Koordinatenräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin / dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Der Koordinatenraum oder Standardvektorraum ist in der Mathematik der Vektorraum der -Tupel mit Komponenten aus einem gegebenen Körper versehen mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation. Die Elemente des Koordinatenraums nennt man entsprechend Koordinatenvektoren oder Koordinatentupel.

Wenn wir die aus der Schule bekannten Vektoren transponieren zum 3-Tupel dann erhalten wir einen dreidimensionalen Koordinatenraum.

Der Koordinatenraum[Bearbeiten]

Definition (n-Tupel)

Ein n-Tupel[1] ist eine geordnete Folge endlich vieler Elemente

Zum Beispiel ist ein 3-Zahlen-Tupel (man sagt dazu auch Zahlen-Tripel).

ist ein Zahlenpaar (selten 2-Zahlen-Tupel)

Beispiel: Der Vektorraum der n-Tupel[Bearbeiten]

Sei ein Körper. Die Menge aller n-Tupel ist ein Vektorraum über , mit folgenden Rechenregeln:

  • Vektoraddition:
  • Skalarmultiplikation: für

Zur sauberen Unterscheidung verwenden wir in der Lösung für die Addition im Vektorraum und " + " für die Addition im Körper

Analog schreiben wir für die skalare Multiplikation im Vektorraum und " " für die Multiplikation im Körper .

Lösung ( ist Ein Vektorraum über )

da

Vektoraddition: Hier ist zu zeigen, dass die Addition kommutativ und assoziativ ist.

Seien

dann ist

Damit ist das Kommutativgesetz der Addition erfüllt.

Wenden wir uns nun dem Assoziativgesetz zu. Wir zeigen, dass gilt:

Damit ist das Assoziativgesetz der Addition erfüllt.

Neutrales Element:

Wir müssen nun noch zeigen, dass es ein neutrales Element gibt, derart, dass . Es liegt auf der Hand, das oben definierte Null-Tupel

als neutrales Element anzugeben. Es ist

Wegen der Kommutitativität gilt , damit ist sowohl linksneutral als auch rechtsneutral.

Damit haben wir gezeigt, dass es ein neutrales Element gibt.

Inverses Element:

Wir müssen noch zeigen, dass es zu jedem ein gibt, derart, dass .

Da wir uns mit den einzelnen Koordinaten der n-Tupel in bewegen, liegt es nahe, den inversen Vektor zu als den negativen Koordinatenvektor von zu wählen. Sei nun und dann ist

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ein gibt mit . Wegen der Kommutitativität gilt , damit ist sowohl linksinverses als auch rechtsinverses von .

Wir haben insgesamt gezeigt, dass die vier Axiome zur Vektoraddition für erfüllt sind.

Wir wenden uns nun der Skalarmultiplikation zu und zeigen deren vier Gesetze.

Skalares Distributivgesetz:

Sei und , wir müssen folgendes zeigen:

Damit ist das skalare Distributivgesetz erfüllt.

Vektorielles Distributivgesetz:

Sei und dann müssen wir zeigen:

Damit ist das vektorielles Distributivgesetz erfüllt. Insgesamt haben wir skalares und vektorielles Distributivgesetz im Vektorraum gezeigt.

Assoziativgesetz für Skalare:

Sei und , dann müssen wir zeigen:

Damit ist das Assoziativsetz für Skalare erfüllt.

Neutrales Element der Skalarmultiplikation:

Wir müssen zeigen: Für alle und für das Element gilt: .

Damit haben wir alle Axiome für die Skalarmultiplikation gezeigt und ist ein Vektorraum über

Bemerkungen[Bearbeiten]

Hinweis

Ist der Körper der reellen Zahlen , dann erhalten wir den wichtigen reellen Koordinatenraum . Wenn wir die Zeilenvektoren in Spaltenvektoren umwandeln, erhalten wir den Vektorraum , dem wir uns im nächsten Kapitel etwas näher widmen wollen.

Warnung

Die reellen Vektorräume und sind nicht identisch. Wie wir später sehen werden, sind sie isomorph.