Vektorraum: Komplement – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung

Wir betrachten einen Vektorraum $V$ und haben einen Untervektorraum $U$ von $V$ gegeben. Können wir dann einen Untervektorraum $W$ von $V$ finden, der $U$ zu ganz $V$ ergänzt? "Ergänzen" heißt hier, wenn wir $W$ zu $U$ hinzufügen, erhalten wir ganz $V$.

Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir zunächst präzisieren, was wir mit ergänzen bzw. hinzufügen meinen. Wir wollen, dass $U$ und $W$ zusammen $V$ ergeben. Wir haben schon oben gesehen, dass man aus zwei Vektorräumen mithilfe der Summe einen neuen Vektorraum bauen kann, der beide enthält – ähnlich wie bei der Vereinigung von Mengen. Das heißt, wir wollen, dass $U+W=V$ gilt. Eigentlich möchten wir sogar noch mehr: Wir wollen etwas zu $U$ hinzufügen. Das heißt, $W$ sollte nichts von $U$ enthalten. Dieses Konzept haben wir schon im Artikel zur inneren direkten Summe kennengelernt: Wir wollen, dass $U$ und $W$ eine innere direkte Summe bilden. Also soll $U\oplus W=V$ gelten.

Zusammengefasst suchen wir einen Untervektorraum $W$ von $V$ für den $U\oplus W=V$ gilt. Wenn man $V$ als direkte Summe von Untervektorräumen schreibt, nennt man das auch eine Zerlegung von $V$. Denn wir zerlegen $V$ mithilfe der direkten Summe in „kleinere“ Teile.

Definition

Definition (Komplement)

Sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Sei $U$ ein Untervektorraum von $V$. Dann ist ein Komplement $W$ von $U$ in $V$ definiert als ein Untervektorraum von $V$, sodass $U\oplus W=V$ gilt. Das heißt, $U+W=V$ und diese Summe ist eine innere direkte Summe.

Existenz und Eindeutigkeit

Existenz

Angenommen wir haben $V$ und einen Unterraum $U$ gegeben. Wie finden wir einen Unterraum $W$ von $V$, sodass $U\oplus W=V$ gilt? Sei zum Beispiel $V=\mathbb {R} ^{2}$ und der Unterraum $U$ die erste Winkelhalbierende. Nach dem Satz über die Basis einer direkten Summe gilt: Wenn $U\oplus W=V$ gilt, dann ergeben eine Basis $B_{U}$ von $U$ zusammen mit einer Basis $B_{W}$ von $W$ eine Basis von $V$. Wir wählen also zuerst eine Basis $B_{U}$ von $U$: Zum Beispiel können wir

$B_{U}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\}$

wählen. Diese können wir nach dem Basisergänzungssatz zu einer Basis $B_{V}$ von $V$ ergänzen, indem wir einen Vektor aus $\mathbb {R} ^{2}$ hinzunehmen, der nicht auf der Geraden $U$ liegt:

$B_{V}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}$

Wenn wir $B_{W}=B_{V}\setminus B_{U}$ als die Menge der neu hinzugefügten Basisvektoren definieren und $W=\operatorname {span} (B_{W})$, dann sollte $V=U\oplus W$ gelten. In unserem Beispiel erhalten wir für $W$ die $y$-Achse

$W=\operatorname {span} \left\{{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}.$

Anschaulich sehen wir, dass die Summe direkt ist, weil sie die Unterräume nur in $\{0\}$ schneiden und zusammen den ganzen Vektorraum ergeben.

Wir beweisen jetzt, dass diese Konstruktion über den Basisergänzungssatz immer ein Komplement von einem gegebenen Unterraum eines Vektorraums liefert:

Satz (Komplemente existieren immer)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum zu einem Körper $K$. Sei weiter $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann gibt es einen Untervektorraum $W\subseteq V$ sodass $U\oplus W=V$, d.h. $W$ ist ein Komplement von $U$ in $V$.

Wie kommt man auf den Beweis? (Komplemente existieren immer)

Wir wissen aus dem Satz über die Basis einer direkten Summe, dass eine Basis von $U$ zusammen mit einer Basis von $W$ eine Basis von $V$ ergeben muss. Da $U$ und $V$ gegeben sind, wählen wir zuerst eine Basis von $U$ und ergänzen diese zu einer Basis von $V$. Der Spann der neu hinzugekommenen Basisvektoren ist dann ein Kandidat für den gesuchten Unterraum $W$. Wir müssen nur noch nachprüfen, dass die Summe von $U$ und $W$ direkt ist und ganz $V$ ergibt.

