Basiswechselmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung

Wir haben im Artikel Basis gesehen, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis besitzt. Das heißt, wenn $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum ist, gibt es eine Basis $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ von $V$. Also lässt sich jeder Vektor $v\in V$ eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren $b_{1},\ldots ,b_{n}$ schreiben, d.h. $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}$ mit eindeutigen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$.

Weiter wissen wir, dass Vektorräume mehr als eine Basis haben können. Sei $C=\{c_{1},\ldots ,c_{n}\}$ eine zweite Basis von $V$. Dann können wir $v$ auch eindeutig als Linearkombination der $c_{i}$ schreiben, d.h. $v=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}c_{i}$ mit eindeutigen $\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}\in K$.

Wir haben also zwei Darstellungen des Vektors $v$. Über die Basis $B$ bekommen wir die Darstellung $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}$ und über die Basis $C$ erhalten wir $v=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}c_{i}$.

Wie können wir die Basisdarstellung bezüglich $B$ des Vektors $v$ in die Darstellung bezüglich $C$ überführen?

Diese Frage ist insbesondere interessant im Zusammenhang mit Abbildungsmatrizen. Abbildungsmatrizen erlauben uns, mit Koordinaten statt mit Vektoren von $V$ zu rechnen. Die Koordinaten eines Vektors hängen aber immer von der gewählten Basis in $V$ ab. Wir wollen eine einfache Möglichkeit, um Koordinaten beliebiger Vektoren bzgl. einer Basis $B$ von $V$ in Koordinaten bzgl. einer anderen Basis $C$ von $V$ umzurechnen.

Die Situation im $K^{n}$

Um diese Frage zu ergründen, starten wir mit einem einfacheren Spezialfall. Als Vektorraum betrachten wir den $K^{n}$ und setzen $B$ als die (geordnete) Standardbasis $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ fest. Sei weiter $C=(c_{1},\ldots ,c_{n})$ eine beliebige geordnete Basis des $K^{n}$. Wir müssen für $B$ und $C$ geordnete Basen benutzen, damit wir sinnvoll über die Abbildungsmatrizen sprechen können.

To-Do:

"Abbildungsmatrizen" verlinken auf eine Diskussion im Artikel zu Abbildungsmatrizen, wo diskutiert wird, dass wir hier geordnete Basen brauchen.

Ein Vektor $v\in K^{n}$ lässt sich in der Basis $C$ wie folgt ausdrücken: $v=\lambda _{1}c_{1}+\cdots +\lambda _{n}c_{n}$ für eindeutig bestimmte $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$. Gibt es eine Methode, mit der wir die Koordinaten jedes Vektors $v\in K^{n}$ bzgl. der Standardbasis einfach in Koordinaten bzgl. $C$ umrechnen können? Sei $v=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ ein Vektor, dessen Koordinaten bezüglich der Standardbasis $B$ wir kennen. Wie können wir die Koordinaten $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K$ von $v$ bzgl. der Basis $C$ einfach aus den Koordinaten $x_{1},\dots ,x_{n}$ von $v$ bzgl. der Standardbasis $B$ berechnen?

Wir wollen also eine Methode, um für gegebene $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die zugehörigen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ zu finden. Wir wollen die Abbildung $K^{n}\to K^{n}$ beschreiben, die jeden Vektor $v=(x_{1},...,x_{n})^{T}\in K^{n}$ auf seinen Koordinatenvektor $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}\in K^{n}$ bzgl. $C$ abbildet.

Diese Abbildung ist die Koordinatenabbildung $k_{C}:K^{n}\to K^{n}$, die wir schon aus dem Artikel "Isomorphismus" kennen. Um herauszufinden, wie der Vektor $v$ ausgedrückt in der Basis $C$ aussieht, müssen wir die Abbildung $k_{C}$ beschreiben. Wir wissen schon, dass $k_{C}$ linear ist. Um die Abbildung zu beschreiben, können wir sie als Darstellungsmatrix ausdrücken. Wir sind im $K^{n}$ und wir setzen $(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ in die Abbildung ein und wollen $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}$ herausbekommen. Also sind Input und Output der Abbildung $k_{C}$ in der Standardbasis gegeben. Deshalb benutzen wir die Standardbasis, um die Darstellungsmatrix von $k_{C}$ anzugeben. Dafür müssen wir $k_{C}$ auf die Standardbasisvektoren $e_{1},\dots ,e_{n}$ anwenden. Das heißt, wir müssen $e_{1},\dots ,e_{n}$ bezüglich $C$ darstellen. Sei

