Koordinatenräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Der Koordinatenraum ist der Vektorraum der -Tupel mit Einträgen in einem Körper, versehen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Ein Beispiel ist der aus der Schule bekannte Vektorraum .

Herleitung[Bearbeiten]

In der Mathematik benutzt man häufig bestehende Strukturen, um neue Strukturen zu definieren. Wie wir schon in der Einführung zum Vektorraum gesehen haben, können wir aus den reellen Zahlen den Vektorraum der -Tupel bilden. Dies machen wir im Wesentlichen folgendermaßen. Auf der Menge

definieren wir eine Vektoraddition und eine skalare Multiplikation.

Für die Vektoraddition nutzen wir die Zahlenaddition und für die skalare Multiplikation die Zahlenmultiplikation. Seien und mit , dann wird die Vektoraddition definiert durch

Seien und , dann wird die skalare Multiplikation definiert durch

Du kannst nun leicht überprüfen, dass mit diese Vektoraddition und skalaren Multiplikation ein Vektorraun über dem Körper ist.

Wir haben damit die uns bekannte Struktur der reellen Zahlen auf den Vektorraum übertragen. Wir bezeichnen auch als Koordinatenraum der Dimension von .

Einfache Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Wir nehmen nun statt dem Körper der reellen Zahlen einen beliebigen Körper . Ganz analog zu oben kannst du auch den Koordinatenraum der Dimension des Körpers bilden.

mit der oben definierten Vektoraddition und skalaren Multiplikation.

Definition des Koordinatenraumes[Bearbeiten]

Definition (Die Menge )

Sei und ein Körper. Wir definieren

Wir bezeichnen die Elemente dieser Menge als -Tupel mit Einträgen in .

Beispiel (Beispiele für Tupel)

Zum Beispiel ist ein -Tupel mit Einträgen in (wir sagen statt -Tupel auch einfach Tupel oder Zahlenpaar).

ist ein -Tupel mit Einträgen in (wir sagen statt -Tupel auch Tripel).

Sei ein beliebiger Körper und . Wir definieren auf der Menge eine Addition und eine Skalarmultiplikation.

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf der Menge )

Die Addition ist definiert durch

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation durch

Wir nennen Koordinatenraum.

Der Koordinatenraum ist ein Vektorraum[Bearbeiten]

  • Wir haben im Artikel Einführung in den Vektorraum obige Konstruktion genutzt, um die Vektorraum-Axiome herzuleiten.
  • Ferner erfüllen Körper ähnliche Eigenschaften, wie Vektorräume. Wir haben diese benutzt um obige Addition und skalare Multiplikation zu definieren.
  • Es ist anzunehmen, dass obige Konstruktion einen Vektorraum ergibt. Wir zeigen im Folgenden, dass dies tatsächlich so ist.

Satz ( ist ein Vektorraum)

ist ein -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ( ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen, in dem wir der Reihe nach die 8 Vektorraumaxiome prüfen.

Die Definition von sind genau so gewählt, dass sie die Operationen im Körper "auf natürliche Weise auf den Vektorraum übertragen". Wir zeigen, dass die Vektorraumaxiome direkt aus den korrespondierenden Körperaxiomen folgen. Wir müssen also in jedem Schritt zeigen, dass die Definitionen von und die bekannte Eigenschaften von und im Körper induzieren.

Beweis ( ist ein Vektorraum)

Wir werden die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien . Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien . Dann gilt:

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen noch zeigen, dass es ein neutrales Element gibt, für das gilt

für alle

Da wir alle Eigenschaften auf die entsprechenden Eigenschaften in zurückführen, nutzen wir hier das neutrale Element der Addition , um das neutrale Element der Addition zu konstruieren. Also setzen wir

Wir müssen noch die Neutralität des neutralen Elements der Addition prüfen, also :

Dazu sei . Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei . Wir müssen zeigen, dass es ein gibt, sodass .

Wir wollen dieses Problem wieder auf die Eigenschaften der Rechenoperationen in zurückführen. In gilt, wenn und , dann ist . Daher wählen wir für das -Tupel als potenzielles Inverses. Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ein gibt mit .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien und . Dann gilt:

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien und . Dann gilt:

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien und . Dann gilt:

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei . Dann gilt:

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist ein -Vektorraum.

Zusammenhang mit dem Körper als Vektorraum[Bearbeiten]

Wir haben bereits gesehen, dass ein -Vektorraum ist. Dies ist ein Spezialfall der Koordinatenräume , denn . Dabei fassen wir die Vektoren als Elemente des Körpers auf. Wir schreiben dann statt nur , statt nur und statt nur .