Matrizenmultiplikation – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Einführung

Meta-Plan:

• Wir haben Matrizen eingeführt, um lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen zu beschreiben.
• Dabei haben wir uns schon überlegt, wie wir durch die Matrix-Vektor-Multiplikation das Bild eines Vektors aus der Matrix berechnen können.
• Nachdem wir die VR-Struktur von linearen Abbildungen auf Matrizen übertragen haben, wollen wir nun die Komposition von linearen Abbildungen auf Matrizenebene verstehen.
• Verweis auf $2\times 2$ Aufgabe
• Setting formal hinschreiben
• Matrizenmultiplikation durchrechenen (ähnlich wie momentan unten nur allgemein)

Alter Inhalt:

• Wir haben Matrizen eingeführt, um lineare Abbildungen $f\colon V\to W$ zwischen Vektorräumen $V$ und $W$ zu beschreiben.
• Dabei haben wir uns schon überlegt, wie wir durch die Matrix-Vektor-Multiplikation das Bild $f(v)$ eines Vektors $v\in V$ aus der Abbildungsmatrix berechnen können.

Wie wir gerade gesehen haben, lässt sich eine lineare Abbildung $f(x)$ auch als Multiplikation zwischen einer Matrix $M$ und dem Koordinatenvektor von $x$ darstellen:

$f(x):V\to W,\ f(x)=M\cdot x$

• Nachdem wir die VR-Struktur von linearen Abbildungen auf Matrizen übertragen haben, wollen wir nun die Komposition von linearen Abbildungen auf Matrizenebene verstehen.

Wie man von z.B. Ableitungen schon weiß, ist es oft hilfreich, eine Abbildung oder Funktion als Verkettung einfacherer Abbildungen zu bilden. Da es sich bei der Verkettung zweier linearer Abbildungen wieder um eine lineare Abbildung handelt, lässt sich auch diese als Multiplikation mit einer Matrix darstellen. Diese Matrix wollen wir jetzt anhand der Matrizen der beiden verketteten Abbildungen herausfinden.

• Verweis auf $2\times 2$ Aufgabe
• Der allgemeine Fall ist eine ziemliche Index-Schlacht. Daher kann es helfen sich diese Multiplikation erst einmal in niedrigen Dimensionen zu überlegen. Es gibt eine Aufgabe (TODO Link), die dir dabei helfen kann.

Dazu betrachten wir einen Köper $K$, $K$-Vektorräume $V,W,U$ und die Abbildung $h(x):V\to U,\ h(x)=g(f(x))=H\cdot x$, die Verkettung der zwei Abbildungen $f(x):V\to W,\ g(x):W\to U$, deren Matrizen $F$ bzw. $G$ sind. Somit ist $H$ die gesuchte Matrix.

Aufgabe (Herleitung Matrizenmultiplikation)

Sei $K$ ein Körper und seien $A,A'\in K^{2\times 2}$. Ferner sei $f\colon K^{2}\to K^{2};x\mapsto A\cdot x$ und $g\colon K^{2}\to K^{2};x\mapsto A'\cdot x$. Sei $B=\{(1,0)^{T},(0,1)^{T}\}$ die Standardbasis von $K^{2}$. Beschreibe $M_{B}^{B}(g\circ f)$ in Abhängigkeit von den Einträgen von $A$ und $A'$.

Lösung (Herleitung Matrizenmultiplikation)

Wir wissen schon aus dem Einführungsartikel zu Abbildungsmatrizen, dass $M_{B}^{B}(f)=A$ und $M_{B}^{B}(g)=A'$ gilt.

To-Do:

Notation an aktuelles Setting anpassen.

