Matrizenmultiplikation – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Einführung

Wie wir gerade gesehen haben, lässt sich eine lineare Abbildung $f(x)$ auch als Multiplikation zwischen einer Matrix $M$ und dem Koordinatenvektor von $x$ darstellen:

$f(x):V\to W,\ f(x)=M\cdot x$

Wie man von z.B. Ableitungen schon weiß, ist es oft hilfreich, eine Abbildung oder Funktion als Verkettung einfacherer Abbildungen zu bilden. Da es sich bei der Verkettung zweier linearer Abbildungen wieder um eine lineare Abbildung handelt, lässt sich auch diese als Multiplikation mit einer Matrix darstellen. Diese Matrix wollen wir jetzt anhand der Matrizen der beiden verketteten Abbildungen herausfinden.

Dazu betrachten wir einen Köper $K$, $K$-Vektorräume $V,W,U$ und die Abbildung $h(x):V\to U,\ h(x)=g(f(x))=H\cdot x$, die Verkettung der zwei Abbildungen $f(x):V\to W,\ g(x):W\to U$, deren Matrizen $F$ bzw. $G$ sind. Somit ist $H$ die gesuchte Matrix.

Als Beispiel betrachten wir hier zunächst den Fall, dass $\mathrm {dim} (V)=\mathrm {dim} (W)=\mathrm {dim} (U)=2$. Dann sind $F,G,H\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$. Dann können wir $H$ berechnen:

$F={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\ G={\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}\ \ \ \implies \ \ \ f{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}},\ g{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ex+fy\\gx+hy\end{pmatrix}}$

$h{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=g\left(f{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right)=g{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e(ax+by)+f(cx+dy)\\g(ax+by)+h(cx+dy)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(ae+cf)x+(be+df)y\\(ag+ch)x+(bg+dh)y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+cf&be+df\\ag+df&bg+dh\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=H\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

Wie man aber sieht, ist die ausführliche Berechnung schon für die Dimension zwei viel Schreiberei. Deshalb wollen wir nun den allgemeinen Fall betrachten, um eine Lösung für beliebige Dimensionen zu finden.

Dazu schreiben wir $f$ und $g$ zunächst als Summen, indem wir die Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation einsetzen, und setzen dann $f$ in $g$ ein, um den Term für $g(x(f))$ zu finden:

$f(x)_{j}=(F\cdot x)_{j}=\sum _{k=1}^{\mathrm {dim} (V)}F_{jk}x_{k},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(y)_{i}=(G\cdot y)_{i}=\sum _{j=1}^{\mathrm {dim} (W)}G_{ij}y_{j}$

$h(x)_{i}=g(f(x))_{i}=\sum _{j=1}^{\mathrm {dim} (W)}G_{ij}(f(x))_{j}=\sum _{j=1}^{\mathrm {dim} (W)}G_{ij}\sum _{k=1}^{\mathrm {dim} (V)}F_{jk}x_{k}=\sum _{k=1}^{\mathrm {dim} (V)}\left(\sum _{j=1}^{\mathrm {dim} (W)}G_{ij}F_{jk}\right)x_{k}$

Nun können wir aber auch $h$ als Summe ausdrücken:

$h(x)_{i}=(H\cdot x)_{i}=\sum _{k=1}^{\mathrm {dim} (V)}H_{ik}x_{k}$

Aus dem Vergleich der beiden Terme für $h(x)_{i}$ kann man jetzt erkennen, dass:

$H_{ik}=\sum _{j=1}^{\mathrm {dim} (W)}G_{ij}F_{jk}$

Somit haben wir einen Weg gefunden, für beliebige Dimensionen von $V,W$ und $U$ die Elemente der Abbildungsmatrix von $h$ aus den Abbildungsmatrizen von $f$ und $g$ zu berechnen. Diese Operation wird als Matrixmultiplikation oder Matrizenprodukt bezeichnet.

Definition und Merkregel

Mathematisch können wir die Matrizenmultiplikation auch als Verknüpfung (ähnlich wie die Multiplikation von reellen Zahlen) auffassen.

Definition (Matrixmultiplikation)

Die Matrixmultiplikation ist eine Verknüpfung $\circ \,\colon K^{m\times n}\times K^{n\times p}\to K^{m\times p}$. Sie bildet zwei Matrizen $A\in K^{m\times n},\,A=(a_{ij}),\,B\in K^{n\times p},\,B=(b_{jk})$ auf die Matrix $C=(c_{ik})\in K^{m\times p}$ mit $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$ ab.

