Vektorielle Operationen für Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung

• Wir haben schon gesehen, dass wir lineare Abbildungen als Matrizen darstellen können.
• Matrizen bilden einen VR
• Wir können versuchen diese VR-Struktur auf die Matrizen zu übersetzen.
• Das heißt, wir stellen die Frage: Gegeben endlich dimensionale Vektorräume $V$ und $W$ und geordnete Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$ und $\lambda \in K$. Können wir eine Addition und skalare Multiplikation auf $K^{m\times n}$ finden, sodass $M_{C}^{B}(f+g)=M_{C}^{B}(f)+M_{C}^{B}(g)$ und $M_{C}^{B}(\lambda f)=\lambda M_{C}^{B}(f)$ für alle linearen Abbildungen $f,g\colon V\to W$ und alle $\lambda \in K$ gilt?
• In anderen Worten: Gibt es auf $K^{m\times n}$ eine Vektorraumstruktur, sodass für alle endlich dimensionalen Vektorräume $V$ und $W$ und alle geordneten Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$, die Abbildung $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)\to K^{m\times n};f\mapsto M_{C}^{B}(f)$ linear ist?

• Es bietet sich an einmal selber über diese Frage nachzudenken. Es gibt eine Aufgabe zur Matrizenaddition und eine zur Skalarmultiplikation, die dir dabei helfen können.

• Ein erster Schritt ist zur Beantwortung dieser Frage ist:

Satz (Bijektive Abbildungen induzieren Vektorraumstrukturen)

Sei $V$ ein Vektorraum und $W$ eine Menge. Sei $f:V\to W$ eine bijektive Abbildung. Dann gibt es genau eine Vektorraumstruktur auf $W$, sodass $f$ linear wird.

Beweis (Bijektive Abbildungen induzieren Vektorraumstrukturen)

To-Do:

Schreiben

• Wir wollen diese VR-Struktur jetzt konkret ausrechnen.
• Addition: Seien $A=(a_{ij}),A'=(a'_{ij})\in K^{m\times n},f,g:V\to W$ die zu $A$ und $A'$ zugehörigen linearen Abbildungen mit $M_{C}^{B}(f)=A,M_{C}^{B}(g)=A'$.
• Sei $B=\{v_{1},\dots ,v_{n}\},C=\{w_{1},\dots ,w_{m}\}$.
• Wollen Definieren $A+B=M_{C}^{B}(f+g)=(b_{ij})$. Diese $b_{ij}$ rechnen wir jetzt aus: In der $j$-ten Spalte muss $(f+g)(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}b_{ij}w_{i}$ gelten.
• Laut Def. von $f+g$ ist aber auch $(f+g)(v_{j})=f(v_{j})+g(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}+\sum _{i=1}^{m}a'_{ij}w_{i}=\sum _{i=1}^{m}(a_{ij}+a'_{ij})w_{j}$. Da die Darstellung von $f(v_{j})$ bzgl. $C$ eindeutig ist, folgt $b_{ij}=a_{ij}+a'_{ij}$.
• Das heißt bei der von $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ auf $K^{m\times n}$ induzierten Addition handelt es sich um komponentenweise Addition.
• Skalarmultiplikation: $f:V\to W$ lineare Abbildung, $\lambda \in K$. Seien nun $A=(a_{ij}),A'=(a'_{ij})\in K^{m\times n}$, $f,\lambda \cdot f:V\to W$ die zu $A{\text{ und }}A'$ zugehörigen linearen Abbildungen mit $M_{C}^{B}(f)=A,M_{C}^{B}(\lambda \cdot f)=A'$. Wir wollen, dass $A'=\lambda \cdot A$. Es gilt: $(\lambda \cdot f)(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a'_{ij}\cdot w_{i}$. Des Weiteren haben wir $\lambda \cdot f(v_{j})=\lambda \cdot \sum _{i=1}^{m}a_{ij}\cdot w_{i}=\sum _{i=1}^{m}\lambda a_{ij}\cdot w_{i}$. Wegen $(\lambda \cdot f)(v_{j})=\lambda \cdot f(v_{j})$ folgt $\sum _{i=1}^{m}a'_{ij}\cdot w_{i}=\sum _{i=1}^{m}\lambda a_{ij}\cdot w_{i}$. Aus der Eindeutigkeit der Darstellung folgt somit $a'_{ij}=\lambda a_{ij}$, d.h. $A'=\lambda \cdot A$. Wir sehen, die von $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ auf $K^{m\times n}$ induzierte Skalarmultiplikation ist die komponentenweise Skalarmultiplikation.

• Wir sehen hier auch, dass die induzierte VR-Struktur unabhängig von unserer Wahl von $V,W,B$ und $C$ ist.

