Basiswechselmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Herleitung[Bearbeiten]

Wir haben im Artikel Basis gesehen, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis besitzt. Das heißt, wenn ein -dimensionaler Vektorraum ist, gibt es eine Basis von . Also lässt sich jeder Vektor eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren schreiben: .

Weiter wissen wir, dass Vektorräume (im Allgemeinen) mehr als eine Basis haben. Das heißt, es gibt eine zweite Basis von . Also können wir auch eindeutig als Linearkombination der schreiben: .

Wir haben also zwei Darstellungen des Vektors . Über die Basis bekommen wir die Darstellung und über die Basis erhalten wir .

Wie können wir die Basisdarstellung bezüglich des Vektors in die Darstellung bezüglich überführen?

Diese Frage ist insbesondere interessant im Zusammenhang mit Abbildungsmatrizen. Um eine Abbildungsmatrix zu bestimmen, müssen wir immer eine Basis wählen. Wenn wir auf einen Vektor anwenden wollen, müssen wir diesen erst bezüglich der Basis darstellen. Angenommen der Vektor ist bezüglich einer anderen Basis gegeben, wie können wir die gleiche Abbildungsmatrix trotzdem auf anwenden, ohne eine neue Abbildungsmatrix zu bestimmen?

Die Situation im [Bearbeiten]

Um diese Frage zu ergründen, starten wir mit einem einfacheren Spezialfall. Als Vektorraum betrachten wir den und setzen als die Standardbasis fest. Wir müssen für und geordnete Basen benutzen, damit wir sinnvoll über die Abbildungsmatrizen sprechen können. Also ist eine beliebige geordnete Basis des .

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

"Abbildungsmatrizen" verlinken auf eine Diskussion im Artikel zu Abbildungsmatrizen, wo diskutiert wird, dass wir hier geordnete Basen brauchen.

Ein Vektor lässt sich in der Basis wie folgt ausdrücken: . Wenn wir einen Vektor bezüglich der Standardbasis B gegeben haben, wie finden wir die für die Linearkombination ?

Für gegebene wollen wir also die zugehörigen finden. Wir wollen die Abbildung verstehen, die jedes auf das eindeutige Tupel abbildet.

Diese Abbildung ist die Koordinatenabbildung , die wir schon aus dem Artikel "Isomorphismus" kennen. Um besser zu verstehen, wie der Vektor ausgedrückt in der Basis aussieht, müssen wir die Abbildung verstehen. Wir wissen schon, dass linear ist. Das heißt, um die Abbildung zu verstehen, müssen wir sie als Darstellungsmatrix ausdrücken. Wir sind im und wir setzen in die Abbildung ein und wollen herausbekommen. Also sind Input und Output der Abbildung in der Standardbasis gegeben. Deshalb benutzen wir die Standardbasis, um die Darstellungsmatrix von anzugeben. Dafür müssen wir auf die Standardbasisvektoren anwenden. Das heißt, wir müssen bezüglich darstellen. Sei

eine ebensolche Darstellung. Dann ist für . Damit erhalten wir die Abbildungsmatrix

Die gesuchten Vorfaktoren erhalten wir dann durch

Die Matrix ist nach unserer Konstruktion die Abbildungsmatrix .

Verallgemeinerung auf beliebige endlichdimensionale Vektorräume[Bearbeiten]

In einem allgemeinen endlichdimensionalen Vektorraum gibt es keine Standardbasis wie im . In dieser Situation haben wir zwei geordnete Basen und . Weiter haben wir einen beliebigen Vektor gegeben als Linearkombination bzgl. der Basis mit . Wir suchen die Linearkombination bzgl. der Basis . Wir wollen also die Linearkombination von in der Basis in die Linearkombination in der Basis überführen.

Die ganze Information dieser Linearkombinationen steckt in den Vorfaktoren bzw. . Das heißt wir wollen wieder bei gegebenen die zugehörigen finden. Das sollte also wieder eine Abbildung sein, die auf abbildet.

Wir kennen bereits die Koordinatenabbildungen mit und mit . Wir wollen aus den Vektor erhalten. Die Koordinatenabbildungen sind Isomorphismen. Also schickt den Vektor auf und bildet auf ab. Verknüpfen wir die beiden Abbildungen und , erhalten wir eine Abbildung, die auf abbildet.

Unsere gewünschte Transformation wird also durch die lineare Abbildung realisiert. Wir können dann wie oben bei der Situation im die Abbildungsmatrix von dieser linearen Abbildung im bestimmen. Diese Abbildungsmatrix ist dann . Wenn wir uns an den Artikel Abbildungsmatrizen erinnern, ist dies aber das Gleiche, wie die Abbildungsmatrix , wegen .

Warum dieses Ergebnis für den Basiswechsel nicht so überraschend ist[Bearbeiten]

Wenn wir uns überlegen, was Abbildungsmatrizen machen, ist dies intuitiv folgendes:

Eine Abbildungsmatrix zu einer linearen Abbildung verhält sich wie eine lineare Abbildung. Die Matrix erwartet einen Vektor . Wie können wir finden?

Zuerst bilden wir den Vektor . Der Vektor ist genau die Linearkombination bezüglich der Basis mit Vorfaktoren . Dann wenden wir auf an und erhalten den Vektor . Anschließend wird in der Basis ausgedrückt . Nun erhalten wir nach der Definition von Abbildungsmatrizen:.

