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Dualraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir haben bereits den Vektorraum der linearen Abbildungen zwischen zwei -Vektorräumen und kennengelernt. Wir werden hier nun den Fall betrachten, dass der Vektorraum dem Körper entspricht.

Motivation[Bearbeiten]

Betrachten wir folgendes Beispiel: Wir möchten Äpfel und Birnen kaufen. Ein Apfel kostet € und eine Birne €. Wenn die Anzahl der Äpfel und die Anzahl der Birnen bezeichnen, wie viel müssen wir insgesamt bezahlen? Die Formel des Gesamtpreises ist . Diese Gleichung können wir als -lineare Abbildung

auffassen. Nehmen wir an, dass die Preise sich um die Hälfte erhöhen. Um die Formel zu erhalten, die den neuen Gesamtpreis angibt, müssen wir die alte Formel mit multiplizieren. Die Formel, die diesen Preis angibt, würde dann lauten. Die zugehörige lineare Abbildung ist

Wir sehen, dass . Angenommen stattdessen steigt der Preis der Äpfel um € und Preis der Birnen um €. Die entsprechende Formel für den Gesamtpreis erhalten wir durch Addition auf die ursprüngliche Formel, das heißt . Das kann wie folgt als Addition linearer Abbildungen aufgefasst werden. Wir definieren durch und . Dann gilt . Wir haben in diesem Beispiel also lineare Abbildungen von nach addiert und mit Skalaren multipliziert.

Wir haben also lineare Abbildungen von , die den Gesamtpreis angeben. Eine solche Abbildung ordnet jedem Vektor einen Wert, nämlich den Preis, zu. Wir können sagen, dass die Abbildung diese Vektoren misst. Deshalb nennen wir lineare Abbildungen von nach lineare Messfunktionen. Wir haben oben gesehen, dass Summen und skalare Vielfache von solchen Abbildungen wieder lineare Abbildungen sind. In anderen Worten sind Linearkombinationen von linearen Messabbildungen wieder lineare Messabbildungen. Es gibt also eine Vektorraumstruktur auf den linearen Messabbildungen von .

Wie sieht es bei anderen Vektorräumen aus? Betrachten wir den -Vektorraum der komplexen Polynome vom Grad höchstens . Hier gibt es eine Reihe von einfachen Messabbildungen. Diese können zum Beispiel einem Polynom seinen Wert an einem Punkt zuordnen

Alternativ kann man einem Polynom den Wert seiner Ableitung im Punkt zuordnen

Da die Koeffizienten von Polynomen Skalare sind, können wir sie benutzen um weitere Messabbildungen zu definieren. Betrachte zum Beispiel für die Abbildungen definiert durch und . Dann gilt . Wir sehen auch hier, dass Summen von Messabbildungen wieder Messabbildungen sind.

Allgemein kann man auch über einem beliebigen -Vektorraum den Raum der linearen Messabbildungen betrachen. Wir werden sehen, dass dieser, wie in den Beispielen zuvor, ein Vektorraum ist. Diesen nennt man den Dualraum von .

Definition[Bearbeiten]

Definition (Dualraum)

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Dann heißt der Raum der linearen Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen und Dualraum von .

Der folgende Satz besagt, dass der Dualraum ein Vektorraum ist.

Satz ( ist ein Vektorraum)

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Dann ist mit den beiden Verknüpfungen

und

ein -Vektorraum.

Beweis ( ist ein Vektorraum)

Wir wissen aus dem Artikel über Funktionenräume, dass für -Vektorräume und auch ein -Vektorraum ist. Da ein -Vektorraum ist, ist für jeden -Vektorraum auch ein -Vektorraum.

Beispiele für Vektoren im Dualraum[Bearbeiten]

Beispiel (Charakterisierung von )

Der Dualraum von ist der Vektorraum aller linearen Abbildungen von nach . Jede solche lineare Abbildung ist durch Multiplikation mit einer (1x2)-Matrix, der darstellenden Matrix, gegeben und ist also von der Form

für gewisse . Also werden die Elemente im Dualraum von durch lineare Gleichungen der Form beschrieben.

