Gruppen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Einführung:

Im Alltag und in der Mathematik: Operationen wie "Verdrehen eines Zauberwürfels", "Verflechten von Schnüren", "Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen" oder "Addieren von Vektorpfeilen in der Ebene" weisen ähnliche Strukturen auf, die durch die Definition des algebraischen Objekts Gruppe präzise zusammengefasst werden. Hierfür sind besonders folgende Eigenschaften wichtig, die alle der genannten Beispiele aufweisen (erläutert anhand von "Verflechten von Schnüren"; ggf. mit Bild, also vier farbige Linien, die übereinandergelegt werden):

Hintereinanderausführung von Verflechtungen ergibt wieder Verflechtung (Bild!), Verknüpfung ist assoziativ (explizit zeigen!), die Verflechtung, bei der alle Schnüre an ihren ursprünglichen Platz gelegt werden, ändert nichts, zu jeder Verflechtung existiert eine entgegengesetzte Verflechtung, die Erstere wieder rückgängig macht. Die Verknüpfung ist nicht kommutativ (Bild!).

Definition der Gruppe [Bearbeiten]

Sei eine nichtleere Menge und eine innere Verknüpfung.

Das Tupel wird Gruppe genannt, wenn es folgende Eigenschaften besitzt:

  1. Abgeschlossenheit: Für alle Elemente aus liegt wieder in . Dies ist gleichbedeutend damit, dass die innere Verknüpfung wohldefiniert ist.
  2. Assoziativität: Die Verknüpfung ist assoziativ, das heißt: Für alle gilt
  3. Existenz eines neutralen Elements: Es existiert ein Element , sodass für alle gilt: . Dieses Element nennt man das neutrale ELement von .
  4. Existenz inverser Elemente: Für jedes gilt: Es existiert ein , sodass . Das Element mit dieser Eigenschaft wird inverses Element zu in genannt.

Üblicherweise schreibt man oft nur " ist eine Gruppe" anstatt "ist eine Gruppe".

Bemerkung[Bearbeiten]

Wir haben in der Defnition der Gruppe nicht gefordert, dass eine kommutative Verknüpfung ist. Es ist also erlaubt, dass Elemente existieren mit . Ein Beispiel dafür ist die Gruppe der Rotationen im aus der Einleitung. Gruppen, bei denen die Verknüpfung kommutativ ist, haben besonders schöne Eigenschaften, weswegen sie ihren eigenen Namen bekommen:

Definition abelsche Gruppe [Bearbeiten]

Sei eine Gruppe.

Wir nennen abelsch (oder kommutativ), falls kommutativ ist, d.h. falls für alle gilt:

Zur Definition der Gruppe[Bearbeiten]

Die Existenz von Inversen ist hilfreich beim Rechnen in Gruppen: Falls für drei Elemente einer Gruppe gilt: kann man dies umformen zu:

Das bedeutet, wir können in Gruppen "dividieren" (am Beispiel der ganzen Zahlen bedeutet dies, dass wir subtrahieren können, da hier das Inverse zu nicht sondern ist).

Satz (Eindeutigkeit des neutralen Elements)

Gruppen besitzen genau ein neutrales Element, das bedeutet: Für jede Gruppe gibt es genau ein sodass für alle gilt

Beweis (Eindeutigkeit des neutralen Elements)

Sei eine Gruppe. Nach Definition einer Gruppe gibt es ein neutrales Element . Angenommen, ist ein weiteres neutrales Elemente von . Per Definition eines neutralen Elementes haben wir für alle  :

Insbesondere können wir in die erste Formel und in die zweite Formel einsetzen. Das ergibt:

Das liefert schon . Also gibt es nur ein neutrales Element, nämlich .

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To-Do:

Eindeutigkeit der inversen Elemente


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To-Do:

Neu strukturieren, Grundvorstellungen zu Links/Rechts- inversen entwickeln

Wir werden später zeigen, dass die inversen Elemente in einer Gruppe eindeutig bestimmt sind.

Bemerkungen:

Häufig verwendete andere Schreibweisen für das neutrale Element sind , oder . Letztere werden vorrangig für abelsche Gruppen verwendet. Eine sehr bekannte abelsche Gruppe bilden die ganzen Zahlen unter Addition, die Null ist dort das neutrale Element. In Anlehnung daran schreibt man die Verknüpfung einer abelschen Gruppe häufig "additiv", man verwendet also eines der Symbole an Stelle von , und oder für das Neutrale Element.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel (Die rationalen Zahlen unter Addition und Multiplikation)

Die rationalen Zahlen bilden mit der gewöhnlichen Addition eine abelsche Gruppe, denn es gilt:

  1. für alle . Die rationalen Zahlen sind also abgeschlossen unter Addition.
  2. Die Addition ist assoziativ, und kommutativ.
  3. Die Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition, denn für alle gilt: .
  4. Zu jeder rationalen Zahl ist das (unter Addition ) inverse Element, da .