${\begin{aligned}e_{1}=&\sum _{i=1}^{n}a_{i1}c_{i}\\&\vdots \\e_{n}=&\sum _{i=1}^{n}a_{in}c_{i}\end{aligned}}$

eine ebensolche Darstellung. Die Koeffizienten $a_{ij}$ kann man durch Lösen eines linearen Gleichungssystems bestimmen.

To-Do:

Verlinken, sobald der Artikel zum Gleichungssytem fertig ist / an die Stelle verlinken, wo das für die Koordinatnenabbildung gemacht wird.

Dann ist $k_{C}(e_{j})=(a_{1j},a_{2j},\ldots ,a_{nj})^{T}$ für $j=1,\ldots ,n$. Damit erhalten wir die Abbildungsmatrix

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Die Spalten von $A$ bestehen also aus den Koordinatenvektoren der Standardbasisvektoren bzgl. $C$. Weil unsere Abbildung von $K^{n}$ nach $K^{n}$ geht und wir $k_{C}$ bezüglich der Standardbasis darstellen, erhalten wir $Ay=k_{C}(y)$ für alle $y\in K^{n}$. Die gesuchten Vorfaktoren $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ erhalten wir also durch

$A{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\vdots \\\lambda _{n}\end{pmatrix}}.$

Die Matrix $A$ ist nach unserer Konstruktion die Abbildungsmatrix $M_{\mathrm {Std} }^{\mathrm {Std} }(k_{C})$ bezüglich der Standardbasis.

Verallgemeinerung auf beliebige endlichdimensionale Vektorräume

In einem allgemeinen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ gibt es anders als im $K^{n}$ keine Standardbasis. In dieser Situation haben wir zwei geordnete Basen $B=(b_{1},\dots ,b_{n})$ und $C=(c_{1},\dots ,c_{n})$. Weiter haben wir einen beliebigen Vektor $v\in V$ gegeben als Linearkombination $v=x_{1}b_{1}+\dots +x_{n}b_{n}$ bzgl. der Basis $B$ mit $x_{1},\dots ,x_{n}\in K$. Die Koeffizienten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ werden auch die Koordinaten von $v$ bzgl. $B$ genannt. Entsprechend sind die Koordinaten bzgl. der Basis $C$ gewisse Skalare $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K$ mit $v=\lambda _{1}c_{1}+\dots +\lambda _{n}c_{n}$.

Wir suchen eine Methode, um die Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzgl. $B$ eines beliebigen Vektors $v\in V$ in die Koordinaten $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ bzgl. $C$ umzurechnen. Wir benötigen also eine Abbildung $K^{n}\to K^{n}$, die $(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ auf $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}$ abbildet.

Wir kennen bereits die Koordinatenabbildungen $k_{B}:V\to K^{n}$ mit $k_{B}(v)=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$ und $k_{C}:V\to K^{n}$ mit $k_{C}(v)=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}$. Wir wollen aus $(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$ den Vektor $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}\in K^{n}$ erhalten. Die Koordinatenabbildungen sind Isomorphismen. Also schickt $k_{B}^{-1}:K^{n}\to V$ den Vektor $(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ auf $v$ und $k_{C}:V\to K^{n}$ bildet $v$ auf $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}$ ab. Führen wir erst $k_{B}^{-1}$ und anschließend $k_{C}$ aus, so erhalten wir eine Abbildung, die $(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ auf $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}$ abbildet.

