Sei
K
{\displaystyle K}
ein Körper. Wir betrachten nun
K
{\displaystyle K}
als Vektorraum über sich selbst.
Wir versuchen nun, Beispiele für Vektorräume zu finden. Dazu brauchen wir eine abelsche Gruppe, deren Addition Kompatibel mit der Multiplikation in
K
{\displaystyle K}
ist. Dafür bietet sich der Körper
K
{\displaystyle K}
selbst an.
To-Do:
Besser machen
Ideen:
Wir schauen in der Mathematik oft, was die Definitionen so an "Extrembeispielen" hergeben. Im Fall von Vektorräumen wären das z.B. der Nullraum und eben K selbst.
Geometrisch am 1-dimensionalen reellen Raum (aka Zahlengerade)
Siehe oben: Vektorräume benötigen einen Körper und eine abelsche Gruppe. Der Körper selbst ist eine abelsche Gruppe. Win-Win!
Definition der Vektorraumstruktur [ Bearbeiten ]
Sei
(
K
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (K,+,\cdot )}
ein Körper.
Dann können wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren.
Der Körper ist ein Vektorraum über sich selbst [ Bearbeiten ]
Satz (
K
{\displaystyle K}
ist ein Vektorraum)
(
K
,
⊞
,
⊡
)
{\displaystyle (K,\boxplus ,\boxdot )}
ist ein
K
{\displaystyle K}
-Vektorraum.
Beweis (
K
{\displaystyle K}
ist ein Vektorraum)
Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.
Beweisschritt: Assoziativität der Addition
Seien
x
,
y
,
z
∈
K
{\displaystyle x,y,z\in K}
.
Dann gilt:
(
x
⊞
y
)
⊞
z
=
↓
Definition von
⊞
=
(
x
+
y
)
⊞
z
↓
Definition von
⊞
=
(
x
+
y
)
+
z
↓
Assoziativität der Addition in
K
=
x
+
(
y
+
z
)
↓
Definition von
⊞
=
x
⊞
(
y
⊞
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(x\boxplus y)\boxplus z&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x+y)\boxplus z\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x+y)+z\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=x+(y+z)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=x\boxplus (y\boxplus z).\end{aligned}}}
Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.
Beweisschritt: Kommutativität der Addition
Seien
x
,
y
∈
K
{\displaystyle x,y\in K}
.
Dann gilt:
x
⊞
y
=
↓
Definition von
⊞
=
x
+
y
↓
Kommutativität der Addition in
K
=
y
+
x
↓
Definition von
⊞
=
y
⊞
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x\boxplus y&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=x+y\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=y+x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=y\boxplus x.\end{aligned}}}
Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.
Beweisschritt: Neutrales Element der Addition
Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition
Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz
Seien
λ
,
μ
∈
K
{\displaystyle \lambda ,\mu \in K}
und
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
.
Dann gilt:
(
λ
+
μ
)
⊡
x
=
↓
Definition von
⊡
=
(
λ
+
μ
)
⋅
x
↓
Distributivität in
K
=
λ
⋅
x
+
μ
⋅
x
↓
Definition von
⊞
=
(
λ
⋅
x
)
⊞
(
μ
⋅
x
)
↓
Definition von
⊡
=
(
λ
⊡
x
)
⊞
(
μ
⊡
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(\lambda +\mu )\boxdot x&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda +\mu )\cdot x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot x+\mu \cdot x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x)\boxplus (\mu \cdot x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot x)\boxplus (\mu \boxdot x).\end{aligned}}}
Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.
Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz
Seien
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in K}
und
x
,
y
∈
K
{\displaystyle x,y\in K}
.
Dann gilt:
λ
⊡
(
x
⊞
y
)
=
↓
Definition von
⊞
=
λ
⊡
(
x
+
y
)
↓
Definition von
⊡
=
λ
⋅
(
x
+
y
)
↓
Distributivität in
K
=
λ
⋅
x
+
λ
⋅
y
↓
Definition von
⊞
=
(
λ
⋅
x
)
⊞
(
λ
⋅
y
)
↓
Definition von
⊡
=
(
λ
⊡
x
)
⊞
(
λ
⊡
y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \boxdot (x\boxplus y)&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (x+y)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot (x+y)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot x+\lambda \cdot y\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x)\boxplus (\lambda \cdot y)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot x)\boxplus (\lambda \boxdot y).\end{aligned}}}
Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.
Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation
Seien
λ
,
μ
∈
K
{\displaystyle \lambda ,\mu \in K}
und
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
.
Dann gilt:
(
λ
⋅
μ
)
⊡
x
=
↓
Definition von
⊡
=
(
λ
⋅
μ
)
⋅
x
↓
Assoziativität der Multiplikation in
K
=
λ
⋅
(
μ
⋅
x
)
↓
Definition von
⊡
=
λ
⊡
(
μ
⋅
x
)
↓
Definition von
⊡
=
λ
⊡
(
μ
⊡
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(\lambda \cdot \mu )\boxdot x&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot \mu )\cdot x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Multiplikation in }}K\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot (\mu \cdot x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \cdot x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \boxdot x).\end{aligned}}}
Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.
Beweisschritt: Unitäres Gesetz
Sei
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
.
Dann gilt:
1
K
⊡
x
=
1
K
⋅
x
=
x
.
{\displaystyle 1_{K}\boxdot x=1_{K}\cdot x=x.}
Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.
Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist
(
K
,
⊞
,
⊡
)
{\displaystyle (K,\boxplus ,\boxdot )}
ein
K
{\displaystyle K}
-Vektorraum.