Vektorielle Operationen für Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung

Wir haben schon gesehen, dass wir lineare Abbildungen als als Matrizen darstellen können. Sind $V$ ein $n$-dimensionaler und $W$ ein $m$-dimensionaler $K$ Vektorraum. Dann ist der Raum der linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ ebenfalls ein $K$-Vektorraum. Wir werden versuchen diese Vektorraumstruktur auf den Raum $K^{m\times n}$ der $(m\times n)$-Matrizen über $K$ zu übertragen.

Das heißt, wir stellen die Frage: Gegeben endlich dimensionale Vektorräume $V$ und $W$ und geordnete Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$. Können wir eine Addition und skalare Multiplikation auf $K^{m\times n}$ finden, sodass $M_{C}^{B}(f+g)=M_{C}^{B}(f)+M_{C}^{B}(g)$ und $M_{C}^{B}(\lambda f)=\lambda M_{C}^{B}(f)$ für alle linearen Abbildungen $f,g\colon V\to W$ und alle $\lambda \in K$ gilt?

Gibt es auf $K^{m\times n}$ vielleicht sogar eine Vektorraumstruktur, sodass für alle endlich dimensionalen Vektorräume $V$ und $W$ und alle geordneten Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$, die Abbildung $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)\to K^{m\times n};f\mapsto M_{C}^{B}(f)$ linear ist?

Es bietet sich an einmal selber über diese Frage nachzudenken. Es gibt eine Aufgabe zur Matrizenaddition und eine zur Skalarmultiplikation, die dir dabei helfen können.

Ein erster Schritt ist zur Beantwortung dieser Frage ist:

Satz (Bijektive Abbildungen induzieren Vektorraumstrukturen)

Sei $V$ ein Vektorraum und $W$ eine Menge. Sei $f:V\to W$ eine bijektive Abbildung. Dann gibt es genau eine Vektorraumstruktur auf $W$, sodass $f$ linear wird.

Beweis (Bijektive Abbildungen induzieren Vektorraumstrukturen)

Existenz: Für $w,w'\in W$ und $\lambda \in K$ definieren wir $w\oplus w':=f(f^{-1}(w)+f^{-1}(w'))$, $\lambda \cdot w:=f(\lambda f^{-1}(w))$.

$W$ ist unter diesen Operationen abgeschlossen, da $f$ uns nach Voraussetzung immer nach $W$ zurückbringt. Dass $W$ mit diesen Operationen einen Vektorraum bildet folgt unmittelbar aus der Vektorraumstruktur von $V$. Man kann $f$ einfach als Umbenennung der Elemente von $V$ betrachten.

Beispielsweise folgt Kommutativität der Addition auf $W$ aus der Kommutativität der Addition auf $V$ wie folgt: $w\oplus w'=f(f^{-1}(w)+f^{-1}(w'))=f(f^{-1}(w')+f^{-1}(w))=w'\oplus w$.

Assoziativität der Addition auf $W$ folgt ebenfalls aus der Assoziativität der Addition auf $V$:

$w_{1}\oplus (w_{2}\oplus w_{3})=f(f^{-1}(w_{1})+f^{-1}(w_{2}+w_{3}))=f(f^{-1}(w_{1})+f^{-1}(f(f^{-1}(w_{2})+f^{-1}(w_{3}))))$

$=f(f^{-1}(w_{1})+(f^{-1}(w_{2})+f^{-1}(w_{3})))=f((f^{-1}(w_{1})+f^{-1}(w_{2}))+f^{-1}(w_{3}))$

$=f(f^{-1}(f((f^{-1}(w_{1})+f^{-1}(w_{2}))+f^{-1}(w_{3}))))=(w_{1}\oplus w_{2})\oplus w_{3}$.

Die Beweise für die anderen Vektorraumaxiome funktionieren analog. Damit haben wir eine Vektorraumstruktur auf $W$ gefunden. Zeigen wir jetzt, dass $f$ bezüglich $(\oplus ,\cdot )$ linear ist. Da $f$ bijektiv ist, reicht es zu zeigen, dass die Umkehrfunktion von $f$ linear ist (siehe Isomorphismus ). Es ist $f^{-1}(w\oplus w')=f^{-1}(f(f^{-1}(w)+f^{-1}(w')))=f^{-1}(w)+f^{-1}(w')$ und $f^{-1}(\lambda \cdot w)=f^{1}(f(\lambda f^{-1}(w')))=\lambda f^{-1}(w')$. Damit ist $f^{-1}$ und somit auch $f$ linear bezüglich $\oplus ,\cdot$.

