Basiswechselmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Herleitung[Bearbeiten]

Wir haben im Artikel Basis gesehen, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis besitzt. Das heißt, wenn ein -dimensionaler -Vektorraum ist, gibt es eine Basis von . Also lässt sich jeder Vektor eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren schreiben, d.h. mit eindeutigen .

Weiter wissen wir, dass Vektorräume mehr als eine Basis haben können. Sei eine zweite Basis von . Dann können wir auch eindeutig als Linearkombination der schreiben, d.h. mit eindeutigen .

Wir haben also zwei Darstellungen des Vektors . Über die Basis bekommen wir die Darstellung und über die Basis erhalten wir .

Wie können wir die Basisdarstellung bezüglich des Vektors in die Darstellung bezüglich überführen?

Diese Frage ist insbesondere interessant im Zusammenhang mit Abbildungsmatrizen. Abbildungsmatrizen erlauben uns, mit Koordinaten statt mit Vektoren von zu rechnen. Die Koordinaten eines Vektors hängen aber immer von der gewählten Basis in ab. Wir wollen eine einfache Möglichkeit, um Koordinaten beliebiger Vektoren bzgl. einer Basis von in Koordinaten bzgl. einer anderen Basis von umzurechnen.

Die Situation im [Bearbeiten]

Um diese Frage zu ergründen, starten wir mit einem einfacheren Spezialfall. Als Vektorraum betrachten wir den und setzen als die (geordnete) Standardbasis fest. Sei weiter eine beliebige geordnete Basis des . Wir müssen für und geordnete Basen benutzen, damit wir sinnvoll über die Abbildungsmatrizen sprechen können.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

"Abbildungsmatrizen" verlinken auf eine Diskussion im Artikel zu Abbildungsmatrizen, wo diskutiert wird, dass wir hier geordnete Basen brauchen.

Ein Vektor lässt sich in der Basis wie folgt ausdrücken: für eindeutig bestimmte . Gibt es eine Methode, mit der wir die Koordinaten jedes Vektors bzgl. der Standardbasis einfach in Koordinaten bzgl. umrechnen können? Sei ein Vektor, dessen Koordinaten bezüglich der Standardbasis wir kennen. Wie können wir die Koordinaten von bzgl. der Basis einfach aus den Koordinaten von bzgl. der Standardbasis berechnen?

Wir wollen also eine Methode, um für gegebene die zugehörigen zu finden. Wir wollen die Abbildung beschreiben, die jeden Vektor auf seinen Koordinatenvektor bzgl. abbildet.

Diese Abbildung ist die Koordinatenabbildung , die wir schon aus dem Artikel "Isomorphismus" kennen. Um herauszufinden, wie der Vektor ausgedrückt in der Basis aussieht, müssen wir die Abbildung beschreiben. Wir wissen schon, dass linear ist. Um die Abbildung zu beschreiben, können wir sie als Darstellungsmatrix ausdrücken. Wir sind im und wir setzen in die Abbildung ein und wollen herausbekommen. Also sind Input und Output der Abbildung in der Standardbasis gegeben. Deshalb benutzen wir die Standardbasis, um die Darstellungsmatrix von anzugeben. Dafür müssen wir auf die Standardbasisvektoren anwenden. Das heißt, wir müssen bezüglich darstellen. Sei

eine ebensolche Darstellung. Die Koeffizienten kann man durch Lösen eines linearen Gleichungssystems bestimmen.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Verlinken, sobald der Artikel zum Gleichungssytem fertig ist / an die Stelle verlinken, wo das für die Koordinatnenabbildung gemacht wird.

Dann ist für . Damit erhalten wir die Abbildungsmatrix

Die Spalten von bestehen also aus den Koordinatenvektoren der Standardbasisvektoren bzgl. . Weil unsere Abbildung von nach geht und wir bezüglich der Standardbasis darstellen, erhalten wir für alle . Die gesuchten Vorfaktoren erhalten wir also durch

Die Matrix ist nach unserer Konstruktion die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis.

