Beweise für Vektorräume führen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Kapitel wollen wir vorführen, wie man beweist, dass eine Menge mit geeigneten Verknüpfungen einen Vektorraum bildet.

Allgemeine Beweisstruktur[Bearbeiten]

Laut Definition ist ein Vektorraum über einem Körper eine Menge mit zwei Verknüpfungen , der Addition, und , der Skalarmultiplikation, die eine Liste von Axiomen erfüllen. Diese sind im Artikel Vektorraum aufgelistet. Es handelt sich um vier Axiome für die Addition und vier Axiome für die Skalarmultiplikation.

Wollen wir also zeigen, dass eine Menge einen Vektorraum bildet, müssen wir zunächst die Verknüpfungen und definieren und dann beweisen, dass die Axiome erfüllt sind. Bei der Definition der Verknüpfungen ist zu beachten, dass die Summe zweier Vektoren und das Produkt eines Skalars mit einem Vektor wieder Vektoren aus der Menge ergeben, d.h. für alle und gilt . Dies nennt man Abgeschlossenheit und ist wichtiger Teil der Wohldefiniertheit der Verknüpfungen! Dann arbeiten wir die Axiome am besten in der Reihenfolge aus der Definition ab.

Das Ganze wollen wir nun an einem Beispiel vorführen. Als Beispiel wählen wir den Polynomraum der Polynome von Grad kleiner oder gleich (für ein festes ).

Definition des Polynomraums[Bearbeiten]

Zunächst müssen wir den Polynomraum definieren, genauer gesagt die zugrunde liegende Menge von Vektoren.

Definition (Polynomraum)

Sei ein Körper. Dann sei die Menge aller Polynome vom Grad , d.h.

Auf dieser Menge führen wir zwei Verknüpfungen ein, eine Addition und eine Multiplikation mit Skalaren aus :

Definition (Addition und skalare Multiplikation auf dem Polynomraum)

Wir definieren die Addition wie folgt:

Die skalare Multiplikation funktioniert sehr ähnlich:

Wir wollen darauf hinweisen, dass die Summen auf der rechten Seite der Abbildungsvorschriften wieder nur von bis laufen. Wir erhalten also wieder Polynome, die höchstens Grad haben und landen somit auch tatsächlich in . Dies ist wichtig, um überhaupt wohldefinierte Abbildungen mit Wertebereich zu erhalten. Man sagt auch, die Menge ist abgeschlossen unter den Operationen und .

Der Polynomraum ist ein Vektorraum[Bearbeiten]

Wir wollen nun den folgenden Satz zeigen:

Satz (Polynome bilden einen Vektorraum)

Sei ein Körper, . Dann ist ein -Vektorraum.

Wir müssen nun also die 8 Vektorraumaxiome zeigen:

  • bildet zusammen mit der Verknüpfung eine abelsche Gruppe. Das heißt, folgende Axiome sind erfüllt:
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt:
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt:
    3. Existenz eines neutralen Elements: Es gibt ein Element , so dass für alle gilt: .
    4. Existenz eines inversen Elements: Zu jedem gibt es ein Element , so dass gilt: .
  • Zusätzlich müssen folgende Axiome der skalaren Multiplikation erfüllt sein:
    1. Skalares Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
    2. Vektorielles Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
    3. Assoziativgesetz für Skalare: Für alle und alle gilt:
    4. Neutrales Element der skalaren Multiplikation: Für alle und für (das neutrale Element der Multiplikation in ) gilt: .

Wir werden nun jeden dieser Schritte einzeln beweisen.

Assoziativität der Addition[Bearbeiten]

Wir beginnen mit der Assoziativität der Addition. Diese folgt aus der Assoziativität der Addition in

Beweis (Assoziativität der Addition)

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Kommutativität der Addition[Bearbeiten]

Nun folgt die Kommutativität der Addition. Wie eben folgt auch diese aus der Kommutativität der Addition in :

Beweis (Kommutativität der Addition)

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Neutrales Element der Addition[Bearbeiten]

Nun müssen wir beweisen, dass eine Null existiert, d.h. ein neutrales Element bezüglich der Addition. Dafür müssen wir zunächst einen Kandidaten finden. Es gibt hier einen "offensichtlichen": Das Nullpolynom . Dies ist tatsächlich das neutrale Element:

Beweis (0 ist das neutrale Element der Addition)

Sei .

Dann gilt:

Da beliebig gewählt wurde, ist also das neutrale Element bezüglich der Addition.

Inverse bezüglich der Addition[Bearbeiten]

Der nächste Schritt ist die Existenz von Inversen. Hier gibt es auch wieder eine offensichtliche Wahl: Für ein bietet sich als potenzieller Kandidat für das Inverse von an. Dies ist tatsächlich ein Inverses, wie der nächste Beweis zeigt:

Beweis ( ist ein Inverses zu )

Wir benutzen die Notation von oben für und .

Dann gilt:

Damit ist also das Inverse zu .

Distributivität[Bearbeiten]

Die Beweise zu den beiden Distributivitätseigenschaften folgen beide aus der Distributivität in und gehen ähnlich, wir zeigen daher hier nur die zweite:

Beweis (Distributivität)

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Distributivität von über gezeigt.


Assoziativität bezüglich der Multiplikation[Bearbeiten]

Als Nächstes gilt es die Assozitivität bezüglich der skalaren Multipkiation zu beweisen. Dies folgt (änlich wie bei den ersten beiden Axiomen) aus der Assoziativität der Multiplikation in :

Beweis (Assoziativität der skalaren Multiplikation)

Seien .

Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der skalaren Multipkiation gezeigt.

Unitäres Gesetz[Bearbeiten]

Die letzte Eigenschaft, die gezeigt werden muss, ist das unitäre Gesetz. Dies ist einfach:

Beweis (Unitäres Gesetz)

Sei .

Dann gilt:

Also ist unitär.

Damit haben wir also alle 8 Vektorraumaxiome gezeigt, und somit ist also ein Vektorraum.