Koordinatenräume – „Mathe für Nicht-Freaks“

Der Koordinatenraum ist der Vektorraum der $n$-Tupel mit Einträgen in einem Körper, versehen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Ein Beispiel ist der aus der Schule bekannte Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$.

Herleitung

In der Mathematik benutzt man häufig bestehende Strukturen, um neue Strukturen zu definieren. Wie wir schon in der Einführung zum Vektorraum gesehen haben, können wir die aus der Schule bekannten Vektorräume $\mathbb {R} ^{3}$ und $\mathbb {R} ^{2}$ zu einem Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ für jede natürliche Zahl $n$ erweitern. Dafür erinnern wir uns daran, wie die Addition von zwei Vektoren und die skalare Multiplikation zwischen einem Vektor und einem Skalar im $\mathbb {R} ^{3}$ und $\mathbb {R} ^{2}$ funktioniert: Wir haben

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\quad {\text{und}}\quad {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$

Mit anderen Worten ist die Addition und skalare Multiplikation komponentenweise definiert. Das heißt, die Addition und skalare Multiplikation im $\mathbb {R} ^{2}$ und $\mathbb {R} ^{3}$ ist dadurch definiert, dass wir jeweils in den einzelnen Komponenten addieren beziehungsweise in jeder Komponente mit dem Skalar multiplizieren. Genau so können wir auch eine Addition und eine skalare Multiplikation definieren, wenn unsere Vektoren nicht aus zwei oder drei, sondern aus $n$ reellen Zahlen bestehen. Das heißt, auf der Menge

$\mathbb {R} ^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid x_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für alle }}1\leq i\leq n\}$

definieren wir eine Vektoraddition und eine skalare Multiplikation komponentenweise.

Explizit passiert also folgendes: Für die Vektoraddition nutzen wir die Zahlenaddition in $\mathbb {R}$ und für die skalare Multiplikation die Zahlenmultiplikation in $\mathbb {R}$. Seien $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ und $y=(y_{1},\dots ,y_{n})$ mit $x_{i},y_{i}\in \mathbb {R}$, dann ist die Vektoraddition definiert durch

$x+y=(x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n})$

Seien $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und $\alpha \in \mathbb {R}$, dann ist die skalare Multiplikation definiert durch

$\alpha \cdot x=(\alpha \cdot x_{1},\dots ,\alpha \cdot x_{n})$

Wir können nun leicht überprüfen, dass $\mathbb {R} ^{n}$ mit dieser Vektoraddition und skalaren Multiplikation ein Vektorraun über dem Körper $\mathbb {R}$ ist. Tatsächlich machen wir das in einer verallgemeinerten Version weiter unten in diesem Artikel.

Damit haben wir die uns bekannte Struktur der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ und der Vektorräume $\mathbb {R} ^{2}$ und $\mathbb {R} ^{3}$ auf den Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ übertragen. Wir bezeichnen $\mathbb {R} ^{n}$ auch als Koordinatenraum der Dimension $n$ von $\mathbb {R}$.

Einfache Verallgemeinerung

Bei der Definition der Vektorraumstruktur auf $\mathbb {R} ^{n}$ haben wir nur die Multiplikation und Addition auf $\mathbb {R}$ verwendet. Damit können wir durch die obige Konstruktion auch einen Koordinatenraum über beliebigen Körpern definieren. Schließlich haben wir auf jedem Körper $K$ eine Addition und Multiplikation. Das heißt, wir betrachten analog zu oben die Menge

$K^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})|x_{i}\in K{\text{ für alle }}1\leq i\leq n\}$

Um jetzt zu einem Koordinatenraum der Dimension $n$ des Körpers $K$ zu gelangen, müssen wir wieder eine Addition und skalare Multiplikation definieren. Dafür kopieren wir die Definition von oben und definieren diese komponentenweise, das heißt wir nutzen in jeder Komponente die Addition und Multiplikation von $K$ um die Addition und skalare Multiplikation auf $K^{n}$ zu definieren.

Definition des Koordinatenraumes

Definition (Die Menge $K^{n}$)

Sei $n\in \mathbb {N}$ und $K$ ein Körper. Wir definieren

$K^{n}:=\left\{\,(x_{1},\dots ,x_{n})\,{\bigg \vert }\,x_{i}\in K{\text{ für alle }}1\leq i\leq n\,\right\}.$

Wir bezeichnen die Elemente dieser Menge als $n$-Tupel mit Einträgen in $K$.

Beispiel (Beispiele für Tupel)

Zum Beispiel ist $(5,7)$ ein $2$-Tupel mit Einträgen in $\mathbb {Q}$ (wir sagen statt $2$-Tupel auch einfach Tupel oder Zahlenpaar).

$\left(\pi ,12,{\sqrt {31}}\right)$ ist ein $3$-Tupel mit Einträgen in $\mathbb {R}$ (wir sagen statt $3$-Tupel auch Tripel).

