Koordinatenräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Der Koordinatenraum oder Standardvektorraum ist in der Mathematik der Vektorraum der $n$-Tupel mit Komponenten aus einem gegebenen Körper versehen mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation. Die Elemente des Koordinatenraums nennt man entsprechend Koordinatenvektoren oder Koordinatentupel.

Wenn wir die aus der Schule bekannten Vektoren ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ transponieren zum 3-Tupel $(x_{1},x_{2},x_{3})$ dann erhalten wir einen dreidimensionalen Koordinatenraum.

Der Koordinatenraum

Definition (n-Tupel)

Ein n-Tupel ist eine geordnete Folge endlich vieler Elemente

Zum Beispiel ist $(10,12,31)$ ein 3-Zahlen-Tupel (man sagt dazu auch Zahlen-Tripel).

$(5,7)$ ist ein Zahlenpaar (selten 2-Zahlen-Tupel)

Beispiel: Der Vektorraum der n-Tupel

Sei ${\mathfrak {K}}$ ein Körper. Die Menge ${\mathfrak {K}}_{n}=\lbrace (x_{1},x_{2},\ldots \ ,x_{n})\mid x_{i}\in {\mathfrak {K}}(1\leq i\leq n);n\in \mathbb {N} \rbrace$ aller n-Tupel ist ein Vektorraum über ${\mathfrak {K}}$, mit folgenden Rechenregeln:

• Vektoraddition: $(x_{1},x_{2},\ldots \ ,x_{n})\boxplus (y_{1},y_{2},\ldots \ ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots \ ,x_{n}+y_{n})$
• Skalarmultiplikation: $\rho \boxdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\rho \cdot x_{1},\rho \cdot x_{2},\ldots ,\rho \cdot x_{n})$ für $\rho \in {\mathfrak {K}}$

Zur sauberen Unterscheidung verwenden wir in der Lösung $\boxplus$ für die Addition im Vektorraum ${\mathfrak {K}}_{n}$ und " + " für die Addition im Körper ${\mathfrak {K}}$

Analog schreiben wir $\boxdot$ für die skalare Multiplikation im Vektorraum ${\mathfrak {K}}_{n}$ und " $\cdot$ " für die Multiplikation im Körper ${\mathfrak {K}}$ .

Lösung (${\mathfrak {K}}_{n}$ ist Ein Vektorraum über ${\mathfrak {K}}$)

${\mathfrak {K}}_{n}\neq \emptyset$ da $(\underbrace {0,0,\ldots ,0} _{n})\in {\mathfrak {K}}_{n}$

Vektoraddition: Hier ist zu zeigen, dass die Addition kommutativ und assoziativ ist.

Seien $a=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n});\,b=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n});\,c=(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in {\mathfrak {K}}_{n}$

dann ist

${\begin{aligned}a\boxplus b&=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\boxplus (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Addition}}\right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition im Körper}}\right.}\\[0.3em]&=(y_{1}+x_{1},y_{2}+x_{2},\ldots ,y_{n}+x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Addition}}\right.}\\[0.3em]&=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\boxplus (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=b\boxplus a\end{aligned}}$

Damit ist das Kommutativgesetz der Addition erfüllt.

Wenden wir uns nun dem Assoziativgesetz zu. Wir zeigen, dass gilt: $(a\boxplus b)\boxplus c=a\boxplus (b\boxplus c)$

${\begin{aligned}(a\boxplus b)\boxplus c&=((x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\boxplus (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}))\boxplus (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Addition}}\right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})\boxplus (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\\[0.3em]&=((x_{1}+y_{1})+z_{1},(x_{2}+y_{2})+z_{2},\ldots ,(x_{n}+y_{n})+z_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Addition im Körper}}\right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+(y_{1}+z_{1}),x_{2}+(y_{2}+z_{2}),\ldots ,x_{n}+(y_{n}+z_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Addition}}\right.}\\[0.3em]&=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\boxplus (y_{1}+z_{1},y_{2}+z_{2},\ldots ,y_{n}+z_{n})=a\boxplus (b\boxplus c)\end{aligned}}$

Damit ist das Assoziativgesetz der Addition erfüllt.

