Matrizenmultiplikation – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Artikel überlegen wir uns, wie man eine Multiplikation für Matrizen definieren kann. Wir werden sehen, dass die Matrizenmultiplikation der Komposition linearer Abbildungen entspricht. Außerdem beweisen wir einige Eigenschaften der Matrixmultiplikation.

Einführung

Wie können wir Matrizen verknüpfen?

Im Artikel zu Abbildungsmatrizen haben wir gelernt, wie wir mithilfe von Matrizen lineare Abbildungen $f\colon V\to W$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen $V$ und $W$ beschreiben können. Dafür wählen wir zuerst eine Basis $B$ von $V$ und $C$ von $W$ und bilden dann die Abbildungsmatrix $M_{C}^{B}(f)$. Diese beschreibt auf der Ebene von Koordinaten, was die lineare Abbildung $f$ mit einem Vektor $v\in V$ macht: Es gilt

$M_{C}^{B}(f)\cdot k_{B}(v)=k_{C}(f(v))$

wobei $k_{B}\colon V\to K^{n}$ die Koordinatenabbildung bzgl. $B$ ist, die einen Vektor $v=\lambda _{1}\cdot b_{1}+\ldots +\lambda _{n}\cdot b_{n}$ auf den Koordinatenvektor $(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})^{T}$ bzgl. $B$ abbildet. Analog ist $k_{C}\colon W\to K^{m}$ die Koordinatenabbildung bzgl. $C$.

Lineare Abbildungen $f\colon V\to W$ und $g\colon W\to X$ können wir durch Hintereinanderausführung miteinander verknüpfen und erhalten eine lineare Abbildung $g\circ f\colon V\to X$. Können wir eine passende Verknüpfung auf Matrizen definieren? Mit passend ist gemeint, dass die Verknüpfung der entsprechenden Abbildungsmatrizen die verknüpfte lineare Abbildung beschreiben soll.

Betrachten wir zum Beispiel zwei Matrizen $A\in K^{m\times l}$ und $B\in K^{p\times n}$ mit den entsprechenden linearen Abbildungen

$f_{A}\colon K^{l}\to K^{m},\quad x\mapsto Ax$

und

$f_{B}\colon K^{p}\to K^{n},\quad x\mapsto Bx$

gegeben durch Matrix-Vektor-Multiplikation. Dann ist $A$ die Abbildungsmatrix von $f_{A}$ (bzgl. der Standardbasen in $K^{l}$ und $K^{m}$) und $B$ ist die Abbildungsmatrix von $f_{B}$ (bzgl. der Standardbasen in $K^{p}$ und $K^{n}$). Die Verknüpfung $A\cdot B$ von $A$ und $B$ sollte die Abbildungsmatrix von $f_{A}\circ f_{B}$ sein.

Um jedoch die Abbildungen $f_{A}$ und $f_{B}$ hintereinander ausführen zu können, muss der Zielraum von $f_{B}$ gleich der Definitionsmenge von $f_{A}$ sein. Das heißt, es soll $K^{p}=K^{l}$, also $p=l$ sein. Also muss die Anzahl der Spalten von $A$ gleich der Anzahl der Zeilen von $B$ sein, damit wir die Matrizen zu einer neuen Matrix $A\cdot B$ verknüpfen können.

Berechnung der neuen Matrix

Wir wollen uns überlegen, wie die Verknüpfung $A\cdot B$ von $A$ und $B$ aussehen sollte, indem wir die Abbildungsmatrix von $f_{A}\circ f_{B}\colon K^{n}\to K^{m}$ bestimmen. Dafür müssen wir die Bilder der Standardbasisvektoren $e_{1},\ldots ,e_{n}\in K^{n}$ unter der Abbildung $f_{A}\circ f_{B}$ berechnen. Sie bilden dann die Spalten der Abbildungsmatrix von $f_{A}\circ f_{B}$.

Wir bezeichnen die Einträge von $A$ mit $a_{ij}$ und die von $B$ mit $b_{ij}$, das heißt $A=(a_{ij})\in K^{m\times p}$ und $B=(b_{ij})\in K^{p\times n}$. Außerdem bezeichnen wir die gesuchte Abbildungsmatrix von $f_{A}\circ f_{B}$ mit $C=(c_{ij})\in K^{m\times n}$.