Allgemeiner ist ein Element von durch eine (1xn)-Matrix bzw. eine lineare Gleichung der Form mit Koeffizienten gegeben.

Beispiel (Limes von konvergenten Folgen)

Sei der Raum der konvergenten Folgen . Weil Summen und skalare Vielfache konvergenter Folgen wieder konvergente Folgen sind, ist ein -Vektorraum. Einen Beweis der Vektorraumeigenschaften kannst Du hier nachlesen.

Wir betrachten die Abbildung , die eine Folge auf ihren Grenzwert schickt. So ist z.B. oder . Aus den Eigenschaften des Grenzwertes wissen wir, dass

für alle konvergenten Folgen und Skalare gilt. Daraus folgt, dass eine lineare Abbildung und damit gilt .

Beispiel (Polynomraum und Auswertungsabbildung)

Sei ein Körper. Wir betrachten den Polynomring als -Vektorraum. Für ein definieren wir die Abbildung

die ein Polynom an der Stelle auswertet. Zum Beispiel ist und .

Wir rechnen nach, dass diese Abbildung -linear, also ein Element von ist:

Für und gilt:

Beispiel (Ableitung)

Sei der Raum der einmal stetig-differenzierbaren Funktionen . Sei fest und betrachte die Abbildung

die eine differenzierbare Funktion auf ihre Ableitung im Punkt schickt. Zum Beispiel ist für der Wert der Abbildung in gegeben durch

Wir rechnen nach, dass die Abbildung (für festes ) linear ist: Für und gilt

Dies folgt aus den Eigenschaften der Ableitung. Also ist ein Element von .

Beispiel (Integral)

Sei der Raum der stetigen Funktionen . Betrachte die Abbildung

die eine auf stetige Funktion auf ihr Integral schickt. Zum Beispiel ist für

Wir rechnen nach, dass die Abbildung linear ist: Für und gilt

Dies folgt aus bekannten Eigenschaften des Integrals. Also ist ein Element von .

Duale Basis[Bearbeiten]

Wir wissen nun, was der Dualraum eines -Vektorraums ist: Er besteht aus allen linearen Abbildungen von nach . Intuitiv können wir diese Abbildungen als lineare Abbildungen auffassen, die Vektoren aus messen. Deshalb nennen wir Elemente des Dualraums in diesem Artikel manchmal "(lineare) Messfunktionen".

Motiviert durch diese intuitive Vorstellung von "Messungen" fragen wir uns: Gibt es eine Teilmenge von Messfunktionen, mit der sich Vektoren eindeutig bestimmen lassen? Das heißt, gibt es eine Teilmenge , sodass wir für jede Wahl von Vektoren mit eine Messfunktion mit finden?

Wir überlegen uns zuerst an einem Beispiel, was das bedeutet:

Beispiel (Eindeutiges Bestimmen von Vektoren durch Messfunktionen)

Betrachten wir . Dann ist der Dualraum der Vektorraum aller linearen Abbildungen . Betrachte die linearen Abbildungen mit

Falls , können wir Vektoren damit nicht eindeutig bestimmen: Für und gilt zwar , aber .

Auch mit den Messfunktionen in lassen sich und nicht unterscheiden: Es ist auch .

Betrachten wir aber stattdessen die Teilmenge von Messfunktionen , dann sind Vektoren in durch die Messungen in eindeutig bestimmt: Seien und beliebige Vektoren mit . Angenommen, es gilt und . Aus folgt . Zusammen mit würde dann auch , also folgen. Somit wäre , was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist. Also gilt oder (oder beides). Also liefert für jede Wahl von verschiedenen Vektoren in mindestens eine der beiden Messungen in unterschiedliche Werte für und . Vektoren sind also durch die Messungen in eindeutig bestimmt.

