Gleichungssysteme und Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Einführendes Beispiel aus der Praxis

Lineare Abhängigkeiten treten in der Praxis oft auf.

Beispiel (lineare Zusammenhänge in der Praxis)

Stellen wir uns ein Unternehmen vor, das zwei Arten von Duft-Essenzen für Wohnräume auf den Markt bringt ("Frühling" und "Exotic"), indem zwei Rohstoffe, die die Firma einkauft (Veilchenduft und Jasminöl) in unterschiedlichen Zusammensetzungen gemischt werden:

• 10kg der Essenz "Frühling" bestehen aus 7kg Veilchenduft und 3kg Jasminöl.
• 10kg des Duftes "Exotic" bestehen aus 2kg Veilchenduft und 8kg Jasminöl.

Die Kosten für Veilchenduft und Jasminöl steigen von Zeit zu Zeit ein wenig. Wir legen uns daher nicht auf konkrete Werte fest, sondern bezeichnen

• den variablen Preis (in Euro) für 1kg Veilchenduft mit $x_{1}$
• und den variablen Preis (in Euro) für 1kg Jasminöl mit $x_{2}$.

Das Unternehmen interessiert sich nun für zwei Dinge:

• Wieviel muss es (in Euro) für die Rohstoffe zahlen, die für 10kg "Frühling" benötigt werden?

Antwort: $y_{1}=7x_{1}+3x_{2}$

• Wieviel muss es (in Euro) für die Rohstoffe zahlen, die für 10kg "Exotic" benötigt werden?

Antwort: $y_{2}=2x_{1}+8x_{2}$

Wir haben hier eine Abhängigkeit zweier Größen $y_{1}$ und $y_{2}$ von zwei anderen Größen $x_{1}$ und $x_{2}$. Diese können wir als das Gleichungssystem

${\begin{aligned}y_{1}&=7x_{1}+3x_{2}\\y_{2}&=2x_{1}+8x_{2}\end{aligned}}$

notieren. Alternativ können wir diese Abhängigkeit als Matrixmultiplikation schreiben:

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&3\\2&8\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}$

Definition

Definition (Lineares Gleichungssystem (LGS))

Sei $K$ ein Körper. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) über $K$ mit $m$ Gleichungen für $n$ Unbekannte $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ hat die Form:

${\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{aligned}}$

wobei $a_{ij},b_{i}\in K$ für $i\in \{1,2,\ldots ,m\}$ und $j\in \{1,2,\ldots ,n\}$.

Das LGS heißt homogen, falls $b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{m}=0$, andernfalls inhomogen.

Definition (Koeffizientenmatrix)

Die Matrix $A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ heißt Koeffizientenmatrix des LGS aus obiger Definition. Der Vektor $b=(b_{i})\in K^{m}$ heißt rechte Seite.

Definition (Lösungsmenge eines LGS)

Der Vektor $x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}$ heißt Lösung des obigen LGS, falls $A\cdot x=b$. Die Menge

$L(A,b)=\{x\in K^{n}\mid A\cdot x=b\}$

heißt Lösungsmenge des LGS.

Beispiele

Beispiel

${\begin{aligned}2x_{1}+x_{2}&=5\\x_{1}-3x_{2}&=-1\end{aligned}}$

ist ein lineares Gleichungssystem über $\mathbb {Q}$ mit 2 Gleichungen für die Unbekannten $x_{1},x_{2}$ mit Koeffizientenmatrix ${\begin{pmatrix}2&1\\1&-3\end{pmatrix}}$ und rechter Seite ${\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}}$.

Gleichungssystem mit einer eindeutigen Lösung

Beispiel (Gleichungssystem mit einer eindeutigen Lösung)

Wir haben bereits im vorherigen Kapitel zwischen verschiedenen Arten von linearen Gleichungssystemen unterschieden.

${\begin{aligned}1x_{1}+3x_{2}+2x_{3}&=0\\-x_{1}-x_{2}&=2\\x_{1}+5x_{2}+ax_{3}=4\end{aligned}}$

Dieses lineare Gleichungssystem lässt sich als Matrix darstellen.

${\begin{pmatrix}1&3&2&0\\-1&-1&0&2\\1&5&a&4\end{pmatrix}}$

Durch den Gauß Algorithmus erhalten wir:

${\begin{pmatrix}1&0&-1&-3\\0&1&1&1\\0&0&a-4&2\end{pmatrix}}$

Im Detail erhalten wir für $a=4$, keine Lösung. Oder anders ausgedrückt: Wir suchen eine Lösung für

$0\cdot x_{3}=0$

Deshalb ist das Gleichungssystem für $a=4$ nicht lösbar bzw. besitzt es keine Lösung. Wählen wir ein festes a z.b. $a=6$. So erhalten wir eine eindeutige Lösung.