$F={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\ G={\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}\ \ \ \implies \ \ \ f{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}},\ g{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ex+fy\\gx+hy\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}h{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}&=g\left(f{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right)=g{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}e(ax+by)+f(cx+dy)\\g(ax+by)+h(cx+dy)\end{pmatrix}}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}(ae+cf)x+(be+df)y\\(ag+ch)x+(bg+dh)y\end{pmatrix}}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}ae+cf&be+df\\ag+df&bg+dh\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=H\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Wir wollen nun den allgemeinen Fall betrachten:

Dazu schreiben wir $f$ und $g$ zunächst als Summen, indem wir die Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation einsetzen, und setzen dann $f$ in $g$ ein, um den Term für $g(f(x))$ zu finden:

$f(x)_{j}=(F\cdot x)_{j}=\sum _{k=1}^{\mathrm {dim} (V)}F_{jk}x_{k},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(y)_{i}=(G\cdot y)_{i}=\sum _{j=1}^{\mathrm {dim} (W)}G_{ij}y_{j}$

$h(x)_{i}=g(f(x))_{i}=\sum _{j=1}^{\mathrm {dim} (W)}G_{ij}(f(x))_{j}=\sum _{j=1}^{\mathrm {dim} (W)}G_{ij}\sum _{k=1}^{\mathrm {dim} (V)}F_{jk}x_{k}=\sum _{k=1}^{\mathrm {dim} (V)}\left(\sum _{j=1}^{\mathrm {dim} (W)}G_{ij}F_{jk}\right)x_{k}$

Nun können wir aber auch $h$ als Summe ausdrücken:

$h(x)_{i}=(H\cdot x)_{i}=\sum _{k=1}^{\mathrm {dim} (V)}H_{ik}x_{k}$

Aus dem Vergleich der beiden Terme für $h(x)_{i}$ kann man jetzt erkennen, dass:

$H_{ik}=\sum _{j=1}^{\mathrm {dim} (W)}G_{ij}F_{jk}$

Somit haben wir einen Weg gefunden, für beliebige Dimensionen von $V,W$ und $U$ die Elemente der Abbildungsmatrix von $h$ aus den Abbildungsmatrizen von $f$ und $g$ zu berechnen. Diese Operation wird als Matrixmultiplikation oder Matrizenprodukt bezeichnet.

Definition und Merkregel

Mathematisch können wir die Matrizenmultiplikation auch als Verknüpfung (ähnlich wie die Multiplikation von reellen Zahlen) auffassen.

Definition (Matrixmultiplikation)

Die Matrixmultiplikation ist eine Verknüpfung $\circ \,\colon K^{m\times n}\times K^{n\times p}\to K^{m\times p}$. Sie bildet zwei Matrizen $A\in K^{m\times n},\,A=(a_{ij}),\,B\in K^{n\times p},\,B=(b_{jk})$ auf die Matrix $C=(c_{ik})\in K^{m\times p}$ mit $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$ ab.

Allerdings gibt es einen wichtigen Unterschied zur Multiplikation von reellen Zahlen: Bei Matrizen müssen wir beachten, dass die Dimensionen der Matrizen, die wir multiplizieren wollen, zusammenpassen.

Hinweis

Die beiden Matrizen müssen nicht gleich groß sein, es muss nur die Spaltenanzahl der linken Matrix $A$ gleich der Zeilenanzahl der rechten Matrix $B$ sein. Das Ergebnis hat dann die Zeilenanzahl linken Matrix $A$ und die Spaltenanzahl der rechten Matrix $B$. Das bedeutet, zwei Matrizen $A\in K^{m\times n};\,B\in K^{p\times q}$ können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn $n=p$ ist.

Warnung

Die beiden Matrizen $A\in K^{m\times n};\,B\in K^{p\times q}$ mit $n\neq p$ können nicht miteinander multipliziert werden.

Zur Berechnung des Matrizenprodukts wird das Schema Zeile mal Spalte angewandt.

Merkregel: Zeile mal Spalte

Nach der Definition ist jeder Eintrag im Produkt $A\circ B$ die komponentenweise Multiplikation der Elemente der $i$-ten Zeile von $A$ mit der $k$-ten Spalte von $B$ und die Summation all dieser Produkte. Dieses Vorgehen kann man sich merken als Zeile mal Spalte, wie es in der Abbildung rechts gezeigt ist. Beim Rechnen kann das Falksche Schema helfen, um mit Zeilen und Spalten nicht durcheinander zu kommen.