In der kontraponierten Form lautet unsere Frage: Gibt es eine Teilmenge , sodass für alle Vektoren gilt: Wenn für alle Messungen gilt, dann muss sein.

Wir versuchen, diese Frage erstmal im zu beantworten.

Messfunktionen zum eindeutigen Bestimmen von Vektoren[Bearbeiten]

Ein Vektor ist durch seine Einträge eindeutig bestimmt. Wenn wir also Messfunktionen aus so auswählen, dass ihre Werte uns die Einträge eines Vektors liefern, haben wir sichergestellt, dass ein Vektor durch diese Werte schon eindeutig bestimmt ist. Betrachten wir also für die Abbildungen

Man kann überprüfen, dass die Abbildungen linear sind. Außerdem gilt für jedes . Die Abbildung liefert also den ten Eintrag von Vektoren in . Ein Vektor ist durch die Werte der schon eindeutig bestimmt: Angenommen wir haben Vektoren und in mit gleichen Funktionswerten unter den , also mit für alle . Dann gilt für alle und damit . Also gilt: Sind mit für alle , dann folgt .

Es ist intuitiv auch klar, dass wir keine der Messfunktionen weglassen können, um einen Vektor durch die Werte eindeutig zu bestimmen. Lassen wir zum Beispiel die weg, , dann gilt für

zwar für alle Messfunktionen mit , aber es ist . Die Messfunktionen mit bestimmen einen Vektor also nicht mehr eindeutig.

Wir haben mit den mit eine Menge an Messfunktionen gefunden, die Vektoren aus eindeutig bestimmen und die minimal ist, weil wir keine der Funktionen weglassen können.

Können wir diese Überlegungen auf einen allgemeinen Vektorraum verallgemeinern? Im haben wir benutzt, dass ein Vektor durch seine Einträge eindeutig bestimmt ist. Die sind aber gerade die Koordinaten von bezüglich der Standardbasis : Es gilt

In einem allgemeinen Vektorraum haben wir keine Standardbasis. Sobald wir aber eine Basis gewählt haben, können wir genauso wie im von den Koordinaten eines Vektors bzgl. sprechen. So wie im mit der Standardbasis, so ist dann auch in mit der gewählten Basis ein Vektor durch seine Koordinaten bzgl. eindeutig bestimmt. Sobald wir also eine Basis gewählt haben, können wir versuchen, genauso wie im vorzugehen.

Wir nehmen im Folgenden an, dass endlichdimensional ist, d.h. . Sei eine Basis von . Dann ist jeder Vektor von der Form

mit eindeutig bestimmten Koordinaten . Analog zum definieren wir nun für die linearen Messfunktionen in

Eine der Messfunktionen bestimmt also gerade die te Koordinate von Vektoren bzgl. der Basis . Es gilt also

für jeden Vektor .

Warnung

Beachte, dass die Definition der von der gewählten Basis abhängt.

Weil Vektoren in durch ihre Koordinaten schon eindeutig bestimmt sind, sind Vektoren durch die Werte der schon eindeutig bestimmt. Mit anderen Worten, es gilt für alle

Aus demselben Grund wie bei kann man auf keines der verzichten: Fehlt die te Messfunktion , , dann lassen sich Vektoren, deren te Koordinate bzgl. verschieden ist, nicht mehr unterscheiden.

Frage: Welche zwei Vektoren kann man hier wählen?

Wir wählen ein Beispiel analog zum und setzen

und

Dann gilt für alle , aber . Lässt man die te Messfunktion weg, sind Vektoren also nicht mehr eindeutig durch die Funktionswerte der bestimmt.

Die Messfunktionen bilden eine Basis[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum mit gewählter Basis und seien die definiert wie oben. Will man Vektoren durch die Werte der eindeutig bestimmen, kann auf keines der verzichten. Der Grund dafür ist, dass man das Ergebnis einer Messung (die te Koordinate von bzgl. ) nicht aus den anderen Messungen kombinieren kann. Wir können also keine der Messfunktionen als Linearkombination der anderen () darstellen. Mit anderen Worten, die Messfunktionen sind linear unabhängig.

