Vektorielle Operationen für Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Einführung

In diesem Abschnitt wollen wir die möglichen Rechenoperationen für Matrizen einführen, also die Frage klären, unter welchen Umständen es möglich ist, Matrizen zu addieren oder zu multiplizieren. Dass dies nicht in jedem Fall möglich ist, erscheint klar, denn eine $2\times 3$-Matrix ${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$ und eine $3\times 2$-Matrix ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}$ lassen sich wohl schwerlich addieren. Wir legen daher folgende Notation fest:

Definition (Matrizenraum)

Sei $\lbrace (a_{ij})\mid i\in \lbrace 1,2,\ldots ,m\rbrace ;\,\lbrace j\in \lbrace 1,2,\ldots ,n\rbrace \rbrace$ die Menge aller $m\times n$-Matrizen über dem Körper $K$. Wir bezeichnen diese Menge mit $K^{m,n}$

Nun überlegen wir uns zunächst, wann zwei Matrizen gleich sind.

Gleichheit von Matrizen

Es ist natürlich wichtig zu wissen, wie wir die Gleichheit von Matrizen definieren. Es muss klar sein, was wir meinen, wenn wir sagen, zwei Matrizen seien gleich. Die Definition dafür ist naheliegend:

Definition (Gleichheit von Matrizen)

Zwei Matrizen $A=(a_{ij})$ und $B=(b_{ij})$ sind genau dann gleich, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind:

1. die beiden Matrizen sind vom gleichen Typ, d.h. sie besitzen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten.
2. die beiden Matrizen stimmen in jedem ihrer Komponenten überein, d.h. es gilt

$a_{ij}=b_{ij}\qquad \forall i\in \{1,2,\ldots ,m\}{\text{ und }}\,\forall j\in \{1,2,\ldots ,n\}$

Hinweis

Matrizen von verschiedenem Typ können nicht gleich sein. So ist beispielsweise die Nullmatrix vom Typ $(3\times 2)$ nicht gleich der Nullmatrix vom Typ $(2\times 3)$, auch wenn wir sie mit dem gleichen Namen bezeichnet haben.

Addition von Matrizen

Wie du sicherlich schon erwartest, müssen wir uns bei der Addition von Matrizen auf solche vom gleichen Typ $(m\times n)$ beschränken. Sie funktioniert erwartungsgemäß dadurch, dass die einzelnen Komponenten der Matrizen addiert werden. Formal beschreiben wir das, wie folgt:

Sind $A=(a_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ und $B=(b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ Matrizen vom gleichen Typ $(m\times n)$, so ist

$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$

.

Die allgemeine Gestalt der Matrizenaddition sieht so aus:

$A+B={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&\ldots &b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&\ldots &b_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&\ldots &a_{1n}+b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&\ldots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}$

Beispiel (Addition von Matrizen)

${\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&2&-2\\3&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+(-1)&4+2&6+(-2)\\1+3&3+2&5+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&6&4\\4&5&6\end{pmatrix}}$

Rechengesetze

Es gelten folgende Rechengesetze:

Kommutativität

$A+B=B+A$

Das Kommutativgesetz der Addition gilt bei Matrizen, weil es in $K$ gilt.

Assoziativität

$(A+B)+C=A+(B+C)$

Das Assoziativgesetz der Addition gilt bei Matrizen, weil es in $K$ gilt.

Transposition ist linear

Es gilt folgende Gleichung:

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

Dies folgt direkt aus der Definition der transponierten Matrix und der Matrizenaddition.

Die Nullmatrix ist das neutrale Element der Addition

Es gilt für alle Matrizen $A$ vom Typ $m\times n$ und für die Nullmatrix $0=(0)_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$

$A+0=A$

Dies folgt direkt aus der Definition der Addition.