Eindeutigkeit: Angenommen wir haben eine Vektorraumstruktur $(\oplus ,\cdot )$, sodass $f$ bezüglich dieser linear ist. Dann ist $f^{-1}$ als Umkehrfunktion einer bijektiven, linearen Funktion ebenfalls linear . Es gilt $w\oplus w'=f(f^{-1}(w\oplus w'))=f(f^{-1}(w)+f^{-1}(w'))$,

$\lambda \cdot w=f(\lambda f^{-1}(w))$.

Das heißt jede Vektorraumstruktur auf $W$ bezüglich der $f$ linear ist, muss bereits mit unserer zuvor definierten Vektorraumstruktur übereinstimmen.

Wir wollen die VR-Struktur von $K^{m\times n}$ jetzt konkret ausrechnen.

Satz (Die induzierte Vektorraumstruktur enstpricht komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation.)

Sei $B=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ eine Basis von $V$ und $C=\{w_{1},\dots ,w_{m}\}$ eine Basis von $W$. Die von $M_{C}^{B}$ induzierte Addition sowie die skalare Multiplikation auf dem Raum der Matrizen sind die komponentenweise Addition und Multiplikation.

Beweis (Die induzierte Vektorraumstruktur enstpricht komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation.)

Beweisschritt: Addition

Wir definieren die von $M_{C}^{B}$ induzierte Addition auf dem Raum der Matrizen wie im letzten Satz: $A+A'=M_{C}^{B}((M_{C}^{B})^{-1}(A)+(M_{C}^{B})^{-1}(A'))$. Seien nun $A=(a_{ij}),A'=(a'_{ij})\in K^{m\times n}$ beliebig und $f,g:V\to W$ die zu $A$ und $A'$ zugehörigen linearen Abbildungen mit $M_{C}^{B}(f)=A,M_{C}^{B}(g)=A'$. Dann gilt $(b_{ij})=A+A'=M_{C}^{B}((M_{C}^{B})^{-1}(A)+(M_{C}^{B})^{-1}(A'))=M_{C}^{B}(f+g)$.

Diese $b_{ij}$ rechnen wir jetzt aus: In der $j$-ten Spalte muss $(f+g)(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}b_{ij}w_{i}$ gelten. Laut Definition von $f+g$ ist aber auch $(f+g)(v_{j})=f(v_{j})+g(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}+\sum _{i=1}^{m}a'_{ij}w_{i}=\sum _{i=1}^{m}(a_{ij}+a'_{ij})w_{j}$. Da die Darstellung von $f(v_{j})$ bzgl. $C$ eindeutig ist, folgt $b_{ij}=a_{ij}+a'_{ij}$. Das heißt bei der von $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ auf $K^{m\times n}$ induzierten Addition handelt es sich um komponentenweise Addition.

Beweisschritt: skalare Multiplikation

Untersuchen wir jetzt die von $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ induzierte skalare Multiplikation $\lambda \cdot A=M_{C}^{B}(\lambda (M_{C}^{B})^{-1}(A))$. Sei wieder $f=(M_{C}^{B})^{-1}(A)$. Betrachte $(a'_{ij})=A'=\lambda \cdot A$. Es gilt: $(\lambda \cdot f)(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a'_{ij}w_{i}$. Des Weiteren haben wir $\lambda f(v_{j})=\lambda \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}=\sum _{i=1}^{m}\lambda a_{ij}w_{i}$. Wegen $(\lambda \cdot f)(v_{j})=\lambda f(v_{j})$ folgt $\sum _{i=1}^{m}a'_{ij}w_{i}=\sum _{i=1}^{m}\lambda a_{ij}w_{i}$. Aus der Eindeutigkeit der Darstellung folgt somit $a'_{ij}=\lambda a_{ij}$. Wir sehen, die von $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ auf $K^{m\times n}$ induzierte Skalarmultiplikation ist die komponentenweise Skalarmultiplikation.

Wir sehen hier auch, dass die induzierte VR-Struktur unabhängig von unserer Wahl von $V,W,B$ und $C$ ist.

Definition

Wir haben gerade gesehen: Um auf den Matrizen eine sinnvolle Vektorraumstruktur zu definieren, müssen wir die Operationen komponentenweise ausführen. Das heißt wir definieren Addition und skalare Multiplikation, wie folgt:

Definition (Addition von Matrizen)

Sei $K$ ein Körper und seien $A=(a_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ und $B=(b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$ Matrizen vom gleichen Typ $(m\times n)$ über $K$. Dann ist

$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,...,m;\,j=1,...,n}$

Wenn man diese Definition in großen Matrizen ausschreibt, sieht das wie folgt aus.

