Matrizenmultiplikation – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Einführung

Wir haben Matrizen eingeführt, um lineare Abbildungen $f\colon V\to W$ zwischen Vektorräumen $V$ und $W$ zu beschreiben. Dabei haben wir uns schon überlegt, wie wir durch die Matrix-Vektor-Multiplikation das Bild $f(v)$ eines Vektors $v\in V$ aus der Abbildungsmatrix berechnen können.

Wie man von z.B. Ableitungen schon weiß, ist es oft hilfreich, eine Abbildung oder Funktion als Verkettung einfacherer Abbildungen zu bilden. Da es sich bei der Verkettung zweier linearer Abbildungen wieder um eine lineare Abbildung handelt, lässt sich auch diese als Multiplikation mit einer Matrix darstellen. Diese Matrix wollen wir jetzt anhand der Matrizen der beiden verketteten Abbildungen herausfinden. In anderen Worten wollen wir die Komposition linearer Abbildungen auf Matrizenebene verstehen.

Komposition im $K^{n}$

Zunächst wollen wir uns diese Frage in einem einfachen Setting stellen: Sei $K$ ein Körper. Seien $f\colon K^{n}\to K^{m}$ und $g\colon K^{m}\to K^{l}$ lineare Abbildungen und $A\in K^{m\times n}$ bzw. $A'\in K^{l\times m}$ die Darstellenden Matrizen von $f$ bzw. $g$ bezüglich der Standardbasen von $K^{n},K^{m}$ und $K^{l}$. Aus dem Einführungsartikel zu Matrizen wissen wir, dass wir in diesem Fall $f$ und $g$ als $f(x)=A\cdot x$ und $g(y)=A'\cdot y$ schreiben können. Uns interessiert die Darstellungsmatrix von $h=g\circ f$ bezüglich den Standardbasen von $K^{n}$ und $K^{l}$.

Der allgemeine Fall ist eine kleine Index-Schlacht. Daher kann es helfen sich diese Abhängigkeit erst einmal in niedrigen Dimensionen zu überlegen. Es gibt eine Aufgabe, die dir dabei helfen kann. Um den allgemeinen Fall zu berechnen, schreiben wir $f$ und $g$ zunächst als Summen, indem wir die Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation einsetzen, und setzen dann $f$ in $g$ ein, um den Term für $h(x)=g(f(x))$ zu finden:

$f(x)_{j}=(A\cdot x)_{j}=\sum _{k=1}^{n}A_{jk}x_{k},\quad g(y)_{i}=(A'\cdot y)_{i}=\sum _{j=1}^{m}A'_{ij}y_{j}$

Dies setzen wir nun ein:

$h(x)_{i}=g(f(x))_{i}=\sum _{j=1}^{m}A'_{ij}(f(x))_{j}=\sum _{j=1}^{m}A'_{ij}\sum _{k=1}^{n}A_{jk}x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{m}A'_{ij}A_{jk}\right)x_{k}$

Hierbei sind $A_{jk}$ und $A'_{ij}$ die Komponenten der Matrizen $A$ und $A'$. Nun können wir mit Hilfe der Abbildungsmatrix $A''\in K^{l\times n}$ von $h$ bezüglich der Standardbasis auch $h$ als Summe ausdrücken

$h(x)_{i}=(A''\cdot x)_{i}=\sum _{k=1}^{n}A''_{ik}x_{k}$

Aus dem Vergleich der beiden Terme für $h(x)_{i}$ kann man jetzt erkennen, dass

$A''_{ik}=\sum _{j=1}^{m}A'_{ij}A_{jk}$

Damit haben wir einen Zusammenhang zwischen den Abbildungsmatrizen von $f,g$ und $g\circ f$ gefunden.