Beweis (Komplemente existieren immer)

In diesem Beweis werden wir Basen verwenden. Diese werden erst später definiert, sind hier aber unumgänglich. Es treten keine Zirkelschlüsse auf, weil wir bei den Artikeln zur Basis keine Komplemente benutzt haben.

Sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Wir wählen eine Basis $B$ von $U$. Nach dem Basisergänzungssatz können wir $B$ zu einer Basis $B'$ von $V$ ergänzen. Sei dann $W=\operatorname {span} (B\setminus B')$. Dies ist per Definition ein Untervektorraum von $V$.

Es gilt $U+W=V$, da bereits $U\cup W$ die Basis $B'$ von $V$ enthält.

Es bleibt zu zeigen, dass $U\cap W=0$. Sei $x\in U\cap W$. Dann hat $x$ Darstellungen als Linearkombination von Vektoren in $B$ einerseits, und von Vektoren in $B'\setminus B$ andererseits. Da aber $B'=B\uplus (B'\setminus B)$ eine Basis von $V$ bildet und somit linear unabängig ist, kann nur $x=0$ gelten.

Warnung

In unserem Setting existieren immer Komplemente. Jedoch kann es dir im weiteren Studium passieren, dass der Begriff "Komplement" etwas anders definiert wird, z.B in der Funktionalanalysis. Dann gibt es Beispiele von Untervektorräumen, die kein Komplement haben.

Hinweis

Streng genommen haben wir die Existenz von Komplementen nur für endlichdimensionales $V$ gezeigt, denn wir haben den Basisergänzungssatz nur im endlichdimensionalen Fall bewiesen. Es gibt aber eine allgemeinere Version des Basisergänzungssatzes, die für alle Vektorräume funktioniert. Mit dieser kann man den obigen Beweis genauso führen und erhält die Existenz von Komplementen auch in unendlichdimensionalen Vektorräumen.

Komplemente sind nicht eindeutig

Ist das Komplement $W$, das wir im letzten Abschnitt konstruiert haben, eindeutig? Um das Komplement zu definieren, haben wir den Basisergänzugnssatz verwendet. Nun wissen wir, dass Basen im Allgemeinen nicht eindeutig sind. Daher könnten wir eine Basis von $U$ auch zu einer anderen Basis von $V$ ergänzen und diese könnte einen anderen Untervektorraum $W$ als Komplement liefern. Das wollen wir jetzt an einem Beispiel probieren:

Wir betrachten dafür wieder das Beispiel aus dem letzten Abschnitt. Das heißt, wir betrachten $V=\mathbb {R} ^{2}$ und $U$ die erste Winkelhalbierende. Wir wissen schon, dass

$B_{U}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\}$

eine Basis von $U$ ist und dass wir $B_{U}$ durch Hinzufügen des Vektors $(0,1)^{T}$ zu einer Basis von $V$ ergänzen können. Damit haben wir gesehen, dass $W=\operatorname {span} \{(0,1)^{T}\}$ ein Komplement von $U$ in $V$ ist. Ein anderer Vektor, der nicht in $U$ liegt, ist $(1,0)^{T}$. Damit können wir $B_{U}$ auch zur Basis

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\}$

ergänzen und $W'=\operatorname {span} \{(1,0)^{T}\}$ ist auch ein Komplement von $U$ in $V$. Damit haben wir zwei Komplemente gefunden: $W$ und $W'$. Diese Vektorräume sind die Koordinatenachsen von $V=\mathbb {R} ^{2}$ und damit gilt $W\neq W'$. Das heißt, $U$ hat kein eindeutiges Komplement in $V$ und Komplemente sind nicht eindeutig.

Beispiele und Aufgaben

Beispiel (Triviale Komplemente)

Sei $V$ ein Vektorraum. Es gilt $0\oplus V=V$. Also ist $0$ ein Komplement zu $V$ in $V$.

Die Konstruktion aus dem Beweis vom Satz zur Existenz von Komplementen funktioniert auch in diesem Fall: Wenn $U=V$ ist, dann müssen wir keine Vektoren zur Basis $B_{U}$ von $U$ hinzufügen. Dann ist $W=\operatorname {span} (\emptyset )=\{0\}$, weil der Spann der leeren Menge der Nullraum ist. Genauso funktioniert es im Fall $U=\{0\}$: Dann ist $B_{U}=\emptyset$ und wir ergänzen zu einer Basis von $V$.