- Auch unter der Multiplikation bilden die rationalen Zahlen eine abelsche Gruppe.

  1. Für zwei rationale Zahlen gilt immer , das heißt ist abgeschlossen unter Multiplikation.
  2. Die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ.
  3. Die ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation.
  4. Zu ist das unter Multiplikation inverse Element, es gilt .

Die Null muss ausgeschlossen werden, weil es zur Null kein multiplikatives Inverses in gibt. Für alle rationalen Zahlen < gilt: . Sowohl das neutrale Element als auch die inversen Elemente einer Gruppe hängen also nicht nur von der Menge, auf der die Verknüpfung definiert ist, sondern auch von der Verknüpfung ab.

Beispiel (Die ganzen Zahlen unter Addition)

Zeige, dass die natürlichen Zahlen weder unter der gewöhnlichen Addition, noch unter Multiplikation eine Gruppe bilden. - Die ganzen Zahlen bilden mit der (gewöhnlichen) Addition eine abelsche Gruppe.

  1. Für alle ganzen Zahlen gilt: . Die ganzen Zahlen sind also abgeschlossen unter der Addition.
  2. Die Addition ist assoziativ und kommutativ.
  3. Die Null ist eine ganze Zahl, und das neutrale Element der Addition.
  4. Zu jeder ganzen Zahl ist wieder eine ganze Zahl, und das additive Inverse, da

Aufgabe (Die ganzen Zahlen sind keine Gruppe unter Multiplikation)

Überlege Dir, wieso mit der gewöhnlichen Multiplikation keine Gruppe bilden.

Lösung (Die ganzen Zahlen sind keine Gruppe unter Multiplikation)

In einer Gruppe müssen zu jedem Element Inverse existieren. Aber es gibt keine ganze Zahl mit . Daher kann keine Gruppe sein. Genauer: sind die einzigen ganzen Zahlen, die multiplikative Inverse in den ganzen Zahlen haben.

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To-Do:

Z modulo 12 z als Beispiel einer additiven Gruppe

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Die natürlichen Zahlen sind keine Gruppe (weder unter Addition noch unter Multiplikation))

Zeige, dass die natürlichen Zahlen weder unter der gewöhnlichen Addition, noch unter Multiplikation eine Gruppe bilden.

Lösung (Die natürlichen Zahlen sind keine Gruppe (weder unter Addition noch unter Multiplikation))

  1. Zur Addition: In gibt es kein neutrales Element, da für alle gilt: . Daher kann man auch keine Inversen festlegen (weil man nicht prüfen kann, ob zwei Elemente zueinander invers sind).

In ist die ein neutrales Element unter Addition, weil für alle gilt: . Aber (mit Ausnahme der Null) gibt es keine natürlicheZahl, die ein inverses Element in den natürlichen Zahlen hat.

  1. Zur Multiplikation: Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen unter Multiplikation, die Multiplikation ist assoziativ und mit der haben wir ein neutrales Element der Multiplikation. Aber: Die ist die einzige natürliche Zahl, die ein multiplikativ Inverses in den natürlichen Zahlen besitzt.

Aufgabe (Die ganzen Zahlen sind keine Gruppe unter Multiplikation)

Überlege Dir, wieso mit der gewöhnlichen Multiplikation keine Gruppe bilden.

Lösung (Die ganzen Zahlen sind keine Gruppe unter Multiplikation)

In einer Gruppe müssen zu jedem Element Inverse existieren. Aber es gibt keine ganze Zahl mit . Daher kann keine Gruppe sein. Genauer: sind die einzigen ganzen Zahlen, die multiplikative Inverse in den ganzen Zahlen haben.

Die symmetrische Gruppe [Bearbeiten]

Für betrachte die Menge . Eine bijektive Abbildung heißt Permutation. Die Permutationen sind also genau die 1:1- Zuordnungen von Elementen aus . Eine Permutation vertauscht die Zahlen aus miteinander.

Für haben wir die Permutationen

und

Aufgabe ()

Bestimme alle Permutationen für

Lösung ()

Es gibt sechs Permutationen über .

Wenn man zwei Permutationen miteinander verknüpft, also hintereinanderausführt, erhält man wieder eine Permutation. (Die Komposition zweier Permutationen zu ) ist wohldefiniert, und bijektiv als Verkettung bijektiver Abbildungen.) Mache Dir klar, wieso die Verkettung zweier bijektiver Abbildung wieder bijektiv ist! Wie wir gleich beweisen werden, bildet die Menge der Permutationen über mit der Komposition eine Gruppe. Man nennt diese symmetrische Gruppe. Die symmetrische Gruppe ist nicht kommutativ für . Wir bezeichnen die Menge der Permutationen über von nun an mit


  • Wir haben bereits geprüft, dass die Verknüpfung , die zwei Permutationen miteinander verkettet, wohldefiniert ist. Anders ausgedrückt: Für zwei Permutationen ist wieder eine Permutation, das heißt ist abgeschlossen unter .
  • ist assoziativ
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To-Do:

Assoziativität begründen

  • Die Identität ist das neutrale Element.
  • Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung von nach . Jede Permutation hat daher eine Umkehrabbildung , welche die Zahlen auf ihre Urbilder zurückschickt, es gilt . Weil bijektiv ist (mit Umkehrabbildung , ist ebenfalls eine Permutation aus und somit ein Inverses Element zu .

bildet also mit der Verknüpfung eine Gruppe. Man nennt die nte symmetrische Gruppe.