Unsere gewünschte Transformation wird also durch die lineare Abbildung $k_{C}\circ k_{B}^{-1}:K^{n}\to K^{n}$ realisiert. Wir können dann, wie oben bei der Situation im $K^{n}$, die Abbildungsmatrix von dieser linearen Abbildung im $K^{n}$ bezüglich der Standardbasis bestimmen. Diese Abbildungsmatrix ist dann $M_{\mathrm {Std} }^{\mathrm {Std} }(k_{C}\circ k_{B}^{-1})$. Wenn wir uns an den Artikel Abbildungsmatrizen erinnern, ist dies aber das Gleiche, wie die Abbildungsmatrix $M_{C}^{B}(\operatorname {id} _{V})$, wegen $k_{C}\circ k_{B}^{-1}=k_{C}\circ \operatorname {id} _{V}\circ k_{B}^{-1}$.

Warum dieses Ergebnis für den Basiswechsel nicht so überraschend ist

Wenn wir uns überlegen, was Abbildungsmatrizen machen, ist dies intuitiv folgendes:

Eine Abbildungsmatrix $M_{C}^{B}(f)$ verhält sich in gewisser Weise wie die zu ihr korrespondierende lineare Abbildung $f\colon V\to V$: Dies sieht man darin, was es bedeutet, $M_{C}^{B}(f)$ auf einen Vektor $x\in K^{n}$ anzuwenden - also $M_{C}^{B}(f)\cdot x$ zu berechnen. Wir können $x$ als den Koordinatenvektor eines Vektors $v\in V$ bzgl. $B$ auffassen. Auf diesen Vektor $v$ wenden wir nun $f$ an und erhalten $f(v)$. Diesen stellen wir nun bezüglich $C$ dar und erhalten den Koordinatenvektor $y$. Dieser ist das Ergebnis der Multiplikation $y=M_{C}^{B}(f)\cdot x$.

Genauer passiert folgendes: Wir nehmen einen Vektor $x=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$. Was passiert, wenn wir $M_{C}^{B}(f)$ auf $x$ anwenden? Wir bilden zuerst den Vektor $v=x_{1}b_{1}+\dots +x_{n}b_{n}\in V$. Der Vektor $v$ ist genau die Linearkombination bezüglich der Basis $B$ mit den Vorfaktoren $x_{1},\dots ,x_{n}$ und $x$ ist der Koordinatenvektor von $v$ bzgl. $B$. Dann wenden wir $f$ auf $v$ an und erhalten den Vektor $f(v)\in V$. Anschließend wird $f(v)$ in der Basis $C$ ausgedrückt $f(v)=\lambda _{1}c_{1}+\dots +\lambda _{n}c_{n}$. Nun erhalten wir nach der Definition von Abbildungsmatrizen: $M_{C}^{B}(f)\cdot x=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$.

In unserem Fall wollen wir den bezüglich $B$ dargestellten Vektor $v=x_{1}b_{1}+\dots +x_{n}b_{n}\in V$ bezüglich $C$ darstellen: $v=\lambda _{1}c_{1}+\dots +\lambda _{n}c_{n}$. Das heißt, dieser Vektor $v$ an sich soll sich nicht ändern. Aus den Vorfaktoren $x_{1},\dots ,x_{n}$ wollen wir $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ bekommen. Wir starten also mit dem Vektor $x=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$, bilden den zugehörigen, bzgl. $B$ dargestellten Vektor $v\in V$, machen mit $v$ nichts und bilden dann den Koordinatenvektor $y=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ bzgl. $C$. Das sieht dem Vorgehen von oben ähnlich. Da wir $v$ nicht ändern, ist in unserem Fall $f=\operatorname {id} _{V}$. Damit sollte folgende Abbildungsmatrix die Aufgabe des Basiswechsels für uns übernehmen: $M_{C}^{B}(\operatorname {id} _{V})$. Sie bildet die Vorfaktoren bzgl. der Basis $B$ auf die Vorfaktoren bzgl. der Basis $C$ ab.

Definition

Definition (Basiswechselmatrix)

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum und seien $B$ und $C$ zwei geordnete Basen von $V$. Dann ist die Basiswechselmatrix von $B$ nach $C$ die Abbildungsmatrix der Identität $\operatorname {id_{V}}$ bzgl. der Basen $B$ und $C$, also $M_{C}^{B}(\operatorname {id_{V}} )$. Wir nennen diese Matrix $T_{C}^{B}$.

Die Basiswechselmatrix hat noch viele andere Namen. Sie wird in der Literatur auch als Übergangsmatrix, Basisübergangsmatrix, Transformationsmatrix oder Koordinatenwechselmatrix bezeichnet.

