Der Körper als Vektorraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Sei $K$ ein Körper. Wir betrachten nun $K$ als Vektorraum über sich selbst.

Einführung

Aus der Schule kennen wir schon den Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ über dem Körper $\mathbb {R}$. Die Vektoren in $\mathbb {R} ^{3}$ haben die Form $(x,y,z)^{T}$ mit $x,y,z\in \mathbb {R}$. Wir können die Vektoren in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem betrachten. Da $\mathbb {R} ^{3}$ ein Vektorraum ist, können wir Vektoren addieren und skalieren.

Wir kennen auch den Vektorraum $\mathbb {R} ^{2}$. Die Vektoren in $\mathbb {R} ^{2}$ haben die Form $(x,y)^{T}$ mit $x,y\in \mathbb {R}$. Wir können $\mathbb {R} ^{2}$ aus $\mathbb {R} ^{3}$ bekommen, indem wir eine der Koordinaten $x,y,z$ (z.B. die letzte) streichen. Anschaulich gehen wir dann vom 3-dimensionalen Koordinatensystem zur $xy$-Ebene über. Beim Weglassen einer Koordinate von $\mathbb {R} ^{3}$ geht also die Vektorraumstruktur nicht kaputt. Was passiert, wenn wir eine weitere Koordinate streichen?

Lassen wir z.B. die zweite Koordinate von $(x,y)$ weg, bleibt nur $x$ übrig und wir erhalten ein Element in $\mathbb {R}$. Anschaulich gehen wir dadurch von der $xy$-Ebene zur $x$-Achse über. Auch hier sollte beim Streichen einer Koordinate die Vektorraumstruktur nicht kaputt gehen.

Die Elemente in $\mathbb {R}$ können wir (wie Vektoren) addieren und skalieren, denn für alle $x,y\in \mathbb {R}$ ist $x+y\in \mathbb {R}$ und für alle $\lambda \in \mathbb {R}$ und $x\in \mathbb {R}$ ist $\lambda \cdot x\in \mathbb {R}$.

• 
  Addition der Vektoren $1$ und $2$ auf der Zahlengerade
• 
  Skalare Multiplikation des Vektors ${\sqrt {2}}$ mit dem Skalar $1,5$ auf der Zahlengerade

Jetzt sollte $\mathbb {R}$, also unser Körper, ein $\mathbb {R}$-Vektorraum sein. Anschaulich ist dieser Vektorraum die Zahlengerade.

Wir können diese Idee auf einen beliebigen Körper $K$ übertragen. Auch in $K$ können wir Elemente addieren und mit Skalaren in $K$ multiplizieren. Deshalb vermuten wir, dass $K$ ein $K$-Vektorraum ist.

Definition der Vektorraumstruktur

Sei $(K,+,\cdot )$ ein Körper. Dann können wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren.

Definition (Vektorraumstruktur auf $K$)

Wir definieren eine Addition $\boxplus \colon K\times K\to K$ auf $K$ durch

$(a,b)\mapsto a\boxplus b:=a+b.$

Ähnlich definieren wir eine Skalarmultiplikation $\boxdot \colon K\times K\to K$ durch

$(\lambda ,a)\mapsto \lambda \boxdot a:=\lambda \cdot a.$

Der Körper ist ein Vektorraum über sich selbst

Satz ($K$ ist ein Vektorraum)

$(K,\boxplus ,\boxdot )$ ist ein $K$-Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ($K$ ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen.

Beweis ($K$ ist ein Vektorraum)

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien $x,y,z\in K$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}(x\boxplus y)\boxplus z&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x+y)\boxplus z\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(x+y)+z\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=x+(y+z)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=x\boxplus (y\boxplus z).\end{aligned}}$

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien $x,y\in K$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}x\boxplus y&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=x+y\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=y+x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=y\boxplus x.\end{aligned}}$

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen nun noch zeigen, dass es ein neutrales Element $0_{\boxplus }\in K$ bezüglich $\boxplus$ gibt, das heißt $x\boxplus 0_{\boxplus }=x$ für alle $x\in K$. Es liegt auf der Hand, das Nullelement des Körpers $0_{\boxplus }:=0_{K}$ als neutrales Element zu verwenden.

Sei $x\in K$. Dann gilt:

$x\boxplus 0_{\boxplus }=x+0_{\boxplus }=x+0_{K}=x.$

Damit haben wir gezeigt, dass $0_{\boxplus }=0_{K}\in K$ das neutrale Element der Addition ist. Im Folgenden werden wir deshalb einfach nur $0_{K}$ für das neutrale Element schreiben.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei $x\in K$. Wir müssen zeigen, dass es ein $y\in K$ gibt, sodass $x\boxplus y=0_{K}$ .

Es liegt nahe, für $y$ das Inverse in $K$ bezüglich $+$ zu wählen, also $y:=-x$

Dann gilt:

$x\boxplus y=x+y=x+(-x)=0_{K}.$

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen $x\in K$ ein $y\in K$ gibt mit $x\boxplus y=0_{K}$.

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $x\in K$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}(\lambda +\mu )\boxdot x&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda +\mu )\cdot x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot x+\mu \cdot x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x)\boxplus (\mu \cdot x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot x)\boxplus (\mu \boxdot x).\end{aligned}}$

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda \in K$ und $x,y\in K$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}\lambda \boxdot (x\boxplus y)&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (x+y)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot (x+y)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot x+\lambda \cdot y\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot x)\boxplus (\lambda \cdot y)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot x)\boxplus (\lambda \boxdot y).\end{aligned}}$

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $x\in K$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}(\lambda \cdot \mu )\boxdot x&=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot \mu )\cdot x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Multiplikation in }}K\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot (\mu \cdot x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \cdot x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \boxdot (\mu \boxdot x).\end{aligned}}$

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei $x\in K$.

Dann gilt:

$1_{K}\boxdot x=1_{K}\cdot x=x.$

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist $(K,\boxplus ,\boxdot )$ ein $K$-Vektorraum.