Beispiel (Komplement einer Ebene im Raum)

Wir betrachten die Ebene $U$, die von den Vektoren $(1,1,0)^{T}$ und $(0,1,1)^{T}$ aufgespannt wird, d.h.

$U=\operatorname {span} \left\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}\right\}.$

Unser Ziel ist es, ein Komplement von $U$ zu finden. Wir können ähnlich vorgehen wie im Satz von der Existenz von Komplementen. Zuerst wählen wir eine Basis von $U$ und ergänzen sie zu einer Basis des gesamten $\mathbb {R} ^{3}$. Die beiden Vektoren, die $U$ aufspannen, $(1,1,0)^{T}$ und $(0,1,1)^{T}$ sind bereits linear unabhängig. Deshalb bilden sie bereits eine Basis von $U$. Um ein Komplement von $U$ zu konstruieren, benötigen wir nur einen weiteren Vektor, weil $\mathbb {R} ^{3}$ ein $3$-dimensionaler Vektorraum ist. Wir brauchen also einen Vektor, der linear unabhängig von den Vektoren $(1,1,0)^{T}$ und $(0,1,1)^{T}$ ist. Wir wählen den Vektor $(1,1,1)^{T}$. Es ist einfach zu überprüfen, dass die drei Vektoren tatsächlich linear unabhängig sind.

Frage: Sind die drei Vektoren wirklich linear unabhängig?

Seien $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in \mathbb {R}$ mit

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}=\lambda _{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}.$

Wir müssen zeigen, dass $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=0$ gelten muss. Betrachten wir die Vektoren zeilenweise, erhalten wir ein Gleichunssystem mit drei Gleichungen:

${\begin{aligned}0&=\lambda _{1}+\lambda _{3}\\0&=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\\0&=\lambda _{2}+\lambda _{3}\end{aligned}}$

Aus der ersten und dritten Gleichung folgern wir $\lambda _{1}=-\lambda _{3}=\lambda _{2}$. Eingesetzt in die zweite Gleichung erhalten wir $0=\lambda _{1}+\lambda _{1}-\lambda _{1}$. Also ist $\lambda _{1}=0$ und damit auch $\lambda _{2}=\lambda _{3}=0$.

Die drei Vektoren $(1,1,0)^{T},(0,1,1)^{T}$ und (1,1,1) bilden also eine Basis von $\mathbb {R} ^{3}$. Der neue Vektor $(1,1,1)^{T}$ spannt ein mögliches Komplement $W$ auf:

$W:=\operatorname {span} \left\{{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\right\}$

To-Do:

in einem Bild Ebene und Komplement und Basisvektoren sehen.

Beispiel (Zerlegung von Polynomen)

Wir betrachten den Vektorraum $V=K[X]$ der Polynome über $K$. Dieser hat den Untervektorraum $U=\{f\in K[X]\mid f(0)=0\}$. Wir wollen ein Komplement von $U$ in $V$ finden.

Die Bedingung, dass $f(0)=0$ gilt, können wir auch anders schreiben: Wir können $f=a_{n}X^{n}+\dots a_{1}X+a_{0}$ schreiben. Dann ist $f(0)=a_{0}$ und ein solches Polynom $f$ liegt genau dann in $U$, wenn $a_{0}=0$ gilt. Um ein Komplement von $U$ zu konstruieren, müssen wir also genug Polynome mit $a_{0}\neq 0$ finden. Ein solches Polynom ist das konstante Polynom $f=1$.

Haben wir mit $f$ schon genug Polynome gefunden, um ein Komplement zu haben? Dafür müssen wir überprüfen, dass $U+\operatorname {span} \{f\}=V$ gilt. Sei $g=b_{n}X^{n}+\dots +b_{1}X+b_{0}\in V$ ein beliebiges Polynom. Dann ist $g_{1}=b_{0}$ in dem Spann von $1$ enthalten. Wieter ist $g_{2}=g-g_{1}$ ein Polynom mit $g_{2}(0)=0$. Das heißt, $g=g_{1}+g_{2}$ mit $g_{1}\in \operatorname {span} \{f\}$ und $g_{2}\in U$. Damit gilt $U+\operatorname {span} \{f\}=V$.

Weiter ist diese Summe direkt, weil wir wissen, dass $f\not \in U$ gilt. Somit haben wir ein Komplement von $U$ in $V$ gefunden. Der Untervektorraum $W=\operatorname {span} \{f\}$ ist der Untervektorraum der konstanten Polynome. Somit haben wir nebenbei bewiesen, dass man jedes Polynom $f$ in ein Polynom $f_{0}$ mit $f(0)=0$ und ein konstantes Polynom zerlegen kann. Der konstante Teil wird manchmal auch $y$-Achsenabschnitt genannt.

