Koordinatenräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Der Koordinatenraum ist der Vektorraum der $n$-Tupel mit Einträgen in einem Körper, versehen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Ein Beispiel ist der aus der Schule bekannte Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$.

Herleitung

In der Mathematik benutzt man häufig bestehende Strukturen, um neue Strukturen zu definieren. Wie wir schon in der Einführung zum Vektorraum gesehen haben, können wir aus den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ den Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ der $n$-Tupel $(x_{1},\dots ,x_{n})$ bilden. Dies machen wir im Wesentlichen folgendermaßen. Auf der Menge

$\mathbb {R} ^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für alle }}1\leq i\leq n\}$

definieren wir eine Vektoraddition und eine skalare Multiplikation.

Für die Vektoraddition nutzen wir die Zahlenaddition und für die skalare Multiplikation die Zahlenmultiplikation. Seien $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ und $y=(y_{1},\dots ,y_{n})$ mit $x_{i},y_{i}\in \mathbb {R}$, dann wird die Vektoraddition definiert durch

$x+y=(x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n})$

Seien $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und $\alpha \in \mathbb {R}$, dann wird die skalare Multiplikation definiert durch

$\alpha \cdot x=(\alpha \cdot x_{1},\dots ,\alpha \cdot x_{n})$

Du kannst nun leicht überprüfen, dass $\mathbb {R} ^{n}$ mit diese Vektoraddition und skalaren Multiplikation ein Vektorraun über dem Körper $\mathbb {R}$ ist.

Wir haben damit die uns bekannte Struktur der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ auf den Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ übertragen. Wir bezeichnen $\mathbb {R} ^{n}$ auch als Koordinatenraum der Dimension $n$ von $\mathbb {R}$.

Einfache Verallgemeinerung

Wir nehmen nun statt dem Körper der reellen Zahlen einen beliebigen Körper $K$. Ganz analog zu oben kannst du auch den Koordinatenraum der Dimension $n$ des Körpers $K$ bilden.

$K^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})|x_{i}\in K{\text{ für alle }}1\leq i\leq n\}$

mit der oben definierten Vektoraddition und skalaren Multiplikation.

Definition des Koordinatenraumes

Definition (Die Menge $K^{n}$)

Sei $n\in \mathbb {N}$ und $K$ ein Körper. Wir definieren

$K^{n}:=\left\{\,(x_{1},\cdots ,x_{n})\,{\bigg \vert }\,x_{i}\in K{\text{ für alle }}1\leq i\leq n\,\right\}.$

Wir bezeichnen die Elemente dieser Menge als $n$-Tupel mit Einträgen in $K$.

Beispiel (Beispiele für Tupel)

Zum Beispiel ist $(5,7)$ ein $2$-Tupel mit Einträgen in $\mathbb {Q}$ (wir sagen statt $2$-Tupel auch einfach Tupel oder Zahlenpaar).

$\left(\pi ,12,{\sqrt {31}}\right)$ ist ein $3$-Tupel mit Einträgen in $\mathbb {R}$ (wir sagen statt $3$-Tupel auch Tripel).

Sei $K$ ein beliebiger Körper und $n\in \mathbb {N}$. Wir definieren auf der Menge $K^{n}$ eine Addition und eine Skalarmultiplikation.

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf der Menge $K^{n}$)

Die Addition $\boxplus \colon K^{n}\times K^{n}\to K^{n}$ ist definiert durch

${\begin{aligned}(x_{1},\cdots ,x_{n})\boxplus (y_{1},\cdots ,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}).\end{aligned}}$

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation $\boxdot \colon K\times K^{n}\to K^{n}$ durch

$\lambda \boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n}):=(\lambda \cdot x_{1},\cdots ,\lambda \cdot x_{n}).$

Wir nennen $(K^{n},\boxplus ,\boxdot )$ Koordinatenraum.