Für $i\in \{1,\ldots ,m\}$ und $j\in \{1,\ldots ,n\}$ ist der Eintrag $c_{ij}$ per Definition der darstellenden Matrix von $f_{A}\circ f_{B}$ gegeben durch den $i$-ten Eintrag des Vektors $f_{A}(f_{B}(e_{j}))\in K^{m}$. Diesen können wir mithilfe der Definition von $f_{A}$ und $f_{B}$ unter Verwendung der Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation leicht berechnen:

${\begin{aligned}c_{ij}=&(f_{A}(f_{B}(e_{j})))_{i}\\[0.3em]=&(A\cdot (f_{B}(e_{j})))_{i}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation von }}A\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=1}^{n}a_{ik}(f_{B}(e_{j}))_{k}\\[0.3em]=&\sum _{k=1}^{n}a_{ik}(B\cdot e_{j})_{k}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ (B\cdot e_{j})_{k}=b_{kj}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\end{aligned}}$

Damit sind alle Einträge der Matrix $C$ definiert und es gilt

$C=(\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj})_{i,j}\in K^{m\times n}.$

Wir nennen $C$ das Produkt der beiden Matrizen $A$ und $B$ und schreiben $C=A\cdot B$ für die Matrixmultiplikation.

Definition und Merkregel

Mathematisch können wir die Matrizenmultiplikation auch als Verknüpfung (ähnlich wie die Multiplikation von reellen Zahlen) auffassen.

Definition (Matrixmultiplikation)

Die Matrixmultiplikation ist eine Verknüpfung

$\cdot \,\colon K^{m\times p}\times K^{p\times n}\to K^{m\times n}$.

Sie bildet zwei Matrizen $A=(a_{ij})\in K^{m\times p}$ und $B=(b_{ij})\in K^{p\times n}$ auf die Matrix $A\cdot B=C=(c_{ij})\in K^{m\times n}$ ab, wobei

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$

für $i\in \{1,\ldots ,m\}$ und $j\in \{1,\ldots ,n\}$.

Allerdings gibt es einen wichtigen Unterschied zur Multiplikation von reellen Zahlen: Bei Matrizen müssen wir beachten, dass die Dimensionen der Matrizen, die wir multiplizieren wollen, zusammenpassen.

Hinweis

Die beiden Matrizen müssen nicht gleich groß sein, es muss nur die Spaltenanzahl der linken Matrix $A$ gleich der Zeilenanzahl der rechten Matrix $B$ sein. Das Ergebnis hat dann die Zeilenanzahl linken Matrix $A$ und die Spaltenanzahl der rechten Matrix $B$. Das bedeutet, zwei Matrizen $A\in K^{m\times l};\,B\in K^{p\times n}$ können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn $l=p$ ist.

Warnung

Die beiden Matrizen $A\in K^{m\times l};\,B\in K^{p\times n}$ mit $l\neq p$ können nicht miteinander multipliziert werden.

Zur Berechnung des Matrizenprodukts wird das Schema Zeile mal Spalte angewandt.

Merkregel: Zeile mal Spalte

Nach der Definition ist jeder Eintrag im Produkt $A\cdot B$ die komponentenweise Multiplikation der Elemente der $i$-ten Zeile von $A$ mit der $k$-ten Spalte von $B$ und die Summation all dieser Produkte. Dieses Vorgehen kann man sich merken als Zeile mal Spalte, wie es in der Abbildung rechts gezeigt ist. Beim Rechnen kann das Falksche Schema helfen, um mit Zeilen und Spalten nicht durcheinander zu kommen.

Konkretes Beispiel

Beispiel 1

Wir betrachten die folgenden zwei Matrizen $A\in \mathbb {R} ^{2\times 3}$ und $B\in \mathbb {R} ^{3\times 4}$:

${\begin{aligned}A={\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&1&3\end{pmatrix}}{\text{ und}}\\[0.5em]B={\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\1&3&-2&-1\\0&0&1&2\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Wir suchen das Matrixprodukt $C=A\cdot B\in \mathbb {R} ^{2\times 4}$. Diese Matrix hat die Form

$C={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}&c_{24}\end{pmatrix}}$

Wir müssen die einzelnen Einträge $c_{ik}$ berechnen. Das machen wir hier einmal ausführlich für den Eintrag $c_{23}$. Die Berechnung der anderen Einträge funktioniert ähnlich.

