Vektorielle Operationen für Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung

• Wir wissen schon, dass lin. Abb einen VR bilden
  • Können uns die dadurch bestimmten Operationen überlegen
• Nutze 1-1 Korrespondenz um über die Bijektion die VR-Struktur von linearen Abbildungen auf Matrizen vorzuschieben.
  • Konzeptionellen Satz über die Möglichkeit eine VR-Struktur über eine Bijektion zu erzwingen.
• Diese VR-Struktur ausrechnen
  • sehen, dass es der komponentenweisen Addition/Skalarmult. entspricht

Definition

• Definition Addition (komponentenweise)
• Skalare Multiplikation (komponentenweise)

Definition (Addition von Matrizen)

Sei $K$ ein Körper und seien $A=(a_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ und $B=(b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ Matrizen vom gleichen Typ $(m\times n)$ über $K$. Dann ist

$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$

Definition (Skalarmultiplikation von Matrizen)

Sei $K$ ein Körper und $A=(a_{ij})$ eine Matrix über $K$. Dann ist

$\rho \cdot A=\rho \cdot (a_{ij}):=(\rho a_{ij})$

Eigenschaften

• Ist schon kanonisch ein K^(n*m)
  • ungewöhnliche Anordnung von n*m elementen gibt eine Matrix

-> Strukturen stimmen überein

Dimension

• Wir können damit auch die Dimension des Raums der linearen Abbildungen (quasi leichter – zumindest offensichtlicher) finden.

Alter Inhalt

Rechnen mit Abbildungen und Matrizen

Matrizen spielen eine große Rolle in der linearen Algebra, denn wie wir zeigen werden, sind Matrizen nahezu gleichbedeutend mit linearen Abbildungen. Das bedeutet: Zu jeder Abbildung $L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ finden wir auf die oben gezeigte Art und Weise zu einer bestimmten Basis eine eindeutige darstellende Matrix (oder Abbildungsmatrix) mit $n$ Spalten und $m$ Zeilen. Diese enthält alle nötigen Informationen über $L$, um daraus wieder die Abbildungsvorschrift zu gewinnen. Wie wir das präzise mathematisch beschreiben, kümmert uns in diesem Kapitel noch nicht; wir wollen erst einmal prüfen, was wir mit diesen Matrizen sinnvollerweise anstellen können.

Wir erinnern uns daran, dass die linearen Abbildungen einen Vektorraum bilden, das heißt man kann zwei Abbildungen $L_{1},L_{2}$ addieren und mit einem Skalar $\lambda$ multiplizieren. Es sollte also gleichbedeutend sein, zwei Abbildungen zu addieren oder ihre darstellenden Matrizen zu addieren. Analog sollte es gleichbedeutend sein, eine Abbildungen mit einem Skalar zu multiplizieren oder ihre darstellenden Matrix mit einem Skalar zu multiplizieren. Wir wollen dies nun an einem Beispiel herleiten.

Matrizenaddition

Seien $L_{1},L_{2}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ lineare Abbildungen, mit

${\begin{aligned}&L_{1}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}2x\\y-x\end{pmatrix}}&L_{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Aufgabe (Matrizenaddition)

Bestimme die darstellenden Matrizen $A_{1},\,A_{2}$ zur kanonischen Basis. Wie kannst du $A_{1}+A_{2}$ definieren, damit das Ergebnis der darstellenden Matrix von $L_{1}+L_{2}$ entspricht?

Die kanonische Basis entspricht in diesem Fall $E=\{e_{1},e_{2}\}$ mit $e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

Wie kommt man auf den Beweis? (Matrizenaddition)

Schreibe die beiden Abbildungen in der gleichen Tabellenform, wie wir oben $L$ dargestellt haben!

Du kannst mit der gleichen Methode direkt die darstellende Matrix von $L_{1}+L_{2}$ finden.

Es gibt nun eine recht naheliegende Art und Weise, die Matrizenaddition zu definieren. Wenn du diese ausprobierst, solltest du auf das richtige Ergebnis kommen.

Beweis (Matrizenaddition)

Wir bestimmen zunächst $A_{1}$, indem wir die Tabelle aufschreiben und zur Matrix zusammenfassen. Für die Abbildung $L_{1}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}2x\\y-x\end{pmatrix}}$ gilt

$L_{1}(e_{1})={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}},L_{1}(e_{2})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

damit erhalten wir

$A_{1}={\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}}$

Nun machen wir das gleiche mit $L_{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}$, um $A_{2}$ zu erhalten:

$L_{2}(e_{1})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},L_{2}(e_{2})={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

Wir fassen die Tabelle zur Matrix

$A_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

zusammen.

