- Wir haben schon gesehen, dass wir lineare Abbildungen als Matrizen darstellen können.
- Matrizen bilden einen VR
- Wir können versuchen diese VR-Struktur auf die Matrizen zu übersetzen.
- Das heißt, wir stellen die Frage: Gegeben endlich dimensionale Vektorräume
und
und geordnete Basen
von
und
von
und
. Können wir eine Addition und skalare Multiplikation auf
finden, sodass
und
für alle linearen Abbildungen
und alle
gilt?
- In anderen Worten: Gibt es auf
eine Vektorraumstruktur, sodass für alle endlich dimensionalen Vektorräume
und
und alle geordneten Basen
von
und
von
, die Abbildung
linear ist?
- Ein erster Schritt ist zur Beantwortung dieser Frage ist:
Beweis (Bijektive Abbildungen induzieren Vektorraumstrukturen)
- Wir wollen diese VR-Struktur jetzt konkret ausrechnen.
- Addition: Seien
die zu
und
zugehörigen linearen Abbildungen mit
.
- Sei
.
- Wollen Definieren
. Diese
rechnen wir jetzt aus: In der
-ten Spalte muss
gelten.
- Laut Def. von
ist aber auch
. Da die Darstellung von
bzgl.
eindeutig ist, folgt
.
- Das heißt bei der von
auf
induzierten Addition handelt es sich um komponentenweise Addition.
- Skalarmultiplikation:
lineare Abbildung,
. Seien nun
,
die zu
zugehörigen linearen Abbildungen mit
. Wir wollen, dass
. Es gilt:
. Desweiteren haben wir
. Wegen
folgt
. Aus der Eindeutigkeit der Darstellung folgt somit
, d.h.
. Wir sehen, die von
auf
induzierte Skalarmultiplikation ist die komponentenweise Skalarmultiplikation.
- Wir sehen hier auch, dass die induzierte VR-Struktur unabhängig von unserer Wahl von
und
ist.
- Wir haben gerade gesehen: Um auf den Matrizen eine sinnvolle Vektorraumstruktur zu definieren, müssen wir die Operationen komponentenweise ausführen. Das heißt wir definieren Addition und skalare Multiplikation, wie folgt:
Definition (Addition von Matrizen)
Sei
ein Körper und seien
und
Matrizen vom gleichen Typ
über
. Dann ist
- Wenn man diese Definition in großen Matrizen ausschreibt, sieht das wie folgt aus.
- In Matrizen groß ausgeschrieben, sieht das wie folgt aus:
Beispiel (Addition von Matrizen)
- Wir befinden uns in
.
Beispiel (Multiplikation mit einem Körperelement)
Als Beispiel nehmen wir die Matrix
und als Körperelement die reelle Zahl
, dann gilt:
Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)
- Aus obigem Satz (verlinken), wie in der Einleitung eine VR-Struktur induzieren.
- Nimm Abbildungen
mit der VR-Struktur induzier durch Darstellung bzgl. Standardbasis die VR-Struktur
- Auf die Einleitung verweisen, dass die VR-Strukur so aussieht.
- Mit dem Satz von oben folgern, dass
- Wenn wir Matrizen ohne den Kontext als Abbildungsmatrizen betrachten, sehen wir folgendes:
- Matrizen sind nichts anderes als eine ungewöhnliche Art Elemente des
zu schreiben, da Matrizen aus
Werten bestehen.
- Genau, wie im
ist bei Matrizen die VR-Struktur Komponentenweise definiert.
- Das heißt alternativ, bekommen wir von obigem Satz folgenden bedeutend kürzeren Beweis
Alternativer Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)
- Wir können den Beweis, dass
ein Vektorraum ist durch obige Umordnung eins zu eins Übertragen.
- Exemplarisch zeigen wir die Assoziativität der Addition:
- Bekommen durch obige Umordnung des
eine kanonische Basis von
: Sei
mit
Beispiel
In
sind die Basiselemente gegeben durch:
- Das heißt,
ist ein
-dimensionaler
-Vektorraum.
- Wir haben die VR-Struktur auf
so konstruiert, dass die Zuordnung
ein linearer Isomorphismus ist.
- Wir bekommen also a posteriori wieder heraus, dass
ein
-dimensionaler
-Vektorraum ist.
- Natürlich haben wir bei unserer Konstruktion von
schon die Dimension von
verwendet. Das heißt, dies ist kein Beweis für die Dimension des VR der linearen Abbildungen. Es ist aber eine gute Merkhilfe.