Basiswechselmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung

Wir haben im Artikel Basis gesehen, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis besitzt. Das heißt, wenn $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum ist, gibt es eine Basis $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ von $V$. Also lässt sich jeder Vektor $v\in V$ eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren $b_{1},\ldots ,b_{n}$ schreiben: $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}$.

Weiter wissen wir, dass Vektorräume (im Allgemeinen) mehr als eine Basis haben. Das heißt, es gibt eine zweite Basis $C=\{c_{1},\ldots ,c_{n}\}$ von $V$. Also können wir $v$ auch eindeutig als Linearkombination der $c_{i}$ schreiben: $v=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}c_{i}$.

Wir haben also zwei Darstellungen des Vektors $v$. Über die Basis $B$ bekommen wir die Darstellung $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}$ und über die Basis $C$ erhalten wir $v=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}c_{i}$.

Wie können wir die Basisdarstellung bezüglich $B$ des Vektors $v$ in die Darstellung bezüglich $C$ überführen?

Diese Frage ist insbesondere interessant im Zusammenhang mit Abbildungsmatrizen. Um eine Abbildungsmatrix $A$ zu bestimmen, müssen wir immer eine Basis $B$ wählen. Wenn wir $A$ auf einen Vektor $v$ anwenden wollen, müssen wir diesen erst bezüglich der Basis $B$ darstellen. Angenommen der Vektor $v$ ist bezüglich einer anderen Basis $C$ gegeben, wie können wir die gleiche Abbildungsmatrix trotzdem auf $v$ anwenden, ohne eine neue Abbildungsmatrix zu bestimmen?

Die Situation im $K^{n}$

Um diese Frage zu ergründen, starten wir mit einem einfacheren Spezialfall. Als Vektorraum betrachten wir den $K^{n}$ und setzen $B$ als die Standardbasis $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ fest. Wir müssen für $B$ und $C$ geordnete Basen benutzen, damit wir sinnvoll über die Abbildungsmatrizen sprechen können. Also ist $C=(c_{1},\ldots ,c_{n})$ eine beliebige geordnete Basis des $K^{n}$.

To-Do:

"Abbildungsmatrizen" verlinken auf eine Diskussion im Artikel zu Abbildungsmatrizen, wo diskutiert wird, dass wir hier geordnete Basen brauchen.

Ein Vektor $v\in K^{n}$ lässt sich in der Basis $C$ wie folgt ausdrücken: $v=\lambda _{1}c_{1}+\cdots +\lambda _{n}c_{n}$. Wenn wir einen Vektor $v=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}$ bezüglich der Standardbasis B gegeben haben, wie finden wir die $\lambda _{i}$ für die Linearkombination $v=\lambda _{1}c_{1}+\cdots +\lambda _{n}c_{n}$?

Für gegebene $x_{1},\ldots ,x_{n}$ wollen wir also die zugehörigen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ finden. Wir wollen die Abbildung $K^{n}\to K^{n}$ verstehen, die jedes $v=(x_{1},...,x_{n})^{T}\in K^{n}$ auf das eindeutige Tupel $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}\in K^{n}$ abbildet.

Diese Abbildung ist die Koordinatenabbildung $k_{C}:K^{n}\to K^{n}$, die wir schon aus dem Artikel "Isomorphismus" kennen. Um besser zu verstehen, wie der Vektor $v$ ausgedrückt in der Basis $C$ aussieht, müssen wir die Abbildung $k_{C}$ verstehen. Wir wissen schon, dass $k_{C}$ linear ist. Das heißt, um die Abbildung zu verstehen, müssen wir sie als Darstellungsmatrix ausdrücken. Wir sind im $K^{n}$ und wir setzen $(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ in die Abbildung ein und wollen $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}$ herausbekommen. Also sind Input und Output der Abbildung $k_{C}$ in der Standardbasis gegeben. Deshalb benutzen wir die Standardbasis, um die Darstellungsmatrix von $k_{C}$ anzugeben. Dafür müssen wir $k_{C}$ auf die Standardbasisvektoren $e_{1},\dots ,e_{n}$ anwenden. Das heißt, wir müssen $e_{1},\dots ,e_{n}$ bezüglich $C$ darstellen. Sei

