Basiswechselmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Herleitung (Anwender-Weg)

• Wie können wir die Basisdarstellung eines Vektors in eine andere überführen?
• Gegeben eine Abbildungsmatrix zu einer Basis und einen Vektor zu einer anderen Basis, wie können wir diese Abbildungsmatrix trotzdem anwenden?
• Erst nur für einen Vektor, dann allgemein und als Matrix aufschreiben
• Ergebnis: Wir können einfach mit der Matrix der Identität zu den richtigen Basen verknüpfen

Definition

• Basiswechselmatrix

To-Do:

Alle Namen, die einem für eine Basiswechselmatrix einfallen hier nennen. Bisher: Basiswechselmatrix, Übergangsmatrix, Transformationsmatrix?

Weiterführende Gedanken zum Thema (algebraischer Weg)

• Darstellungsmatrix einer Abbildung sieht bei verschiedenen Basen verschieden aus ->Warum ist das kein Problem?
• Kein Problem, weil wir uns überlegen können, wie die Matrizen zusammenhängen.
• Wir nehmen zwei verschiedene Abbildungsmatrizen zur selben Abbildung -> Wie können wir sie genau ineinander überführen?
• Wie die neue Matrix aus der alten entsteht, können wir zunächst direkt ausrechnen. ->Feststellen das ist eine Matrixmultiplikation -> Feststellen, das ist eine Darstellungsmatrix der Identität

Basiswechselmatrizen als Transformation des Koordinatensystems

• Motivation für diesen Weg?
• Wir können BW-Matrizen auch realisieren, indem wir eine lineare Abbildung konstruieren, die die eine Basis auf die andere abbildet (Reihenfolge!?) und dann bezüglich der gleichen Basis (welche?) darstellen.