Wir suchen nun die darstellende Matrix für $L_{1}+L_{2}$:

${\begin{aligned}&(L_{1}+L_{2})(e_{1})=L_{1}(e_{1})+L_{2}(e_{1})={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\\[0.3em]&(L_{1}+L_{2})(e_{2})=L_{1}(e_{2})+L_{2}(e_{2})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\\[0.3em]\end{aligned}}$

So ergibt sich unsere darstellende Matrix

$A={\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}$

Wir wollen nun die Addition zweier Matrizen so definieren, dass $A_{1}+A_{2}=A$ gilt. Wir erinnern uns dabei daran, dass wir die Vektoraddition im $\mathbb {R} ^{n}$ bereits komponentenweise definiert haben - diese Definition bietet sich also als erster Versuch an. Und tatsächlich gilt mit dieser Vorschrift

$A_{1}+A_{2}={\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+0&0+1\\-1+1&1+0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}=A$

Lösung (Matrizenaddition)

Wenn wir die Matrizenaddition als Addition der jeweiligen Komponenten definieren, kommen wir zum gewünschten Ergebnis.

Skalarmultiplikation

Sei $L_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ obige lineare Abbildung, mit

$L_{1}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}2x\\y-x\end{pmatrix}}$

Aufgabe (Skalar Multiplikation mit einer Matrix)

Bestimme die darstellende Matrix $A_{1}$ zur kanonischen Basis für die Abbildung $L_{1}$ und die darstellende Matrix $M_{1}$ für die Abbildung $\beta \cdot L_{1}$. Wie kannst du die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar definieren, damit $M_{1}=\beta \cdot A_{1}$ gilt?

Lösung (Skalar Multiplikation mit einer Matrix)

Aus der vorigen Aufgabe wissen wir bereits, dass gilt:

$L_{1}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x\\y-x\end{pmatrix}}\,\Longrightarrow \,A_{1}={\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}}$

Wenn wir nun $L_{1}$ skalar mit $\beta$ multiplizieren erhalten wir

${\begin{aligned}&(\beta \cdot L_{1}){\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\beta \cdot L_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\beta \cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\beta \\-\beta \end{pmatrix}}\\&(\beta \cdot L_{1}){\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\beta \cdot L_{1}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\beta \cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\beta \end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Daher ist $M_{1}={\begin{pmatrix}2\beta &0\\-\beta &\beta \end{pmatrix}}$. Hier siehst du schnell, dass wir auch die Skalarmultiplikation elementweise definieren können. Es gilt

$\beta \cdot A_{1}=\beta \cdot {\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\beta &0\\-\beta &\beta \end{pmatrix}}=M_{1}$

Einführung

In diesem Abschnitt wollen wir die möglichen Rechenoperationen für Matrizen einführen, also die Frage klären, unter welchen Umständen es möglich ist, Matrizen zu addieren oder zu multiplizieren. Dass dies nicht in jedem Fall möglich ist, erscheint klar, denn eine $2\times 3$-Matrix ${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$ und eine $3\times 2$-Matrix ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}$ lassen sich wohl schwerlich addieren. Wir legen daher folgende Notation fest:

Definition (Matrizenraum)

Sei $\lbrace (a_{ij})\mid i\in \lbrace 1,2,\ldots ,m\rbrace ;\,\lbrace j\in \lbrace 1,2,\ldots ,n\rbrace \rbrace$ die Menge aller $m\times n$-Matrizen über dem Körper $K$. Wir bezeichnen diese Menge mit $K^{m,n}$

Nun überlegen wir uns zunächst, wann zwei Matrizen gleich sind.

Addition von Matrizen

Wie du sicherlich schon erwartest, müssen wir uns bei der Addition von Matrizen auf solche vom gleichen Typ $(m\times n)$ beschränken. Sie funktioniert erwartungsgemäß dadurch, dass die einzelnen Komponenten der Matrizen addiert werden. Formal beschreiben wir das, wie folgt:

Sind $A=(a_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ und $B=(b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ Matrizen vom gleichen Typ $(m\times n)$, so ist

$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$

.

Die allgemeine Gestalt der Matrizenaddition sieht so aus:

$A+B={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&\ldots &b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&\ldots &b_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&\ldots &a_{1n}+b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&\ldots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}$

Beispiel (Addition von Matrizen)

${\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&2&-2\\3&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+(-1)&4+2&6+(-2)\\1+3&3+2&5+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&6&4\\4&5&6\end{pmatrix}}$

Rechengesetze

Es gelten folgende Rechengesetze:

Kommutativität

$A+B=B+A$

Das Kommutativgesetz der Addition gilt bei Matrizen, weil es in $K$ gilt.