Neutrales Element:

Wir müssen nun noch zeigen, dass es ein neutrales Element ${\mathfrak {n}}\in {\mathfrak {K}}_{n}$ gibt, derart, dass $a\boxplus {\mathfrak {n}}=a$. Es liegt auf der Hand, das oben definierte Null-Tupel

${\mathfrak {n}}=(\underbrace {0,0,\ldots ,0} _{n})$

als neutrales Element anzugeben. Es ist

$a\boxplus {\mathfrak {n}}=(x_{1}+0,x_{2}+0,\ldots ,x_{n}+0)=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=a$

Wegen der Kommutitativität gilt $a\boxplus {\mathfrak {n}}={\mathfrak {n}}\boxplus a=a$, damit ist ${\mathfrak {n}}$ sowohl linksneutral als auch rechtsneutral.

Damit haben wir gezeigt, dass es ein neutrales Element ${\mathfrak {n}}\in \mathbb {R} _{n}$ gibt.

Inverses Element:

Wir müssen noch zeigen, dass es zu jedem $a\in {\mathfrak {K}}_{n}$ ein $b\in {\mathfrak {K}}_{n}$ gibt, derart, dass $a\boxplus b={\mathfrak {n}}$ .

Da wir uns mit den einzelnen Koordinaten der n-Tupel in ${\mathfrak {K}}$ bewegen, liegt es nahe, den inversen Vektor $b$ zu $a$ als den negativen Koordinatenvektor von $a$ zu wählen. Sei nun $a=(x_{1},\,x_{2},\ldots ,x_{n})$ und $b=(-x_{1},\,-x_{2},\ldots ,-x_{n})$ dann ist

$a\boxplus b=(x_{1}+(-x_{1}),\,x_{2}+(-x_{2}),\ldots ,x_{n}+(-x_{n}))=(\underbrace {0,0,\ldots ,0} _{n})={\mathfrak {n}}$

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen $a\in {\mathfrak {K}}_{n}$ ein $b\in {\mathfrak {K}}_{n}$ gibt mit $a\boxplus b={\mathfrak {n}}$. Wegen der Kommutitativität gilt $a\boxplus b={\mathfrak {n}}={\mathfrak {b}}\boxplus a$, damit ist ${\mathfrak {b}}$ sowohl linksinverses als auch rechtsinverses von $a$.

Wir haben insgesamt gezeigt, dass die vier Axiome zur Vektoraddition für ${\mathfrak {K}}_{n}$ erfüllt sind.

Wir wenden uns nun der Skalarmultiplikation zu und zeigen deren vier Gesetze.

Skalares Distributivgesetz:

Sei $\lambda ,\rho \in {\mathfrak {K}}$ und $a=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in {\mathfrak {K}}_{n}$, wir müssen folgendes zeigen: $(\lambda +\rho )\boxdot a=(\lambda \boxdot a)\boxplus (\rho \boxdot a)$

${\begin{aligned}{\begin{array}{lll}(\lambda +\rho )\boxdot a&=\\&=(\lambda +\rho )\boxdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Skalarmultiplikation}}\right.}\\[0.3em]&=((\lambda +\rho )\cdot x_{1},(\lambda +\rho )\cdot x_{2},\ldots ,(\lambda +\rho )\cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität im Körper}}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1}+\rho \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2}+\rho \cdot x_{2},\ldots ,\lambda \cdot x_{n}+\rho \cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Addition}}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},\ldots ,\lambda \cdot x_{n})\boxplus (\rho \cdot x_{1},\rho \cdot x_{2},\ldots ,\rho \cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Skalarmultiplikation}}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))\boxplus (\rho \boxdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))\\&=(\lambda \boxdot a)\boxplus (\rho \cdot a)\end{array}}\end{aligned}}$

Damit ist das skalare Distributivgesetz erfüllt.