Laut Formel gilt

${\begin{aligned}c_{23}=&\sum _{j=1}^{3}a_{2j}b_{j3}\\=&a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{ Aus den Matrizen }}A{\text{ und }}B{\text{ die Einträge ablesen}}\right.}\\=&0\cdot (-1)+1\cdot (-2)+3\cdot 1\\=&1\end{aligned}}$

Diese Berechnung kann man sich auch als "Multiplikation" der 2. Zeile von $A$ mit der 3.Spalte von $B$ merken. Um das zu veranschaulichen markieren wir die Einträge aus der Summe in den Matrizen. Wir haben die Summe

$c_{23}={\color {Orange}0}\cdot {\color {RoyalBlue}(-1)}+{\color {Orange}1}\cdot {\color {RoyalBlue}(-2)}+{\color {Orange}3}\cdot {\color {RoyalBlue}1}$

In den Matrizen sind das folgende Einträge:

${\begin{aligned}A={\begin{pmatrix}2&0&-1\\{\color {Orange}0}&{\color {Orange}1}&{\color {Orange}3}\end{pmatrix}}{\text{ und }}B={\begin{pmatrix}1&0&{\color {RoyalBlue}-1}&0\\1&3&{\color {RoyalBlue}-2}&-1\\0&0&{\color {RoyalBlue}1}&2\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

So kann man auch die anderen Einträge von $C$ bestimmen und erhält

$C={\begin{pmatrix}2&0&-3&-2\\1&3&1&5\end{pmatrix}}$

Beispiel 2

Wir betrachten folgende Matrizen $A\in \mathbb {R} ^{1\times 3}$ und $B\in \mathbb {R} ^{3\times 1}$:

$A={\begin{pmatrix}5&2&-1\end{pmatrix}}{\text{ und }}B={\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}$

In diesem Fall können wir sowohl $A\cdot B$ als auch $B\cdot A$ berechnen. Sei $C:=A\cdot B$. Dann ist $C$ eine $1\times 1$-Matrix $C=(c_{11})$. Wir berechnen den Eintrag:

${\begin{aligned}c_{11}=5\cdot 1+2\cdot 0+(-1)\cdot 4=1\end{aligned}}$

Also ist $A\cdot B=(1)$.

Sei $D:=B\cdot A$. Dann ist $D$ eine $3\times 3$-Matrix. Wir können die Einträge von $D$ durch "Zeile mal Spalte" berechnen. Zum Beispiel ist der erste Eintrag von $D$ die erste Zeile von $B$ mal die erste Spalte von $A$, d.h. $1\cdot 5=5$. Machen wir das mit jedem Eintrag, erhalten wir

$B\cdot A=D={\begin{pmatrix}5&2&-1\\0&0&0\\20&8&-4\end{pmatrix}}$

Beispiel 3

In diesem Beispiel wollen wir uns klarmachen, dass die Matrixmulitplikation tatsächlich die Verknüpfung der einzelnen Abbildungen ist. Was ist damit gemeint? Wenn wir zwei Matrizen $A$ und $B$ haben, die wir miteinander verknüpfen können, und einen Vektor $v$, dann sollte $(A\cdot B)v=A(Bv)$ sein. Um uns das verständlicher zu machen, betrachten wir folgendes Beispiel: Seien $A\in \mathbb {C} ^{2\times 2}$ und $B\in \mathbb {C} ^{2\times 3}$ die folgenden Matrizen mit Einträgen in $\mathbb {C}$:

$A={\begin{pmatrix}2\mathrm {i} &0\\-1&2\end{pmatrix}}{\text{ und }}B={\begin{pmatrix}1&1-2\mathrm {i} &-1\\1+\mathrm {i} &2-\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}$

Sei außerdem $v=(2,0,1)^{T}$. Wir prüfen nach, dass $(A\cdot B)v=A(Bv)$. Dafür berechnen wir zunächst das Matrixprodukt $A\cdot B$:

$A\cdot B={\begin{pmatrix}2\mathrm {i} &4+2\mathrm {i} &-2\mathrm {i} \\1+2\mathrm {i} &3&1\end{pmatrix}}$

Nun multiplizieren wir diese Matrix mit $v$:

$(A\cdot B)v={\begin{pmatrix}2\mathrm {i} &4+2\mathrm {i} &-2\mathrm {i} \\1+2\mathrm {i} &3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\mathrm {i} \\3+4\mathrm {i} \end{pmatrix}}$

Als nächstes berechnen wir $A(Bv)$.