${\begin{pmatrix}1&0&-1&-3\\0&1&1&1\\0&0&2&2\end{pmatrix}}$

Durch Multiplizieren der III Zeile mit 1/2, Subtrahieren der II - III Zeile bzw. I - III Zeile, erhalten wir anschließend die Gauß-Normalform.

${\begin{pmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}}$

Nun haben wir eine eindeutige Lösung gefunden. Dank der Gauß-Normalform können wir diese direkt ablesen. Wir erhalten:

$x_{1}=-2,x_{2}=0,x_{3}=1$

Gleichungssystem mit einer nicht eindeutigen Lösung

Beispiel (Gleichungssystem mit einer nicht eindeutigen Lösung)

Oft sind lineare Gleichungssysteme im allgemeinen nicht eindeutig. Dazu betrachte folgendes lineares Gleichungssystem über $\mathbb {R}$.

${\begin{aligned}1x_{1}+3x_{2}+2x_{3}&=1\\x_{1}+2x_{2}+3x_{3}&=1\\2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}&=2\\\end{aligned}}$

Auf den ersten Blick scheint das Gleichungssystem eindeutig lösbar. Allerdings stellt man nach der Ausführung des Gauß Algorithmus fest, dass keine eindeutige Lösung existiert. Das Gleichungssystem besitzt daher unendlich viele Lösungen, da das Gleichungssystem, salopp gesagt, mehr Variablen als Gleichungen besitzt. Formal gesagt, ist der Rang der Matrix kleiner $n$, wobei $n$ die Größe der Matrix bezeichnet.

${\begin{pmatrix}1&0&-1&1\\0&1&2&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$

Folglich besitzt das Gleichungssystem, keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele Lösungen.

Bei solchen Gleichungen gehe wie folgt vor:

1. Suche eine Variable, die fixiert wird. Also z.b. setze $x_{3}=t$. Es ist egal, welche Variable fixiert wird.
2. Löse alle anderen Gleichungen in Abhängigkeit der fixierten Variable auf.

Für das obige Beispiel ist $x_{3}=t$. Nun löse die erste Gleichung nach $x_{1}$ auf. Somit ist $x_{1}$:

$x_{1}-x_{3}=1\iff x_{1}=1+x_{3}$

Da $x_{3}=t\in \mathbb {R}$ gesetzt wurde, gilt:

$x_{1}-x_{3}=1\iff x_{1}=1+t$

Löse nun die zweite Gleichung nach $x_{2}$ auf.

$x_{2}+2t=0\iff x_{2}=-t$

Dieser Vorgang wird für alle $n$ Gleichungen wiederholt. In dieses Beispiel ist $n=3$. Dennoch können wir hier abbrechen, da die 3 Zeile nur aus Nullen besteht. Der Lösungsraum besitzt nun die Form:

${\mathit {L}}:=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\}$

Nun setzten wir für $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$, die umgestellten Gleichungen ein. Unser $t$ in unserem Beispiel, ist beliebig und da unser lineares Gleichungssystem über $\mathbb {R}$ realisiert wurde, ist unser $t$ auch aus $\mathbb {R}$. Damit erhalten wir folgenden Lösungsraum:

${\mathit {L}}:=\{(1+t,-2t,t)|t\in \mathbb {R} \}$

Anschließend können wir nun den Lösungsraum auch einfacher darstellen. Dazu klammern wir $t$ aus. Der Lösungsraum nimmt dann die folgende Form an:

${\mathit {L}}:=\{(1,0,0)+t(1,-2,1)|t\in \mathbb {R} \}$

Lösungsraum Trick

Beispiel (Gleichungssystem mit einer nicht eindeutigen Lösung)

Wie wir bereits gesehen haben, ist das Aufstellen eines Lösungsraumes nicht kompliziert? Trotz dessen ist es fehleranfällig. Deshalb gibt es einen Trick, der das Aufstellen eines Lösungsraumes vereinfacht. Dazu betrachten wir die vorherige Lösung:

${\begin{pmatrix}1&0&-1&1\\0&1&2&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Für diesen Trick ist es wichtig, dass die Matrix in der Gaußscher Normalform vorliegt und folgende Eigenschaften für die Matrix erfüllt sind.

• linke untere Dreiecksmatrix ist nur mit Nullen besetzt
• Erste Element einer Zeile ist eine 1 und liegt auf der Diagonalen
• Alle Elemente in der Spalte über und unter sind Null

Versucht man diesen Trick auf einer Matrix anzuwenden, die nicht diese Voraussetzungen erfüllt, so liefert der Trick ein falsches Ergebnis!

Dabei geht man wie folgt vor:

1. Ersetzte Nullen mit -1 auf der Diagonale
2. Jede Spalte, bei der die Diagonal-Null mit -1 ersetzt wurde, ist automatisch ein Lösungsvektor.
3. Der Vektor $b$ ist der Stützvektor im Gleichungssystem

Machen wir uns dies an unseren zuvor gewählten Gleichungssystem klar.

