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Vektorraum: Komplement – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Herleitung[Bearbeiten]

Wir betrachten einen Vektorraum und haben einen Untervektorraum von gegeben. Können wir dann einen Untervektorraum von finden, der zu ganz ergänzt? "Ergänzen" heißt hier, wenn wir zu hinzufügen, erhalten wir ganz .

Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir zunächst präzisieren, was wir mit ergänzen bzw. hinzufügen meinen. Wir wollen, dass und zusammen ergeben. Wir haben schon oben gesehen, dass man aus zwei Vektorräumen mithilfe der Summe einen neuen Vektorraum bauen kann, der beide enthält – ähnlich wie bei der Vereinigung von Mengen. Das heißt, wir wollen, dass gilt. Eigentlich möchten wir sogar noch mehr: Wir wollen etwas zu hinzufügen. Das heißt, sollte nichts von enthalten. Dieses Konzept haben wir schon im Artikel zur inneren direkten Summe kennengelernt: Wir wollen, dass und eine innere direkte Summe bilden. Also soll gelten.

Zusammengefasst suchen wir einen Untervektorraum von für den gilt. Wenn man als direkte Summe von Untervektorräumen schreibt, nennt man das auch eine Zerlegung von . Denn wir zerlegen mithilfe der direkten Summe in „kleinere“ Teile.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Komplement)

Sei ein Körper und ein -Vektorraum. Sei ein Untervektorraum von . Dann ist ein Komplement von in definiert als ein Untervektorraum von , sodass gilt. Das heißt, und diese Summe ist eine innere direkte Summe.

Existenz und Eindeutigkeit[Bearbeiten]

Existenz [Bearbeiten]

Angenommen wir haben und einen Unterraum gegeben. Wie finden wir einen Unterraum von , sodass gilt? Sei zum Beispiel und der Unterraum die erste Winkelhalbierende. Nach dem Satz über die Basis einer direkten Summe gilt: Wenn gilt, dann ergeben eine Basis von zusammen mit einer Basis von eine Basis von . Wir wählen also zuerst eine Basis von : Zum Beispiel können wir

wählen. Diese können wir nach dem Basisergänzungssatz zu einer Basis von ergänzen, indem wir einen Vektor aus hinzunehmen, der nicht auf der Geraden liegt:

Wenn wir als die Menge der neu hinzugefügten Basisvektoren definieren und , dann sollte gelten. In unserem Beispiel erhalten wir für die -Achse

Anschaulich sehen wir, dass die Summe direkt ist, weil sie die Unterräume nur in schneiden und zusammen den ganzen Vektorraum ergeben.

Wir beweisen jetzt, dass diese Konstruktion über den Basisergänzungssatz immer ein Komplement von einem gegebenen Unterraum eines Vektorraums liefert:

Satz (Komplemente existieren immer)

Sei ein -Vektorraum zu einem Körper . Sei weiter ein Untervektorraum. Dann gibt es einen Untervektorraum sodass , d.h. ist ein Komplement von in .

Wie kommt man auf den Beweis? (Komplemente existieren immer)

Wir wissen aus dem Satz über die Basis einer direkten Summe, dass eine Basis von zusammen mit einer Basis von eine Basis von ergeben muss. Da und gegeben sind, wählen wir zuerst eine Basis von und ergänzen diese zu einer Basis von . Der Spann der neu hinzugekommenen Basisvektoren ist dann ein Kandidat für den gesuchten Unterraum . Wir müssen nur noch nachprüfen, dass die Summe von und direkt ist und ganz ergibt.

Beweis (Komplemente existieren immer)

In diesem Beweis werden wir Basen verwenden. Diese werden erst später definiert, sind hier aber unumgänglich. Es treten keine Zirkelschlüsse auf, weil wir bei den Artikeln zur Basis keine Komplemente benutzt haben.

Sei ein Untervektorraum. Wir wählen eine Basis von . Nach dem Basisergänzungssatz können wir zu einer Basis von ergänzen. Sei dann . Dies ist per Definition ein Untervektorraum von .

