Der Koordinatenraum ist der Vektorraum der
-Tupel mit Einträgen in einem Körper, versehen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.
Ein Beispiel ist der aus der Schule bekannte Vektorraum
.
In der Mathematik benutzt man häufig bestehende Strukturen, um neue Strukturen zu definieren.
Wie wir schon in der Einführung zum Vektorraum gesehen haben, können wir aus den reellen Zahlen
den Vektorraum
der
-Tupel
bilden. Dies machen wir im Wesentlichen folgendermaßen.
Auf der Menge
definieren wir eine Vektoraddition und eine skalare Multiplikation.
Für die Vektoraddition nutzen wir die Zahlenaddition und für die skalare Multiplikation die Zahlenmultiplikation. Seien
und
mit
, dann wird die Vektoraddition definiert durch
Seien
und
, dann wird die skalare Multiplikation definiert durch
Du kannst nun leicht überprüfen, dass
mit diese Vektoraddition und skalaren Multiplikation ein Vektorraun über dem Körper
ist.
Wir haben damit die uns bekannte Struktur der reellen Zahlen
auf den Vektorraum
übertragen. Wir bezeichnen
auch als Koordinatenraum der Dimension
von
.
Einfache Verallgemeinerung[Bearbeiten]
Wir nehmen nun statt dem Körper der reellen Zahlen einen beliebigen Körper
. Ganz analog zu oben kannst du auch den Koordinatenraum der Dimension
des Körpers
bilden.
mit der oben definierten Vektoraddition und skalaren Multiplikation.
Definition des Koordinatenraumes[Bearbeiten]
Sei
ein beliebiger Körper und
.
Wir definieren auf der Menge
eine Addition und eine Skalarmultiplikation.
Definition (Vektorraumverknüpfungen auf der Menge
)
Die Addition
ist definiert durch
Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation
durch
Wir nennen
Koordinatenraum.
Der Koordinatenraum ist ein Vektorraum[Bearbeiten]
- Wir haben im Artikel Einführung in den Vektorraum obige Konstruktion genutzt, um die Vektorraum-Axiome herzuleiten.
- Ferner erfüllen Körper ähnliche Eigenschaften, wie Vektorräume. Wir haben diese benutzt um obige Addition und skalare Multiplikation zu definieren.
- Es ist anzunehmen, dass obige Konstruktion einen Vektorraum ergibt. Wir zeigen im Folgenden, dass dies tatsächlich so ist.
Satz (
ist ein Vektorraum)
ist ein
-Vektorraum.
Beweis (
ist ein Vektorraum)
Wir werden die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.
Beweisschritt: Assoziativität der Addition
Seien
. Dann gilt:
Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.
Beweisschritt: Kommutativität der Addition
Seien
. Dann gilt:
Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.
Beweisschritt: Neutrales Element der Addition
Wir müssen noch zeigen, dass es ein neutrales Element
gibt, für das gilt
Da wir alle Eigenschaften auf die entsprechenden Eigenschaften in
zurückführen, nutzen wir hier das neutrale Element der Addition
, um das neutrale Element der Addition
zu konstruieren. Also setzen wir
Wir müssen noch die Neutralität des neutralen Elements der Addition prüfen, also
:
Dazu sei
. Dann gilt:
Damit haben wir gezeigt, dass
das neutrale Element der Addition ist.
Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition
Sei
.
Wir müssen zeigen, dass es ein
gibt, sodass
.
Wir wollen dieses Problem wieder auf die Eigenschaften der Rechenoperationen in
zurückführen. In
gilt, wenn
und
, dann ist
. Daher wählen wir für
das
-Tupel
als potenzielles Inverses. Dann gilt:
Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen
ein
gibt mit
.
Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz
Seien
und
. Dann gilt:
Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.
Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz
Seien
und
. Dann gilt:
Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.
Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation
Seien
und
. Dann gilt:
Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.
Beweisschritt: Unitäres Gesetz
Sei
. Dann gilt:
Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.
Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist
ein
-Vektorraum.
Zusammenhang mit dem Körper als Vektorraum[Bearbeiten]
Wir haben bereits gesehen, dass
ein
-Vektorraum ist. Dies ist ein Spezialfall der Koordinatenräume
, denn es ist
. Dabei fassen wir die Vektoren
als Elemente des Körpers auf. Wir schreiben dann statt dem
-Tupel
nur
, statt
nur
und statt
nur
.