Beweise für Vektorräume führen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel wollen wir vorführen, wie man beweist, dass eine Menge mit geeigneten Verknüpfungen einen Vektorraum bildet.

Allgemeine Beweisstruktur

Laut Definition ist ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ eine Menge $V$ mit zwei Verknüpfungen $\boxplus$, der Addition, und $\boxdot$, der Skalarmultiplikation, die eine Liste von Axiomen erfüllen. Diese sind im Artikel Vektorraum aufgelistet. Es handelt sich um vier Axiome für die Addition und vier Axiome für die Skalarmultiplikation.

Wollen wir also zeigen, dass eine Menge einen Vektorraum bildet, müssen wir zunächst die Verknüpfungen $\boxplus$ und $\boxdot$ definieren und dann beweisen, dass die Axiome erfüllt sind. Bei der Definition der Verknüpfungen ist zu beachten, dass die Summe zweier Vektoren und das Produkt eines Skalars mit einem Vektor wieder Vektoren aus der Menge $V$ ergeben, d.h. für alle $v,w\in V$ und $\lambda \in K$ gilt $v\boxplus w,\lambda \boxdot v\in V$. Dies nennt man Abgeschlossenheit und ist wichtiger Teil der Wohldefiniertheit der Verknüpfungen! Dann arbeiten wir die Axiome am besten in der Reihenfolge aus der Definition ab.

Das Ganze wollen wir nun an einem Beispiel vorführen. Als Beispiel wählen wir den Polynomraum der Polynome von Grad kleiner oder gleich $n$ (für ein festes $n\in \mathbb {N}$).

Definition des Polynomraums

Zunächst müssen wir den Polynomraum definieren, genauer gesagt die zugrunde liegende Menge von Vektoren.

Definition (Polynomraum)

Sei $K$ ein Körper. Dann sei $K[X]_{\leq n}$ die Menge aller Polynome vom Grad $\leq n$, d.h. $K[X]_{\leq n}=\left\{\,\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\,{\bigg |}\,a_{i}\in K\,\,\forall 0\leq i\leq n\,\right\}.$

Auf dieser Menge führen wir zwei Verknüpfungen ein, eine Addition und eine Multiplikation mit Skalaren aus $K$:

Definition (Addition und skalare Multiplikation auf dem Polynomraum)

Wir definieren die Addition wie folgt:

${\begin{aligned}\boxplus \colon K[X]_{\leq n}\times K[X]_{\leq n}&\to K[X]_{\leq n},\\\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right)&\mapsto \sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}.\end{aligned}}$

Die skalare Multiplikation funktioniert sehr ähnlich:

${\begin{aligned}\boxdot \colon K\times K[X]_{\leq n}&\to K[X]_{\leq n},\\\left(\lambda ,\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)&\mapsto \sum _{i=0}^{n}(\lambda \cdot a_{i})X^{i}.\end{aligned}}$

Wir wollen darauf hinweisen, dass die Summen auf der rechten Seite der Abbildungsvorschriften wieder nur von $0$ bis $n$ laufen. Wir erhalten also wieder Polynome, die höchstens Grad $n$ haben und landen somit auch tatsächlich in $K[X]_{\leq n}$. Dies ist wichtig, um überhaupt wohldefinierte Abbildungen mit Wertebereich $K[X]_{\leq n}$ zu erhalten. Man sagt auch, die Menge $K[X]_{\leq n}$ ist abgeschlossen unter den Operationen $\boxplus$ und $\boxdot$.

Der Polynomraum ist ein Vektorraum

Wir wollen nun den folgenden Satz zeigen:

Satz (Polynome bilden einen Vektorraum)

Sei $K$ ein Körper, $n\in \mathbb {N}$. Dann ist $(K[X]_{\leq n},\boxplus ,\boxdot )$ ein $K$-Vektorraum.