$Bv=B={\begin{pmatrix}1&1-2\mathrm {i} &-1\\1+\mathrm {i} &2-\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}$

Auf diesen Vektor wenden wir jetzt $A$ an:

$A(Bv)={\begin{pmatrix}2\mathrm {i} &0\\-1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\mathrm {i} \\3+4\mathrm {i} \end{pmatrix}}$

Tatsächlich gilt hier $(A\cdot B)v=A(Bv)$.

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation

Wir sammeln ein paar Eigenschaften der Matrixmultiplikation.

Kürzungsregel für Darstellungsmatrizen

Der folgende Satz zeigt, dass die Matrixmultiplikation tatsächlich die Verknüpfung linearer Abbildungen widerspiegelt.

Satz (Abbildungsmatrizen und Komposition linearer Abbildungen)

Seien $f\colon V\to W$ und $g\colon W\to X$ lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Seien ferner $B=\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}$ eine Basis von $V$, $C=\{w_{1},\ldots ,w_{n}\}$ eine Basis von $W$ und $D=\{x_{1},\ldots ,x_{s}\}$ eine Basis von $X$. Dann gilt

$M_{D}^{B}(g\circ f)=M_{D}^{C}(g)\cdot M_{C}^{B}(f).$

Beweis (Abbildungsmatrizen und Komposition linearer Abbildungen)

Sei $h=g\circ f$ und sei $(h_{ij})_{ij}=M_{D}^{B}(h)\in K^{s\times m}$. Seien außerdem $M_{C}^{B}(f)=(f_{ij})_{ij}\in K^{n\times m}$ bzw. $M_{D}^{C}(g)=(g_{ij})_{ij}\in K^{s\times n}$ die darstellenden Matrizen von $f$ bzw. $g$.

Nach Definition der darstellenden Matrix wissen wir, dass die $h_{ij}$ die eindeutigen Skalare sind, sodass

$h(v_{j})=\sum _{i=1}^{s}h_{ij}x_{i}$

für alle $j\in \{1,\ldots ,m\}$ gilt. Um $(h_{ij})=(g_{ij})(f_{ij})$ zu beweisen, müssen wir

$h_{ij}=\sum _{k=1}^{n}g_{ik}f_{kj}$

nachrechnen. In der Tat sehen wir:

${\begin{aligned}h(v_{j})&=\,g(f(v_{j}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{Definition von }}M_{C}^{B}(f)\right.}\\[0.3em]&=\,g\left(\sum _{k=1}^{n}f_{kj}w_{k}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{Linearität von }}g\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{k=1}^{n}f_{kj}g(w_{k})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{Definition von }}M_{D}^{C}(g)\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{k=1}^{n}f_{kj}\sum _{i=1}^{s}g_{ik}x_{i}\\[0.3em]&=\,\sum _{i=1}^{s}\left(\sum _{k=1}^{n}g_{ik}f_{kj}\right)x_{i}.\end{aligned}}$

Wegen der Eindeutigkeit der Koordinaten in der Linearkombination der $x_{i}$ folgt $h_{ij}=\sum _{k=1}^{n}g_{ik}f_{kj}$.

Warnung

Für die Kürzungsregel ist es wichtig, dass bei den darstellenden Matrizen von $f$ und $g$ in beiden Fällen dieselbe geordnete Basis $C$ von $W$ gewählt wird. Bildet man $M_{D}^{\tilde {C}}(g)$ für eine andere Basis ${\tilde {C}}\neq C$ von $W$, dann gilt die Kürzungsregel nicht mehr: Die Gleichung

$M_{D}^{B}(g\circ f)=M_{D}^{\tilde {C}}(g)\cdot M_{C}^{B}(f)$

ist im Allgemeinen falsch. Weil darstellende Matrizen von der Reihenfolge der Basisvektoren abhängen, gilt das auch dann, wenn ${\tilde {C}}$ nur eine Umordnung von $C$ ist.