Verallgemeinerung auf beliebige endlichdimensionale Vektorräume[Bearbeiten]

In einem allgemeinen endlichdimensionalen Vektorraum gibt es anders als im keine Standardbasis. In dieser Situation haben wir zwei geordnete Basen und . Weiter haben wir einen beliebigen Vektor gegeben als Linearkombination bzgl. der Basis mit . Die Koeffizienten werden auch die Koordinaten von bzgl. genannt. Entsprechend sind die Koordinaten bzgl. der Basis gewisse Skalare mit .

Wir suchen eine Methode, um die Koordinaten bzgl. eines beliebigen Vektors in die Koordinaten bzgl. umzurechnen. Wir benötigen also eine Abbildung , die auf abbildet.

Wir kennen bereits die Koordinatenabbildungen mit und mit . Wir wollen aus den Vektor erhalten. Die Koordinatenabbildungen sind Isomorphismen. Also schickt den Vektor auf und bildet auf ab. Führen wir erst und anschließend aus, so erhalten wir eine Abbildung, die auf abbildet.

Unsere gewünschte Transformation wird also durch die lineare Abbildung realisiert. Wir können dann, wie oben bei der Situation im , die Abbildungsmatrix von dieser linearen Abbildung im bezüglich der Standardbasis bestimmen. Diese Abbildungsmatrix ist dann . Wenn wir uns an den Artikel Abbildungsmatrizen erinnern, ist dies aber das Gleiche, wie die Abbildungsmatrix , wegen .

Warum dieses Ergebnis für den Basiswechsel nicht so überraschend ist[Bearbeiten]

Wenn wir uns überlegen, was Abbildungsmatrizen machen, ist dies intuitiv folgendes:

Eine Abbildungsmatrix verhält sich in gewisser Weise wie die zu ihr korrespondierende lineare Abbildung : Dies sieht man darin, was es bedeutet, auf einen Vektor anzuwenden - also zu berechnen. Wir können als den Koordinatenvektor eines Vektors bzgl. auffassen. Auf diesen Vektor wenden wir nun an und erhalten . Diesen stellen wir nun bezüglich dar und erhalten den Koordinatenvektor . Dieser ist das Ergebnis der Multiplikation .

Genauer passiert folgendes: Wir nehmen einen Vektor . Was passiert, wenn wir auf anwenden? Wir bilden zuerst den Vektor . Der Vektor ist genau die Linearkombination bezüglich der Basis mit den Vorfaktoren und ist der Koordinatenvektor von bzgl. . Dann wenden wir auf an und erhalten den Vektor . Anschließend wird in der Basis ausgedrückt . Nun erhalten wir nach der Definition von Abbildungsmatrizen: .

In unserem Fall wollen wir den bezüglich dargestellten Vektor bezüglich darstellen: . Das heißt, dieser Vektor an sich soll sich nicht ändern. Aus den Vorfaktoren wollen wir bekommen. Wir starten also mit dem Vektor , bilden den zugehörigen, bzgl. dargestellten Vektor , machen mit nichts und bilden dann den Koordinatenvektor bzgl. . Das sieht dem Vorgehen von oben ähnlich. Da wir nicht ändern, ist in unserem Fall . Damit sollte folgende Abbildungsmatrix die Aufgabe des Basiswechsels für uns übernehmen: . Sie bildet die Vorfaktoren bzgl. der Basis auf die Vorfaktoren bzgl. der Basis ab.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Basiswechselmatrix)

Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum und seien und zwei geordnete Basen von . Dann ist die Basiswechselmatrix von nach die Abbildungsmatrix der Identität bzgl. der Basen und , also . Wir nennen diese Matrix .

Die Basiswechselmatrix hat noch viele andere Namen. Sie wird in der Literatur auch als Übergangsmatrix, Basisübergangsmatrix, Transformationsmatrix oder Koordinatenwechselmatrix bezeichnet.

Warnung

Die Namen Transformations- bzw. Übergangsmatrix bezeichnen in der Literatur manchmal auch Matrizen, die keine Basiswechselmatrizen sind.