Auf der anderen Seite verraten uns die Werte der bereits alles, was es über einen Vektor zu wissen gibt: Seine Koordinaten bzgl. der gewählten Basis . Lassen sich alle anderen Messfunktionen aus deshalb aus den kombinieren? Eine beliebige Messfunktion aus ist nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung schon durch ihre Werte auf den Basisvektoren eindeutig bestimmt. Für seien diese Werte. Ferner gilt und für und alle . Durch Einsetzen der erhalten wir, dass

die gleichen Werte auf den Basisvektoren annehmen. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung sind die beiden linearen Abbildungen also gleich. Also lässt sich jedes als Linearkombination der schreiben. Das bedeutet, die Messfunktionen bilden ein Erzeugendensystem von .

Also ist eine Basis des Dualraums und wir können den folgenden Satz beweisen:

Satz (Existenz der dualen Basis)

Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum und eine Basis von . Dann existiert eine eindeutige Basis von , sodass

für alle gilt.

Beweis (Existenz der dualen Basis)

Beweisschritt: Existenz und Eindeutigkeit der .

Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung existieren die linearen Abbildungen und sind durch die Vorgabe der Werte auf den Basisvektoren von eindeutig bestimmt.

Beweisschritt: Die sind linear unabhängig.

Seien mit . Sei . Wegen und für erhalten wir durch Einsetzen von

Weil beliebig war, folgt .

Beweisschritt: Die bilden ein Erzeugendensystem.

Sei beliebig. Für definieren wir und setzen . Dann folgt wie im Beweis der linearen Unabhängigkeit

für jedes . Weil für alle gilt und eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren schon eindeutig bestimmt ist, folgt . Also bilden die ein Erzeugendensystem.

Die eindeutig bestimmte Basis nennen wir die zu duale Basis und schreiben auch für die Basisvektoren.

Definition (Duale Basis)

Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Basis . Die eindeutig bestimmte Basis mit

heißt die zu duale Basis.

Warnung

Beachte, dass von der auf gewählten Basis abhängt. Man kann außerdem nicht einzelne Vektoren aus "dualisieren".

Was passiert im Unendlichdimensionalen?[Bearbeiten]

Oben haben wir nur den Fall betrachtet. Können wir genauso vorgehen, wenn Unendlichdimensional ist? Um die Messfunktionen zu definieren, müssen wir erst eine Basis von wählen. Sei also eine Basis von , wobei eine (unendliche) Indexmenge ist. Das Prinzip der linearen Fortsetzung gilt auch im Unendlichdimensionalen: Für vorgegebene Werte , , gibt es genau eine lineare Abbildung mit für alle . Wir können also genau wie im Endlichdimensionalen für die Abbildung durch die Vorschrift

definieren.

Man kann zeigen, dass dann auch im Unendlichdimensionalen eine linear unabhängige Teilmenge von ist. Der Beweis ist analog zum Beweis der linearen Unabhängigkeit im Satz zur dualen Basis.

Im Unendlichdimensionalen kann aber kein Erzeugendensystem von sein: Man kann die Funktion

die den Wert 1 auf allen Basisvektoren annimmt, nicht als endliche Linearkombination der darstellen.

Im Unendlichdimensionalen ist die "duale Basis" also keine Basis des Dualraums.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Duale Basisvektoren und ihre Kerne bestimmen)

Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei mit . Zeige, dass es ein gibt mit .

Beim Herleiten der dualen Basis haben wir uns von der Idee leiten lassen, dass Vektoren in durch die "Messungen" in unterscheidbar sein sollen. In dieser Aufgabe überzeugen wir uns davon: Wir finden immer eine Messung , für die (das gilt für jede lineare Abbildung), aber gilt. Wir finden also ein Element im Dualraum, mit welchem wir und den Nullvektor unterscheiden können.