Es gilt , da bereits die Basis von enthält.

Es bleibt zu zeigen, dass . Sei . Dann hat Darstellungen als Linearkombination von Vektoren in einerseits, und von Vektoren in andererseits. Da aber eine Basis von bildet und somit linear unabängig ist, kann nur gelten.

Warnung

In unserem Setting existieren immer Komplemente. Jedoch kann es dir im weiteren Studium passieren, dass der Begriff "Komplement" etwas anders definiert wird, z.B in der Funktionalanalysis. Dann gibt es Beispiele von Untervektorräumen, die kein Komplement haben.

Hinweis

Streng genommen haben wir die Existenz von Komplementen nur für endlichdimensionales gezeigt, denn wir haben den Basisergänzungssatz nur im endlichdimensionalen Fall bewiesen. Es gibt aber eine allgemeinere Version des Basisergänzungssatzes, die für alle Vektorräume funktioniert. Mit dieser kann man den obigen Beweis genauso führen und erhält die Existenz von Komplementen auch in unendlichdimensionalen Vektorräumen.

Komplemente sind nicht eindeutig [Bearbeiten]

Ist das Komplement , das wir im letzten Abschnitt konstruiert haben, eindeutig? Um das Komplement zu definieren, haben wir den Basisergänzugnssatz verwendet. Nun wissen wir, dass Basen im Allgemeinen nicht eindeutig sind. Daher könnten wir eine Basis von auch zu einer anderen Basis von ergänzen und diese könnte einen anderen Untervektorraum als Komplement liefern. Das wollen wir jetzt an einem Beispiel probieren:

Wir betrachten dafür wieder das Beispiel aus dem letzten Abschnitt. Das heißt, wir betrachten und die erste Winkelhalbierende. Wir wissen schon, dass

eine Basis von ist und dass wir durch Hinzufügen des Vektors zu einer Basis von ergänzen können. Damit haben wir gesehen, dass ein Komplement von in ist. Ein anderer Vektor, der nicht in liegt, ist . Damit können wir auch zur Basis

ergänzen und ist auch ein Komplement von in . Damit haben wir zwei Komplemente gefunden: und . Diese Vektorräume sind die Koordinatenachsen von und damit gilt . Das heißt, hat kein eindeutiges Komplement in und Komplemente sind nicht eindeutig.

Beispiele und Aufgaben[Bearbeiten]

Beispiel (Triviale Komplemente)

Sei ein Vektorraum. Es gilt . Also ist ein Komplement zu in .

Die Konstruktion aus dem Beweis vom Satz zur Existenz von Komplementen funktioniert auch in diesem Fall: Wenn ist, dann müssen wir keine Vektoren zur Basis von hinzufügen. Dann ist , weil der Spann der leeren Menge der Nullraum ist. Genauso funktioniert es im Fall : Dann ist und wir ergänzen zu einer Basis von .

Beispiel (Komplement einer Ebene im Raum)

Wir betrachten die Ebene , die von den Vektoren und aufgespannt wird, d.h.

Unser Ziel ist es, ein Komplement von zu finden. Wir können ähnlich vorgehen wie im Satz von der Existenz von Komplementen. Zuerst wählen wir eine Basis von und ergänzen sie zu einer Basis des gesamten . Die beiden Vektoren, die aufspannen, und sind bereits linear unabhängig. Deshalb bilden sie bereits eine Basis von . Um ein Komplement von zu konstruieren, benötigen wir nur einen weiteren Vektor, weil ein -dimensionaler Vektorraum ist. Wir brauchen also einen Vektor, der linear unabhängig von den Vektoren und ist. Wir wählen den Vektor . Es ist einfach zu überprüfen, dass die drei Vektoren tatsächlich linear unabhängig sind.

Frage: Sind die drei Vektoren wirklich linear unabhängig?

Seien mit

Wir müssen zeigen, dass gelten muss. Betrachten wir die Vektoren zeilenweise, erhalten wir ein Gleichunssystem mit drei Gleichungen:

Aus der ersten und dritten Gleichung folgern wir . Eingesetzt in die zweite Gleichung erhalten wir . Also ist und damit auch .