Vektorielles Distributivgesetz:

Sei $\lambda \in {\mathfrak {K}}$ und $a=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in {\mathfrak {K}}_{n},\,b=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in {\mathfrak {K}}_{n}$ dann müssen wir zeigen: $\lambda \boxdot (a\boxplus b)=(\lambda \boxdot a)\boxplus (\lambda \boxdot b)$

${\begin{aligned}{\begin{array}{lll}\lambda \boxdot (a\boxplus b)&=\\&=\lambda \boxdot ((x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\boxplus (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Addition}}\right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Skalarmultiplikation}}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (x_{1}+y_{1}),\lambda \cdot (x_{2}+y_{2}),\ldots ,\lambda \cdot (x_{n}+y_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität im Körper}}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1}+\lambda \cdot y_{1},\lambda \cdot x_{2}+\lambda \cdot y_{2},\ldots ,\lambda \cdot x_{n}+\lambda \cdot y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Addition}}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},\ldots ,\lambda \cdot x_{n})\boxplus (\lambda \cdot y_{1},\lambda \cdot y_{2},\ldots ,\lambda \cdot y_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Skalarmultiplikation}}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))\boxplus (\lambda \boxdot (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}))\\&=(\lambda \boxdot a)\boxplus (\lambda \boxdot b)\end{array}}\end{aligned}}$

Damit ist das vektorielles Distributivgesetz erfüllt. Insgesamt haben wir skalares und vektorielles Distributivgesetz im Vektorraum gezeigt.

Assoziativgesetz für Skalare:

Sei $\lambda ,\rho \in {\mathfrak {K}}$ und $a\in {\mathfrak {K}}_{n}$ , dann müssen wir zeigen: $(\lambda \cdot \rho )\boxdot a=\lambda \boxdot (\rho \boxdot a)$

${\begin{aligned}{\begin{array}{lll}((\lambda \cdot \rho )\boxdot a&=\\&=(\lambda \cdot \rho )\boxdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Skalarmultiplikation}}\right.}\\[0.3em]&=((\lambda \cdot \rho )\cdot x_{1},(\lambda \cdot \rho )\cdot x_{2},\ldots ,(\lambda \cdot \rho )\cdot x_{n})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Multiplikation im Körper}}\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (\rho \cdot x_{1}),\lambda \cdot (\rho \cdot x_{2}),\ldots ,\lambda \cdot (\rho \cdot x_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Skalarmultiplikation}}\right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\rho \cdot x_{1},\rho \cdot x_{2},\ldots ,\rho \cdot x_{n}))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der Skalarmultiplikation}}\right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\rho \boxdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))\\&=\lambda \boxdot (\rho \boxdot a)\end{array}}\end{aligned}}$

Damit ist das Assoziativsetz für Skalare erfüllt.

Neutrales Element der Skalarmultiplikation:

Wir müssen zeigen: Für alle $a=(x_{1},x_{2}\ldots ,x_{n})\in {\mathfrak {K}}_{n}$ und für das Element $1\in {\mathfrak {K}}$ gilt: $1\boxdot a=a$.

$1\boxdot a=1\boxdot (x_{1},x_{2}\ldots ,x_{n})=(1\cdot x_{1},1\cdot x_{2}\ldots ,1\cdot x_{n})=(x_{1},x_{2}\ldots ,x_{n})=a$

Damit haben wir alle Axiome für die Skalarmultiplikation gezeigt und ${\mathfrak {K}}_{n}$ ist ein Vektorraum über ${\mathfrak {K}}$

Bemerkungen

Hinweis

Ist ${\mathfrak {K}}$ der Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$, dann erhalten wir den wichtigen reellen Koordinatenraum $\mathbb {R} _{n}$. Wenn wir die Zeilenvektoren $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ in Spaltenvektoren umwandeln, erhalten wir den Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$, dem wir uns im nächsten Kapitel etwas näher widmen wollen.

Warnung

Die reellen Vektorräume $\mathbb {R} _{n}$ und $\mathbb {R} ^{n}$ sind nicht identisch. Wie wir später sehen werden, sind sie isomorph.