In unserem Fall wollen wir den bezüglich dargestellten Vektor bezüglich darstellen: . Das heißt, dieser Vektor an sich soll sich nicht ändern. Aus den Vorfaktoren wollen wir bekommen. Dafür können wir wie oben vorgehen. Da wir nicht ändern, ist in unserem Fall . Damit sollte folgende Abbildungsmatrix die Aufgabe des Basiswechsels für uns übernehmen: . Sie bildet die Vorfaktoren bzgl. der Basis auf die Vorfaktoren bzgl. der Basis ab.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Basiswechselmatrix)

Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum und seien und zwei geordnete Basen von . Dann ist die Basiswechselmatrix von nach die Abbildungsmatrix der Identität bzgl. der Basen und , also . Wir nennen diese Matrix .

Die Basiswechselmatrix hat noch viele andere Namen. Sie wird in der Literatur auch als Übergangsmatrix, Transformationsmatrix oder Koordinatenwechselmatrix bezeichnet.

Warnung

Die Namen Transformations- bzw. Übergangsmatrix bezeichnen in der Literatur manchmal auch Matrizen, die keine Basiswechselmatrizen sind.

Basiswechselmatrizen bei der Klassifikation linearer Abbildungen[Bearbeiten]

Wiederholung: Klassifikation linearer Abbildungen[Bearbeiten]

Wir haben im Artikel Raum der linearen Abbildungen gesehen, dass die linearen Abbildungen zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen und einen neuen Vektorraum bilden. Gilt und , dann ist . Wie wir im Einführungsartikel zu Matrizen gesehen haben, sind Abbildungsmatrizen eine Möglichkeit, die Informationen, die die lineare Abbildung beschreiben, effizient zu speichern.

Wir haben bereits in der 1-1-Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen gesehen, dass wir Abbildungsmatrizen benutzen können, um lineare Abbildungen zu klassifizieren. Wie sieht diese Klassifikation aus? Wählen wir geordnete Basen von und von . Wir können einer lineare Abbildung die Matrix zuordnen. Diese Zuordnung gibt uns einen Isomorphismus

So können wir jede lineare Abbildung von nach effizient durch die Matrix darstellen.

Das Problem mit dieser Darstellung[Bearbeiten]

Diese Klassifikation der Abbildung hängt von der Wahl der geordneten Basen und ab.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

Sei die Standardbasis des . Wähle außerdem die geordneten Basen und . Dann ist

Also sieht die Abbildungsmatrix von bzgl. und wie folgt aus

Die Abbildungsmatrix von bzgl. der Basen und ist jedoch

Somit sehen wir, dass .

  • Allgemein stellen wir uns die Frage: Wenn wir weitere geordnete Basen von und von haben, wie übersetzen wir die Darstellungsmatrix in die Darstellungsmatrix ?
  • Wir erinnern uns an die Definitionen der Darstellungsmatrizen und
Darstellung der gleichen linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen als zwei Diagramme
  • Bei diesen beiden Diagrammen ist es egal, welchen Weg man geht (das nennt man kommutieren)
  • Wir können die beiden Diagramme zusammenfügen:
Darstellung der gleichen linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen als ein Diagramme
  • Es ist immernoch egal welchen Weg man im Diagramm geht, es kommen immer die gleichen Abbildungen raus
  • Also ist es egal, ob wir, den Weg über von K^n nach K^m benutzen oder ob wir zuerst , dann und schließlich ausführen.
  • Im Artikel Matrizenmultiplikation haben wir bereits gesehen, dass sich Verknüpfung von Abbildungen genau in Multiplikation der Darstellungsmatrzien umwandelt
  • Das heißt, wenn wir von diesen beiden Schreibweisen für die Abbildung die Abbildungsmatrizen bzgl. den Standardbasen bestimmen erhalten wir einerseits
  • Welche Darstellungsmatrix erhalten wir, wenn wir den anderen Weg gehen?
  • Wir können die Darstellungsmatrizen der Verknüpften Abbildungen einzeln aufschreiben und dann multiplizieren
  • Die Darstellungsmatrix von bzgl der Standardbasen von K^n und K^m ist wieder
  • Die Darstellungsmatrix von haben wir oben hergeleitet, sie ist
  • Genauso ist die Darstellungsmatrix von gegeben durch
  • Nach Definition ist
  • Also haben wir gesehen, dass sich aus durch Linksmultiplikation mit und Rechtsmultiplikation mit errechnen lässt.

Beispiele[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

2 bis 3 Beispiele finden und einfügen. Anregung: Polynome von Grad <= 3 einmal mit Lagrange-Basis und einmal mit Basis aus Monomen 1, X, X^2, X^3.

Weiterführendes[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Links genauer spezifizieren, sobald die entsprechenden Abschnitte durchgeplant sind.

  • In den Beispielen haben wir gesehen, dass man häufig Gleichungssysteme lösen muss, um eine Basiswechselmatrix zu bereichnen. Dieses Lösen von linearen Gleichungssystemen werden wir im Bereich zu Gleichungssystemen und Matrizen systematischer betreiben.
  • Wir haben jetzt gesehen, wie wir aus einem Basiswechsel eine Matrix bekommen. Die umgekehrte Frage, d.h. welche Matrizen zu Basiswechseln korrespondieren, werden wir im Artikel Inverse Matrizen behandeln.