Basiswechselmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin / dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Dieser Artikel wurde vor kurzem von einem nicht angemeldeten Benutzer erstellt. Wenn du den Artikel erstellt hast, dann melde dich doch unter hochschulmathematik@serlo.org, weil wir ein paar Rückfragen haben. :)

Wiederholung: Basis[Bearbeiten]

Wir haben jetzt inzwischen schon öfters mit Basen gearbeitet. Wer sich in diesem Thema nicht mehr sicher fühlt, sollte vielleicht einen Blick zurück in das Kapitel Basis eines Vetorraums werfen. Hier wird nur kurz der für dieses Thema wichtige Teil wiederholt.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Kurze Wiederholung einer Basis

Motivation[Bearbeiten]

Jedes Element eines Vektorraums, hier beispielsweise der , lässt sich durch eine geeignete Kombination der Basisvektoren erreichen. Eine Basis ist allerdings keineswegs eindeutig. So hat der etwa die euklidische Basis . Allerdings erfüllen die Vektoren ebenso die Kriterien einer Basis und sind damit ebenso eine gleichberechtigte Basis des .

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Einen Beispielfall darlegen, wo ein Basiswechsel sinnvoll ist (außer Eigenvektoren, das sie den Studierenden aktuell noch unbekannt sind. Eine intuitive Beschreibung reicht.

Es gibt Fälle, in denen die Wahl einer geeigneten Basis ein mathematisches Problem stark vereinfacht, wenn die Basis an das Problem angepasst ist. Ein besonders einfacher Spezialfall hiervon sind Eigenvektoren, die die natürlichste Basis einer linearen Abbildung angeben.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Erklärung: Wieso muss man einen Basiswechsel durchführen? Was bedeutet ein Basiswechsel?

Hat man eine solche Basis gefunden, muss man den Basiswechsel durchführen.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Wieso muss eine Matrix angepasst werden, wenn die Basis gewechselt wird?

Wie sich der Wechsel der Basis auf eine lineare Abbildung oder genauer, deren Matrixschreibweise, auswirkt, werden wir in diesem Kapitel erarbeiten. Dazu fangen wir erst einmal mit dem einfachsten Fall an, dem Basiswechsel bei einem Vektor.

Basiswechsel für Vektoren[Bearbeiten]

Begriff des Koordinatenvektors und einführendes Beispiel[Bearbeiten]

Um zu verstehen, wie sich ein Basiswechsel auf Vektoren auswirkt, führen wir erst einmal den Begriff des Koordinatenvektors ein.

Den Koordinatenvektor bezüglich einer Basis bezeichnen wir als . Er gibt an, wie die Basisvektoren und kombiniert werden müssen, um den Vektor zu erzeugen.

Der Vektor lasse sich durch folgende Linearkombinationen aus den Basisvektoren erzeugen:

Dann sieht der Koordinatenvektor bezüglich der Basis so aus:

Das mag für den Anfang sehr kompliziert klingen, ist aber bei genauerer Betrachtung einfacher, als es zunächst anmutet. Schließlich haben wir das bei der euklidischen Basis schon immer gemacht.

Hier ein kleines Beispiel:

Wie man an obigem Beispiel sehen kann, sind bezogen auf die euklidische Basis Vektor und Koordinatenvektor identisch.

Nun wollen wir herausfinden, wie der Koordinatenvektor von bezogen auf die Basis aussieht. Dabei erhalten wir ein Gleichungssystem, welches es zu Lösen gilt.

Wir erhalten nun also zwei Gleichungen. Zum Einen

und zum anderen

Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man und . Damit ergibt sich also für den Koordinatenvektor

Wir sehen also: Obwohl der Vektor beide Male der gleiche ist, ist der Koordinatenvektor bezüglich der beiden Basen und völlig unterschiedlich.

Allgemeine Transformationsformel[Bearbeiten]

Nun wissen wir zwar, wie man einen beliebigen Vektor mittels des Koordinatenvektors bezüglich einer anderen Basis darstellt. Doch unser bisheriges Verfahren wird schnell sehr aufwändig und hilft uns bei unserer ursprünglichen Fragestellung, nämlich wie sich eine lineare Abbildung bei einem Basiswechsel verhält, auch nur begrenzt.

Allerdings gibt es mit der richtigen Vorbereitung einen recht schnellen Weg, jeden beliebigen Vektor in seine Koordinatendarstellung bezüglich einer anderen Basis zu transformieren. Dazu greifen wir auf eine der Eigenschaften einer Basis zurück, nämlich dass sie maximal aufspannend ist. Jeder Vektor kann also aus den Basisvektoren hervorgehen. Drücken wir also einfach mal die neuen Basisvektoren als Linearkombination der alten aus.

Die alte Basis bezeichnen wir mit und die neue Basis mit , wobei die Anzahl der Dimensionen des Vektorraums ist.

Die Vektoren bis lassen sich folgendermaßen durch die Vektoren bilden:

Aus den Koeffizienten können wir nun eine Koeffizientenmatrix bilden. Transformiert man diese, erhält man sie sogenannte Übergangsmatrix U. Sie ist also von der Gestalt


Außerdem ist sie auch noch invertierbar.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Warum ist sie invertierbar?

Der Name Übergangsmatrix kommt also nicht von ungefähr! Mit ihr lässt sich beliebig vom Koordinatenvektor bezüglich der alten Basis in den bezüglich der neuen Basis wechseln.

Sei die Übergangsmatrix von einer (alten) Basis in eine (neue) Basis . Dann gilt für die Koordinatenvektoren eines jeden Vektors :

und umgekehrt

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

konkretes Beispiel


Basiswechsel für Automorphismen[Bearbeiten]

Der Einfachheit halber besprechen wir den Prozess des Basiswechsels erst mal an einem Spezialfall, den Automorphismen. Zur Erinnerung: Ein Automorphismus ist ein bijektiver Endomorphismus, also eine invertierbare, lineare Abbildung eines Vektorraums in sich selbst.

mit linear und invertierbar ist also ein Automorphismus.