Basiswechselmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin / dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Dieser Artikel wurde vor kurzem von einem nicht angemeldeten Benutzer erstellt. Wenn du den Artikel erstellt hast, dann melde dich doch unter hochschulmathematik@serlo.org, weil wir ein paar Rückfragen haben.

Wiederholung: Basis

Wir haben jetzt inzwischen schon öfters mit Basen gearbeitet. Wer sich in diesem Thema nicht mehr sicher fühlt, sollte vielleicht einen Blick zurück in das Kapitel Basis eines Vetorraums werfen. Hier wird nur kurz der für dieses Thema wichtige Teil wiederholt.

To-Do:

Kurze Wiederholung einer Basis

Motivation

Jedes Element eines Vektorraums, hier beispielsweise der $\mathbb {R} ^{2}$, lässt sich durch eine geeignete Kombination der Basisvektoren erreichen. Eine Basis ist allerdings keineswegs eindeutig. So hat der $\mathbb {R} ^{2}$ etwa die euklidische Basis $E=\{e_{1},e_{2}\}=\{(1,0)^{T},(0,1)^{T}\}$. Allerdings erfüllen die Vektoren $B=\{b_{1},b_{2}\}=\{(1,-1)^{T},(1,1)^{T}\}$ ebenso die Kriterien einer Basis und sind damit ebenso eine gleichberechtigte Basis des $\mathbb {R} ^{2}$.

To-Do:

Einen Beispielfall darlegen, wo ein Basiswechsel sinnvoll ist (außer Eigenvektoren, das sie den Studierenden aktuell noch unbekannt sind. Eine intuitive Beschreibung reicht.

Es gibt Fälle, in denen die Wahl einer geeigneten Basis ein mathematisches Problem stark vereinfacht, wenn die Basis an das Problem angepasst ist. Ein besonders einfacher Spezialfall hiervon sind Eigenvektoren, die die natürlichste Basis einer linearen Abbildung angeben.

To-Do:

Erklärung: Wieso muss man einen Basiswechsel durchführen? Was bedeutet ein Basiswechsel?

Hat man eine solche Basis gefunden, muss man den Basiswechsel durchführen.

To-Do:

Wieso muss eine Matrix angepasst werden, wenn die Basis gewechselt wird?

Wie sich der Wechsel der Basis auf eine lineare Abbildung oder genauer, deren Matrixschreibweise, auswirkt, werden wir in diesem Kapitel erarbeiten. Dazu fangen wir erst einmal mit dem einfachsten Fall an, dem Basiswechsel bei einem Vektor.

Basiswechsel für Vektoren

Begriff des Koordinatenvektors und einführendes Beispiel

Um zu verstehen, wie sich ein Basiswechsel auf Vektoren auswirkt, führen wir erst einmal den Begriff des Koordinatenvektors ein.

Den Koordinatenvektor bezüglich einer Basis $B=\{b_{1},b_{2}\}$ bezeichnen wir als $[v]_{B}$. Er gibt an, wie die Basisvektoren $b_{1}$ und $b_{2}$ kombiniert werden müssen, um den Vektor $v$ zu erzeugen.

Der Vektor $v$ lasse sich durch folgende Linearkombinationen aus den Basisvektoren $b_{1},b_{2}$ erzeugen:

$v=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}$

Dann sieht der Koordinatenvektor bezüglich der Basis $B$ so aus:

$[v]_{B}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}$

Das mag für den Anfang sehr kompliziert klingen, ist aber bei genauerer Betrachtung einfacher, als es zunächst anmutet. Schließlich haben wir das bei der euklidischen Basis schon immer gemacht.

Hier ein kleines Beispiel:

$v={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}=3\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=3\cdot e_{1}+2\cdot e_{2}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}=[v]_{E}$

Wie man an obigem Beispiel sehen kann, sind bezogen auf die euklidische Basis Vektor und Koordinatenvektor identisch.