Wir müssen nun also die 8 Vektorraumaxiome zeigen:

• $V$ bildet zusammen mit der Verknüpfung $\boxplus$ eine abelsche Gruppe. Das heißt, folgende Axiome sind erfüllt:
  1. Assoziativgesetz: Für alle $f,g,h\in K[X]_{\leq n}$ gilt: $f\boxplus (g\boxplus h)=(f\boxplus g)\boxplus h$
  2. Kommutativgesetz: Für alle $f,g\in K[X]_{\leq n}$ gilt: $f\boxplus g=g\boxplus f$
  3. Existenz eines neutralen Elements: Es gibt ein Element $0\in K[X]_{\leq n}$, so dass für alle $f\in K[X]_{\leq n}$ gilt: $f\boxplus 0=f$.
  4. Existenz eines inversen Elements: Zu jedem $f\in K[X]_{\leq n}$ gibt es ein Element $g\in K[X]_{\leq n}$, so dass gilt: $f\boxplus g=0$.
• Zusätzlich müssen folgende Axiome der skalaren Multiplikation $\boxdot$ erfüllt sein:
  1. Skalares Distributivgesetz: Für alle $\lambda ,\mu \in K$ und alle $f\in K[X]_{\leq n}$ gilt: $(\lambda +\mu )\boxdot f=(\lambda \boxdot f)\boxplus (\mu \boxdot f)$
  2. Vektorielles Distributivgesetz: Für alle $\lambda \in K$ und alle $f,g\in K[X]_{\leq n}$ gilt: $\lambda \boxdot (f\boxplus g)=(\lambda \boxdot f)\boxplus (\lambda \boxdot g)$
  3. Assoziativgesetz für Skalare: Für alle $\lambda ,\mu \in K$ und alle $f\in K[X]_{\leq n}$ gilt: $(\lambda \cdot \mu )\boxdot f=\lambda \boxdot (\mu \boxdot f)$
  4. Neutrales Element der skalaren Multiplikation: Für alle $f\in K[X]_{\leq n}$ und für $1\in K$ (das neutrale Element der Multiplikation in $K$) gilt: $1\boxdot f=f$.

Wir werden nun jeden dieser Schritte einzeln beweisen.

Assoziativität der Addition

Wir beginnen mit der Assoziativität der Addition. Diese folgt aus der Assoziativität der Addition in $K$

Beweis (Assoziativität der Addition)

Seien $f=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i},g=\sum _{i=0}^{n}g_{i}X^{i},h=\sum _{i=0}^{n}h_{i}X^{i}\in K[X]_{\leq n}$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}(f\boxplus g)\boxplus h&=(\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\boxplus \sum _{i=0}^{n}g_{i}X^{i})\boxplus \sum _{i=0}^{n}h_{i}X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}(f_{i}+g_{i})X^{i}\boxplus \sum _{i=0}^{n}h_{i}X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}((f_{i}+g_{i})+h_{i})X^{i}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=0}^{n}(f_{i}+(g_{i}+h_{i}))X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\boxplus \sum _{i=0}^{n}(g_{i}+h_{i})X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\boxplus (\sum _{i=0}^{n}g_{i}X^{i}\boxplus \sum _{i=0}^{n}h_{i}X^{i})\\&=f\boxplus (g\boxplus h).\end{aligned}}$

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Kommutativität der Addition

Nun folgt die Kommutativität der Addition. Wie eben folgt auch diese aus der Kommutativität der Addition in $K$:

Beweis (Kommutativität der Addition)

Seien $f=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i},g=\sum _{i=0}^{n}g_{i}X^{i}\in K[X]_{\leq n}$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}f\boxplus g&=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\boxplus \sum _{i=0}^{n}g_{i}X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}(f_{i}+g_{i})X^{i}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=0}^{n}(g_{i}+f_{i})X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}g_{i}X^{i}\boxplus \sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\\&=g\boxplus f.\end{aligned}}$

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Neutrales Element der Addition

Nun müssen wir beweisen, dass eine Null existiert, d.h. ein neutrales Element bezüglich der Addition. Dafür müssen wir zunächst einen Kandidaten finden. Es gibt hier einen "offensichtlichen": Das Nullpolynom $0=\sum _{i=0}^{n}0X^{i}$. Dies ist tatsächlich das neutrale Element:

Beweis (0 ist das neutrale Element der Addition)

Sei $f=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\in K[X]_{\leq n}$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}0\boxplus f&=\sum _{i=0}^{n}0X^{i}\boxplus \sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}(0+f_{i})X^{i}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{0 ist neutrales Element der Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=0}f_{i}X^{i}\\&=f.\end{aligned}}$

Da $f$ beliebig gewählt wurde, ist also $0$ das neutrale Element bezüglich der Addition.