${\begin{aligned}e_{1}=&\sum _{i=1}^{n}a_{i1}c_{i}\\&\vdots \\e_{n}=&\sum _{i=1}^{n}a_{in}c_{i}\end{aligned}}$

eine ebensolche Darstellung. Dann ist $k_{C}(e_{j})=(a_{1j},a_{2j},\ldots ,a_{nj})^{T}$ für $j=1,\ldots ,n$. Damit erhalten wir die Abbildungsmatrix

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Die gesuchten Vorfaktoren $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ erhalten wir dann durch

$A{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\vdots \\\lambda _{n}\end{pmatrix}}.$

Die Matrix $A$ ist nach unserer Konstruktion die Abbildungsmatrix $M_{Std}^{Std}(k_{C})$.

Verallgemeinerung auf beliebige endlichdimensionale Vektorräume

In einem allgemeinen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ gibt es keine Standardbasis wie im $K^{n}$. In dieser Situation haben wir zwei geordnete Basen $B=(b_{1},\dots ,b_{n})$ und $C=(c_{1},\dots ,c_{n})$. Weiter haben wir einen beliebigen Vektor $v\in V$ gegeben als Linearkombination $v=x_{1}b_{1}+\dots +x_{n}b_{n}$ bzgl. der Basis $B$ mit $x_{1},\dots ,x_{n}\in K$. Wir suchen die Linearkombination $v=\lambda _{1}c_{1}+\dots +\lambda _{n}c_{n}$ bzgl. der Basis $C$. Wir wollen also die Linearkombination von $v$ in der Basis $B$ in die Linearkombination in der Basis $C$ überführen.

Die ganze Information dieser Linearkombinationen steckt in den Vorfaktoren $x_{1},...,x_{n}$ bzw. $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$. Das heißt wir wollen wieder bei gegebenen $x_{1},\dots ,x_{n}$ die zugehörigen $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ finden. Das sollte also wieder eine Abbildung $K^{n}\to K^{n}$ sein, die $(x_{1},...,x_{n})^{T}$ auf $(\lambda _{1},...,\lambda _{n})^{T}$ abbildet.

Wir kennen bereits die Koordinatenabbildungen $k_{B}:V\to K^{n}$ mit $k_{B}(v)=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$ und $k_{C}:V\to K^{n}$ mit $k_{C}(v)=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}$. Wir wollen aus $(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$ den Vektor $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}\in K^{n}$ erhalten. Die Koordinatenabbildungen sind Isomorphismen. Also schickt $k_{B}^{-1}:K^{n}\to V$ den Vektor $(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ auf $v$ und $k_{C}:V\to K^{n}$ bildet $v$ auf $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}$ ab. Verknüpfen wir die beiden Abbildungen $k_{B}^{-1}$ und $k_{C}$, erhalten wir eine Abbildung, die $(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ auf $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}$ abbildet.

Unsere gewünschte Transformation wird also durch die lineare Abbildung $k_{C}\circ k_{B}^{-1}:K^{n}\to K^{n}$ realisiert. Wir können dann wie oben bei der Situation im $K^{n}$ die Abbildungsmatrix von dieser linearen Abbildung im $K^{n}$ bestimmen. Diese Abbildungsmatrix ist dann $M_{Std}^{Std}(k_{C}\circ k_{B}^{-1})$. Wenn wir uns an den Artikel Abbildungsmatrizen erinnern, ist dies aber das Gleiche, wie die Abbildungsmatrix $M_{C}^{B}(\operatorname {id} )$, wegen $k_{C}\circ k_{B}^{-1}=k_{C}\circ \operatorname {id} \circ k_{B}^{-1}$.

Warum dieses Ergebnis für den Basiswechsel nicht so überraschend ist

Wenn wir uns überlegen, was Abbildungsmatrizen machen, ist dies intuitiv folgendes:

Eine Abbildungsmatrix $M_{C}^{B}(f)$ zu einer linearen Abbildung $f:V\to V$ verhält sich wie eine lineare Abbildung. Die Matrix erwartet einen Vektor $x=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$. Wie können wir $M_{C}^{B}(f)\cdot x$ finden?