Basiswechselmatrizen bei der Klassifikation linearer Abbildungen[Bearbeiten]

Wiederholung: Klassifikation linearer Abbildungen[Bearbeiten]

Wir haben im Artikel Raum der linearen Abbildungen gesehen, dass die linearen Abbildungen zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen und einen neuen Vektorraum bilden. Gilt und , dann ist . Aus dem Einführungsartikel zu Matrizen wissen wir, dass Abbildungsmatrizen eine Möglichkeit sind, die Informationen, die die lineare Abbildung beschreiben, effizient zu speichern.

Wir haben bereits in der 1-1-Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen gesehen, dass wir Abbildungsmatrizen benutzen können, um lineare Abbildungen zu klassifizieren. Wie sieht diese Klassifikation aus? Wenn wir geordnete Basen von und von wählen, können wir einer linearen Abbildung die Matrix zuordnen. Diese Zuordnung gibt uns einen Isomorphismus

nach Konstruktion der Vektorraumstruktur auf Matrizen. So können wir jede lineare Abbildung von nach effizient durch die Matrix darstellen.

Das Problem mit dieser Darstellung[Bearbeiten]

Diese Klassifikation der Abbildung hängt von der Wahl der geordneten Basen und ab.

Beispiel (Verschiedene Darstellungsmatrizen einer Abbildung)

Wir betrachten die Abbildung

Sei die Standardbasis des . Wir betrachten außerdem die geordneten Basen und . Dann ist

Da

gilt, sieht die Abbildungsmatrix von bzgl. und wie folgt aus:

Führen wir die gleiche Rechnung mit den Basen und aus, erhalten wir

Damit ist die Abbildungsmatrix von bzgl. der Basen und

Somit sehen wir, dass gilt.

Lösung des Problems[Bearbeiten]

Gegeben sind eine Abbildung und geordnete Basen und von sowie und von . Wir stellen uns folgende Frage: Wie können wir die Darstellungsmatrix in die Darstellungsmatrix überführen? Aus der Definition der Darstellungsmatrix wissen wir, dass für alle Vektoren gilt und . Diese Gleichung können wir einem Diagram veranschaulichen:

Darstellung der gleichen linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen als zwei Diagramme

Bei diesen beiden Diagrammen ist es egal, welchen Weg man geht. Zum Beispiel ist es egal, ob wir mit von direkt nach gehen oder den Umweg über und einschlagen. Entsteht bei jedem Weg die gleiche Abbildung, spricht man von einem kommutierenden Diagramm.

Wir können die beiden Diagramme zusammenfügen:

Darstellung der gleichen linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen als ein Diagramme

Auch dieses Diagramm kommutiert wieder. Das heißt, wenn man einen festen Start- und Endpunkt hat, ist es immer noch egal, welchen Weg man im Diagramm geht. Es kommt immer die gleiche Abbildung heraus. Wenn wir links oben bei starten, ist es also egal, welchen Weg wir nutzen, um zum unten links zu kommen. Wir können über von nach gelangen oder zuerst , dann und schließlich ausführen.

Die verschiedenen Kompositionen in blau und rot eingezeichnet

Folglich ist die Abbildung gleich der Verknüpfung der Abbildungen , und . Wir haben nun gesehen, dass die Abbildung in die Abbildung überführt werden kann. Ursprünglich wollten wir aber die Matrix in die Matrix überführen. Wie kommen wir von der Abbildung wieder zu der Matrix ?

Die Matrix sieht kompliziert aus. Deshalb überlegen wir uns, wie wir diese Frage für eine allgemeine Matrix beantworten können. Wir betrachten die zu zugehörige lineare Abbildung . Die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung bezüglich den Standardbasen des und ist wieder . Setzen wir nun die Matrix für ein. Die Darstellungsmatrix der Abbildung bezüglich den Standardbasen ist genau .

Wie wir schon gesehen haben, ist die Abbildung gleich der Verknüpfung der Abbildungen , und . Also stimmt die Darstellungsmatrix der Verknüpfung von , und bzgl. der Standardbasen mit überein.

Wir können die Darstellungsmatrix der Verknüpfung aber auch anders ermitteln. Im Artikel Matrizenmultiplikation haben wir gesehen, dass Verknüpfungen von Abbildungen genau der Multiplikation der jeweiligen Darstellungsmatrizen entsprechen. Deshalb schreiben wir die Darstellungsmatrizen der verknüpften Abbildungen einzeln auf und multiplizieren sie dann.

