Koordinatenräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Der Koordinatenraum ist der Vektorraum der -Tupel mit Einträgen in einem Körper, versehen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.

Ein Beispiel ist der aus der Schule bekannte euklidische Vektorraum .

Definition des Koordinatenraumes[Bearbeiten]

Definition (Die Menge )

Sei und ein Körper. Wir bezeichnen die Menge als .

Wir bezeichnen die Elemente dieser Menge als -Tupel mit Einträgen in .

Beispiel (Beispiele für Tupel)

Zum Beispiel ist ein -Tupel mit Einträgen in (man sagt dazu auch Paar).

ist ein -Tupel mit Einträgen in (man sagt dazu auch Tripel).

Wir fixieren nun einen Körper und eine natürliche Zahl .

Wir definieren auf eine Addition und eine Skalarmultiplikation.

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf )

Die Addition ist definiert durch

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation durch

Der Koordinatenraum ist ein Vektorraum[Bearbeiten]

Satz ( ist ein Vektorraum)

ist ein -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ( ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen.

Beweis ( ist ein Vektorraum)

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen nun noch zeigen, dass es ein neutrales Element gibt, das heißt für alle . Es liegt auf der Hand, das Null-Tupel

als neutrales Element zu verwenden.

Sei . Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei . Wir müssen zeigen, dass es ein gibt, sodass .

Es liegt nahe, für das -Tupel zu wählen.

Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ein gibt mit .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei .

Dann gilt:

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist ein -Vektorraum.