Vektorielle Operationen für Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Herleitung[Bearbeiten]

  • Wir haben schon gesehen, dass wir lineare Abbildungen als Matrizen darstellen können.
  • Matrizen bilden einen VR
  • Wir können versuchen diese VR-Struktur auf die Matrizen zu übersetzen.
  • Das heißt, wir stellen die Frage: Gegeben endlich dimensionale Vektorräume und und geordnete Basen von und von und . Können wir eine Addition und skalare Multiplikation auf finden, sodass und für alle linearen Abbildungen und alle gilt?
  • In anderen Worten: Gibt es auf eine Vektorraumstruktur, sodass für alle endlich dimensionalen Vektorräume und und alle geordneten Basen von und von , die Abbildung linear ist?
  • Ein erster Schritt ist zur Beantwortung dieser Frage ist:

Satz (Bijektive Abbildungen induzieren Vektorraumstrukturen)

Sei ein Vektorraum und eine Menge. Sei eine bijektive Abbildung. Dann gibt es genau eine Vektorraumstruktur auf , sodass linear wird.

Beweis (Bijektive Abbildungen induzieren Vektorraumstrukturen)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Schreiben

  • Wir wollen diese VR-Struktur jetzt konkret ausrechnen.
  • Addition: Seien die zu und zugehörigen linearen Abbildungen mit .
  • Sei .
  • Wollen Definieren . Diese rechnen wir jetzt aus: In der -ten Spalte muss gelten.
  • Laut Def. von ist aber auch . Da die Darstellung von bzgl. eindeutig ist, folgt .
  • Das heißt bei der von auf induzierten Addition handelt es sich um komponentenweise Addition.
  • Skalarmultiplikation: lineare Abbildung, . Seien nun , die zu zugehörigen linearen Abbildungen mit . Wir wollen, dass . Es gilt: . Desweiteren haben wir . Wegen folgt . Aus der Eindeutigkeit der Darstellung folgt somit , d.h. . Wir sehen, die von auf induzierte Skalarmultiplikation ist die komponentenweise Skalarmultiplikation.
  • Wir sehen hier auch, dass die induzierte VR-Struktur unabhängig von unserer Wahl von und ist.

Definition[Bearbeiten]

  • Wir haben gerade gesehen: Um auf den Matrizen eine sinnvolle Vektorraumstruktur zu definieren, müssen wir die Operationen komponentenweise ausführen. Das heißt wir definieren Addition und skalare Multiplikation, wie folgt:

Definition (Addition von Matrizen)

Sei ein Körper und seien und Matrizen vom gleichen Typ über . Dann ist

  • Wenn man diese Definition in großen Matrizen ausschreibt, sieht das wie folgt aus.

Definition (Skalarmultiplikation von Matrizen)

Sei ein Körper und eine Matrix über . Dann ist für

  • In Matrizen groß ausgeschrieben, sieht das wie folgt aus:

Beispiel (Addition von Matrizen)

  • Wir befinden uns in .

Beispiel (Multiplikation mit einem Körperelement)

Als Beispiel nehmen wir die Matrix und als Körperelement die reelle Zahl , dann gilt:

Satz (Matrizen bilden einen Vektorraum)

Die Menge der -Matrizen bildet mit der oben definierten Addition und skalaren Multiplikation einen -Vektorraum. Dieser Vektorraum hat als neutrales Element der Addition die Nullmatrix und die additive Inverse einer Matrix ist .

Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)

  • Aus obigem Satz (verlinken), wie in der Einleitung eine VR-Struktur induzieren.
    • Nimm Abbildungen mit der VR-Struktur induzier durch Darstellung bzgl. Standardbasis die VR-Struktur
  • Auf die Einleitung verweisen, dass die VR-Strukur so aussieht.
  • Mit dem Satz von oben folgern, dass
  • Wenn wir Matrizen ohne den Kontext als Abbildungsmatrizen betrachten, sehen wir folgendes:
  • Matrizen sind nichts anderes als eine ungewöhnliche Art Elemente des zu schreiben, da Matrizen aus Werten bestehen.
  • Genau, wie im ist bei Matrizen die VR-Struktur Komponentenweise definiert.
  • Das heißt alternativ, bekommen wir von obigem Satz folgenden bedeutend kürzeren Beweis

Alternativer Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)

  • Wir können den Beweis, dass ein Vektorraum ist durch obige Umordnung eins zu eins Übertragen.
  • Exemplarisch zeigen wir die Assoziativität der Addition:
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

TODO

Dimension[Bearbeiten]

  • Bekommen durch obige Umordnung des eine kanonische Basis von : Sei mit

Beispiel

In sind die Basiselemente gegeben durch:

  • Das heißt, ist ein -dimensionaler -Vektorraum.
  • Wir haben die VR-Struktur auf so konstruiert, dass die Zuordnung ein linearer Isomorphismus ist.
  • Wir bekommen also a posteriori wieder heraus, dass ein -dimensionaler -Vektorraum ist.
  • Natürlich haben wir bei unserer Konstruktion von schon die Dimension von verwendet. Das heißt, dies ist kein Beweis für die Dimension des VR der linearen Abbildungen. Es ist aber eine gute Merkhilfe.

Alter Inhalt[Bearbeiten]

Addition von Matrizen[Bearbeiten]

Rechengesetze[Bearbeiten]

Transposition ist linear[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Wollen wir das irgendwo hier haben?

Es gilt folgende Gleichung:

Dies folgt direkt aus der Definition der transponierten Matrix und der Matrizenaddition.

Die Nullmatrix ist das neutrale Element der Addition[Bearbeiten]

Es gilt für alle Matrizen vom Typ und für die Nullmatrix

Dies folgt direkt aus der Definition der Addition.