Konkretes Beispiel

Seien $L'\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+y\\y-x\end{pmatrix}}$ und $L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+z\\y-z\end{pmatrix}}$ zwei lineare Abbildungen. Damit ist $(L'\circ L)\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ eine verkettete lineare Abbildung. Wir nehmen als Basen jeweils die kanonischen Standardbasen $\lbrace e_{1}^{3},\,e_{2}^{3},\,e_{3}^{3}\rbrace$ des $\mathbb {R} ^{3}$ bzw. $\lbrace e_{1}^{2},\,e_{2}^{2}\rbrace$ des $\mathbb {R} ^{2}$. Für die Abbildung $L$ gilt:

$L(e_{1}^{3})=L{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0\\0-0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},$

$L(e_{2}^{3})=L{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0+0\\1-0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},$

$L(e_{3}^{3})=L{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0+1\\0-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

und damit gilt für die Abbildungsmatrix

$M(L)={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}$

Für die Abbildung $L'$ gilt:

$L'(e_{1}^{2})=L'{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0\\0-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},$

$L'(e_{2}^{2})=L'{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0+1\\1-0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

und damit gilt für die Abbildungsmatrix

$M(L')={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}$

Wir wollen nun die Abbildungsmatrix der Abbildung $(L'\circ L)\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ bestimmen. Für diese Abbildung gilt:

$L'(L(e_{1}^{3}))=L'{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},$

$L'(L(e_{2}^{3}))=L'{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},$

$L'(L(e_{3}^{3}))=L'{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}$

und damit gilt für die Abbildungsmatrix

$M(L'\circ L)={\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&1&-2\end{pmatrix}}$

Die Matrix der Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen $L$ und $L'$ ist aber gerade das Produkt der beiden Abbildungsmatrizen $M(L)$ und $M(L')$:

$M(L')\cdot M(L)={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&1&-2\end{pmatrix}}$

Dabei kann das Produkt nach der Regel "Zeile mal Spalte berechnet werden.

To-Do:

evtl. genauere Erläuterungen, wie man das Matrixprodukt hier berechnet, z.B. eintragsweise aufschlüsseln

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation

To-Do:

In diesem Gesamten Abschnitt überleitende Texte einfügen.

Kürzungsregel für Darstellungsmatrizen

Satz (Kürzungsregel für Darstellungsmatrizen)

Seien $V,W$ und $Z$ endlich dimensionale $K$-Vektorräume mit gewählten Basen $B$ von $V$, $C$ von $W$ und $D$ von $Z$. Ferner seien $f\colon V\to W$ und $g\colon W\to Z$ lineare Abbildungen. Dann gilt

$M_{D}^{B}(g\circ f)=M_{D}^{C}(g)\cdot M_{C}^{B}(f)$

Beweis (Kürzungsregel für Darstellungsmatrizen)

TODO

Assoziativität der Matrizenmultiplikation

Satz (Assoziativität der Matrixmultiplikation)

Für $A\in K^{m\times n},\,B\in K^{n\times l},\,C\in K^{l\times k}$ gilt

$(A\circ B)\circ C=A\circ (B\circ C).$

Beweis (Assoziativität der Matrixmultiplikation)

Zunächst überprüfen wir, dass die Typen der Matrizen, die wir jeweils multiplizieren möchten, zusammenpassen. Für die Produkte $A\circ B$ und $B\circ C$ ist dies direkt sichtbar. Nun ist $A\circ B\in K^{m\times l}$ und $B\circ C\in K^{n\times k}$, also sind die Produkte auf beiden Seiten des Assoziativgesetzes definiert, beide Ergebnisse liegen in $K^{m\times k}$.

Nun betrachten wir die einzelnen Komponenten der Matrizen, um die Gleichheit festzustellen. Es sei $A=(a_{ij}),\,B=(b_{ij}),\,C=(c_{ij})$.

${\begin{aligned}((A\circ B)\circ C)_{ij}&=\,\sum _{s=1}^{l}(A\circ B)_{is}c_{sj}=\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\left(\sum _{t=1}^{n}a_{it}b_{ts}\right)c_{sj}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\sum _{t=1}^{n}(a_{it}b_{ts})c_{sj}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{s=1}^{l}\sum _{t=1}^{n}a_{it}(b_{ts}c_{sj})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{t=1}^{l}a_{it}\left(\sum _{s=1}^{n}b_{ts}c_{sj}\right)\\[0.3em]&=\,(A\circ (B\circ C))\end{aligned}}$

Assoziativität der Skalarmultiplikation

To-Do:

Die letzte Gleichung sit etwas unklar, weil bei uns das Skalarprodukt immer von links kommt, und damit der letzte Term überhauot nicht definiert ist.