Assoziativität

$(A+B)+C=A+(B+C)$

Das Assoziativgesetz der Addition gilt bei Matrizen, weil es in $K$ gilt.

Transposition ist linear

Es gilt folgende Gleichung:

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

Dies folgt direkt aus der Definition der transponierten Matrix und der Matrizenaddition.

Die Nullmatrix ist das neutrale Element der Addition

Es gilt für alle Matrizen $A$ vom Typ $m\times n$ und für die Nullmatrix $0=(0)_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$

$A+0=A$

Dies folgt direkt aus der Definition der Addition.

Multiplikation einer Matrix mit einem Körperelement (Skalarmultiplikation)

Ganz offensichtlich kann eine Matrix $A$ von beliebigem Typ $(m\times n)$ mit einem beliebigen Körperelement $\rho$ multipliziert werden, indem jede Komponente der Matrix $a_{ij}$ mit $\rho$ multipliziert wird, d.h. formal dargestellt

$\rho \cdot A=\rho \cdot (a_{ij})=(\rho a_{ij})$

Die allgemeine Darstellung der Multiplikation mit einem Körperelement sieht wie folgt aus:

$\rho \cdot A=\rho \cdot {\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho a_{11}&\ldots &\rho a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\rho a_{m1}&\ldots &\rho a_{mn}\end{pmatrix}}$

Beispiel (Multiplikation mit einem Körperelement)

Als Beispiel nehmen wir die Matrix ${\begin{pmatrix}1&-2&0\\2&-3&-1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2,3}$ und als Körperelement die reelle Zahl $(-3)$, dann gilt:

$(-3)\cdot {\begin{pmatrix}1&-2&0\\2&-3&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-3)1&(-3)(-2)&(-3)0\\(-3)2&(-3)(-3)&(-3)(-1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&0\\-6&9&3\end{pmatrix}}$

Rechengesetze

Es gelten folgende Rechengesetze:

Kommutativität der Skalarmultiplikation

$\rho \cdot A=\rho \cdot (a_{ij})=(\rho a_{ij})=(a_{ij}\rho )=(a_{ij})\cdot \rho =A\cdot \rho$

Das Kommutativgesetz der Skalar Multiplikation gilt bei Matrizen, weil $\rho \in K\land a_{ij}\in K$ und das Kommutativgesetz der Multiplikation in $K$ gilt.

Assoziativität der Skalarmultiplikation

$(\rho \mu )\cdot A=(\rho \mu )\cdot (a_{ij})=((\rho \mu )a_{ij})=(\rho (\mu a_{ij}))=\rho \cdot (\mu a_{ij})=\rho \cdot (\mu \cdot (a_{ij}))=\rho \cdot (\mu \cdot A)$

Das Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation gilt bei Matrizen, weil $\rho ,\,\mu \in K\land a_{ij}\in K$ und das Assoziativgesetz der Multiplikation in $K$ gilt.

Distributivgesetze der Skalar Multiplikation

Es gelten folgende Gleichungen:

$(\rho +\mu )\cdot A=(\rho +\mu )\cdot (a_{ij})=((\rho +\mu )a_{ij})=(\rho a_{ij})+(\mu a_{ij})=(\rho \cdot (a_{ij}))+(\mu \cdot (a_{ij}))=\rho \cdot A+\mu \cdot A$

Dies ist das erste Distributivgesetz der Skalarmultiplikation. Nun folgt das zweite:

$\rho \cdot (A+B)=\rho \cdot ((a_{ij})+(b_{ij}))=(\rho (a_{ij}+b_{ij}))=(\rho a_{ij})+(\rho b_{ij})=\rho \cdot (a_{ij})+\rho (b_{ij})=\rho A+\rho B$

Das Distributivgesetz der Skalarmultiplikation gilt bei Matrizen, weil $\rho \in K\land a_{ij},\,b_{ij}\in K$ und das Distributivgesetz in $K$ gilt.

Hinweis

Damit ist der Matrizenraum $K^{m,n}$ mit den obigen Rechengesetzen ein Vektorraum über dem Körper $K$, wie wir eben gezeigt haben, denn die Matrizen bilden eine additive abelsche Gruppe, da sie kommutativ und assoziativ bzgl. der Vektoraddition sind. Die Skalarmultiplikation genügt den geforderten Vektorraumaxiomen der Skalarmultiplikation.

Dabei sind die Matrizen $(a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\,j=1,\ldots ,n}$ Vektoren des $K$-Vektorraums $K^{m,n}$. Der Nullvektor ist die Nullmatrix $0\in K^{m,n}$.

Weiter gelten die Gleichungen

$A+(-1)\cdot A=A-A=0$

und

$A+0=A$