Der Koordinatenraum ist ein Vektorraum

• Wir haben im Artikel Einführung in den Vektorraum obige Konstruktion genutzt, um die Vektorraum-Axiome herzuleiten.
• Ferner erfüllen Körper ähnliche Eigenschaften, wie Vektorräume. Wir haben diese benutzt um obige Addition und skalare Multiplikation zu definieren.
• Es ist anzunehmen, dass obige Konstruktion einen Vektorraum ergibt. Wir zeigen im Folgenden, dass dies tatsächlich so ist.

Satz ($K^{n}$ ist ein Vektorraum)

$(K^{n},\boxplus ,\boxdot )$ ist ein $K$-Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ($K^{n}$ ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen, in dem wir der Reihe nach die 8 Vektorraumaxiome prüfen.

Die Definition von $\boxplus ,\boxdot$ sind genau so gewählt, dass sie die Operationen $+,\cdot$ im Körper $K$ "auf natürliche Weise auf den Vektorraum $K^{n}$ übertragen". Wir zeigen, dass die Vektorraumaxiome direkt aus den korrespondierenden Körperaxiomen folgen. Wir müssen also in jedem Schritt zeigen, dass die Definitionen von $\boxplus$ und $\boxdot$ die bekannte Eigenschaften von $+$ und $\cdot$ im Körper $K$ induzieren.

Beweis ($K^{n}$ ist ein Vektorraum)

Wir werden die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n}),{\vec {y}}=(y_{1},\cdots ,y_{n}),{\vec {z}}=(z_{1},\cdots ,z_{n})\in K^{n}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}({\vec {x}}\boxplus {\vec {y}})\boxplus {\vec {z}}&=((x_{1},\cdots ,x_{n})\boxplus (y_{1},\cdots ,y_{n}))\boxplus (z_{1},\cdots ,z_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})\boxplus (z_{1},\cdots ,z_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=((x_{1}+y_{1})+z_{1},\cdots ,(x_{n}+y_{n})+z_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+(y_{1}+z_{1}),\cdots ,x_{n}+(y_{n}+z_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x_{1},\cdots ,x_{n})\boxplus (y_{1}+z_{1},\cdots ,y_{n}+z_{n})={\vec {x}}\boxplus ({\vec {y}}\boxplus {\vec {z}}).\end{aligned}}$

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n}),{\vec {y}}=(y_{1},\cdots ,y_{n})\in K^{n}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}{\vec {x}}\boxplus {\vec {y}}&=(x_{1},\cdots ,x_{n})\boxplus (y_{1},\cdots ,y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=(y_{1}+x_{1},\cdots ,y_{n}+x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(y_{1},\cdots ,y_{n})\boxplus (x_{1},\cdots ,x_{n})={\vec {y}}\boxplus {\vec {x}}.\end{aligned}}$

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen noch zeigen, dass es ein neutrales Element ${\vec {0}}=(\underbrace {0,0,\cdots ,0} _{n})\in K^{n}$ gibt, für das gilt

${\vec {x}}\boxplus {\vec {0}}={\vec {x}}$ für alle ${\vec {x}}\in K^{n}$

Da wir alle Eigenschaften auf die entsprechenden Eigenschaften in $K$ zurückführen, nutzen wir hier das neutrale Element der Addition $0\in K$, um das neutrale Element der Addition ${\vec {0}}\in K^{n}$ zu konstruieren. Also setzen wir

${\vec {0}}=(\underbrace {0,0,\cdots ,0} _{n}).$

Wir müssen noch die Neutralität des neutralen Elements der Addition prüfen, also ${\vec {x}}\boxplus {\vec {0}}={\vec {x}}$:

Dazu sei ${\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})\in K^{n}$. Dann gilt:

${\vec {x}}\boxplus {\vec {0}}=(x_{1}+0,\cdots ,x_{n}+0)=(x_{1},\cdots ,x_{n})={\vec {x}}.$

Damit haben wir gezeigt, dass ${\vec {0}}\in K^{n}$ das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei ${\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})\in K^{n}$. Wir müssen zeigen, dass es ein ${\vec {y}}\in K^{n}$ gibt, sodass ${\vec {x}}\boxplus {\vec {y}}={\vec {0}}$.

