Beweise für Vektorräume führen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Kapitel wollen wir vorführen, wie man beweist, dass eine Menge mit geeigneten Verknüpfungen einen Vektorraum bildet.

Definition Polynomraum[Bearbeiten]

Wir wollen in diesem Artikel an einem konkreten Beispiel zeigen, wie man beweist, dass eine bestimmte Menge mit 2 Verknüpfungen über einem Körper ein Vektorraum ist.

Als Beispiel wählen wir hier den Polynomraum der Polynome von maximalem Grad (mit ):

Definition (Polynomraum)

Sei K ein Körper. Dann sei die Menge aller Polynome vom Grad , d.h.

Auf dieser Menge führen wir zwei Verknüpfungen ein, eine Addition und eine Multiplikation mit Skalaren aus :

Definition (Addition und skalare Multiplikation auf dem Polynomraum)

Wir definieren die Addition wie folgt:

Die skalare Multiplikation funktioniert sehr ähnlich:

Der Polynomraum ist ein Vektorraum[Bearbeiten]

Wir wollen nun den folgenden Satz zeigen:

Satz (Polynome bilden einen Vektorraum)

Sei ein Körper, . Dann ist ein Vektorraum.

Wir müssen nun also die 8 Vektorraumaxiome zeigen:

  1. für alle
  2. für alle
  3. Es gibt eine sodass gilt für alle
  4. Für alle gibt es ein mit
  5. für alle
  6. für alle
  7. für alle
  8. für alle

Wir werden nun jeden dieser Schritte einzeln beweisen.

Assoziativität der Addition[Bearbeiten]

Wir beginnen mit der Assoziativität der Addition. Diese folgt aus der Assoziativität der Addition in

Beweis (Assoziativität der Addition)

Seien

Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Kommutativität der Addition[Bearbeiten]

Nun folgt die Kommutativität der Addition. Wie eben folgt auch diese aus der Kommutativität der Addition in :

Beweis (Kommutativität der Addition)

Seien

Dann gilt:

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Neturales Element der Addition[Bearbeiten]

Nun müssen wir beweisen, dass eine Null existiert, d.h. ein neutrales Element bezüglich der Addition. Dafür müssen wir zunächst einen Kandidaten finden. Es gibt hier einen "offensichtlichen": Das Nullpolynom Dies ist tatsächlich das neutrale Element:

Beweis (0 ist das neutrale Element der Addition)

Sei .

Dann gilt:

Da beliebig gewählt wurde, ist also das neutrale Element bezüglich der Addition.

Inverse bezüglich der Addition[Bearbeiten]

Der nächste Schritt ist die Existenz von Inversen. Hier gibt es auch wieder eine offensichtliche Wahl: Für ein bietet sich als potenzieller Kandidat für das Inverse von an. Dies ist tatsächlich ein Inverses, wie der nächste Beweis zeigt:

Beweis ( ist ein Inverses zu )

Wir benutzen die Notation von oben für und

Dann gilt:

Damit ist also das Inverse zu .

Assoziativität bezüglich der Multiplikation[Bearbeiten]

Als Nächstes gilt es die Assozitivität bezüglich der skalaren Multipkiation zu beweisen. Dies folgt (änlich wie bei den ersten beiden Axiomen) aus der Assoziativität der Multiplikation in :

Beweis (Assoziativität der skalaren Multiplikation)

Seien

Dann gilt:

Damit ist die Assoziativität der skalaren Multipkiation gezeigt.

Distributivität[Bearbeiten]

Die Beweise zu den beiden Distributivitätseigenschaften folgen beide aus der Distributivität in und gehen ähnlich, wir zeigen daher hier nur die zweite:

Beweis (Distributivität)

Seien

Dann gilt:

Damit ist die Distributivität von über gezeigt

Unitäres Gesetz[Bearbeiten]

Die letzte Eigenschaft, die gezeigt werden muss, ist das unitäre Gesetz. Dies ist einfach:

Beweis (Unitäres Gesetz)

Sei

Dann gilt:

.

Also ist unitär.

Damit haben wir also alle 8 Vektorraumaxiome gezeigt, und somit ist also ein Vektorraum.