Allerdings gibt es einen wichtigen Unterschied zur Multiplikation von reellen Zahlen: Bei Matrizen müssen wir beachten, dass die Dimensionen der Matrizen, die wir multiplizieren wollen, zusammenpassen.

Hinweis

Die beiden Matrizen müssen nicht gleich groß sein, es muss nur die Spaltenanzahl der linken Matrix $A$ gleich der Zeilenanzahl der rechten Matrix $B$ sein. Das Ergebnis hat dann die Zeilenanzahl linken Matrix $A$ und die Spaltenanzahl der rechten Matrix $B$. Das bedeutet, zwei Matrizen $A\in K^{m\times n};\,B\in K^{p\times q}$ können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn $n=p$ ist.

Warnung

Die beiden Matrizen $A\in K^{m\times n};\,B\in K^{p\times q}$ mit $n\neq p$ können nicht miteinander multipliziert werden.

Zur Berechnung des Matrizenprodukts wird das Schema Zeile mal Spalte angewandt.

Merkregel: Zeile mal Spalte

Nach der Definition ist jeder Eintrag im Produkt $A\circ B$ die komponentenweise Multiplikation der Elemente der $i$-ten Zeile von $A$ mit der $k$-ten Spalte von $B$ und die Summation all dieser Produkte. Dieses Vorgehen kann man sich merken als Zeile mal Spalte, wie es in der Abbildung rechts gezeigt ist.

Ausblick:

Mit dieser Multiplikation, der Addition und der Skalarmultiplikation wird die Menge der quadratischen Matrizen (einer festen Größe) zu einer Algebra über dem Körper $K$. Gleichzeitig erhält sie damit auch die Struktur eines Ringes. Diese Strukturen werden wir in "Lineare Algebra 2" behandeln.

Konkretes Beispiel

Seien $L'\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+y\\y-x\end{pmatrix}}$ und $L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+z\\y-z\end{pmatrix}}$ zwei lineare Abbildungen. Damit ist $(L'\circ L)\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ eine verkettete lineare Abbildung. Wir nehmen als Basen jeweils die kanonischen Standardbasen $\lbrace e_{1}^{3},\,e_{2}^{3},\,e_{3}^{3}\rbrace$ des $\mathbb {R} ^{3}$ bzw. $\lbrace e_{1}^{2},\,e_{2}^{2}\rbrace$ des $\mathbb {R} ^{2}$. Für die Abbildung $L$ gilt:

$L(e_{1}^{3})=L{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0\\0-0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},$

$L(e_{2}^{3})=L{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0+0\\1-0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},$

$L(e_{3}^{3})=L{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0+1\\0-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

und damit gilt für die Abbildungsmatrix

$M(L)={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}$

Für die Abbildung $L'$ gilt:

$L'(e_{1}^{2})=L'{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0\\0-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},$

$L'(e_{2}^{2})=L'{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0+1\\1-0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

und damit gilt für die Abbildungsmatrix

$M(L')={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}$

Wir wollen nun die Abbildungsmatrix der Abbildung $(L'\circ L)\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ bestimmen. Für diese Abbildung gilt:

$L'(L(e_{1}^{3}))=L'{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},$

$L'(L(e_{2}^{3}))=L'{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

$L'(L(e_{3}^{3}))=L'{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}$

und damit gilt für die Abbildungsmatrix

$M(L'\circ L)={\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&1&-2\end{pmatrix}}$

Die Matrix der Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen $L$ und $L'$ ist aber gerade das Produkt der beiden Abbildungsmatrizen $M(L)$ und $M(L')$:

$M(L')\cdot M(L)={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&1&-2\end{pmatrix}}$

Dabei kann das Produkt nach der Regel "Zeile mal Spalte berechnet werden.

To-Do:

evtl. genauere Erläuterungen, wie man das Matrixprodukt hier berechnet, z.B. eintragsweise aufschlüsseln

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation

Assoziativität der Matrizenmultiplikation

Satz (Assoziativität der Matrixmultiplikation)

Für $A\in K^{m\times n},\,B\in K^{n\times l},\,C\in K^{l\times k}$ gilt

$(A\circ B)\circ C=A\circ (B\circ C).$

Beweis (Assoziativität der Matrixmultiplikation)

Zunächst überprüfen wir, dass die Typen der Matrizen, die wir jeweils multiplizieren möchten, zusammenpassen. Für die Produkte $A\circ B$ und $B\circ C$ ist dies direkt sichtbar. Nun ist $A\circ B\in K^{m\times l}$ und $B\circ C\in K^{n\times k}$, also sind die Produkte auf beiden Seiten des Assoziativgesetzes definiert, beide Ergebnisse liegen in $K^{m\times k}$.

