Basiswechselmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung

• Wir haben im Artikel Basis gesehen, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis besitzt. Weiter wissen wir, dass Vektorräume (im Allgemeinen) mehr als eine Basis haben.
• Das liefert die Frage: Wie können wir die Basisdarstellung eines Vektors in eine andere überführen?
• Diese Frage ist insbesondere interessant, im Zusammenhang mit Abbildungsmatrizen. Um diese zu bestimmen, müssen wir immer eine Basis wählen und um Vektoren auf die Abbildungsmatrix anzuwenden müssen wir diesen in erst bezüglich der richtigen Basis darstellen. Wenn wir den Vektor nun bezüglich einer anderen Basis gegeben habe, stellt sich die Frage, wie wir ihn trotzdem auf die Abbildungsmatrix anwenden können, ohne eine neue Abbildungsmatrix zu bestimmen.

Die Situation im $K^{n}$

• Um diese Frage zu ergründen, wollen wir im $K^{n}$ anfangen.
• Wir sind also in folgendem Setting:

• Wir haben eine geordnete Basis C=(c_1,\ldots , c_n) im K^n
• Wie sieht ein Vektor v\in K^n ausgedrückt in der Basis aus? Also wenn wir v=(v_1,\ldots, v_n) gegeben haben, wie sieht die Linearkombination v=\lambda_1 c_1+\cdots +\lambda_n c_n aus?
• Die Information, wie die gesuchte Linearkombination aussieht, steckt in den Vorfaktoren \lambda_1,...,\lambda_n
• Wir wollen also v_1,...,v_n überführen in \lambda_1,\dots,\lambda_n.
• Dieses "Überführen" ist genau eine Abbildung K^n\to K^n, die v=(v_1,...,v_n)\in K^n abbildet auf (\lambda_1,\dots,\lambda_n)^T \in K^n
• Diese Abbildung ist die Koordinatenabbildung k_C, die wir schon aus dem Artikel "Isomorphismus" kennen
• Um besser zu verstehen, wie ein Vektor v ausgedrückt in der Basis C aussieht, müssen wir die Abbildung k_C verstehen.
• Wir wissen schon, dass k_C linear ist. Das heißt, um sie zu verstehen, müssen wir sie als Darstellungsmatrix ausdrücken.
• Da wir im K^n sind und wir v_1, \dots, v_n reingeben und \lambda_1,\dots, \lambda_n rausbekommen wollen, machen wir das bezüglich der Standardbasis.
• Dafür müssen wir k_C auf die Standardbasisvektoren e_1,\dots, e_n anwenden, das heißt wir müssen e_1,\dots, e_n bezüglich C darstellen.
• Sei e_1 = \sum a_{1i} c_i, \dots, e_n = \sum a_{ni} c_i eine ebensolche Darstellung.
• Dann erhalten wir die Abbildungsmatrix

A = ...

• Von der Konstruktion ist dies die gleiche Abbildungsmatrix, wie M^Std_C(\operatorname{id}).

Verallgemeinerung auf beliebige endlichdimensionale Vektorräume

• Im einem allgemeinen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ sind wir in der Situation zwei geordnete Basen $B=(b_{1},\dots ,b_{n})$ und $C=(c_{1},\dots ,c_{n})$ zu haben. Weiter haben wir einen beliebigen Vektor $v\in V$ gegeben als Linearkombination $v=v_{1}b_{1}+\dots +v_{n}b_{n}$ mit $v_{1},\dots ,v_{n}\in K$.
• Wir suchen die Linearkombination $v=\lambda _{1}c_{1}+\dots +\lambda _{n}c_{n}$.
• Wir wollen also die Linearkombination von v in der Basis B in die Linearkombination in der Basis C überführen.
• Die ganze Information, wie dieser Linearkombinationen steckt wieder in den Vorfaktoren v_1,...,v_n bzw. \lambda_1,...,\lambda_n
• Das heißt wir wollen wieder $v_{1},\dots ,v_{n}$ in $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ überführen.
• Das sollte also wieder eine Abbildung K^n\to K^n sein, die (v_1,...,v_n) auf (\lambda_1,...,\lambda_n) abbildet.
• Wir kennen bereits die Zuordnungen $k_{B}(v)=(v_{1},\dots ,v_{n})\in K^{n}$ und $k_{C}(v)=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$. Unsere gewünschte Transformation wird also durch die Lineare Abbildung $k_{C}\circ k_{B}^{-1}$ realisiert. Von dieser können wir dann wie oben die Abbildungsmatrix im $K^{n}$ bestimmen.
• Wenn wir uns an den Artikel Abbildungsmatrizen erinnern, ist dies aber das gleiche, wie die Abbildungsmatrix $M_{C}^{B}(\operatorname {id} )$.