Zuerst bilden wir den Vektor $v=x_{1}b_{1}+\dots +x_{n}b_{n}\in V$. Der Vektor $v$ ist genau die Linearkombination bezüglich der Basis $B$ mit Vorfaktoren $x_{1},\dots ,x_{n}$. Dann wenden wir $f$ auf $v$ an und erhalten den Vektor $f(v)\in V$. Anschließend wird $f(v)$ in der Basis $C$ ausgedrückt $f(v)=\lambda _{1}c_{1}+\dots +\lambda _{n}c_{n}$. Nun erhalten wir nach der Definition von Abbildungsmatrizen:$M_{C}^{B}(f)\cdot x=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$.

In unserem Fall wollen wir den bezüglich $B$ dargestellten Vektor $v=x_{1}b_{1}+\dots +x_{n}b_{n}\in V$ bezüglich $C$ darstellen: $v=\lambda _{1}c_{1}+\dots +\lambda _{n}c_{n}$. Das heißt, dieser Vektor $v$ an sich soll sich nicht ändern. Aus den Vorfaktoren $x_{1},\dots ,x_{n}$ wollen wir $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ bekommen. Dafür können wir wie oben vorgehen. Da wir $v$ nicht ändern, ist in unserem Fall $f=\operatorname {id}$. Damit sollte folgende Abbildungsmatrix die Aufgabe des Basiswechsels für uns übernehmen: $M_{C}^{B}(\operatorname {id} )$. Sie bildet die Vorfaktoren bzgl. der Basis $B$ auf die Vorfaktoren bzgl. der Basis $C$ ab.

Definition

Definition (Basiswechselmatrix)

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum und seien $B$ und $C$ zwei geordnete Basen von $V$. Dann ist die Basiswechselmatrix von $B$ nach $C$ die Abbildungsmatrix der Identität $\operatorname {id_{V}}$ bzgl. der Basen $B$ und $C$, also $M_{C}^{B}(\operatorname {id_{V}} )$. Wir nennen diese Matrix $T_{C}^{B}$.

Die Basiswechselmatrix hat noch viele andere Namen. Sie wird in der Literatur auch als Übergangsmatrix, Transformationsmatrix oder Koordinatenwechselmatrix bezeichnet.

Warnung

Die Namen Transformations- bzw. Übergangsmatrix bezeichnen in der Literatur manchmal auch Matrizen, die keine Basiswechselmatrizen sind.

Basiswechselmatrizen bei der Klassifikation linearer Abbildungen

Wiederholung: Klassifikation linearer Abbildungen

Wir haben im Artikel Raum der linearen Abbildungen gesehen, dass die linearen Abbildungen zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen $V$ und $W$ einen $n\cdot m$ neuen Vektorraum $\operatorname {Hom} (V,W)$ bilden. Gilt $\operatorname {dim} (V)=n$ und $\operatorname {dim} (W)=m$, dann ist $\operatorname {dim} (\operatorname {Hom} (V,W))=n\cdot m$. Wie wir im Einführungsartikel zu Matrizen gesehen haben, sind Abbildungsmatrizen eine Möglichkeit, die $n\cdot m$ Informationen, die die lineare Abbildung beschreiben, effizient zu speichern.

Wir haben bereits in der 1-1-Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen gesehen, dass wir Abbildungsmatrizen benutzen können, um lineare Abbildungen zu klassifizieren. Wie sieht diese Klassifikation aus? Wählen wir geordnete Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$. Wir können einer lineare Abbildung $f\colon V\to W$ die Matrix $M_{C}^{B}(f)$ zuordnen. Diese Zuordnung gibt uns einen Isomorphismus

$\operatorname {Hom} (V,W)\cong K^{m\times n}.$

So können wir jede lineare Abbildung $f$ von $V$ nach $W$ effizient durch die Matrix $M_{C}^{B}(f)$ darstellen.

Das Problem mit dieser Darstellung

Diese Klassifikation der Abbildung hängt von der Wahl der geordneten Basen $B$ und $C$ ab.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},\quad {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+y\\2y\end{pmatrix}}$

Sei $B=(e_{1},e_{2})$ die Standardbasis des $\mathbb {R} ^{2}$. Wähle außerdem die geordneten Basen $C=((1,1)^{T},(1,0)^{T})$ und $C'=((1,2)^{T},(1,0)^{T})$. Dann ist

${\begin{aligned}f(e_{1})&={\begin{pmatrix}1+0\\2\cdot 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\[0.5em]f(e_{2})&={\begin{pmatrix}0+1\\2\cdot 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Also sieht die Abbildungsmatrix von $f$ bzgl. $B$ und $C$ wie folgt aus

$M_{C}^{B}(f)={\begin{pmatrix}0&2\\1&-1\end{pmatrix}}.$

Die Abbildungsmatrix von $f$ bzgl. der Basen $B$ und $C'$ ist jedoch

$M_{C'}^{B}(f)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Somit sehen wir, dass $M_{C}^{B}(f)\neq M_{C'}^{B}(f)$.