Natürlich hätten wir auch mit jedem anderen Polynom $g$ mit $g(0)\neq 0$ ein Komplement von $U$ erzeugen können.

Aufgabe (Eindeutigkeit von Komplementen)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass ein Unterraum $U$ in $V$ genau dann ein eindeutiges Komplement besitzt, wenn entweder $U=0$ oder $U=V$ gilt.

Lösung (Eindeutigkeit von Komplementen)

Beweisschritt: $\Rightarrow$

Sei $U\subseteq V$ ein Unterraum mit $\{0\}\subsetneq U\subsetneq V$. Beachte, dass das insbesondere impliziert, dass $\dim(V)\geq 2$ sein muss. (Die einzigen Unterräume eines eindimensionalen Vektorraums sind $\{0\}$ und der Raum selbst.) Sei $W$ ein Komplement von $U$ in $V$. Wir zeigen, dass $W$ nicht eindeutig ist, indem wir ein anderes Komplement $W'\neq W$ von $U$ konstruieren.

Es gilt weder $U\subseteq W$ noch $W\subseteq U$: Im ersten Fall wäre $U+W=W$, aber das kann nicht gleich ganz $V$ sein, da sonst $U\cap W=U\neq \{0\}$ wäre. Im zweiten Fall wäre ebenfalls $U+W=U\neq V$. Also folgt mit dem Satz über die Vereinigung von Untervektorräumen, dass $U\cup W\subsetneq V$ ist. Es gibt also Vektoren in $V$, die weder in $U$ noch in $W$ liegen. Wähle einen solchen Vektor $w\in V\setminus (U\cup W)$. Weil $w$ nicht in $W$ liegt, ist $w$ linear unabhängig zu allen Vektoren in $W$. Weil $w$ nicht in $U$ liegt, ist $w$ linear unabhängig zu allen Vektoren in $U$.

Wähle eine Basis von $W$, tausche einen der Basisvektoren durch $w$ aus und definiere $W'$ als den Spann der neuen Basis. Wegen $w\in W'$ aber $w\notin W$ gilt $W'\neq W$. Außerdem ist $W'$ auch ein Komplement zu $U$: Um $W'\cap U=\{0\}$ zu zeigen, sei $v\in W'\cap U$ beliebig. Sei $B_{W'}=\{w_{1},\ldots ,w_{k}\}$ die Basis über die wir $W'$ definiert haben. Per Konstruktion ist jeder der Vektoren in $B_{W'}$ linear unabhängig von allen Vektoren in $U$. Sei $B_{U}=\{u_{1},\ldots ,u_{s}\}$ eine Basis von $U$. Dann gilt

$v=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}w_{i}=\sum _{j=1}^{s}\mu _{j}u_{j}$

für gewisse $\lambda _{i},\mu _{j}\in K$. Umstellen der Gleichung ergibt

$0=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}w_{i}+\sum _{j=1}^{s}(-\mu _{j})u_{j}$

und weil die $w_{i},u_{j}$ linear unabhängig sind, folgt $\lambda _{i}=-\mu _{j}=0$ für alle $i,j$. Also gilt $v=0$ und die Summe ist direkt. Die Summe ergibt ganz $V$, weil nach Konstruktion $\dim(W')=\dim(W)$ gilt: Mit der Dimensionsformel für Unterräume folgt

$\dim(U+W')=\dim(U)+\dim(W')-\underbrace {\dim(U\cap W')} _{=0}=\dim(U)+\dim(W)=\dim(V),$

wobei die letzte Gleichheit wegen $U\oplus W=V$ gilt. Weil $U+W'\subseteq V$ gilt und die Dimensionen gleich sind, muss also $U+W'=V$ gelten.

Beweisschritt: $\Leftarrow$

Angenommen $U=0$. Wir wissen, dass $V$ ein Komplement von $U$ in $V$ ist. Sei $W\subseteq V$ ein weiterer Unterraum mit $\{0\}\oplus W=V$. Weil insbesondere die Summe der beiden Unterräume ganz $V$ ergibt, folgt $V=W+\{0\}=W$.

Angenommen $U=V$. Dann ist $\{0\}$ ein Komplement von $U$ in $V$. Sei $W\subseteq V$ ein weiterer Unterraum mit $V\oplus W=V$. Weil die Summe direkt ist, gilt insbesondere $W\cap V=\{0\}$. Da aber $W\subseteq V$ ist, folgt $W\cap V=W=\{0\}$.