Komposition in allgemeinen Vektorräumen

Nachdem wir Komposition im $K^{n}$ durch Matrizen ausgedrückt haben, wollen wir dies auf allgemeine Vektorräume übertragen. Dazu wollen wir uns zunächst ein sinnvolles, allgemeines Setting überlegen. Seien $V$ und $W$ endlichdimensionale Vektorräume mit Basen $B$ und $C$ sowie $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung. Im Artikel Abbildungsmatrizen haben wir gesehen, dass wir zu $v\in V$ eine Darstellung von $f(v)$ zur Basis $C$, als die Matrix-Vektor-Multiplikation $M_{C}^{B}(f)\cdot k_{B}(v)$ erhalten. Da $k_{B}(v)$ zu $v$ die Basisdarstellung bezüglich $B$ liefert, können wir uns vorstellen, dass $M_{C}^{B}(f)$ Vektoren aus $V$, die bezüglich $B$ dargestellt sind, durch Matrix-Vektor-Multiplikation in Vektoren aus $W$ überführt werden, die zur Basis $C$ dargestellt sind. Moralisch gesehen gehören also die Basen, die zum darstellen der linearen Abbildung verwendet wurden, zu den Ein- und Ausgabedaten der Abbildungsmatrix.

To-Do:

Diese (eher kategorientheoretische) Argumentation "die Basisdarstellung ist Teil der Daten einer Abbildungsmatrix" noch etwas Erstsemestlerfreundlich verfeinern.

Für unser gesuchtes Setting bedeutet dies nun folgendes: Sei $U$ einen dritten endlichdimensionalen Vektorraum mit Basis $D$ und $g\colon W\to U$ eine lineare Abbildung. Wenn wir $g$ bezüglich einer Basis $C'$ von $W$ und $D$ darstellen, das heißt $M_{D}^{C'}(g)$ betrachten, erwartet die Abbildungsmatrix einen bezüglich $C'$ dargestellten Vektor, um ihn in einen Vektor zu überführen, der bezüglich $D$ dargestellt ist. Da die Abbildungsmatrix $M_{C}^{B}(f)$ Vektoren liefert, die bezüglich $C$ dargestellt sind, sollten wir $C=C'$ annehmen, um etwas über die Darstellungsmatrix $M_{D}^{B}(g\circ f)$ aussagen zu können.

Hinweis

Man kann auch im Fall $C\neq C'$ etwas über den Zusammenhang von $M_{C}^{B}(f)$, $M_{D}^{C'}(g)$ und $M_{D}^{B}(g\circ f)$ aussagen. Dafür muss man sich ansehen, wie man Vektoren, die bezüglich $C$ dargestellt sind, in Vektoren, die bezüglich $C'$ dargestellt sind, überführt. Dies passiert im Artikel Basiswechselmatrizen.

Wir befinden uns also in folgendem Setting: Seien $K$ ein Körper und $V,W$ und $U$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit gewählten Basen $B$ von $V$, $C$ von $W$ und $D$ von $U$. Ferner seien $f\colon V\to W$ und $g\colon W\to U$ lineare Abbildungen mit Abbildungen mit Darstellungsmatrizen $M_{C}^{B}(f)=A$ und $M_{D}^{C}(g)=A'$. Uns interessiert, wie wir die Darstellungsmatrix von $M_{D}^{B}(g\circ f)$ in Abhängigkeit von $A$ und $A'$ schreiben können.

To-Do:

Ausrechnen, was passiert.

• Die Darstellungsmatrix von $g\circ f$ bezüglich den Basen $B$ und $D$ ist die eindeutige Matrix $A$ mit ${\begin{aligned}(g\circ f)(v)=k_{D}^{-1}(A\cdot k_{B}(v))\end{aligned}}$ für alle $v\in V$.
• Auflösen der linken Seite gibt:

${\begin{aligned}(g\circ f)(v)&=g(f(v))\\&=g(k_{C}^{-1}(M_{C}^{B}(f)\cdot k_{B}(v)))\\&=k_{D}(M_{D}^{C}(g)\cdot k_{C}(k_{C}^{-1}(M_{C}^{B}(f)\cdot k_{B}(v))))\\&=k_{D}(M_{D}^{C}(g)\cdot (k_{C}\circ k_{C}^{-1})(M_{C}^{B}(f)\cdot k_{B}(v)))\\&=k_{D}(M_{D}^{C}(g)\cdot (M_{C}^{B}(f)\cdot k_{B}(v)))\end{aligned}}$

