Beweise für Vektorräume führen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Schematische Darstellung des Beweises, dass eine Menge ein Vektorraum ist[Bearbeiten]

Wir haben schon im Kapitel Definition eines Vektorraums die acht Axiome eines Vektorraums kennengelernt. Diese waren vier Gruppenaxiome und vier Axiome zur skalaren Multiplikation. Wir wollen in diesem Kapitel zeigen, wie man diese Axiome nach einem gewissen Schema nachweisen kann. Dazu sei im Folgenden stets eine abelsche Gruppe mit einer inneren Verknüpfung . Sei weiterhin ein Körper und eine äußere Verknüpfung, so dass die vier Axiome der skalaren Multiplikation gelten.



Aufgabe zum Verständnis des Vektorraums[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Folgenden Abschnitt könnte man hier nutzen

Wir wollen nun zeigen, dass ein Vektorraum über ist.

Beweis (Der dreidimensionale anschauliche Raum ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen)

Zunächst ist , denn z.B. ist das Element .

Das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Vektoraddition gilt in , da diese Gesetze in gelten.

Das neutrale Element Element in ist der Vektor , denn .

Natürlich gibt es zu jedem Vektor einen Vektor , für den gilt: .

Damit haben wir die Axiome der Vektoraddition im nachgewiesen.

Wir weisen nun die Axiome der Skalar Multiplikation nach. Sei , dann gelten das skalare und vektorielle Distributivgesetz und das skalare Assoziativgesetz im , weil diese auch im Körper gelten. Wir zeigen das vektorielle Distributivgesetz. Die anderen Gesetze kannst du analog selbst nachweisen.

Es gilt weiter:

Damit haben wir nachgewiesen, dass das neutrale Element der Skalar Multiplikation ist.

Wir haben nun alle Axiome eines Vektorraums nachgewiesen und damit gezeigt, dass ein Vektorraum über ist.