$A+B={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&\ldots &b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&\ldots &b_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&\ldots &a_{1n}+b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&\ldots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}$

Definition (Skalarmultiplikation von Matrizen)

Sei $K$ ein Körper und $A=(a_{ij})$ eine Matrix über $K$. Dann ist für $\lambda \in K$

$\lambda \cdot A=\lambda \cdot (a_{ij}):=(\lambda a_{ij})$

In Matrizen groß ausgeschrieben, sieht das wie folgt aus:

$\lambda \cdot A=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\ldots &\lambda a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda a_{m1}&\ldots &\lambda a_{mn}\end{pmatrix}}$

Beispiel (Addition von Matrizen)

Wir befinden uns in $\mathbb {R} ^{2\times 3}$.

${\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&2&-2\\3&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+(-1)&4+2&6+(-2)\\1+3&3+2&5+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&6&4\\4&5&6\end{pmatrix}}$

Beispiel (Multiplikation mit einem Körperelement)

Als Beispiel nehmen wir die Matrix ${\begin{pmatrix}1&-2&0\\2&-3&-1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 3}$ und als Körperelement die reelle Zahl $(-3)$, dann gilt:

$(-3)\cdot {\begin{pmatrix}1&-2&0\\2&-3&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-3)\cdot 1&(-3)\cdot (-2)&(-3)\cdot 0\\(-3)\cdot 2&(-3)\cdot (-3)&(-3)\cdot (-1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&0\\-6&9&3\end{pmatrix}}$

Satz (Matrizen bilden einen Vektorraum)

Die Menge der $(m\times n)$-Matrizen $K^{m\times n}$ bildet mit der oben definierten Addition und skalaren Multiplikation einen $K$-Vektorraum. Dieser Vektorraum hat als neutrales Element der Addition die Nullmatrix $(0)\in K^{m\times n}$ und die additive Inverse einer Matrix $A=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ ist $-A:=(-a_{ij})$.

Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)

Mit dem Satz sehen wir, dass die von $M_{C}^{B}:\operatorname {Hom} _{K}(K^{n},K^{m})\to K^{m\times n}$ induzierte Vektorraumsstruktur auf dem Raum der Matrizen eine Vektorraumsstruktur induziert. Zudem wissen wir, dass in dieser Vektorraumsstruktur die Addition und skalare Multiplikation mit den komponentenweisen Operationen übereinstimmen. Damit ist schon gezeigt, dass die komponentenweisen Addition und skalare Multiplikation eine Vektorraumsstruktur bilden.

Wenn wir Matrizen ohne den Kontext als Abbildungsmatrizen betrachten, sehen wir folgendes: Matrizen sind nichts anderes als eine ungewöhnliche Art Elemente des $K^{m\cdot n}$ zu schreiben, da Matrizen aus $m\cdot n$ Werten bestehen. Genau, wie im $K^{m\cdot n}$ ist bei Matrizen die Vektorraum-Struktur komponentenweise definiert. Das heißt alternativ bekommen wir den folgenden bedeutend kürzeren Beweis

Alternativer Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)

Wir können den Beweis, dass $K^{m\times n}$ ein Vektorraum ist durch obige Umordnung eins zu eins Übertragen. Der Beweis funktioniert wie im Fall des Koordinatenraums. Exemplarisch zeigen wir die Assoziativität der Addition: Sind $A_{1}=(a_{ij}^{1}),A_{2}=(a_{ij}^{2}),A_{3}=(a_{ij}^{3})$ drei $(n\times m)$-Matrizen. Dann gilt $(A_{1}+A_{2})+A_{3}=((a_{ij}^{1}+a_{ij}^{2})+a_{ij}^{3})=(a_{ij}^{1}+(a_{ij}^{2}+a_{ij}^{3}))=A_{1}+(A_{2}+A_{3})$.

Dimension

Durch die obige Umordnung des $K^{m\cdot n}$ erhalten wir eine kanonische Basis von $K^{m\times n}$: Sei $B_{ab}=(b_{ij})$ mit

$b_{ij}={\begin{cases}1&{\text{falls }}i=a{\text{ und }}j=b\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}$

Beispiel

In $K^{2\times 3}$ sind die Basiselemente gegeben durch:

${\begin{aligned}B_{11}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad B_{12}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad B_{13}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\\B_{21}={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},\quad B_{22}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},\quad B_{23}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Das heißt, $K^{m\times n}$ ist ein $(m\cdot n)$-dimensionaler $K$-Vektorraum. Wir haben die VR-Struktur auf $K^{m\times n}$ so konstruiert, dass die Zuordnung $f\mapsto M_{C}^{B}(f)$ ein linearer Isomorphismus ist. Wir bekommen also a posteriori wieder heraus, dass $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ ein $(m\cdot n)$-dimensionaler $K$-Vektorraum ist. Natürlich haben wir bei unserer Konstruktion von $M_{C}^{B}(-)$ schon die Dimension von $\operatorname {Hom} _{K}(V,W)$ verwendet. Das heißt, dies ist kein Beweis für die Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen. Es ist aber eine gute Merkhilfe.