• Die letzte Zeile ist genau der Fall im $K^{n}$. Daher können wir die Ergebnisse des Letzten Abschnitts anwenden:
• Wir haben gesehen, wie wir eine Matrix $A$ durch die Matrizen $M_{D}^{C}(g)$ und $M_{C}^{B}(f)$ ausdrücken können, damit $A\cdot x=M_{D}^{C}(g)\cdot (M_{C}^{B}(f)\cdot x)$ für alle $x\in K^{n}$ gilt.
• Also ist $A=M_{D}^{B}(g\circ f)$ und die Beziehung von $M_{C}^{B}(f)$, $M_{D}^{C}(g)$ und $M_{D}^{B}(g\circ f)$ ist die gleiche, wie im $K^{n}$.

Somit haben wir einen Weg gefunden, für beliebige endlichdimensionale Vektorräume von $V,W$ und $U$ die Elemente der Abbildungsmatrix von $g\circ f$ aus den Abbildungsmatrizen von $f$ und $g$ zu berechnen. Diese Operation wird als Matrixmultiplikation oder Matrizenprodukt bezeichnet.

Definition und Merkregel

Mathematisch können wir die Matrizenmultiplikation auch als Verknüpfung (ähnlich wie die Multiplikation von reellen Zahlen) auffassen.

Definition (Matrixmultiplikation)

Die Matrixmultiplikation ist eine Verknüpfung $\circ \,\colon K^{m\times n}\times K^{n\times p}\to K^{m\times p}$. Sie bildet zwei Matrizen $A\in K^{m\times n},\,A=(a_{ij}),\,B\in K^{n\times p},\,B=(b_{jk})$ auf die Matrix $C=(c_{ik})\in K^{m\times p}$ mit $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$ ab.

Allerdings gibt es einen wichtigen Unterschied zur Multiplikation von reellen Zahlen: Bei Matrizen müssen wir beachten, dass die Dimensionen der Matrizen, die wir multiplizieren wollen, zusammenpassen.

Hinweis

Die beiden Matrizen müssen nicht gleich groß sein, es muss nur die Spaltenanzahl der linken Matrix $A$ gleich der Zeilenanzahl der rechten Matrix $B$ sein. Das Ergebnis hat dann die Zeilenanzahl linken Matrix $A$ und die Spaltenanzahl der rechten Matrix $B$. Das bedeutet, zwei Matrizen $A\in K^{m\times n};\,B\in K^{p\times q}$ können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn $n=p$ ist.

Warnung

Die beiden Matrizen $A\in K^{m\times n};\,B\in K^{p\times q}$ mit $n\neq p$ können nicht miteinander multipliziert werden.

Zur Berechnung des Matrizenprodukts wird das Schema Zeile mal Spalte angewandt.

Merkregel: Zeile mal Spalte

Nach der Definition ist jeder Eintrag im Produkt $A\circ B$ die komponentenweise Multiplikation der Elemente der $i$-ten Zeile von $A$ mit der $k$-ten Spalte von $B$ und die Summation all dieser Produkte. Dieses Vorgehen kann man sich merken als Zeile mal Spalte, wie es in der Abbildung rechts gezeigt ist. Beim Rechnen kann das Falksche Schema helfen, um mit Zeilen und Spalten nicht durcheinander zu kommen.