Warnung

Die Namen Transformations- bzw. Übergangsmatrix bezeichnen in der Literatur manchmal auch Matrizen, die keine Basiswechselmatrizen sind.

Basiswechselmatrizen bei der Klassifikation linearer Abbildungen

Wiederholung: Klassifikation linearer Abbildungen

Wir haben im Artikel Raum der linearen Abbildungen gesehen, dass die linearen Abbildungen zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen $V$ und $W$ einen neuen Vektorraum $\operatorname {Hom} (V,W)$ bilden. Gilt $\operatorname {dim} (V)=n$ und $\operatorname {dim} (W)=m$, dann ist $\operatorname {dim} (\operatorname {Hom} (V,W))=n\cdot m$. Aus dem Einführungsartikel zu Matrizen wissen wir, dass Abbildungsmatrizen eine Möglichkeit sind, die $n\cdot m$ Informationen, die die lineare Abbildung beschreiben, effizient zu speichern.

Wir haben bereits in der 1-1-Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen gesehen, dass wir Abbildungsmatrizen benutzen können, um lineare Abbildungen zu klassifizieren. Wie sieht diese Klassifikation aus? Wenn wir geordnete Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$ wählen, können wir einer linearen Abbildung $f\colon V\to W$ die Matrix $M_{C}^{B}(f)$ zuordnen. Diese Zuordnung gibt uns einen Isomorphismus

$\operatorname {Hom} (V,W)\cong K^{m\times n}$

nach Konstruktion der Vektorraumstruktur auf Matrizen. So können wir jede lineare Abbildung $f$ von $V$ nach $W$ effizient durch die Matrix $M_{C}^{B}(f)$ darstellen.

Das Problem mit dieser Darstellung

Diese Klassifikation der Abbildung hängt von der Wahl der geordneten Basen $B$ und $C$ ab.

Beispiel (Verschiedene Darstellungsmatrizen einer Abbildung)

Wir betrachten die Abbildung

$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},\quad {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+y\\2y\end{pmatrix}}$

Sei $B=(e_{1},e_{2})$ die Standardbasis des $\mathbb {R} ^{2}$. Wir betrachten außerdem die geordneten Basen $C=((1,1)^{T},(1,0)^{T})$ und $C'=((1,2)^{T},(1,0)^{T})$. Dann ist

${\begin{aligned}f(e_{1})&={\begin{pmatrix}1+0\\2\cdot 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\[0.5em]f(e_{2})&={\begin{pmatrix}0+1\\2\cdot 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Da

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}&=0\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\ {\text{ und}}\\[0.3em]{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}&=2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+(-1)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

gilt, sieht die Abbildungsmatrix von $f$ bzgl. $B$ und $C$ wie folgt aus:

$M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}0&2\\1&-1\end{pmatrix}}$

Führen wir die gleiche Rechnung mit den Basen $B$ und $C'$ aus, erhalten wir

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}&=0\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\ {\text{ und}}\\[0.3em]{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}&=1\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\end{aligned}}.$

Damit ist die Abbildungsmatrix von $f$ bzgl. der Basen $B$ und $C'$

$M_{C'}^{B}(f)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Somit sehen wir, dass $M_{C}^{B}(f)\neq M_{C'}^{B}(f)$ gilt.

Lösung des Problems

Gegeben sind eine Abbildung $f:V\to W$ und geordnete Basen $B$ und $B'$ von $V$ sowie $C$ und $C'$ von $W$. Wir stellen uns folgende Frage: Wie können wir die Darstellungsmatrix $M_{C}^{B}(f)$ in die Darstellungsmatrix $M_{C'}^{B'}(f)$ überführen? Aus der Definition der Darstellungsmatrix wissen wir, dass für alle Vektoren $x\in K^{n}$ gilt $M_{C}^{B}(f)x=k_{C}\circ f\circ k_{B}^{-1}(x)$ und $M_{C'}^{B'}(f)x=k_{C'}\circ f\circ k_{B'}^{-1}(x)$. Diese Gleichung können wir einem Diagram veranschaulichen:

Bei diesen beiden Diagrammen ist es egal, welchen Weg man geht. Zum Beispiel ist es egal, ob wir mit $f$ von $V$ direkt nach $W$ gehen oder den Umweg über $K^{n}$ und $K^{m}$ einschlagen. Entsteht bei jedem Weg die gleiche Abbildung, spricht man von einem kommutierenden Diagramm.