Wie kommt man auf den Beweis? (Duale Basisvektoren und ihre Kerne bestimmen)

Wir müssen eine lineare Abbildung konstruieren. Das ist genau ein Element von . Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung, können wir lineare Abbildungen konstruieren, indem wir angeben, was sie auf einer Basis tun. Um das zu nutzen, ist es praktisch eine Basis von zu haben. Noch praktischer ist es, eine Basis von zu haben, die als Basisvektor enthält.

Eine solche Basis können wir mithilfe des Basisergänzungssatzes konstruieren: Nach dem Basisergänzungssatz hat eine Basis mit . Damit können wir mit dem Prinzip der linearen Fortsetzung eine lineare Abbildung konstruieren, die nicht auf schickt. Zum Beispiel können wir das wählen, das alle auf schickt und für auf .

Das ist genau der duale Basisvektor der dualen Basis zu .

Lösung (Duale Basisvektoren und ihre Kerne bestimmen)

Laut dem Basisergänzungssatz, existiert eine Basis mit . Aus der Definition der dualen Basis erhalten wir, dass der duale Basisvektor von die Eigenschaft hat. Somit erfüllt die gewünschte Bedingung.

Aufgabe (Duale Basis bestimmen)

  1. Betrachte die Basis von . Bestimme die zu duale Basis , d.h. bestimme für die explizite Funktionsvorschrift
  2. Betrachte die Basis von . Bestimme die zu duale Basis , d.h. bestimme für die explizite Funktionsvorschrift
  3. Betrachte die Basis von . Bestimme die zu duale Basis , d.h. bestimme für die explizite Funktionsvorschrift

Lösung (Duale Basis bestimmen)

Lösung Teilaufgabe 1:

Setze , und . Wir suchen lineare Abbildungen , deren Werte wir nur auf den Basisvektoren kennen. Wir müssen für allgemeine definieren.

Per Definition der dualen Basis kennen wir schon die Funktionswerte jedes auf den Basisvektoren in . Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung können wir daraus alle Funktionswerte bestimmen: Weil eine Basis ist, gibt es für jedes Koordinaten sodass . Mithilfe der Linearität folgt

Die Werte kennen wir per Definition der dualen Basis. Wir müssen also nurnoch die Koordinaten eines beliebigen Vektors bzgl. bestimmen. Danach können wir die hinschreiben.

Beweisschritt: Koordinaten eines beliebigen Vektors bzgl. bestimmen

Wir wollen die Koordinaten bzgl. von einem beliebigen Vektor bestimmen. Seien also . Wir schreiben

Die Koordinaten von bzgl. der Standardbasis sind also einfach , und . Wenn wir für die Koordinatenabbildung schreiben, bedeutet das

Wir können diese in Koordinaten bzgl. umrechnen, indem wir den Koordinatenvektor bzgl. von links mit der Basisübergangsmatrix von nach multiplizieren. Es gilt also

Um die Basisübergangsmatrix zu bestimmen, berechnen wir die Koordinaten der Standardbasisvektoren bzgl. . Diese bilden die Spalten von .

Wir beginnen mit : Wir suchen sodass

gilt. Wir lösen also das lineare Gleichungssystem

und erhalten , und . Genauso bestimmen wir die Koordinaten von bzgl. und die Koordinaten von bzgl. . Also gilt

Beachte: Wir hätten auch alle drei Gleichungssysteme auf einmal lösen können, indem wir die "rechten Seiten" spaltenweise zusammenfassen, d.h. indem wir die Inverse von bestimmen. Das macht Sinn, denn diese Matrix ist die Basiswechselmatrix von in die Standardbasis. Ihre Inverse ist somit die gesuchte Basisübergangsmatrix von nach .

