Der Körper als Vektorraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Sei ein Körper. Wir betrachten nun als Vektorraum über sich selbst.

Einführung[Bearbeiten]

Aus der Schule kennen wir schon den Vektorraum über dem Körper . Die Vektoren in haben die Form mit . Wir können die Vektoren in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem betrachten. Da ein Vektorraum ist, können wir Vektoren addieren und skalieren.

Wir kennen auch den Vektorraum . Die Vektoren in haben die Form mit . Wir können aus bekommen, indem wir eine der Koordinaten (z.B. die letzte) streichen. Anschaulich gehen wir dann vom 3-dimensionalen Koordinatensystem zur -Ebene über. Beim Weglassen einer Koordinate von geht also die Vektorraumstruktur nicht kaputt. Was passiert, wenn wir eine weitere Koordinate streichen?

Lassen wir z.B. die zweite Koordinate von weg, bleibt nur übrig und wir erhalten ein Element in . Anschaulich gehen wir dadurch von der -Ebene zur -Achse über. Auch hier sollte beim Streichen einer Koordinate die Vektorraumstruktur nicht kaputt gehen.

Die Elemente in können wir (wie Vektoren) addieren und skalieren, denn für alle ist und für alle und ist .

Jetzt sollte , also unser Körper, ein -Vektorraum sein. Anschaulich ist dieser Vektorraum die Zahlengerade.

Wir können diese Idee auf einen beliebigen Körper übertragen. Auch in können wir Elemente addieren und mit Skalaren in multiplizieren. Deshalb vermuten wir, dass ein -Vektorraum ist.

Definition der Vektorraumstruktur[Bearbeiten]

Sei ein Körper. Dann können wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren.

Definition (Vektorraumstruktur auf )

Wir definieren eine Addition auf durch

Ähnlich definieren wir eine Skalarmultiplikation durch

Der Körper ist ein Vektorraum über sich selbst[Bearbeiten]

Satz ( ist ein Vektorraum)

ist ein -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ( ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen.

Beweis ( ist ein Vektorraum)

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen nun noch zeigen, dass es ein neutrales Element bezüglich gibt, das heißt für alle . Es liegt auf der Hand, das Nullelement des Körpers als neutrales Element zu verwenden.

Sei . Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass das neutrale Element der Addition ist. Im Folgenden werden wir deshalb einfach nur für das neutrale Element schreiben.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei . Wir müssen zeigen, dass es ein gibt, sodass .

Es liegt nahe, für das Inverse in bezüglich zu wählen, also

Dann gilt:

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ein gibt mit .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien und .

Dann gilt:

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei .

Dann gilt:

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist ein -Vektorraum.