Warum dieses Ergebnis für den Basiswechsel nicht so überraschend ist

• Wenn wir uns überlegen, was Abbildungsmatrizen machen, ist dies moralisch folgendes:
• Eine Abbildungsmatrix $M_{C}^{B}(f)$ verhält sich wie eine lineare Abbildung. Sie erwartet einen Vektor, der bezüglich $B$ dargestellt ist.
• Auf diesen Vektor wendet sie $f$ an und stellt das Ergebnis bezüglich $C$ dar.
• In unserem Fall wollen wir einen bezüglich $B$ dargestellten Vektor bezüglich $C$ darstellen. Das heißt wir wollen eigentlich nichts mit dem Vektor an sich machen.
• In anderen Worten wenden wir die Identität $\operatorname {id}$ auf den Vektor an.
• Damit sollte moralisch folgende Abbildungsmatrix die Aufgabe des Basiswechsels für uns übernehmen: $M_{C}^{B}(\operatorname {id} )$. Sie erwartet einen Vektor, der bzgl. $B$ dargestellt ist, macht nichts damit, und stellt ihn dann bezüglich $C$ dar.

Definition

Definition (Basiswechselmatrix)

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum und seien $B$ und $C$ zwei Basen von $V$. Dann ist die Basiswechselmatrix von $B$ nach $C$ die Abbildungsmatrix $M_{C}^{B}(\operatorname {id_{V}} )$. Wir schreiben diese als $T_{C}^{B}$.

• Die Basiswechselmatrix hat noch viele andere Namen. Sie wird in der Literatur beispielsweise auch bezeichnet als: Übergangsmatrix, Transformationsmatrix, Koordinatenwechsel

To-Do:

Obige Liste an alternativen Bezeichnungen gerne um weitere ergänzen.

• Vorsicht: Die Namen Transformations- bzw. Übergangsmatrix beschrieben in der Literatur manchmal auch Matrizen, die keine Basiswechselmatrizen sind.

Basiswechselmatrizen bei der Klassifikation linearer Abbildungen

• Wir haben im Artikel Raum der linearen Abbildungen gesehen, dass man die linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen $V$ und $W$ einen $n\cdot m$ dimensionalen Vektorraum bilden, wobei $n=\operatorname {dim} V$ und $m=\operatorname {dim} W$. Wie wir im Einführungsartikel zu Matrizen gesehen haben, sind Abbildungsmatrizen ein Weg, diese $n\cdot m$ Informationen effizient zu speichern.
• Damit können wir Abbildungsmatrizen verwenden um die linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen zu klassifizieren.
• Dies haben wir bereits in der 1-1-Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen gesehen.
• Wir können Abbildungsmatrizen benutzen um lineare Abbildungen zu klassifizieren.
• Wenn wir geordnete Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$ wählen, wissen wir, dass wir einen Isomorphismus

$\operatorname {Hom} (V,W)\cong K^{m\times n}$

haben, indem wir einer linearen Abbildung $f\colon V\to W$ die Matrix $M_{C}^{B}(f)$ zuordnen.

• So können wir alle linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ effizient darstellen.

