden Seiten handelt es sich um Elemente von , d.h. um lineare Abbildungen . Um zu zeigen, dass sie gleich sind, müssen wir also zeigen, dass sie für jedes den selben Wert annehmen. Sei . Wir rechnen:

Dabei verwenden wir die Definition der Addition auf und .

Beweisschritt: Homogenität

Seien und . Wir müssen zeigen, dass . Wir gehen vor wie bei der Additivität. Sei . Wir rechnen:

Dabei verwenden wir die Definition der Skalarmultiplikation auf und .

Satz (Duale Abbildungen und Verknüpfungen)

Seien und lineare Abbildungen. Dann gilt .

Beweis (Duale Abbildungen und Verknüpfungen)

Beide Seiten der Gleichung sind Abbildungen . Um zu zeigen, dass beide Seiten gleich sind, müssen wir also zeigen, dass sie auf jedem Element von denselben Wert in annehmen. Sei . Dann gilt nach Definition

Dies zeigt die Behauptung.

Satz (Restriktion und Inflation)

Sei ein -Vektorraum und ein Unterraum. Sei die duale Abbildung zur Einbettung . Diese Abbildung nennen wir Restriktion.

Sei die duale Abbildung zur Projektion . Diese Abbildung nennen wir Inflation.

Dann gilt:

  1. ist surjektiv.
  2. ist injektiv.
  3. .
  4. Für gilt .
  5. Für und gilt .

Beweis (Restriktion und Inflation)

Beweisschritt: ist surjektiv

Sei . Wähle ein Komplement von . Dann ist . Wir definieren durch und . Dann ist . Außerdem gilt . Somit ist ein Urbild von .

Beweisschritt: ist injektiv

Sei ein Homomorphismus, der im Kern von liegt. Das bedeutet, dass die Nullabbildung ist. Dies wiederum heißt, dass für alle die Gleichung gilt. Da surjektiv ist, sind alle Elemente aus als , für ein , schreibbar. Damit haben wir aber gezeigt, dass bereits die Nullabbildung ist. Daher muss injektiv sein.

Beweisschritt:

Beachte zunächst, dass .

Wir zeigen nacheinander beide Inklusionen.

Beweisschritt:

Sei . Dann gibt es sodass . Nun ist aber , da . Damit ist .

Beweisschritt:

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To-Do:

TODO

Beweisschritt: Für gilt

Dies folgt, da für gilt: .

Beweisschritt: Für und gilt

Dies folgt direkt aus der Definition der dualen Abbildung.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Satz (Trennungslemma)

Sei ein -Vektorraum, ein Untervektorraum endlicher Dimension . Zu jedem Vektor aus exisitiert eine duale Abbildung mit und für alle .

Beweis (Trennungslemma)

Wir wissen, dass eine Basis von existiert. Weiterhin wissen wir, dass die Menge linear unabhängig ist, da nicht in liegt. Wir betrachten nun den Basisvektor aus dem Dualraum zum Unterraum . Für diesen gelte: und . Die vom Satz geforderte Abbildung erhalten wir nun durch: für und für .

Satz (Ein Vektor ist durch seine Werte auf den Dualraumelementen eindeutig bestimmt)

Sei ein -Vektorraum und . Falls für alle , so gilt .

Beweis (Ein Vektor ist durch seine Werte auf den Dualraumelementen eindeutig bestimmt)

Wir zeigen die Kontraposition. Wir nehmen also an, dass , und zeigen, dass ein existiert mit . Da gilt, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass . Ansonsten vertauschen wir und . Sei der von erzeugte Unterraum. Wir unterscheiden nun zwei Fälle. Falls , so existiert mit . Da , gilt . Ergänze zu einer Basis von . Wir wollen nun mittels lineare Fortsetzung definieren.

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To-Do:

link

Definiere durch und für . Folglich gilt wegen der Linearität .

Falls , so existiert nach dem Trennungslemma ein mit und für alle . Da , gilt insbesondere . Somit haben wir .

  • Orthogonalen Komplemente (links und rechts)
  • Einbettung in den Dualraum via dualer Basis (Basenabhängig!), Isomorphismus im endlich-dimensionalen Fall
  • Definition BiDualraum?

Satz (Einbettung in den Bidualraum)

Sei ein -Vektorraum. Dann ist die Abbildung

ein Monomorphismus von Vektorräumen.

Ist endlich dimensional, so ist sogar ein Isomorphismus.

Hinweis

Insbesondere muss für diese Einbettung keine Basis gewählt werden, im Gegensatz zur Einbettung in den Dualraum via der dualen Basis!

Beweis (Einbettung in den Bidualraum)

Zunächst müssen wir zeigen, dass wohldefiniert und linear ist.

Beweisschritt: ist wohldefiniert

Sei . Wir müssen zeigen, dass eine lineare Funktion ist.

Beweisschritt: ist additiv

Seien . Dann gilt:

Beweisschritt: ist homogen

Seien . Dann gilt:

Also haben wir gezeigt, dass tatsächlich wohldefiniert ist.

Beweisschritt: ist linear

Beweisschritt: ist additiv

Seien . Wir müssen zeigen, dass . Zwei Funktionen sind gleich, falls sie punktweise in allen Punkten übereinstimmen. Sei also ein Element aus dem Dualraum . Dann gilt:

Beweisschritt: ist homogen

Seien . Wir müssen zeigen, dass . Zwei Funktionen sind gleich, falls sie punktweise in allen Punkten übereinstimmen. Sei also ein Element aus dem Dualraum . Dann gilt:

Beweisschritt: ist injektiv

Es genügt zu zeigen, dass . Sei also . Dies bedeutet, dass die Abbildung die Nullabbildung ist. In anderen Worten: für alle . Allerdings gilt auch für , dass für alle .

Nun folgt aber direkt, dass , da Elemente bereits durch ihre Werte auf dem Dualraum bestimmt sind.

Falls endlich-dimensional ist, wissen wir, dass injektiv ist, genau dann, wenn bijektiv ist. In diesem Fall ist also ein Isomorphismus.

Satz (Direkte Summe und direktes Produkt)

Sei ein Körper. Sei eine Indexmenge. Dann ist .

Beweis (Direkte Summe und direktes Produkt)

Wir zeigen, dass

ein Isomorphismus ist.

  1. ist ein Vektorraumhomomorphismus

Für und und ist , daher ist .

  1. ist ein Vektorraumisomorphismus mit Inversem

ist wohldefiniert, denn: Für gilt: für alle bis auf endlich viele . Daher ist für alle und die Summe endlich, insbesondere also wohldefiniert und ein Element aus .

  1. ist eine Umkehrabbildung zu . Für und gilt: . Da eine Basis von ist und beide -linear sind, folgt .

Für und gilt . Es fogt .

Also ist Umkehrabbildung zu . ist damit ein bijektiver Vektorraumhomomorphismus, also ein Vektorraumisomorphismus.

  • Dieser Bidualeinbettung ist dasselbe wie in Dualraum mit dualer Basis, und dann Bidualraum mit bidualer basis.
  • Isomorphismus in den Bidualraum falls endlich-dimensional
  • Biduale Abbildung ist mit ursprünglicher Abbildung über diesen Iso kompatibel
  • Darstellende Matrix von der dualen Abbildung bezgl. dualer Basis ist transponierte (adjungierte?) der darstellenden Matrix.
  • Anmerkung: bei unendlich-dimensionalen topologischen Vektorräumen über einem topologischen Körper sind nicht alle Elemente des Dualraums stetig! => Topologischer Dualraum aller stetigen Abbildungen in den Grundkörper.
  • Dualitätsprinzip,