Inverse bezüglich der Addition

Der nächste Schritt ist die Existenz von Inversen. Hier gibt es auch wieder eine offensichtliche Wahl: Für ein $f=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}$ bietet sich $g=\sum _{i=0}^{n}(-f_{i})X^{i}$ als potenzieller Kandidat für das Inverse von $f$ an. Dies ist tatsächlich ein Inverses, wie der nächste Beweis zeigt:

Beweis ($g$ ist ein Inverses zu $f$)

Wir benutzen die Notation von oben für $f$ und $g$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}f\boxplus g&=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\boxplus \sum _{i=0}^{n}(-f_{i})X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}(f_{i}+(-f_{i}))X^{i}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Inverse bezüglich Addition in }}K\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=0}^{n}0X^{i}=0.\end{aligned}}$

Damit ist also $g=-f$ das Inverse zu $f$.

Distributivität

Die Beweise zu den beiden Distributivitätseigenschaften folgen beide aus der Distributivität in $K$ und gehen ähnlich, wir zeigen daher hier nur die zweite:

Beweis (Distributivität)

Seien $f=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\in K[X]_{\leq n},\lambda ,\mu \in K$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}(\lambda +\mu )\boxdot f&=(\lambda +\mu )\boxdot \sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}((\lambda +\mu )\cdot f_{i})X^{i}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}K\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=0}^{n}((\lambda \cdot f_{i})+(\mu \cdot f_{i}))X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}(\lambda \cdot f_{i})X^{i}\boxplus \sum _{i=0}^{n}(\mu \cdot f_{i})X^{i}\\&=(\lambda \boxdot \sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i})\boxplus (\mu \boxdot \sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i})\\&=(\lambda \boxdot f)\boxplus (\mu \boxdot f).\end{aligned}}$

Damit ist die Distributivität von $+$ über $\boxdot$ gezeigt.

Assoziativität bezüglich der Multiplikation

Als Nächstes gilt es die Assozitivität bezüglich der skalaren Multiplikation zu beweisen. Dies folgt (ähnlich wie bei den ersten beiden Axiomen) aus der Assoziativität der Multiplikation in $K$:

Beweis (Assoziativität der skalaren Multiplikation)

Seien $f=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\in K[X]_{\leq n},\lambda ,\mu \in K$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}\lambda \boxdot (\mu \boxdot f)&=\lambda \boxdot (\mu \boxdot \sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i})\\&=\lambda \boxdot \sum _{i=0}^{n}(\mu \cdot f_{i})X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}(\lambda \cdot (\mu \cdot f_{i}))X^{i}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Multiplikation in }}K\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=0}^{n}((\lambda \cdot \mu )\cdot f_{i})X^{i}\\&=(\lambda \cdot \mu )\boxdot \sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\\&=(\lambda \cdot \mu )\boxdot f.\end{aligned}}$

Damit ist die Assoziativität der skalaren Multiplikation gezeigt.

Unitäres Gesetz

Die letzte Eigenschaft, die gezeigt werden muss, ist das unitäre Gesetz. Dies ist einfach:

Beweis (Unitäres Gesetz)

Sei $f=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\in K[X]_{\leq n}$.

Dann gilt:

${\begin{aligned}1\boxdot f&=1\boxdot \sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}(1\cdot f_{i})X^{i}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ 1{\text{ ist neutrales Element bezüglich der Multiplikation in }}K\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=0}^{n}f_{i}X^{i}\\&=f.\end{aligned}}$

Also ist $K[X]_{\leq n}$ unitär.

Damit haben wir also alle 8 Vektorraumaxiome gezeigt, und somit ist also $(K[X]_{\leq n},\boxplus ,\boxdot )$ ein Vektorraum.