Koordinatenräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Der Koordinatenraum ist der Vektorraum der $n$-Tupel mit Einträgen in einem Körper, versehen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.

Ein Beispiel ist der aus der Schule bekannte euklidische Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$.

Definition des Koordinatenraumes

Definition (Die Menge $K^{n}$)

Sei $n\in \mathbb {N}$ und $K$ ein Körper. Wir bezeichnen die Menge $\left\{\,(x_{1},\dots ,x_{n})\,{\bigg \vert }\,x_{i}\in K{\text{ für alle }}1\leq i\leq n\,\right\}$ als $K^{n}$.

Wir bezeichnen die Elemente dieser Menge als $n$-Tupel mit Einträgen in $K$.

Beispiel (Beispiele für Tupel)

Zum Beispiel ist $(5,7)$ ein $2$-Tupel mit Einträgen in $\mathbb {Q}$ (man sagt dazu auch Paar).

$(\pi ,12,{\sqrt {31}})$ ist ein $3$-Tupel mit Einträgen in $\mathbb {R}$ (man sagt dazu auch Tripel).

Wir fixieren nun einen Körper $K$ und eine natürliche Zahl $n$.

Wir definieren auf $K^{n}$ eine Addition und eine Skalarmultiplikation.

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf $K^{n}$)

Die Addition $\boxplus \colon K^{n}\times K^{n}\to K^{n}$ ist definiert durch

${\begin{aligned}(x_{1},\dots ,x_{n})\boxplus (y_{1},\dots ,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n}).\end{aligned}}$

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation $\boxdot \colon K\times K^{n}\to K^{n}$ durch

$\lambda \boxdot (x_{1},\dots ,x_{n})=(\lambda \cdot x_{1},\dots ,\lambda \cdot x_{n}).$

Der Koordinatenraum ist ein Vektorraum

Satz ($K^{n}$ ist ein Vektorraum)

$(K^{n},\boxplus ,\boxdot )$ ist ein $K$-Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ($K^{n}$ ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen.

Beweis ($K^{n}$ ist ein Vektorraum)

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien $x=(x_{1},\dots ,x_{n}),y=(y_{1},\dots ,y_{n}),z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in K^{n}$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}(x\boxplus y)\boxplus z&=((x_{1},\dots ,x_{n})\boxplus (y_{1},\dots ,y_{n}))\boxplus (z_{1},\dots ,z_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n})\boxplus (z_{1},\dots ,z_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=((x_{1}+y_{1})+z_{1},\dots ,(x_{n}+y_{n})+z_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+(y_{1}+z_{1}),\dots ,x_{n}+(y_{n}+z_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x_{1},\dots ,x_{n})\boxplus (y_{1}+z_{1},\dots ,y_{n}+z_{n})=x\boxplus (y\boxplus z).\end{aligned}}$

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien $x=(x_{1},\dots ,x_{n}),y=(y_{1},\dots ,y_{n})\in K^{n}$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}x\boxplus y&=(x_{1},\dots ,x_{n})\boxplus (y_{1},\dots ,y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=(y_{1}+x_{1},\dots ,y_{n}+x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(y_{1},\dots ,y_{n})\boxplus (x_{1},\dots ,x_{n})=y\boxplus x.\end{aligned}}$

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen nun noch zeigen, dass es ein neutrales Element $0_{K^{n}}\in K^{n}$ gibt, das heißt $x\boxplus 0_{K^{n}}=x$ für alle $x\in K^{n}$. Es liegt auf der Hand, das Null-Tupel

$0_{K^{n}}=(\underbrace {0,0,\dots ,0} _{n})$

als neutrales Element zu verwenden.

Sei $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}$. Dann gilt:

$x\boxplus 0_{K^{n}}=(x_{1}+0,\dots ,x_{n}+0)=(x_{1},\dots ,x_{n})=x.$

Damit haben wir gezeigt, dass $0_{K^{n}}\in K^{n}$ das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}$. Wir müssen zeigen, dass es ein $y\in K^{n}$ gibt, sodass $x\boxplus y=0_{K^{n}}$ .

Es liegt nahe, für $y$ das $n$-Tupel $(-x_{1},\dots ,-x_{n})$ zu wählen.

Dann gilt:

$x\boxplus y=(x_{1}+(-x_{1}),\dots ,x_{n}+(-x_{n}))=(\underbrace {0,\dots ,0} _{n})=0_{K^{n}}.$

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen $x\in K^{n}$ ein $y\in K^{n}$ gibt mit $x\boxplus y=0_{K^{n}}$.

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}(\lambda +\mu )\boxdot x&=(\lambda +\mu )\boxdot (x_{1},\dots ,x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda +\mu )\cdot x_{1},\dots ,(\lambda +\mu )\cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1}+\mu \cdot x_{1},\dots ,\lambda \cdot x_{n}+\mu \cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1},\dots ,\lambda \cdot x_{n})\boxplus (\mu \cdot x_{1},\dots ,\mu \cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot (x_{1},\dots ,x_{n}))\boxplus (\mu \boxdot (x_{1},\dots ,x_{n}))\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot x)\boxplus (\mu \boxdot x).\end{aligned}}$

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda \in K$ und $x=(x_{1},\dots ,x_{n}),y=(y_{1},\dots ,y_{n})\in K^{n}$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}\lambda \boxdot (x\boxplus y)&=\lambda \boxdot ((x_{1},\dots ,x_{n})\boxplus (y_{1},\dots ,y_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (x_{1}+y_{1}),\dots ,\lambda \cdot (x_{n}+y_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1}+\lambda \cdot y_{1},\dots ,\lambda \cdot x_{n}+\lambda \cdot y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1},\dots ,\lambda \cdot x_{n})\boxplus (\lambda \cdot y_{1},\dots ,\lambda \cdot y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot (x_{1},\dots ,x_{n}))\boxplus (\lambda \boxdot (y_{1},\dots ,y_{n}))\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot x)\boxplus (\lambda \boxdot y).\end{aligned}}$

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}((\lambda \cdot \mu )\boxdot x)&=(\lambda \cdot \mu )\boxdot (x_{1},\dots ,x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \cdot \mu )\cdot x_{1},\dots ,(\lambda \cdot \mu )\cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Multiplikation in }}K\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (\mu \cdot x_{1}),\dots ,\lambda \cdot (\mu \cdot x_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \cdot x_{1},\dots ,\mu \cdot x_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \boxdot (x_{1},\dots ,x_{n}))\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \boxdot x).\end{aligned}}$

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}$.

Dann gilt:

$1_{K}\boxdot x=1_{K}\boxdot (x_{1},\dots ,x_{n})=(1_{K}\cdot x_{1},\dots ,1_{K}\cdot x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})=x.$

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist $(K^{n},\boxplus ,\boxdot )$ ein $K$-Vektorraum.