Assoziativität der Matrizenmultiplikation

Satz (Assoziativität der Matrixmultiplikation)

Für $A\in K^{m\times n},\,B\in K^{n\times l},\,C\in K^{l\times k}$ gilt

$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C).$

Beweis (Assoziativität der Matrixmultiplikation)

Zunächst überprüfen wir, dass die Typen der Matrizen, die wir jeweils multiplizieren möchten, zusammenpassen. Für die Produkte $A\cdot B$ und $B\cdot C$ ist dies direkt sichtbar. Nun ist $A\cdot B\in K^{m\times l}$ und $B\cdot C\in K^{n\times k}$, also sind die Produkte auf beiden Seiten des Assoziativgesetzes definiert, beide Ergebnisse liegen in $K^{m\times k}$.

Nun betrachten wir die einzelnen Komponenten der Matrizen, um die Gleichheit festzustellen. Es sei $A=(a_{ij}),\,B=(b_{ij}),\,C=(c_{ij})$.

${\begin{aligned}((A\cdot B)\cdot C)_{ij}&=\,\sum _{s=1}^{l}(A\cdot B)_{is}c_{sj}=\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\left(\sum _{t=1}^{n}a_{it}b_{ts}\right)c_{sj}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\sum _{t=1}^{n}(a_{it}b_{ts})c_{sj}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\sum _{t=1}^{n}a_{it}(b_{ts}c_{sj})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{t=1}^{l}a_{it}\left(\sum _{s=1}^{n}b_{ts}c_{sj}\right)\\[0.3em]&=\,(A\cdot (B\cdot C))\end{aligned}}$

Verträglichkeit mit Skalarmultiplikation

Satz (Verträglichkeit mit Skalarmultiplikation)

Seien $\beta \in K,\ A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ und $B=(b_{ij})\in K^{n\times p}$, dann gilt:

$\beta \cdot (A\cdot B)=(\beta \cdot A)\cdot B=A\cdot (\beta \cdot B)$

Beachte, dass hier "$\cdot$" sowohl die Skalarmultiplikation ("Skalar mal Matrix") als auch die Matrixmultiplikation ("Matrix mal Matrix") bezeichnet.

Beweis (Verträglichkeit mit Skalarmultiplikation)

${\begin{aligned}(\beta \cdot (A\cdot B))_{ik}&=\,\beta \left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}\beta (a_{ij}b_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(\beta a_{ij})b_{jk}&=\,((\beta \cdot A)\cdot B)_{ik}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}\beta )b_{jk}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(\beta b_{jk})&=\,(A\cdot (\beta \cdot B))_{ik}\\\end{aligned}}$

Distributivität der Matrizenmultiplikation

Hier müssen wir besonders darauf achten, dass die Matrizen, die wir multiplizieren wollen, jeweils vom Typ zusammenpassen.

Satz (Erstes Distributivgesetz)

Für $A=(a_{ij})\in K^{m\times n},\,B=(b_{ij})\in K^{m\times n},\,C=(c_{ij})\in K^{n\times p}$ gilt

$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$

Beweis (Erstes Distributivgesetz)

${\begin{aligned}((A+B)\cdot C)_{ik}\,&=\,\sum _{j=1}^{n}(A+B)_{ij}c_{jk}\,=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}+b_{ij})c_{jk}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk}+b_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk})+\sum _{j=1}^{n}(b_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,(A\cdot C)_{ik}+(B\cdot C)_{ik}\\\end{aligned}}$

Satz (Zweites Distributivgesetz)

Für $A=(a_{ij})\in K^{m\times n},\,B=(b_{ij})\in K^{n\times p},\,C=(c_{ij})\in K^{n\times p}$ gilt

$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$

Beweis (Zweites Distributivgesetz)

${\begin{aligned}(A\cdot (B+C))_{ik}\,&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(B+C)_{jk}\,=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(b_{jk}+c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}b_{jk}+a_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{jk})+\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,(A\cdot B)_{ik}+(A\cdot C)_{ik}\\\end{aligned}}$

Links- und rechtsneutrales Element der Matrizenmultiplikation

Wir bezeichnen die Einträge der Einheitsmatrix mit $\delta _{ij}$, d.h. $I_{m}=(\delta _{ij})$. Es gilt