${\begin{pmatrix}1&0&-1&1\\0&1&2&0\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}$

Wir haben die letzte Diagonal-Null mit -1 ersetzt. Diese Spalte ist unser Lösungsvektor. Damit ist unserer erster (und wie wir später auch sehen werden, unser letzter) Lösungsvektor $(-1,2,-1)^{T}$.

Der Stützvektor ist der Vektor b. Informal also die ganz rechte Spalte. Also ist der Stützvektor $(1,0,0)$.

Demnach erhalten wir als Lösungsraum:

${\mathit {L}}:=\{(1,0,0)+t(1,-2,1)|t\in \mathbb {R} \}$

Zusammenhang zu linearen Abbildungen

Wie der Name bereits verrät, gibt es einen wichtigen Zusammenhang zwischen linearen Gleichungssystemen und linearen Abbildungen. Betrachten wir zum Beispiel das lineare Gleichungssystem

${\begin{aligned}&{\text{(I)}}&3v-w&=4\\&{\text{(II)}}&2v&=2\end{aligned}}$

Diese beiden Gleichungen können wir in eine Gleichung zusammenfassen, indem wir die vektorielle Schreibweise benutzen. Die linke Seite ist ein Vektor aus Variablen $v,w$, die rechte ist ein konstanter Vektor. Wir können damit die Spalten des Gleichungssystems als Vektoren schreiben und erhalten

${\begin{pmatrix}3v-w\\2v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$

Die linke Seite hängt von den Variablen $v$ und $w$ ab. Diese können wir durch eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},\quad f{\begin{pmatrix}v\\w\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}3v-w\\2v\end{pmatrix}}$

beschreiben. Wir erhalten damit die Gleichung

$f{\begin{pmatrix}v\\w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3v-w\\2v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$

$f$ ist eine lineare Abbildung.

Aufgabe (Lineare Abbildung)

Zeige, dass $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2};f{\begin{pmatrix}v\\w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3v-w\\2v\end{pmatrix}}$ eine lineare Abbildung ist.

Lösung (Lineare Abbildung)

Mit $\mathbb {R} ^{2}$ sind Urbildraum und Bildraum der Abbildung $f$ jeweils Vektorräume.

Beweisschritt: Beweis der Additivität

Für alle ${\begin{pmatrix}v_{1}\\w_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}v_{2}\\w_{2}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt

${\begin{aligned}f\left({\begin{pmatrix}v_{1}\\w_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{2}\\w_{2}\end{pmatrix}}\right)&=f\left({\begin{pmatrix}v_{1}+v_{2}\\w_{1}+w_{2}\end{pmatrix}}\right)\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}3(v_{1}+v_{2})-(w_{1}+w_{2})\\2(v_{1}+v_{2})\end{pmatrix}}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}3v_{1}-w_{1}\\2v_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3v_{2}-w_{2}\\2v_{2}\end{pmatrix}}\\[0.3em]&=f{\begin{pmatrix}v_{1}\\w_{1}\end{pmatrix}}+f{\begin{pmatrix}v_{2}\\w_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Damit haben wir die Additivität von $f$ bewiesen.

Beweisschritt: Beweis der Homogenität

Für alle ${\begin{pmatrix}v\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2},\lambda \in \mathbb {R}$ gilt

${\begin{aligned}f\left(\lambda \cdot {\begin{pmatrix}v\\w\end{pmatrix}}\right)&=f{\begin{pmatrix}\lambda v\\\lambda w\end{pmatrix}}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}3\lambda v-\lambda w\\2\rho v\end{pmatrix}}\\[0.3em]&=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}3v-w\\2v\end{pmatrix}}\\[0.3em]&=\lambda \cdot f{\begin{pmatrix}v\\w\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Damit ist die Homogenität von $f$ gezeigt und wir haben somit bewiesen, dass diese Abbildung ein Homomorphismus ist.

Wir haben obiges Gleichungssystem in eine Gleichung für eine lineare Abbildung umgeschrieben, die als Ergebnis einen konstanten Vektor hat. In anderen Worten ist die Suche nach einer Lösung von obigem Gleichungssystem die gleiche, wie die Suche nach einem Urbild der rechten Seite unter $f$. Tatsächlich erhalten wir die Koeffizientenmatrix von obigem Gleichungssystem als Darstellungsmatrix von $f$ bezüglich der Basis $(1,0)^{T},(0,1)^{T}$.

Allgemeiner finden wir zu einem linearen Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannten über einem Körper $K$ folgendermaßen eine lineare Abbildung $f\colon K^{n}\to K^{m}$: Sei $A\in K^{m\times n}$ die Koeffizientenmatrix und $b\in K^{m}$ die rechte Seite des Gleichungssystems. Dann setzen wir $f(x):=Ax$. Dies ist linear und stimmt mit obiger Konstruktion überein. Dann entspricht die Suche nach einer Lösung des Gleichungssystems der Suche nach einem Urbild von $b$ unter $f$.