Multiplikation einer Matrix mit einem Körperelement (Skalarmultiplikation)

Ganz offensichtlich kann eine Matrix $A$ von beliebigem Typ $(m\times n)$ mit einem beliebigen Körperelement $\rho$ multipliziert werden, indem jede Komponente der Matrix $a_{ij}$ mit $\rho$ multipliziert wird, d.h. formal dargestellt

$\rho \cdot A=\rho \cdot (a_{ij})=(\rho a_{ij})$

Die allgemeine Darstellung der Multiplikation mit einem Körperelement sieht wie folgt aus:

$\rho \cdot A=\rho \cdot {\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho a_{11}&\ldots &\rho a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\rho a_{m1}&\ldots &\rho a_{mn}\end{pmatrix}}$

Beispiel (Multiplikation mit einem Körperelement)

Als Beispiel nehmen wir die Matrix ${\begin{pmatrix}1&-2&0\\2&-3&-1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2,3}$ und als Körperelement die reelle Zahl $(-3)$, dann gilt:

$(-3)\cdot {\begin{pmatrix}1&-2&0\\2&-3&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-3)1&(-3)(-2)&(-3)0\\(-3)2&(-3)(-3)&(-3)(-1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&0\\-6&9&3\end{pmatrix}}$

Rechengesetze

Es gelten folgende Rechengesetze:

Kommutativität der Skalarmultiplikation

$\rho \cdot A=\rho \cdot (a_{ij})=(\rho a_{ij})=(a_{ij}\rho )=(a_{ij})\cdot \rho =A\cdot \rho$

Das Kommutativgesetz der Skalar Multiplikation gilt bei Matrizen, weil $\rho \in K\land a_{ij}\in K$ und das Kommutativgesetz der Multiplikation in $K$ gilt.

Assoziativität der Skalarmultiplikation

$(\rho \mu )\cdot A=(\rho \mu )\cdot (a_{ij})=((\rho \mu )a_{ij})=(\rho (\mu a_{ij}))=\rho \cdot (\mu a_{ij})=\rho \cdot (\mu \cdot (a_{ij}))=\rho \cdot (\mu \cdot A)$

Das Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation gilt bei Matrizen, weil $\rho ,\,\mu \in K\land a_{ij}\in K$ und das Assoziativgesetz der Multiplikation in $K$ gilt.

Distributivgesetze der Skalar Multiplikation

Es gelten folgende Gleichungen:

$(\rho +\mu )\cdot A=(\rho +\mu )\cdot (a_{ij})=((\rho +\mu )a_{ij})=(\rho a_{ij})+(\mu a_{ij})=(\rho \cdot (a_{ij}))+(\mu \cdot (a_{ij}))=\rho \cdot A+\mu \cdot A$

Dies ist das erste Distributivgesetz der Skalarmultiplikation. Nun folgt das zweite:

$\rho \cdot (A+B)=\rho \cdot ((a_{ij})+(b_{ij}))=(\rho (a_{ij}+b_{ij}))=(\rho a_{ij})+(\rho b_{ij})=\rho \cdot (a_{ij})+\rho (b_{ij})=\rho A+\rho B$

Das Distributivgesetz der Skalarmultiplikation gilt bei Matrizen, weil $\rho \in K\land a_{ij},\,b_{ij}\in K$ und das Distributivgesetz in $K$ gilt.

Hinweis

Damit ist der Matrizenraum $K^{m,n}$ mit den obigen Rechengesetzen ein Vektorraum über dem Körper $K$, wie wir eben gezeigt haben, denn die Matrizen bilden eine additive abelsche Gruppe, da sie kommutativ und assoziativ bzgl. der Vektoraddition sind. Die Skalarmultiplikation genügt den geforderten Vektorraumaxiomen der Skalarmultiplikation.

Dabei sind die Matrizen $(a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\,j=1,\ldots ,n}$ Vektoren des $K$-Vektorraums $K^{m,n}$. Der Nullvektor ist die Nullmatrix $0\in K^{m,n}$.

Weiter gelten die Gleichungen

$A+(-1)\cdot A=A-A=0$

und

$A+0=A$