Sei $K$ ein beliebiger Körper und $n\in \mathbb {N}$. Wir definieren auf der Menge $K^{n}$ eine Addition und eine Skalarmultiplikation.

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf der Menge $K^{n}$)

Die Addition $\boxplus \colon K^{n}\times K^{n}\to K^{n}$ ist definiert durch

${\begin{aligned}(x_{1},\dots ,x_{n})\boxplus (y_{1},\dots ,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}).\end{aligned}}$

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation $\boxdot \colon K\times K^{n}\to K^{n}$ durch

$\lambda \boxdot (x_{1},\dots ,x_{n}):=(\lambda \cdot x_{1},\dots ,\lambda \cdot x_{n}).$

Wir nennen $(K^{n},\boxplus ,\boxdot )$ Koordinatenraum.

Hinweis

Wir haben bisher ein Tupel als eine Zeile aufgefasst. Das heißt, wir haben $(x_{1},\dots ,x_{n})$ für ein Element im $K^{n}$ geschrieben. Genauso gut könnten wir die Elemente statt als eine Zeile mit $n$ Spalten auch als eine Spalte mit $n$ Zeilen auffassen. Dann sähe ein Element im $K^{n}$ so aus:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

Diese andere Darstellung ändert die Eigenschaften von $K^{n}$ als Vektorraum nicht. Wenn wir den Vektor $x\in K^{n}$ als eine Zeile mit $n$ Spalten auffassen, so heißt $x$ Zeilenvektor. Wenn wir $x$ wiederum als eine Spalte mit $n$ Zeilen auffassen als Spaltenvektor.

Es wird sich bei Matrizen als nützlich erweisen die Vektoren im $K^{n}$ als Spaltenvektoren zu schreiben. Daher wollen wir von nun an mit Spaltenvektoren arbeiten. Die Schreibweise eines Spaltenvektors in einer Zeile ist nicht besonders platzsparend. Daher führen wir folgende Notation ein: Wir schreiben anstatt

$x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}$

den Vektor als $x=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}\in K$. Das $^{T}$ bedeutet, dass es sich bei diesem Vektor nicht um einen Zeilen- sondern um einen Spaltenvektor handelt. Die Bezeichnung $T$ rührt daher, dass dieses Kippen des Vektors mit dem Transponieren einer Matrix übereinstimmt.

To-Do:

Artikel zur Transponierten Matrix verlinken, sobald dieser geschrieben wurde.

Der Koordinatenraum ist ein Vektorraum

Im Artikel Einführung in den Vektorraum haben wir die obige Konstruktion zunächst über $\mathbb {R}$ und dann über beliebigen Körpern genutzt, um die Vektorraumaxiome herzuleiten. Außerdem erfüllen Körper ähnliche Eigenschaften wie Vektorräume und wir haben den Körper sehr direkt dafür benutzt, um die Addition und skalare Multiplikation auf dem Koordinatenraum zu definieren. Daher können wir vermuten, dass die Definition von $\boxplus$ und $\boxdot$ auf $K^{n}$ eine Vektorraumstruktur definiert. Das wollen wir jetzt zeigen.

Satz ($K^{n}$ ist ein Vektorraum)

$(K^{n},\boxplus ,\boxdot )$ ist ein $K$-Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ($K^{n}$ ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen, in dem wir der Reihe nach die acht Vektorraumaxiome prüfen.

Die Definition von $\boxplus ,\boxdot$ sind genau so gewählt, dass sie die Operationen $+,\cdot$ im Körper $K$ auf natürliche Weise auf den $K^{n}$ übertragen. Wir zeigen, dass die Vektorraumaxiome direkt aus den korrespondierenden Körperaxiomen folgen. Wenn wir also die gefragten Eigenschaften der Addition $\boxplus$ und skalaren Multiplikation $\boxdot$ nachprüfen, können wir sie auf die Eigenschaften von $+,\cdot$ im Körper $K$ zurückführen.

Beweis ($K^{n}$ ist ein Vektorraum)

Wir werden die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien $x=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T},y=(y_{1},\cdots ,y_{n})^{T},z=(z_{1},\cdots ,z_{n})^{T}\in K^{n}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}(x\boxplus y)\boxplus z&=((x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}\boxplus (y_{1},\cdots ,y_{n})^{T})\boxplus (z_{1},\cdots ,z_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})^{T}\boxplus (z_{1},\cdots ,z_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=((x_{1}+y_{1})+z_{1},\cdots ,(x_{n}+y_{n})+z_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+(y_{1}+z_{1}),\cdots ,x_{n}+(y_{n}+z_{n}))^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}\boxplus (y_{1}+z_{1},\cdots ,y_{n}+z_{n})^{T}=x\boxplus (y\boxplus z).\end{aligned}}$

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien $x=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T},y=(y_{1},\cdots ,y_{n})^{T}\in K^{n}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}x\boxplus y&=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}\boxplus (y_{1},\cdots ,y_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=(y_{1}+x_{1},\cdots ,y_{n}+x_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(y_{1},\cdots ,y_{n})^{T}\boxplus (x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}=y\boxplus x.\end{aligned}}$