• Allgemein stellen wir uns die Frage: Wenn wir weitere geordnete Basen $B'$ von $V$ und $C'$ von $W$ haben, wie übersetzen wir die Darstellungsmatrix $M_{C}^{B}(f)$ in die Darstellungsmatrix $M_{C'}^{B'}(f)$?
• Wir erinnern uns an die Definitionen der Darstellungsmatrizen $M_{C}^{B}(f)=k_{C}\circ fk_{B}^{-1}$ und $M_{C'}^{B'}(f)=k_{C'}\circ fk_{B'}^{-1}$

• Bei diesen beiden Diagrammen ist es egal, welchen Weg man geht (das nennt man kommutieren)
• Wir können die beiden Diagramme zusammenfügen:

• Es ist immernoch egal welchen Weg man im Diagramm geht, es kommen immer die gleichen Abbildungen raus
• Also ist es egal, ob wir, den Weg über $x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x$ von K^n nach K^m benutzen oder ob wir zuerst $k_{B}k_{B'}^{-1}$, dann $x\mapsto M_{C}^{B}(f)x$ und schließlich $k_{C'}k_{C}^{-1}$ ausführen.
• Im Artikel Matrizenmultiplikation haben wir bereits gesehen, dass sich Verknüpfung von Abbildungen genau in Multiplikation der Darstellungsmatrzien umwandelt
• Das heißt, wenn wir von diesen beiden Schreibweisen für die Abbildung $x\mapsto M_{C'}^{B'}(f)x$ die Abbildungsmatrizen bzgl. den Standardbasen bestimmen erhalten wir einerseits $M_{C'}^{B'}(f)$
• Welche Darstellungsmatrix erhalten wir, wenn wir den anderen Weg gehen?
• Wir können die Darstellungsmatrizen der Verknüpften Abbildungen einzeln aufschreiben und dann multiplizieren
• Die Darstellungsmatrix von $x\mapsto M_{C}^{B}(f)x$ bzgl der Standardbasen von K^n und K^m ist wieder $M_{C}^{B}(f)$
• Die Darstellungsmatrix von $k_{C'}k_{C}^{-1}$ haben wir oben hergeleitet, sie ist $M_{C'}^{C}(\operatorname {id} )$
• Genauso ist die Darstellungsmatrix von $k_{B}k_{B'}^{-1}$ gegeben durch $M_{B}^{B'}(\operatorname {id} )$
• Nach Definition ist $M_{C'}^{B'}(f)=T_{C'}^{C}M_{C}^{B}(f)T_{B}^{B'}$
• Also haben wir gesehen, dass sich $M_{C'}^{B'}(f)$ aus $M_{C}^{B}(f)$ durch Linksmultiplikation mit $T_{C'}^{C}$ und Rechtsmultiplikation mit $T_{B}^{B'}$ errechnen lässt.

Beispiele

To-Do:

2 bis 3 Beispiele finden und einfügen. Anregung: Polynome von Grad <= 3 einmal mit Lagrange-Basis und einmal mit Basis aus Monomen 1, X, X^2, X^3.

Weiterführendes

To-Do:

Links genauer spezifizieren, sobald die entsprechenden Abschnitte durchgeplant sind.

• In den Beispielen haben wir gesehen, dass man häufig Gleichungssysteme lösen muss, um eine Basiswechselmatrix zu bereichnen. Dieses Lösen von linearen Gleichungssystemen werden wir im Bereich zu Gleichungssystemen und Matrizen systematischer betreiben.
• Wir haben jetzt gesehen, wie wir aus einem Basiswechsel eine Matrix bekommen. Die umgekehrte Frage, d.h. welche Matrizen zu Basiswechseln korrespondieren, werden wir im Artikel Inverse Matrizen behandeln.