Wir können die beiden Diagramme zusammenfügen:

Auch dieses Diagramm kommutiert wieder. Das heißt, wenn man einen festen Start- und Endpunkt hat, ist es immer noch egal, welchen Weg man im Diagramm geht. Es kommt immer die gleiche Abbildung heraus. Wenn wir links oben bei $K^{n}$ starten, ist es also egal, welchen Weg wir nutzen, um zum $K^{m}$ unten links zu kommen. Wir können über $x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x$ von $K^{n}$ nach $K^{m}$ gelangen oder zuerst $k_{B}\circ k_{B'}^{-1}:K^{n}\to K^{n}$, dann $x\mapsto M_{C}^{B}(f)x$ und schließlich $k_{C'}\circ k_{C}^{-1}:K^{m}\to K^{m}$ ausführen.

Folglich ist die Abbildung $K^{n}\to K^{m},\ x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x$ gleich der Verknüpfung der Abbildungen $k_{B}\circ k_{B'}^{-1}$, $x\mapsto M_{C}^{B}(f)x$ und $k_{C'}\circ k_{C}^{-1}$. Wir haben nun gesehen, dass die Abbildung $x\mapsto M_{C}^{B}(f)x$ in die Abbildung $x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x$ überführt werden kann. Ursprünglich wollten wir aber die Matrix $M_{C}^{B}(f)$ in die Matrix $M_{C'}^{B'}(f)$ überführen. Wie kommen wir von der Abbildung $K^{n}\to K^{m},\ x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x$ wieder zu der Matrix $M_{C'}^{B'}(f)\in K^{m\times n}$?

Die Matrix $M_{C'}^{B'}(f)$ sieht kompliziert aus. Deshalb überlegen wir uns, wie wir diese Frage für eine allgemeine Matrix $A\in K^{m\times n}$ beantworten können. Wir betrachten die zu $A$ zugehörige lineare Abbildung $L_{A}:K^{n}\to K^{m},\ x\mapsto Ax$. Die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $L_{A}$ bezüglich den Standardbasen des $K^{n}$ und $K^{m}$ ist wieder $A$. Setzen wir nun die Matrix $M_{C'}^{B'}(f)$ für $A$ ein. Die Darstellungsmatrix der Abbildung $x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x$ bezüglich den Standardbasen ist genau $M_{C'}^{B'}(f)$.

Wie wir schon gesehen haben, ist die Abbildung $x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x$ gleich der Verknüpfung der Abbildungen $k_{B}\circ k_{B'}^{-1}$, $x\mapsto M_{C}^{B}(f)x$ und $k_{C'}\circ k_{C}^{-1}$. Also stimmt die Darstellungsmatrix der Verknüpfung von $k_{B}\circ k_{B'}^{-1}$, $x\mapsto M_{C}^{B}(f)x$ und $k_{C'}\circ k_{C}^{-1}$ bzgl. der Standardbasen mit $M_{C'}^{B'}(f)$ überein.

Wir können die Darstellungsmatrix der Verknüpfung aber auch anders ermitteln. Im Artikel Matrizenmultiplikation haben wir gesehen, dass Verknüpfungen von Abbildungen genau der Multiplikation der jeweiligen Darstellungsmatrizen entsprechen. Deshalb schreiben wir die Darstellungsmatrizen der verknüpften Abbildungen einzeln auf und multiplizieren sie dann.

• Wie wir für $M_{C'}^{B'}(f)$ schon gesehen haben, ist die Darstellungsmatrix von $x\mapsto M_{C}^{B}(f)x$ bezüglich der Standardbasen von $K^{n}$ und $K^{m}$ wieder $M_{C}^{B}(f)$.
• Die Darstellungsmatrix von $k_{C'}\circ k_{C}^{-1}$ haben wir bereits oben hergeleitet, sie ist $M_{C'}^{C}(\operatorname {id} )$. Das ist genau die Basiswechselmatrix $T_{C'}^{C}$.
• Genauso ist die Darstellungsmatrix von $k_{B}\circ k_{B'}^{-1}$ gegeben durch die Basiswechselmatrix $T_{B}^{B'}=M_{B}^{B'}(\operatorname {id} )$.