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen noch zeigen, dass es ein neutrales Element $0_{K^{n}}\in K^{n}$ gibt, für das gilt

$x\boxplus 0_{K^{n}}=x{\text{ für alle }}x\in K^{n}$

Da wir alle Eigenschaften auf die entsprechenden Eigenschaften in $K$ zurückführen, nutzen wir hier das neutrale Element der Addition $0\in K$, um das neutrale Element der Addition $0_{K^{n}}\in K^{n}$ zu konstruieren. Also setzen wir

$0_{K^{n}}=(\underbrace {0,0,\cdots ,0} _{n})^{T}.$

Wir müssen noch die Neutralität des neutralen Elements der Addition prüfen, also $x\boxplus 0_{K^{n}}=x$: Dazu sei $x=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$. Dann gilt:

$x\boxplus 0_{K^{n}}=(x_{1}+0,\cdots ,x_{n}+0)^{T}=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}=x.$

Damit haben wir gezeigt, dass $0_{K^{n}}\in K^{n}$ das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei $x=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$. Wir müssen zeigen, dass es ein $y\in K^{n}$ gibt, sodass $x\boxplus y=0_{K^{n}}$. Wir wollen dieses Problem wieder auf die Eigenschaften der Rechenoperationen in $K$ zurückführen. In $K$ gilt, wenn $a,b\in K$ und $a+b=0$, dann ist $b=-a$. Daher wählen wir für $y$ das $n$-Tupel $(-x_{1},\cdots ,-x_{n})^{T}$ als potenzielles Inverses. Dann gilt:

$x\boxplus y=(x_{1}+(-x_{1}),\cdots ,x_{n}+(-x_{n}))^{T}=(\underbrace {0,\cdots ,0} _{n})^{T}=0_{K^{n}}$

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen $x\in K^{n}$ ein $y\in K^{n}$ gibt mit $x\boxplus y=0_{K^{n}}$.

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $x=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}(\lambda +\mu )\boxdot x&=(\lambda +\mu )\boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda +\mu )\cdot x_{1},\cdots ,(\lambda +\mu )\cdot x_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1}+\mu \cdot x_{1},\cdots ,\lambda \cdot x_{n}+\mu \cdot x_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1},\cdots ,\lambda \cdot x_{n})^{T}\boxplus (\mu \cdot x_{1},\cdots ,\mu \cdot x_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n})^{T})\boxplus (\mu \boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n})^{T})\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot x)\boxplus (\mu \boxdot x).\end{aligned}}$

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda \in K$ und $x=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T},y=(y_{1},\cdots ,y_{n})^{T}\in K^{n}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}\lambda \boxdot (x\boxplus y)&=\lambda \boxdot ((x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}\boxplus (y_{1},\cdots ,y_{n})^{T})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (x_{1}+y_{1}),\cdots ,\lambda \cdot (x_{n}+y_{n}))^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1}+\lambda \cdot y_{1},\cdots ,\lambda \cdot x_{n}+\lambda \cdot y_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x_{1},\cdots ,\lambda \cdot x_{n})^{T}\boxplus (\lambda \cdot y_{1},\cdots ,\lambda \cdot y_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n})^{T})\boxplus (\lambda \boxdot (y_{1},\cdots ,y_{n})^{T})\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot x)\boxplus (\lambda \boxdot y).\end{aligned}}$

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $x=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}(\lambda \cdot \mu )\boxdot x&=(\lambda \cdot \mu )\boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \cdot \mu )\cdot x_{1},\cdots ,(\lambda \cdot \mu )\cdot x_{n})^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Multiplikation in }}K\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot (\mu \cdot x_{1}),\cdots ,\lambda \cdot (\mu \cdot x_{n}))^{T}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \cdot x_{1},\cdots ,\mu \cdot x_{n})^{T})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n})^{T})\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \boxdot x).\end{aligned}}$

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei $x=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}\in K^{n}$. Dann gilt:

$1_{K}\boxdot x=1_{K}\boxdot (x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}=(1_{K}\cdot x_{1},\cdots ,1_{K}\cdot x_{n})^{T}=(x_{1},\cdots ,x_{n})^{T}=x.$

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist $(K^{n},\boxplus ,\boxdot )$ ein $K$-Vektorraum.

Zusammenhang mit dem Körper als Vektorraum

Wir haben bereits gesehen, dass $K$ ein $K$-Vektorraum ist. Dies ist ein Spezialfall der Koordinatenräume $K^{n}$, denn es ist $K^{1}=K$. Dabei fassen wir die Vektoren $(x)\in K^{1}$ als Elemente des Körpers auf. Wir schreiben dann statt dem $1$-Tupel $(x)$ nur $x$, statt $(1)$ nur $1$ und statt $(0)$ nur $0$.