  • Wie wir für schon gesehen haben, ist die Darstellungsmatrix von bezüglich der Standardbasen von und wieder .
  • Die Darstellungsmatrix von haben wir bereits oben hergeleitet, sie ist . Das ist genau die Basiswechselmatrix .
  • Genauso ist die Darstellungsmatrix von gegeben durch die Basiswechselmatrix .

Multiplizieren wir diese drei Matrizen, erhalten wir die Matrix . Also gilt . Das heißt, dass sich aus durch Linksmultiplikation mit und Rechtsmultiplikation mit berechnen lässt.

Transformation am Beispiel[Bearbeiten]

Wir wissen nun, wie wir Darstellungsmatrizen einer linearen Abbildung zu verschiedenen Basen ineinander überführen können. Betrachten wir noch einmal das obige Beispiel. Wir haben die lineare Abbildung

und die geordneten Basen , und . Die Matrix haben wir bereits berechnet:

Wir wollen durch Matrizenmultiplikation bestimmen, also durch . Wir müssen und bestimmen. Es gilt , denn die Basis ändert sich nicht. Nun zur Berechnung der Basiswechselmatrix : Wir wissen . Um diese Matrix zu bestimmen, müssen wir die Basisvektoren von in der Basis ausdrücken:

Also ist

Daraus folgt

Überzeuge dich davon, dass dieses Ergebnis mit dem von oben übereinstimmt.

Beispiele[Bearbeiten]

Basiswechsel einer Darstellungsmatrix[Bearbeiten]

Wir haben die Basen

von und die Basen

von gegeben. Sei eine Abbildung mit der folgenden Abbildungsmatrix bzgl. und :

Wir wollen die Abbildungsmatrix von bzgl. den Basen und bestimmen. Das machen wir mit Matrizenmultiplikation . Dafür müssen wir zunächst die Basiswechselmatrizen und berechnen.

Beispiel (Basiswechsel im )

Wir haben zwei Basen

im . Um die Übergangsmatrix von nach zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor:

1. Wir stellen die Basisvektoren von als Linearkombination der Vektoren von dar:

2. Wir schreiben die ermittelten Vorfaktoren der Linearkombinationen als Spaltenvektoren in eine Matrix. Sie ist genau die gesuchte Übergangsmatrix:

Beispiel (Basiswechsel im )

Wir betrachten die Basen

im . Wir wollen die Basiswechselmatrix von nach berechnen. Dafür stellen wir die Basisvektoren von als Linearkombination der Vektoren von dar:

Wie oben erhalten wir die Übergangsmatrix , indem wir die Vorfaktoren der Linearkombinationen als Spalten in eine Matrix schreiben:

Beispiel (Basiswechsel einer Darstellungsmatrix)

Wir haben die Basen und von und und Basen von . Sei eine Abbildung mit der folgenden Abbildungsmatrix bzgl. und :

Wir wollen die Abbildungsmatrix von bzgl. den Basen und bestimmen. Das machen wir mit Matrizenmultiplikation . In den vorherigen Beispielen haben wir und bereits bestimmt. Also können wir einfach rechnen:

Die Abbildungsmatrix von bzgl. den Basen und ist also

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

komplizierteres Bspl. evtl. mit Polynomen (z.B. Basiswechsel zwischen Monomen und Lagrange-Basis

Weiterführendes[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Links genauer spezifizieren, sobald die entsprechenden Abschnitte durchgeplant sind.

  • In den Beispielen haben wir gesehen, dass man häufig Gleichungssysteme lösen muss, um eine Basiswechselmatrix zu bereichnen. Dieses Lösen von linearen Gleichungssystemen werden wir im Bereich zu Gleichungssystemen und Matrizen systematischer betreiben.
  • Wir haben jetzt gesehen, wie wir aus einem Basiswechsel eine Matrix bekommen. Die umgekehrte Frage, d.h. welche Matrizen zu Basiswechseln korrespondieren, werden wir im Artikel Inverse Matrizen behandeln.