Nun wollen wir herausfinden, wie der Koordinatenvektor von $v$ bezogen auf die Basis $B=\{(1,-1)^{T},(1,1)^{T}\}$ aussieht. Dabei erhalten wir ein Gleichungssystem, welches es zu Lösen gilt.

$v={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}=a_{1}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}+a_{2}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

Wir erhalten nun also zwei Gleichungen. Zum Einen

$3=a_{1}+a_{2}$

und zum anderen

$2=-a_{1}+a_{2}$

Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man $a_{1}=0,5$ und $a_{2}=2,5$. Damit ergibt sich also für den Koordinatenvektor

$[v]_{B}={\begin{pmatrix}0,5\\2,5\end{pmatrix}}$

Wir sehen also: Obwohl der Vektor beide Male der gleiche ist, ist der Koordinatenvektor bezüglich der beiden Basen $E$ und $B$ völlig unterschiedlich.

Allgemeine Transformationsformel

Nun wissen wir zwar, wie man einen beliebigen Vektor mittels des Koordinatenvektors bezüglich einer anderen Basis darstellt. Doch unser bisheriges Verfahren wird schnell sehr aufwändig und hilft uns bei unserer ursprünglichen Fragestellung, nämlich wie sich eine lineare Abbildung bei einem Basiswechsel verhält, auch nur begrenzt.

Allerdings gibt es mit der richtigen Vorbereitung einen recht schnellen Weg, jeden beliebigen Vektor in seine Koordinatendarstellung bezüglich einer anderen Basis zu transformieren. Dazu greifen wir auf eine der Eigenschaften einer Basis zurück, nämlich dass sie maximal aufspannend ist. Jeder Vektor kann also aus den Basisvektoren hervorgehen. Drücken wir also einfach mal die neuen Basisvektoren als Linearkombination der alten aus.

Die alte Basis bezeichnen wir mit $G=\{g_{1},g_{2},...,g_{n}\}$ und die neue Basis mit $B=\{b_{1},b_{2},...,b_{n}\}$, wobei $n$ die Anzahl der Dimensionen des Vektorraums ist.

Die Vektoren $b_{1}$ bis $b_{n}$ lassen sich folgendermaßen durch die Vektoren $g_{1},...,g_{n}$ bilden:

${\begin{aligned}b_{1}&=a_{11}g_{1}+...+a_{1n}g_{n}\\b_{2}&=a_{21}g_{1}+...+a_{2n}g_{n}\\&\vdots \\b_{n}&=a_{n1}g_{1}+...+a_{nn}g_{n}\end{aligned}}$

Aus den Koeffizienten $a_{ij}$ können wir nun eine Koeffizientenmatrix bilden. Transformiert man diese, erhält man sie sogenannte Übergangsmatrix U. Sie ist also von der Gestalt

$U={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{n1}\\\vdots &&\vdots \\a_{1n}&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}}$

Außerdem ist sie auch noch invertierbar.

To-Do:

Warum ist sie invertierbar?

Der Name Übergangsmatrix kommt also nicht von ungefähr! Mit ihr lässt sich beliebig vom Koordinatenvektor bezüglich der alten Basis in den bezüglich der neuen Basis wechseln.

Sei $U$ die Übergangsmatrix von einer (alten) Basis $G$ in eine (neue) Basis $B$. Dann gilt für die Koordinatenvektoren eines jeden Vektors $v$:

$U\cdot [v]_{B}=[v]_{G}$

und umgekehrt

$[v]_{B}=U^{-1}\cdot [v]_{G}$

To-Do:

konkretes Beispiel

Basiswechsel für Automorphismen

Der Einfachheit halber besprechen wir den Prozess des Basiswechsels erst mal an einem Spezialfall, den Automorphismen. Zur Erinnerung: Ein Automorphismus ist ein bijektiver Endomorphismus, also eine invertierbare, lineare Abbildung eines Vektorraums in sich selbst.

$f:V\rightarrow V$ mit $f$ linear und invertierbar ist also ein Automorphismus.