Gleichungssysteme und Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Einführendes Beispiel aus der Praxis[Bearbeiten]

Lineare Abhängigkeiten treten in der Praxis oft auf.

Beispiel (lineare Zusammenhänge in der Praxis)

Stellen wir uns ein Unternehmen vor, das zwei Arten von Duft-Essenzen für Wohnräume auf den Markt bringt ("Frühling" und "Exotic"), indem zwei Rohstoffe, die die Firma einkauft (Veilchenduft und Jasminöl) in unterschiedlichen Zusammensetzungen gemischt werden:

  • 10kg der Essenz "Frühling" bestehen aus 7kg Veilchenduft und 3kg Jasminöl.
  • 10kg des Duftes "Exotic" bestehen aus 2kg Veilchenduft und 8kg Jasminöl.

Die Kosten für Veilchenduft und Jasminöl steigen von Zeit zu Zeit ein wenig. Wir legen uns daher nicht auf konkrete Werte fest, sondern bezeichnen

  • den variablen Preis (in Euro) für 1kg Veilchenduft mit
  • und den variablen Preis (in Euro) für 1kg Jasminöl mit .

Das Unternehmen interessiert sich nun für zwei Dinge:

  • Wieviel muss es (in Euro) für die Rohstoffe zahlen, die für 10kg "Frühling" benötigt werden?

Antwort:

  • Wieviel muss es (in Euro) für die Rohstoffe zahlen, die für 10kg "Exotic" benötigt werden?

Antwort:

Wir haben hier eine Abhängigkeit zweier Größen und von zwei anderen Größen und . Diese können wir als das Gleichungssystem

notieren. Alternativ können wir diese Abhängigkeit als Matrixmultiplikation schreiben:

Definition[Bearbeiten]

Definition (Lineares Gleichungssystem (LGS))

Sei ein Körper. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) über mit Gleichungen für Unbekannte hat die Form:

wobei für und .

Das LGS heißt homogen, falls , andernfalls inhomogen.

Definition (Koeffizientenmatrix)

Die Matrix heißt Koeffizientenmatrix des LGS aus obiger Definition. Der Vektor heißt rechte Seite.

Definition (Lösungsmenge eines LGS)

Der Vektor heißt Lösung des obigen LGS, falls . Die Menge

heißt Lösungsmenge des LGS.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel

ist ein lineares Gleichungssystem über mit 2 Gleichungen für die Unbekannten mit Koeffizientenmatrix und rechter Seite .

Zusammenhang zu linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Wie der Name bereits verrät, gibt es einen wichtigen Zusammenhang zwischen linearen Gleichungssystemen und linearen Abbildungen. Betrachten wir zum Beispiel das lineare Gleichungssystem

Diese beiden Gleichungen können wir in eine Gleichung zusammenfassen, indem wir die vektorielle Schreibweise benutzen. Die linke Seite ist ein Vektor aus Variablen , die rechte ist ein konstanter Vektor. Wir können damit die Spalten des Gleichungssystems als Vektoren schreiben und erhalten

Die linke Seite hängt von den Variablen und ab. Diese können wir durch eine Funktion

beschreiben. Wir erhalten damit die Gleichung

ist eine lineare Abbildung.

Aufgabe (Lineare Abbildung)

Zeige, dass eine lineare Abbildung ist.

Lösung (Lineare Abbildung)

Mit sind Urbildraum und Bildraum der Abbildung jeweils Vektorräume.

Beweisschritt: Beweis der Additivität

Für alle gilt

Damit haben wir die Additivität von bewiesen.

Beweisschritt: Beweis der Homogenität

Für alle gilt

Damit ist die Homogenität von gezeigt und wir haben somit bewiesen, dass diese Abbildung ein Homomorphismus ist.

Wir haben obiges Gleichungssystem in eine Gleichung für eine lineare Abbildung umgeschrieben, die als Ergebnis einen konstanten Vektor hat. In anderen Worten ist die Suche nach einer Lösung von obigem Gleichungssystem die gleiche, wie die Suche nach einem Urbild der rechten Seite unter . Tatsächlich erhalten wir die Koeffizientenmatrix von obigem Gleichungssystem als Darstellungsmatrix von bezüglich der Basis .

Allgemeiner finden wir zu einem linearen Gleichungssystem mit Gleichungen und Unbekannten über einem Körper folgendermaßen eine lineare Abbildung : Sei die Koeffizientenmatrix und die rechte Seite des Gleichungssystems. Dann setzen wir . Dies ist linear und stimmt mit obiger Konstruktion überein. Dann entspricht die Suche nach einer Lösung des Gleichungssystems der Suche nach einem Urbild von unter .