Wir wollen dieses Problem wieder auf die Eigenschaften der Rechenoperationen in $K$ zurückführen. In $K$ gilt, wenn $a,b\in K$ und $a+b=0$, dann ist $b=-a$. Daher wählen wir für ${\vec {y}}$ das $n$-Tupel $(-x_{1},\cdots ,-x_{n})$ als potenzielles Inverses. Dann gilt:

${\vec {x}}\boxplus {\vec {y}}=(x_{1}+(-x_{1}),\cdots ,x_{n}+(-x_{n}))=(\underbrace {0,\cdots ,0} _{n})={\vec {0}}$

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ${\vec {x}}\in K^{n}$ ein ${\vec {y}}\in K^{n}$ gibt mit ${\vec {x}}\boxplus {\vec {y}}={\vec {0}}$.

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und ${\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})\in K^{n}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}(\lambda +\mu )\boxdot {\vec {x}}&=(\lambda +\mu )\boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda +\mu )\cdot x_{1},\cdots ,(\lambda +\mu )\cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1}+\mu \cdot x_{1},\cdots ,\lambda \cdot x_{n}+\mu \cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1},\cdots ,\lambda \cdot x_{n})\boxplus (\mu \cdot x_{1},\cdots ,\mu \cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n}))\boxplus (\mu \boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n}))\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot {\vec {x}})\boxplus (\mu \boxdot {\vec {x}}).\end{aligned}}$

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda \in K$ und ${\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n}),y=(y_{1},\cdots ,y_{n})\in K^{n}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}\lambda \boxdot ({\vec {x}}\boxplus {\vec {y}})&=\lambda \boxdot ((x_{1},\cdots ,x_{n})\boxplus (y_{1},\cdots ,y_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (x_{1}+y_{1}),\cdots ,\lambda \cdot (x_{n}+y_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1}+\lambda \cdot y_{1},\cdots ,\lambda \cdot x_{n}+\lambda \cdot y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1},\cdots ,\lambda \cdot x_{n})\boxplus (\lambda \cdot y_{1},\cdots ,\lambda \cdot y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n}))\boxplus (\lambda \boxdot (y_{1},\cdots ,y_{n}))\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot {\vec {x}})\boxplus (\lambda \boxdot {\vec {y}}).\end{aligned}}$

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und ${\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})\in K^{n}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}(\lambda \cdot \mu )\boxdot {\vec {x}}&=(\lambda \cdot \mu )\boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \cdot \mu )\cdot x_{1},\cdots ,(\lambda \cdot \mu )\cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Multiplikation in }}K\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (\mu \cdot x_{1}),\cdots ,\lambda \cdot (\mu \cdot x_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \cdot x_{1},\cdots ,\mu \cdot x_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n}))\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \boxdot {\vec {x}}).\end{aligned}}$

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei ${\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})\in K^{n}$. Dann gilt:

$1_{K}\boxdot {\vec {x}}=1_{K}\boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n})=(1_{K}\cdot x_{1},\cdots ,1_{K}\cdot x_{n})=(x_{1},\cdots ,x_{n})={\vec {x}}.$

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist $(K^{n},\boxplus ,\boxdot )$ ein $K$-Vektorraum.

Zusammenhang mit dem Körper als Vektorraum

Wir haben bereits gesehen, dass $K$ ein $K$-Vektorraum ist. Dies ist ein Spezialfall der Koordinatenräume $K^{n}$, denn $K^{1}=K$. Dabei fassen wir die Vektoren ${\vec {x}}$ als Elemente des Körpers auf. Wir schreiben dann statt ${\vec {x}}$ nur $x$, statt ${\vec {1}}$ nur $1$ und statt ${\vec {0}}$ nur $0$.