Multiplizieren wir diese drei Matrizen, erhalten wir die Matrix $M_{C'}^{B'}(f)$. Also gilt $M_{C'}^{B'}(f)=T_{C'}^{C}M_{C}^{B}(f)T_{B}^{B'}$. Das heißt, dass sich $M_{C'}^{B'}(f)$ aus $M_{C}^{B}(f)$ durch Linksmultiplikation mit $T_{C'}^{C}$ und Rechtsmultiplikation mit $T_{B}^{B'}$ berechnen lässt.

Transformation am Beispiel

Wir wissen nun, wie wir Darstellungsmatrizen einer linearen Abbildung zu verschiedenen Basen ineinander überführen können. Betrachten wir noch einmal das obige Beispiel. Wir haben die lineare Abbildung

$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},\quad {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+y\\2y\end{pmatrix}}$

und die geordneten Basen $B=(e_{1},e_{2})$, $C=((1,1)^{T},(1,0)^{T})$ und $C'=((1,2)^{T},(1,0)^{T})$. Die Matrix $M_{C}^{B}(f)$ haben wir bereits berechnet:

$M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}0&2\\1&-1\end{pmatrix}}$

Wir wollen $M_{C'}^{B}(f)$ durch Matrizenmultiplikation bestimmen, also durch $M_{C'}^{B}(f)=T_{C'}^{C}M_{C}^{B}(f)T_{B}^{B}$. Wir müssen $T_{B}^{B}$ und $T_{C'}^{C}$ bestimmen. Es gilt $T_{B}^{B}=I_{2}$, denn die Basis $B$ ändert sich nicht. Nun zur Berechnung der Basiswechselmatrix $T_{C'}^{C}$: Wir wissen $T_{C'}^{C}=M_{C'}^{C}(\operatorname {id} )$. Um diese Matrix zu bestimmen, müssen wir die Basisvektoren von $C$ in der Basis $C'$ ausdrücken:

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}&={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\[0.5em]{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}&=0\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Also ist

$T_{C'}^{C}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}.$

Daraus folgt

$M_{C'}^{B}(f)=T_{C'}^{C}M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&2\\1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Überzeuge dich davon, dass dieses Ergebnis mit dem von oben übereinstimmt.

Beispiele

Basiswechsel einer Darstellungsmatrix

Wir haben die Basen

$B'=\left({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right)\quad {\text{und}}\quad B=\left({\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\right)$

von $\mathbb {R} ^{2}$ und die Basen

$C=\left({\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}\right)\quad {\text{und}}\quad C'=\left({\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right)$

von $\mathbb {R} ^{3}$ gegeben. Sei $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ eine Abbildung mit der folgenden Abbildungsmatrix bzgl. $B$ und $C$:

$M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}5&-3\\2&4\\0&-2\end{pmatrix}}$

Wir wollen die Abbildungsmatrix von $f$ bzgl. den Basen $B'$ und $C'$ bestimmen. Das machen wir mit Matrizenmultiplikation $M_{C'}^{B'}(f)=T_{C'}^{C}M_{C}^{B}(f)T_{B}^{B'}$. Dafür müssen wir zunächst die Basiswechselmatrizen $T_{B}^{B'}$ und $T_{C'}^{C}$ berechnen.