$\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{falls }}i\neq j,\\1&{\text{falls }}i=j.\end{cases}}$

Satz (Die Einheitsmatrix ist ein links- und rechtsneutrales Element der Matrixmultiplikation)

Sei $M=(m_{ij})\in K^{m\times n}$. Dann gilt

$I_{m}\cdot M=M=M\cdot I_{n}$

Beweis (Die Einheitsmatrix ist ein links- und rechtsneutrales Element der Matrixmultiplikation)

Beweisschritt: $I_{m}\cdot M=M$

Wir beweisen diese Gleichheit durch direkte Multiplikation. Es gilt für alle $i\in \{1,\ldots ,m\}$ und für alle $j\in \{1,\ldots ,n\}$:

$(I_{m}\cdot M)_{ij}=\sum _{k=1}^{m}\delta _{ik}\cdot m_{kj}=m_{ij}$

Wir haben bei der letzten Gleichheit verwendet, dass $\delta _{ij}=0$ wenn $i\neq j$ und $\delta _{ii}=1$. Da jeder Eintrag von $I_{m}\cdot M$ mit dem Eintrag von $M$ an der gleichen Stelle übereinstimmt, sind die beiden Matrizen gleich.

Beweisschritt: $M\cdot I_{n}=M$

Wir gehen wie im ersten Beweisschritt vor. Für alle $i\in \{1,\ldots ,m\}$ und für alle $j\in \{1,\ldots ,n\}$ gilt:

$(M\cdot I_{n})_{ij}=\sum _{k=1}^{n}m_{ik}\cdot \delta _{kj}=m_{ij}$

Also ist auch diese Gleichheit bewiesen.

Somit sind die Einheitsmatrizen der entsprechenden Größe links- bzw. rechtsneutrale Elemente bezüglich der Matrizenmultiplikation.

Keine Kommutativität

Beispiel (Nicht-Kommutativität der $2\times 2$-Matrizen)

In den $2\times 2$-Matrizen können wir die fehlschlagende Kommutativität an folgendem Beispiel sehen: Einerseits ist

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}$

und andererseits ist

${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}$

Also spielt die Reihenfolge bei der Matrizenmultiplikation eine Rolle.

Warnung

Im Allgemeinen gilt $A\cdot B\neq B\cdot A$, das Matrixprodukt ist also nicht kommutativ.

Das Kommutativgesetz gilt nur in wenigen Spezialfällen (z.B. Produkte von Diagonalmatrizen).

Da die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrizen zusammenpassen muss, kann es sogar sein, dass eines der beiden Produkte nicht einmal definiert ist! Zum Beispiel ist für $A\in K^{4\times 3}{\text{ und }}B\in K^{3\times 2}$ das Produkt $A\cdot B\in K^{4\times 2}$ definiert, aber das Produkt $B\cdot A$ ist nicht definiert.

Weiterführendes

Hinweis

Multiplizieren wir zwei $n\times n$-Matrizen, so ist das Ergebnis wieder eine $n\times n$-Matrix. Wir kennen nun also zwei innere Verknüpfungen auf der Menge $K^{n\times n}$: die Addition von Matrizen

$+\;\colon K^{n\times n}\to K^{n\times n},\quad (a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij})$

sowie die Matrixmultiplikation

$\cdot \;\colon K^{n\times n}\to K^{n\times n},\quad (a_{ij})\cdot (b_{ij})=(\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}).$

Aus dem Artikel zur Vektorraumstruktur für Matrizen wissen wir bereits, dass $(K^{n\times n},+)$ eine abelsche Gruppe ist. Aus Eigenschaften der Matrixmultiplikation folgt, dass $(K^{n\times n},+,\cdot )$ sogar ein Ring mit Eins ist: Die Multiplikation $\cdot$ ist assoziativ, es gibt ein neutrales Element $I_{n}$ und es gelten die Distributivgesetze.

Der Ring der Matrizen ist jedoch im Allgemeinen nicht kommutativ, wie wir oben gesehen haben. Beachte auch, dass wir eine solche Ringstruktur nur für quadratische Matrizen haben, da andernfalls die Multiplikation zweier Elemente nicht definiert ist.