Die Koordinaten von bzgl. sind also

Es ist natürlich auch in Ordnung, die Koordinaten von bzgl. durch genaues Hinsehen zu erraten, ohne Gleichungssysteme zu lösen.

Beweisschritt: Ergebnis für

Wir können nun ein beliebiges schreiben als

Mit der Linearität der und der Definition der dualen Basis erhalten wir

Genauso berechnen wir und . Insgesamt haben wir also die drei Basisvektoren der dualen Basis bestimmt:

Lösung Teilaufgabe 2:

Wir wissen, was die Abbildung auf den Basisvektoren macht. Um herauszufinden, wie die auf einem allgemeinen Vektor agiert, können wir ihn in der Basis ausdrücken:

Damit können wir die Funktionsvorschriften ausrechnen. Für haben wir

Für bekommen wir

Die Funktionsvorschrift von ist

Für erhalten wir

Zusammengefasst erhalten wir für die Funktionsvorschriften

Lösung Teilaufgabe 3:

Wir kennen die Werte von jedem auf den Basisvektoren und wollen den Wert für eine beliebige Matrix bestimmen. Dafür drücken wir als Linearkombination der aus:

Mithilfe der Definition der dualen Basis und der Linearität der können wir nun die Lösung angeben: Es gilt für und , also folgt

Aufgabe (Elemente des Dualraums und ihr Kern)

Sei ein -dimensionaler -Vektorraum und seien . Zeige: Wenn , dann gibt es ein mit .

Wie kommt man auf den Beweis? (Elemente des Dualraums und ihr Kern)

Für die Elemente im Kern von und gilt für alle . Das heißt, das gesuchte hängt nur von den ab, die nicht im Kern von und liegen. Um das genauer zu verstehen, betrachten wir zunächst die Dimension des Kerns. Mit der Dimensionsformel erhalten wir

und somit gilt . Nun ist ein Untervektorraum von . Weil eindimensional ist, erhalten wir dass die Dimension vom Bild von entweder oder ist. Somit ist oder .

Nun haben wir ; das heißt, sie haben beide die gleiche Dimension. Wenn ist, haben sie die gleiche Dimension wie . Somit gilt und und sind die Nullabbildung. Also gilt und wir können wählen.

Es bleibt noch der Fall übrig. In diesem Fall haben wir tatsächlich Vektoren, bei denen eine Rolle spielt. Um die Abbildungen zu vergleichen, bietet es sich an, sie auf einer Basis zu betrachten, da wir nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung wissen, dass und durch ihr Verhalten auf einer Basis schon vollkommen bestimmt sind. Um das zu tun, lohnt es sich eine Basis von zu wählen, bei der wir schon viel über unsere Abbildungen und wissen. Wir wissen schon, was beider auf . Sei eine Basis von . Dann können wir mit dem Basisergänzungssatz diese Basis zu einer Basis von fortsetzen.

Weil ist, wissen wir das und gilt. Weiter wissen wir für . Wir brauchen nun einen Kandidaten für . Da von Elementen aus abhängt, die nicht auf abgebildet werden, ergibt es Sinn für den Kandidaten zu verwenden. Mit erhalten wir .

Um zu sehen, ob für alle gilt, reicht es nun wieder nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung, dies auf unserer Basis zu überprüfen. Für wissen wir dies bereits, und für mit haben wir . Damit haben wir die Aussage bewiesen.

Lösung (Elemente des Dualraums und ihr Kern)

Die Funktion ist eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich dimensionalen Vektorräumen. Aus dem Dimensionssatz folgt

Weil das Bild ein Untervektorraum des -Vektorraums ist, gilt . Außerdem gilt . Damit können wir folgern

Also gilt . Andererseits ist , weil der Kern ein Untervektorraum von ist. Deshalb gibt es nur zwei Möglichkeiten:

  1. Die Dimension von ist .
  2. Die Dimension von ist .

Genauso können wir folgern, dass die Dimension vom Kern von entweder oder ist.

