Vektorielle Operationen für Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Einführung[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt wollen wir die möglichen Rechenoperationen für Matrizen einführen, also die Frage klären, unter welchen Umständen es möglich ist, Matrizen zu addieren oder zu multiplizieren. Dass dies nicht in jedem Fall möglich ist, erscheint klar, denn eine -Matrix und eine -Matrix lassen sich wohl schwerlich addieren. Wir legen daher folgende Notation fest:

Definition (Matrizenraum)

Sei die Menge aller -Matrizen über dem Körper . Wir bezeichnen diese Menge mit

Nun überlegen wir uns zunächst, wann zwei Matrizen gleich sind.

Gleichheit von Matrizen[Bearbeiten]

Es ist natürlich wichtig zu wissen, wie wir die Gleichheit von Matrizen definieren. Es muss klar sein, was wir meinen, wenn wir sagen, zwei Matrizen seien gleich. Die Definition dafür ist naheliegend:

Definition (Gleichheit von Matrizen)

Zwei Matrizen und sind genau dann gleich, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind:

  1. die beiden Matrizen sind vom gleichen Typ, d.h. sie besitzen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten.
  2. die beiden Matrizen stimmen in jedem ihrer Komponenten überein, d.h. es gilt

Hinweis

Matrizen von verschiedenem Typ können nicht gleich sein. So ist beispielsweise die Nullmatrix vom Typ nicht gleich der Nullmatrix vom Typ , auch wenn wir sie mit dem gleichen Namen bezeichnet haben.

Addition von Matrizen[Bearbeiten]

Wie du sicherlich schon erwartest, müssen wir uns bei der Addition von Matrizen auf solche vom gleichen Typ beschränken. Sie funktioniert erwartungsgemäß dadurch, dass die einzelnen Komponenten der Matrizen addiert werden. Formal beschreiben wir das, wie folgt:

Sind und Matrizen vom gleichen Typ , so ist

.

Die allgemeine Gestalt der Matrizenaddition sieht so aus:

Beispiel (Addition von Matrizen)

Rechengesetze[Bearbeiten]

Es gelten folgende Rechengesetze:

Kommutativität[Bearbeiten]

Das Kommutativgesetz der Addition gilt bei Matrizen, weil es in gilt.

Assoziativität[Bearbeiten]

Das Assoziativgesetz der Addition gilt bei Matrizen, weil es in gilt.

Transposition ist linear[Bearbeiten]

Es gilt folgende Gleichung:

Dies folgt direkt aus der Definition der transponierten Matrix und der Matrizenaddition.

Die Nullmatrix ist das neutrale Element der Addition[Bearbeiten]

Es gilt für alle Matrizen vom Typ und für die Nullmatrix

Dies folgt direkt aus der Definition der Addition.

Multiplikation einer Matrix mit einem Körperelement (Skalarmultiplikation)[Bearbeiten]

Ganz offensichtlich kann eine Matrix von beliebigem Typ mit einem beliebigen Körperelement multipliziert werden, indem jede Komponente der Matrix mit multipliziert wird, d.h. formal dargestellt

Die allgemeine Darstellung der Multiplikation mit einem Körperelement sieht wie folgt aus:

Beispiel (Multiplikation mit einem Körperelement)

Als Beispiel nehmen wir die Matrix und als Körperelement die reelle Zahl , dann gilt:

Rechengesetze[Bearbeiten]

Es gelten folgende Rechengesetze:

Kommutativität der Skalarmultiplikation[Bearbeiten]

Das Kommutativgesetz der Skalar Multiplikation gilt bei Matrizen, weil und das Kommutativgesetz der Multiplikation in gilt.

Assoziativität der Skalarmultiplikation[Bearbeiten]

Das Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation gilt bei Matrizen, weil und das Assoziativgesetz der Multiplikation in gilt.

Distributivgesetze der Skalar Multiplikation[Bearbeiten]

Es gelten folgende Gleichungen:

Dies ist das erste Distributivgesetz der Skalarmultiplikation. Nun folgt das zweite:

Das Distributivgesetz der Skalarmultiplikation gilt bei Matrizen, weil und das Distributivgesetz in gilt.

Hinweis

Damit ist der Matrizenraum mit den obigen Rechengesetzen ein Vektorraum über dem Körper , wie wir eben gezeigt haben, denn die Matrizen bilden eine additive abelsche Gruppe[1], da sie kommutativ und assoziativ bzgl. der Vektoraddition sind. Die Skalarmultiplikation genügt den geforderten Vektorraumaxiomen der Skalarmultiplikation.

Dabei sind die Matrizen Vektoren des -Vektorraums . Der Nullvektor ist die Nullmatrix .

Weiter gelten die Gleichungen

und