Die drei Vektoren und (1,1,1) bilden also eine Basis von . Der neue Vektor spannt ein mögliches Komplement auf:

To-Do:

in einem Bild Ebene und Komplement und Basisvektoren sehen.

Beispiel (Zerlegung von Polynomen)

Wir betrachten den Vektorraum der Polynome über . Dieser hat den Untervektorraum . Wir wollen ein Komplement von in finden.

Die Bedingung, dass gilt, können wir auch anders schreiben: Wir können schreiben. Dann ist und ein solches Polynom liegt genau dann in , wenn gilt. Um ein Komplement von zu konstruieren, müssen wir also genug Polynome mit finden. Ein solches Polynom ist das konstante Polynom .

Haben wir mit schon genug Polynome gefunden, um ein Komplement zu haben? Dafür müssen wir überprüfen, dass gilt. Sei ein beliebiges Polynom. Dann ist in dem Spann von enthalten. Wieter ist ein Polynom mit . Das heißt, mit und . Damit gilt .

Weiter ist diese Summe direkt, weil wir wissen, dass gilt. Somit haben wir ein Komplement von in gefunden. Der Untervektorraum ist der Untervektorraum der konstanten Polynome. Somit haben wir nebenbei bewiesen, dass man jedes Polynom in ein Polynom mit und ein konstantes Polynom zerlegen kann. Der konstante Teil wird manchmal auch -Achsenabschnitt genannt.

Natürlich hätten wir auch mit jedem anderen Polynom mit ein Komplement von erzeugen können.

Aufgabe (Eindeutigkeit von Komplementen)

Sei ein -Vektorraum. Zeige, dass ein Unterraum in genau dann ein eindeutiges Komplement besitzt, wenn entweder oder gilt.

Lösung (Eindeutigkeit von Komplementen)

Beweisschritt:

Sei ein Unterraum mit . Beachte, dass das insbesondere impliziert, dass sein muss. (Die einzigen Unterräume eines eindimensionalen Vektorraums sind und der Raum selbst.) Sei ein Komplement von in . Wir zeigen, dass nicht eindeutig ist, indem wir ein anderes Komplement von konstruieren.

Es gilt weder noch : Im ersten Fall wäre , aber das kann nicht gleich ganz sein, da sonst wäre. Im zweiten Fall wäre ebenfalls . Also folgt mit dem Satz über die Vereinigung von Untervektorräumen, dass ist. Es gibt also Vektoren in , die weder in noch in liegen. Wähle einen solchen Vektor . Weil nicht in liegt, ist linear unabhängig zu allen Vektoren in . Weil nicht in liegt, ist linear unabhängig zu allen Vektoren in .

Wähle eine Basis von , tausche einen der Basisvektoren durch aus und definiere als den Spann der neuen Basis. Wegen aber gilt . Außerdem ist auch ein Komplement zu : Um zu zeigen, sei beliebig. Sei die Basis über die wir definiert haben. Per Konstruktion ist jeder der Vektoren in linear unabhängig von allen Vektoren in . Sei eine Basis von . Dann gilt

für gewisse . Umstellen der Gleichung ergibt

und weil die linear unabhängig sind, folgt für alle . Also gilt und die Summe ist direkt. Die Summe ergibt ganz , weil nach Konstruktion gilt: Mit der Dimensionsformel für Unterräume folgt

wobei die letzte Gleichheit wegen gilt. Weil gilt und die Dimensionen gleich sind, muss also gelten.

Beweisschritt:

Angenommen . Wir wissen, dass ein Komplement von in ist. Sei ein weiterer Unterraum mit . Weil insbesondere die Summe der beiden Unterräume ganz ergibt, folgt .

Angenommen . Dann ist ein Komplement von in . Sei ein weiterer Unterraum mit . Weil die Summe direkt ist, gilt insbesondere . Da aber ist, folgt .