Definition

• Wir haben gerade gesehen: Um auf den Matrizen eine sinnvolle Vektorraumstruktur zu definieren, müssen wir die Operationen komponentenweise ausführen. Das heißt wir definieren Addition und skalare Multiplikation, wie folgt:

Definition (Addition von Matrizen)

Sei $K$ ein Körper und seien $A=(a_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ und $B=(b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ Matrizen vom gleichen Typ $(m\times n)$ über $K$. Dann ist

$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$

• Wenn man diese Definition in großen Matrizen ausschreibt, sieht das wie folgt aus.

$A+B={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&\ldots &b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&\ldots &b_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&\ldots &a_{1n}+b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&\ldots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}$

Definition (Skalarmultiplikation von Matrizen)

Sei $K$ ein Körper und $A=(a_{ij})$ eine Matrix über $K$. Dann ist für $\lambda \in K$

$\lambda \cdot A=\lambda \cdot (a_{ij}):=(\lambda a_{ij})$

• In Matrizen groß ausgeschrieben, sieht das wie folgt aus:

$\lambda \cdot A=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\ldots &\lambda a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda a_{m1}&\ldots &\lambda a_{mn}\end{pmatrix}}$

Beispiel (Addition von Matrizen)

• Wir befinden uns in $\mathbb {R} ^{2\times 3}$.

${\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&2&-2\\3&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+(-1)&4+2&6+(-2)\\1+3&3+2&5+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&6&4\\4&5&6\end{pmatrix}}$

Beispiel (Multiplikation mit einem Körperelement)

Als Beispiel nehmen wir die Matrix ${\begin{pmatrix}1&-2&0\\2&-3&-1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 3}$ und als Körperelement die reelle Zahl $(-3)$, dann gilt:

$(-3)\cdot {\begin{pmatrix}1&-2&0\\2&-3&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-3)\cdot 1&(-3)\cdot (-2)&(-3)\cdot 0\\(-3)\cdot 2&(-3)\cdot (-3)&(-3)\cdot (-1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&0\\-6&9&3\end{pmatrix}}$

Satz (Matrizen bilden einen Vektorraum)

Die Menge der $(m\times n)$-Matrizen $K^{m\times n}$ bildet mit der oben definierten Addition und skalaren Multiplikation einen $K$-Vektorraum. Dieser Vektorraum hat als neutrales Element der Addition die Nullmatrix $(0)\in K^{m\times n}$ und die additive Inverse einer Matrix $A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ ist $-A:=(-a_{ij})$.

Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)

• Aus obigem Satz (verlinken), wie in der Einleitung eine VR-Struktur induzieren.
  • Nimm Abbildungen $K^{n}\to K^{m}$ mit der VR-Struktur induzier durch Darstellung bzgl. Standardbasis die VR-Struktur
• Auf die Einleitung verweisen, dass die VR-Strukur so aussieht.
• Mit dem Satz von oben folgern, dass

• Wenn wir Matrizen ohne den Kontext als Abbildungsmatrizen betrachten, sehen wir folgendes:
• Matrizen sind nichts anderes als eine ungewöhnliche Art Elemente des $K^{m\cdot n}$ zu schreiben, da Matrizen aus $m\cdot n$ Werten bestehen.
• Genau, wie im $K^{m\cdot n}$ ist bei Matrizen die VR-Struktur Komponentenweise definiert.
• Das heißt alternativ, bekommen wir von obigem Satz folgenden bedeutend kürzeren Beweis

Alternativer Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)

• Wir können den Beweis, dass $K^{m\cdot n}$ ein Vektorraum ist durch obige Umordnung eins zu eins Übertragen.
• Exemplarisch zeigen wir die Assoziativität der Addition:

To-Do:

TODO

Dimension

• Bekommen durch obige Umordnung des $K^{m\cdot n}$ eine kanonische Basis von $K^{m\times n}$: Sei $B_{ab}=(b_{ij})$ mit

$b_{ij}={\begin{cases}1&{\text{falls }}i=a{\text{ und }}j=b\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}$

Beispiel

In $K^{2\times 3}$ sind die Basiselemente gegeben durch:

${\begin{aligned}B_{11}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad B_{12}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad B_{13}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\\B_{21}={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},\quad B_{22}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},\quad B_{23}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

• Das heißt, $K^{m\times n}$ ist ein $m\cdot n$-dimensionaler $K$-Vektorraum.
• Wir haben die VR-Struktur auf $K^{m\times n}$ so konstruiert, dass die Zuordnung $f\mapsto M_{C}^{B}(f)$ ein linearer Isomorphismus ist.
• Wir bekommen also a posteriori wieder heraus, dass $\operatorname {Hom} (V,W)$ ein $m\cdot n$-dimensionaler $K$-Vektorraum ist.
• Natürlich haben wir bei unserer Konstruktion von $M_{C}^{B}(-)$ schon die Dimension von $\operatorname {Hom} (V,W)$ verwendet. Das heißt, dies ist kein Beweis für die Dimension des VR der linearen Abbildungen. Es ist aber eine gute Merkhilfe.