Nun betrachten wir die einzelnen Komponenten der Matrizen, um die Gleichheit festzustellen. Es sei $A=(a_{ij}),\,B=(b_{ij}),\,C=(c_{ij})$.

${\begin{aligned}((A\circ B)\circ C)_{ij}&=\,\sum _{s=1}^{l}(A\circ B)_{is}c_{sj}=\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\left(\sum _{t=1}^{n}a_{it}b_{ts}\right)c_{sj}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\sum _{t=1}^{n}(a_{it}b_{ts})c_{sj}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\sum _{t=1}^{n}a_{it}(b_{ts}c_{sj})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{t=1}^{l}a_{it}\left(\sum _{s=1}^{n}b_{ts}c_{sj}\right)\\[0.3em]&=\,(A\circ (B\circ C))\end{aligned}}$

Assoziativität der Skalarmultiplikation

To-Do:

Die letzte Gleichung sit etwas unklar, weil bei uns das Skalarprodukt immer von links kommt, und damit der letzte Term überhauot nicht definiert ist.

Satz (Assoziativität der Matrixmultiplikation)

Seien $\beta \in K,\ A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ und $B=(b_{ij})\in K^{n\times p}$, dann gilt:

$\beta \cdot (A\circ B)=(\beta \cdot A)\circ B=A\circ (\beta \cdot B)=(A\circ B)\cdot \beta$

Beweis (Assoziativität der Matrixmultiplikation)

${\begin{aligned}(\beta \cdot (A\circ B))_{ik}&=\,\beta \left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}\beta (a_{ij}b_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(\beta a_{ij})b_{jk}&=\,((\beta \cdot A)\circ B)_{ik}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}\beta )b_{jk}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(\beta b_{jk})&=\,(A\circ (\beta \cdot B))_{ik}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\beta \\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)\beta &=\,((A\circ B)\cdot \beta )_{ik}\\\end{aligned}}$

To-Do:

Anordnung der Formel verbessern

Distributivität der Matrizenmultiplikation

Hier müssen wir besonders darauf achten, dass die Matrizen, die wir multiplizieren wollen, jeweils vom Typ zusammenpassen.

Satz (Erstes Distributivgesetz)

Für $A=(a_{ij})\in K^{m\times n},\,B=(b_{ij})\in K^{m\times n},\,C=(c_{ij})\in K^{n\times p}$ gilt

$(A+B)\circ C=A\circ C+B\circ C$

Beweis (Erstes Distributivgesetz)

${\begin{aligned}((A+B)\circ C)_{ik}\,&=\,\sum _{j=1}^{n}(A+B)_{ij}c_{jk}\,=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}+b_{ij})c_{jk}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk}+b_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk})+\sum _{j=1}^{n}(b_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,(A\circ C)_{ik}+(B\circ C)_{ik}\\\end{aligned}}$

Satz (Zweites Distributivgesetz)

Für $A=(a_{ij})\in K^{m\times n},\,B=(b_{ij})\in K^{n\times p},\,C=(c_{ij})\in K^{n\times p}$ gilt

$A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C$

Beweis (Zweites Distributivgesetz)

${\begin{aligned}(A\circ (B+C))_{ik}\,&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(B+C)_{jk}\,=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(b_{jk}+c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}b_{jk}+a_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{jk})+\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,(A\circ B)_{ik}+(A\circ C)_{ik}\\\end{aligned}}$

Keine Kommutativität

Warnung

Im Allgemeinen gilt $A\cdot B\neq B\cdot A$, das Matrixprodukt ist also nicht kommutativ.

Das Kommutativgesetz gilt nur in wenigen Spezialfällen (z.B. Produkte von Diagnoalmatrizen).

Da die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrizen zusammenpassen muss, kann es sogar sein, dass eines der beiden Produkte nicht einmal definiert ist! Zum Beispiel ist für $A\in K^{4\times 3}{\text{ und }}B\in K^{3\times 2}$ das Produkt $A\circ B\in K^{4\times 2}$ definiert, aber das Produkt $B\circ A$ ist nicht definiert.