Beispiel (Basiswechsel im $\mathbb {R} ^{2}$)

Wir haben zwei Basen

$B'=\left({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right)\quad {\text{und}}\quad B=\left({\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\right)$

im $\mathbb {R} ^{2}$ . Um die Übergangsmatrix $T_{B}^{B'}$ von $B'$ nach $B$ zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor:

1. Wir stellen die Basisvektoren von $B'$ als Linearkombination der Vektoren von $B$ dar:

${\begin{array}{ccrcr}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}&=&2\cdot {\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}&+&1\cdot {\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\\[0.5em]{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}&=&{\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}&+&{\frac {1}{2}}\cdot \ {\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\end{array}}$

2. Wir schreiben die ermittelten Vorfaktoren der Linearkombinationen als Spaltenvektoren in eine Matrix. Sie ist genau die gesuchte Übergangsmatrix:

$T_{B}^{B'}={\begin{pmatrix}2&{\frac {1}{2}}\\1&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

Beispiel (Basiswechsel im $\mathbb {R} ^{3}$)

Wir betrachten die Basen

$C=\left({\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}\right)\quad {\text{und}}\quad C'=\left({\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right)$

im $\mathbb {R} ^{3}$. Wir wollen die Basiswechselmatrix $T_{C'}^{C}$ von $C$ nach $C'$ berechnen. Dafür stellen wir die Basisvektoren von $C$ als Linearkombination der Vektoren von $C'$ dar:

${\begin{array}{ccrcrcr}{\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}}&=&3\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}&-&5\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}&+&3\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\\[0.5em]{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}}&=&-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}&+&1\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}&+&0\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\\[0.5em]{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}&=&1\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}&+&0\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}&+&1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\end{array}}$

Wie oben erhalten wir die Übergangsmatrix $T_{C'}^{C}$, indem wir die Vorfaktoren der Linearkombinationen als Spalten in eine Matrix schreiben:

$T_{C'}^{C}={\begin{pmatrix}3&-1&1\\-5&1&0\\3&0&1\end{pmatrix}}$

Beispiel (Basiswechsel einer Darstellungsmatrix)

Wir haben die Basen $B'=((2,1)^{T},(1,1)^{T})$ und $B=((0,-1)^{T},(2,3)^{T})$ von $\mathbb {R} ^{2}$ und $C=((1,-2,3)^{T},(0,0,-1)^{T},(2,1,1)^{T})$ und $C'=((1,1,1)^{T},(1,1,0)^{T},(1,0,0)^{T})$ Basen von $\mathbb {R} ^{3}$. Sei $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ eine Abbildung mit der folgenden Abbildungsmatrix bzgl. $B$ und $C$:

$M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}5&-3\\2&4\\0&-2\end{pmatrix}}$

Wir wollen die Abbildungsmatrix von $f$ bzgl. den Basen $B'$ und $C'$ bestimmen. Das machen wir mit Matrizenmultiplikation $M_{C'}^{B'}(f)=T_{C'}^{C}M_{C}^{B}(f)T_{B}^{B'}$. In den vorherigen Beispielen haben wir $T_{B}^{B'}$ und $T_{C'}^{C}$ bereits bestimmt. Also können wir einfach rechnen:

${\begin{aligned}&M_{C'}^{B'}(f)=T_{C'}^{C}M_{C}^{B}(f)T_{B}^{B'}={\begin{pmatrix}3&-1&1\\-5&1&0\\3&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}5&-3\\2&4\\0&-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&{\frac {1}{2}}\\1&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\\[0.5em]=&{\begin{pmatrix}3&-1&1\\-5&1&0\\3&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}7&1\\8&3\\-2&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11&-1\\-27&-2\\19&2\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Die Abbildungsmatrix von $f$ bzgl. den Basen $B'$ und $C'$ ist also

$M_{C'}^{B'}(f)={\begin{pmatrix}11&-1\\-27&-2\\19&2\end{pmatrix}}.$

To-Do:

komplizierteres Bspl. evtl. mit Polynomen (z.B. Basiswechsel zwischen Monomen und Lagrange-Basis

Weiterführendes

To-Do:

Links genauer spezifizieren, sobald die entsprechenden Abschnitte durchgeplant sind.

• In den Beispielen haben wir gesehen, dass man häufig Gleichungssysteme lösen muss, um eine Basiswechselmatrix zu bereichnen. Dieses Lösen von linearen Gleichungssystemen werden wir im Bereich zu Gleichungssystemen und Matrizen systematischer betreiben.
• Wir haben jetzt gesehen, wie wir aus einem Basiswechsel eine Matrix bekommen. Die umgekehrte Frage, d.h. welche Matrizen zu Basiswechseln korrespondieren, werden wir im Artikel Inverse Matrizen behandeln.