Konkretes Beispiel

Seien $L'\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+y\\y-x\end{pmatrix}}$ und $L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+z\\y-z\end{pmatrix}}$ zwei lineare Abbildungen. Damit ist $(L'\circ L)\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ eine verkettete lineare Abbildung. Wir nehmen als Basen jeweils die kanonischen Standardbasen $\lbrace e_{1}^{3},\,e_{2}^{3},\,e_{3}^{3}\rbrace$ des $\mathbb {R} ^{3}$ bzw. $\lbrace e_{1}^{2},\,e_{2}^{2}\rbrace$ des $\mathbb {R} ^{2}$. Für die Abbildung $L$ gilt:

$L(e_{1}^{3})=L{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0\\0-0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},$

$L(e_{2}^{3})=L{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0+0\\1-0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},$

$L(e_{3}^{3})=L{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0+1\\0-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

und damit gilt für die Abbildungsmatrix

$M(L)={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}$

Für die Abbildung $L'$ gilt:

$L'(e_{1}^{2})=L'{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0\\0-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},$

$L'(e_{2}^{2})=L'{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0+1\\1-0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

und damit gilt für die Abbildungsmatrix

$M(L')={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}$

Wir wollen nun die Abbildungsmatrix der Abbildung $(L'\circ L)\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ bestimmen. Für diese Abbildung gilt:

$L'(L(e_{1}^{3}))=L'{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},$

$L'(L(e_{2}^{3}))=L'{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

$L'(L(e_{3}^{3}))=L'{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}$

und damit gilt für die Abbildungsmatrix

$M(L'\circ L)={\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&1&-2\end{pmatrix}}$

Die Matrix der Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen $L$ und $L'$ ist aber gerade das Produkt der beiden Abbildungsmatrizen $M(L)$ und $M(L')$:

$M(L')\cdot M(L)={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&1&-2\end{pmatrix}}$

Dabei kann das Produkt nach der Regel "Zeile mal Spalte berechnet werden.

To-Do:

evtl. genauere Erläuterungen, wie man das Matrixprodukt hier berechnet, z.B. eintragsweise aufschlüsseln

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation

To-Do:

In diesem Gesamten Abschnitt überleitende Texte einfügen.

Kürzungsregel für Darstellungsmatrizen

Satz (Kürzungsregel für Darstellungsmatrizen)

Seien $V,W$ und $Z$ endlich dimensionale $K$-Vektorräume mit gewählten Basen $B$ von $V$, $C$ von $W$ und $D$ von $Z$. Ferner seien $f\colon V\to W$ und $g\colon W\to Z$ lineare Abbildungen. Dann gilt

$M_{D}^{B}(g\circ f)=M_{D}^{C}(g)\cdot M_{C}^{B}(f)$

Beweis (Kürzungsregel für Darstellungsmatrizen)

TODO

Assoziativität der Matrizenmultiplikation

Satz (Assoziativität der Matrixmultiplikation)

Für $A\in K^{m\times n},\,B\in K^{n\times l},\,C\in K^{l\times k}$ gilt

$(A\circ B)\circ C=A\circ (B\circ C).$

Beweis (Assoziativität der Matrixmultiplikation)

Zunächst überprüfen wir, dass die Typen der Matrizen, die wir jeweils multiplizieren möchten, zusammenpassen. Für die Produkte $A\circ B$ und $B\circ C$ ist dies direkt sichtbar. Nun ist $A\circ B\in K^{m\times l}$ und $B\circ C\in K^{n\times k}$, also sind die Produkte auf beiden Seiten des Assoziativgesetzes definiert, beide Ergebnisse liegen in $K^{m\times k}$.

Nun betrachten wir die einzelnen Komponenten der Matrizen, um die Gleichheit festzustellen. Es sei $A=(a_{ij}),\,B=(b_{ij}),\,C=(c_{ij})$.

${\begin{aligned}((A\circ B)\circ C)_{ij}&=\,\sum _{s=1}^{l}(A\circ B)_{is}c_{sj}=\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\left(\sum _{t=1}^{n}a_{it}b_{ts}\right)c_{sj}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\sum _{t=1}^{n}(a_{it}b_{ts})c_{sj}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\sum _{t=1}^{n}a_{it}(b_{ts}c_{sj})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{t=1}^{l}a_{it}\left(\sum _{s=1}^{n}b_{ts}c_{sj}\right)\\[0.3em]&=\,(A\circ (B\circ C))\end{aligned}}$

Assoziativität der Skalarmultiplikation

To-Do:

Die letzte Gleichung ist etwas unklar, weil bei uns das Skalarprodukt immer von links kommt, und damit der letzte Term überhaupt nicht definiert ist.