Wir nehmen an, dass und zeigen, dass es dann ein gibt mit . Nun betrachten wir die zwei Fälle und .

Fall 1:

In diesem Fall ist der Kern von ein -dimensionaler Untervektorraum den -dimensionalen Vektorraums . Deshalb folgt und wegen unserer Annahme auch . Also gilt für alle , dass und . Das bedeutet und sind beides die Nullabbildung, also . Damit ist die Aussage für bewiesen.

Fall 2:

In diesem Fall folgt aus dem Dimensionssatz

Sei eine Basis von . Wegen ist es auch eine Basis von . Wegen dem Basisergänzungssatz können wir ergänzen zu einer Basis von : . Wir definieren und . Der Vektor liegt nicht in , folglich gilt . Definiere . Wir zeigen, dass . Wegen dem Prinzip der linearen Fortsetzung reicht es, diese Gleichheit auf der Basis zu zeigen.

Wir betrachten zuerst mit . Weil , gilt

Für den Basisvektor gilt

Für jeden Basisvektor stimmen und überein. Also gilt .

Aufgabe (Duale Basis und Hyperebenen)

Sei ein -dimensionaler -Vektorraum.

  1. Sei mit . Zeige, dass gilt.
  2. Sei ein -dimensionaler Unterraum von . Zeige, dass es ein Element gibt mit .
  3. Unter der Annahme, dass gilt, ist das aus Teilaufgabe 2 durch den Unterraum eindeutig bestimmt?

Einen -dimensionalen Unterraum eines -dimensionalen Vektorraums nennt man auch eine Hyperebene in . Zum Beispiel sind die Hyperebenen im genau die anschaulichen Ebenen durch den Ursprung. Im ersten Teil der Aufgabe wird also gezeigt, dass der Kern eines nicht-Null-Elements im Dualraum eine Hyperebene in ist.

Lösung (Duale Basis und Hyperebenen)

Lösung Teilaufgabe 1:

Wir können die Dimensionsformel benutzen, um die Dimension vom Kern mit der Dimension von in Verbindung zu setzen. Das heißt wir wissen

Das heißt, wir haben unser Problem verschoben, um zu berechnen. Nun ist , das heißt, . Das heißt, die Dimension von ist entweder oder .

Wir wissen, dass , also gibt es ein mit . Damit ist und die Dimension von kann nicht sein. Also ist und wir erhalten

Lösung Teilaufgabe 2:

Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung ist eine lineare Abbildung dadurch bestimmt, was sie auf einer Basis macht. Um dieses verwenden zu können, wählen wir zunächst eine Basis von . Der Basisergänzungssatz liefert uns nun einen Vektor , sodass eine Basis von ist.

Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung, können einen Kandidaten für die lineare Abbildung definieren, indem wir sagen, was auf einer Basis von passiert. Die Vektoren sind Elemente von . Da der Kern von sein soll, müssen wir für fordern. Der letzte Basisvektor ist nicht in . Damit darf nicht im Kern von liegen. Das heißt, wir können beispielsweise fordern. Zusammengefasst definieren wir als die lineare Abbildung mit

Da von erzeugt wird, ist . Wir müssen also nur noch Zeigen, dass gilt. Dafür sei . Weil eine Basis von , finden wir mit . Nun wissen wir

Somit ist und . Das heißt, wir haben .

Lösung Teilaufgabe 3:

Die Abbildung ist nicht Eindeutig: Wir wissen, dass , weil . Somit existiert mit . Weil gilt, gibt es ein Element mit . Somit ist . Wenn wir nun die lineare Abbildung . Diese hat den gleichen Kern, weil genau dann gilt, wenn gilt. Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt, weil .

Weiter ist , weil gilt. Somit ist die lineare Abbildung aus dem zweiten Teil nicht eindeutig.

In der letzten Aufgabe haben wir gefordert, weil wir im Beweis ein Element benötigt haben, das weder noch