Diese Darstellung hat allerdings ein Problem:

• Diese Klassifikation hängt von der Wahl der geordneten Basen $B$ und $C$ ab.
• Hier ein Bsp. im \R^2 einfügen, wo die Matrizen für verschiedene Basen von einer Abbildung verschieden sind.
• Allgemein stellen wir uns die Frage: Wenn wir weitere geordnete Basen $B'$ von $V$ und $C'$ von $W$ haben, wie übersetzen wir die Darstellungsmatrix $M_{C}^{B}(f)$ in die Darstellungsmatrix $M_{C'}^{B'}(f)$?
• Wir erinnern uns an die Definitionen der Darstellungsmatrizen $M_{C}^{B}(f)=k_{C}\circ fk_{B}^{-1}$ und $M_{C'}^{B'}(f)=k_{C'}\circ fk_{B'}^{-1}$

• Bei diesen beiden Diagrammen ist es egal, welchen Weg man geht (das nennt man kommutieren)
• Wir können die beiden Diagramme zusammenfügen:

• Es ist immernoch egal welchen Weg man im Diagramm geht, es kommen immer die gleichen Abbildungen raus
• Also ist es egal, ob wir, den Weg über $x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x$ von K^n nach K^m benutzen oder ob wir zuerst $k_{B}k_{B'}^{-1}$, dann $x\mapsto M_{C}^{B}(f)x$ und schließlich $k_{C'}k_{C}^{-1}$ ausführen.
• Im Artikel Matrizenmultiplikation haben wir bereits gesehen, dass sich Verknüpfung von Abbildungen genau in Multiplikation der Darstellungsmatrzien umwandelt
• Das heißt, wenn wir von diesen beiden Schreibweisen für die Abbildung $x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x$ die Abbildungsmatrizen bzgl. den Standardbasen bestimmen erhalten wir einerseits $M_{C'}^{B'}(f)$
• Welche Darstellungsmatrix erhalten wir, wenn wir den anderen Weg gehen?
• Wir können die Darstellungsmatrizen der Verknüpften Abbildungen einzeln aufschreiben und dann multiplizieren
• Die Darstellungsmatrix von $x\mapsto M_{C}^{B}(f)x$ bzgl der Standardbasen von K^n und K^m ist wieder $M_{C}^{B}(f)$
• Die Darstellungsmatrix von $k_{C'}k_{C}^{-1}$ haben wir oben hergeleitet, sie ist $M_{C'}^{C}(\operatorname {id} )$
• Genauso ist die Darstellungsmatrix von $k_{B}k_{B'}^{-1}$ gegeben durch $M_{B}^{B'}(\operatorname {id} )$
• Nach Definition ist $M_{C'}^{B'}(f)=T_{C'}^{C}M_{C}^{B}(f)T_{B}^{B'}$
• Also haben wir gesehen, dass sich $M_{C'}^{B'}(f)$ aus $M_{C}^{B}(f)$ durch Linksmultiplikation mit $T_{C'}^{C}$ und Rechtsmultiplikation mit $T_{B}^{B'}$ errechnen lässt.

Beispiele

To-Do:

2 bis 3 Beispiele finden und einfügen. Anregung: Polynome von Grad <= 3 einmal mit Lagrange-Basis und einmal mit Basis aus Monomen 1, X, X^2, X^3.

Weiterführendes

To-Do:

Links genauer spezifizieren, sobald die entsprechenden Abschnitte durchgeplant sind.

• In den Beispielen haben wir gesehen, dass man häufig Gleichungssysteme lösen muss, um eine Basiswechselmatrix zu bereichnen. Dieses Lösen von linearen Gleichungssystemen werden wir im Bereich zu Gleichungssystemen und Matrizen systematischer betreiben.
• Wir haben jetzt gesehen, wie wir aus einem Basiswechsel eine Matrix bekommen. Die umgekehrte Frage, d.h. welche Matrizen zu Basiswechseln korrespondieren, werden wir im Artikel Inverse Matrizen behandeln.