Satz (Assoziativität der Skalarmultiplikation)

Seien $\beta \in K,\ A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ und $B=(b_{ij})\in K^{n\times p}$, dann gilt:

$\beta \cdot (A\circ B)=(\beta \cdot A)\circ B=A\circ (\beta \cdot B)=(A\circ B)\cdot \beta$

Beweis (Assoziativität der Skalarmultiplikation)

${\begin{aligned}(\beta \cdot (A\circ B))_{ik}&=\,\beta \left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}\beta (a_{ij}b_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(\beta a_{ij})b_{jk}&=\,((\beta \cdot A)\circ B)_{ik}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}\beta )b_{jk}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(\beta b_{jk})&=\,(A\circ (\beta \cdot B))_{ik}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\beta \\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)\beta &=\,((A\circ B)\cdot \beta )_{ik}\\\end{aligned}}$

To-Do:

Anordnung der Formel verbessern

Distributivität der Matrizenmultiplikation

Hier müssen wir besonders darauf achten, dass die Matrizen, die wir multiplizieren wollen, jeweils vom Typ zusammenpassen.

Satz (Erstes Distributivgesetz)

Für $A=(a_{ij})\in K^{m\times n},\,B=(b_{ij})\in K^{m\times n},\,C=(c_{ij})\in K^{n\times p}$ gilt

$(A+B)\circ C=A\circ C+B\circ C$

Beweis (Erstes Distributivgesetz)

${\begin{aligned}((A+B)\circ C)_{ik}\,&=\,\sum _{j=1}^{n}(A+B)_{ij}c_{jk}\,=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}+b_{ij})c_{jk}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk}+b_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk})+\sum _{j=1}^{n}(b_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,(A\circ C)_{ik}+(B\circ C)_{ik}\\\end{aligned}}$

Satz (Zweites Distributivgesetz)

Für $A=(a_{ij})\in K^{m\times n},\,B=(b_{ij})\in K^{n\times p},\,C=(c_{ij})\in K^{n\times p}$ gilt

$A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C$

Beweis (Zweites Distributivgesetz)

${\begin{aligned}(A\circ (B+C))_{ik}\,&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(B+C)_{jk}\,=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(b_{jk}+c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}b_{jk}+a_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{jk})+\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,(A\circ B)_{ik}+(A\circ C)_{ik}\\\end{aligned}}$

Einheiten der Matrizenmultiplikation

• Erklären und Herleiten, dass die Einheitsmatrix eine Einheit bzgl. der Matrizenmultiplikation ist.

Satz (Die Einheitsmatrix ist eine Einheit der Matrixmultiplikation)

Sei $M\in K^{m\times n}$. Dann gilt

$I_{m}\cdot M=M=M\cdot I_{n}$

Beweis (Die Einheitsmatrix ist eine Einheit der Matrixmultiplikation)

TODO

Keine Kommutativität

Beispiel (Nicht-Kommutativität der $2\times 2$-Matrizen)

In den $2\times 2$-Matrizen können wir die fehlschlagende Kommutativität an folgendem Beispiel sehen: Einerseits ist

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}$

und andererseits ist

${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}$

Also spielt die Reihenfolge bei der Matrizenmultiplikation eine Rolle.

Warnung

Im Allgemeinen gilt $A\cdot B\neq B\cdot A$, das Matrixprodukt ist also nicht kommutativ.

Das Kommutativgesetz gilt nur in wenigen Spezialfällen (z.B. Produkte von Diagonalmatrizen).

Da die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrizen zusammenpassen muss, kann es sogar sein, dass eines der beiden Produkte nicht einmal definiert ist! Zum Beispiel ist für $A\in K^{4\times 3}{\text{ und }}B\in K^{3\times 2}$ das Produkt $A\circ B\in K^{4\times 2}$ definiert, aber das Produkt $B\circ A$ ist nicht definiert.

Weiterführendes

• Wir erhalten einen (i.d.R.) nicht-kommutativen Ring!