Satz (Assoziativität der Skalarmultiplikation)

Seien $\beta \in K,\ A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ und $B=(b_{ij})\in K^{n\times p}$, dann gilt:

$\beta \cdot (A\circ B)=(\beta \cdot A)\circ B=A\circ (\beta \cdot B)=(A\circ B)\cdot \beta$

Beweis (Assoziativität der Skalarmultiplikation)

${\begin{aligned}(\beta \cdot (A\circ B))_{ik}&=\,\beta \left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}\beta (a_{ij}b_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(\beta a_{ij})b_{jk}&=\,((\beta \cdot A)\circ B)_{ik}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}\beta )b_{jk}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(\beta b_{jk})&=\,(A\circ (\beta \cdot B))_{ik}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\beta \\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)\beta &=\,((A\circ B)\cdot \beta )_{ik}\\\end{aligned}}$

To-Do:

Anordnung der Formel verbessern

Distributivität der Matrizenmultiplikation

Hier müssen wir besonders darauf achten, dass die Matrizen, die wir multiplizieren wollen, jeweils vom Typ zusammenpassen.

Satz (Erstes Distributivgesetz)

Für $A=(a_{ij})\in K^{m\times n},\,B=(b_{ij})\in K^{m\times n},\,C=(c_{ij})\in K^{n\times p}$ gilt

$(A+B)\circ C=A\circ C+B\circ C$

Beweis (Erstes Distributivgesetz)

${\begin{aligned}((A+B)\circ C)_{ik}\,&=\,\sum _{j=1}^{n}(A+B)_{ij}c_{jk}\,=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}+b_{ij})c_{jk}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk}+b_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk})+\sum _{j=1}^{n}(b_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,(A\circ C)_{ik}+(B\circ C)_{ik}\\\end{aligned}}$

Satz (Zweites Distributivgesetz)

Für $A=(a_{ij})\in K^{m\times n},\,B=(b_{ij})\in K^{n\times p},\,C=(c_{ij})\in K^{n\times p}$ gilt

$A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C$

Beweis (Zweites Distributivgesetz)

${\begin{aligned}(A\circ (B+C))_{ik}\,&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(B+C)_{jk}\,=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(b_{jk}+c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}b_{jk}+a_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{wegen Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\,\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{jk})+\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}c_{jk})\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{nach Definition}}\right.}\\[0.3em]&=\,(A\circ B)_{ik}+(A\circ C)_{ik}\\\end{aligned}}$

Einheiten der Matrizenmultiplikation

• Erklären und Herleiten, dass die Einheitsmatrix eine Einheit bzgl. der Matrizenmultiplikation ist.

Satz (Die Einheitsmatrix ist eine Einheit der Matrixmultiplikation)

Sei $M\in K^{m\times n}$. Dann gilt

$I_{m}\cdot M=M=M\cdot I_{n}$

Beweis (Die Einheitsmatrix ist eine Einheit der Matrixmultiplikation)

TODO

Keine Kommutativität

Beispiel (Nicht-Kommutativität der $2\times 2$-Matrizen)

In den $2\times 2$-Matrizen können wir die fehlschlagende Kommutativität an folgendem Beispiel sehen: Einerseits ist

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}$

und andererseits ist

${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}$

Also spielt die Reihenfolge bei der Matrizenmultiplikation eine Rolle.

Warnung

Im Allgemeinen gilt $A\cdot B\neq B\cdot A$, das Matrixprodukt ist also nicht kommutativ.

Das Kommutativgesetz gilt nur in wenigen Spezialfällen (z.B. Produkte von Diagnoalmatrizen).

Da die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrizen zusammenpassen muss, kann es sogar sein, dass eines der beiden Produkte nicht einmal definiert ist! Zum Beispiel ist für $A\in K^{4\times 3}{\text{ und }}B\in K^{3\times 2}$ das Produkt $A\circ B\in K^{4\times 2}$ definiert, aber das Produkt $B\circ A$ ist nicht definiert.

Weiterführendes

• Wir erhalten einen (i.d.R.) nicht-kommutativen Ring!