Für sind

und

Permutationen aus . Es gilt , aber , also ist . Die Verknüpfung ist daher nicht kommutativ, also ist keine abelsche Gruppe.

Aufgabe (Über die symmetrische Gruppe (schwer))

Überlege Dir, unter welcher Bedingung zwei Permutationen miteinander kommutieren.

Beweis (Über die symmetrische Gruppe (schwer))

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To-Do:

Lösung, ggf. Hinweis formulieren

Wenn Du noch mehr über die nte symmetrische Gruppe lernen möchtest, schau Dir doch den Satz von Cayley am Ende dieses Artikels an.

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To-Do:

Abschnitt erstellen und verlinken

Die Gruppe der Rotationen im [Bearbeiten]

Beispiel

Dieser Abschnitt muss noch erstellt werden

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Abschnitt erstellen, dazu folgende Anregungen: *Rotation=Drehung um beliebige Gerade im R³, "Gegenbeispiel": Spiegelungen sind keine Rotationen.

*Beweis durch Grafik (also informell): Die Hintereinanderausführung von Drehungen ergibt wieder Drehung.
*Weil die Verknüpfung zweier Rotationen immer eine Rotation ergibt, haben "Drehbewegungen" immer einen Eigenvektor (informell)
*Die Gruppe der Rotationen ist nicht kommutativ, Verdeutlichung durch explizites Beispiel: Besonders anschaulich: Führe nicht kommutierende Rotationen eines Quaders in zwei Reihenfolgen aus
*Ausblick: Einführung der Bezeichnung SO(3). Jede Rotation kann in drei Rotationen um x,y und z-Achse zerlegt werden. Daher erzeugen die jeweiligen Drehmatrritzen die S0(3). Man kann diese Gruppe noch um Spiegelungen erweitern, eventuell eigener Abschnitt hierzu

Untergruppe[Bearbeiten]

Teilmenge einer Gruppe, die mit ererbten Strukturen wieder eine Gruppe bildet (Motivation: Nur Teilmenge der Gruppenelemente relevant, z.B. nur die geraden ganzen Zahlen(mit Anwendung unterfüttern!)). Eventuell Inklusion, "Teilmengennotation" einführen - Wichtig für die Unterringe: Untergruppe aus neutralem Element, Untergruppe aus der ganzen Gruppe.

Definition (Untergruppe)

Sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe (von G), falls

  1. für alle gilt . Man sagt auch U ist abgeschlossen unter .
  2. für alle gilt
  3. das neutrale Element aus liegt in . Dies folgt bereits aus den ersten 3 Punkten (Übungsaufgabe, siehe unten)

Hinweis

Eine Untergruppe ist selbst wieder eine Grupper mit der Verknüpfung . Üblicherweise schreibt man anstatt von einfach nur .

Wie überprüft man, ob eine Teilmenge eine Untergruppe ist?[Bearbeiten]

Satz

Sei eine Gruppe. Eine Teilmenge ist eine Untergruppe, genau dann wenn gilt:

  1. Für alle gilt

Beweis

"" folgt direkt aus der Definition der Untergruppe.

Seien . Da Untergruppe gilt , und damit ist


"" folgt aus Eigenschaft 1.

Zunächst zeigen wir, dass das neutrale Element in liegt.

Da , existiert ein .

Eigenschaft 2 impliziert dann, mit , dass .

Nun zeigen wir, dass für ein auch gilt :

Aus Eigenschaft 2 mit folgt:

Zum Schluss zeigen wir noch, dass für gilt:

Aus dem vorherigen Schritt wissen wir bereits, dass .

Dann folgt aber wieder aus Eigenschaft 2, dass

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To-Do:

Übungsaufgabe Neutrales ELement ist immer in Untergruppe

Beispiele:[Bearbeiten]

Beispiel (Triviale Untergruppen)

Sei eine Gruppe. Dann sind und Untergruppen von . Man nennt diese Untergruppen die trivialen Untergruppen, da sie immer existieren.

Beispiel

als Untergruppe von

als Untergruppe von

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To-Do:

Beweis 2. Beispiel

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To-Do:

Satz Alle Additiven Untergruppen von besitzen die Form für (Satz v. der Division mit Rest wird als aus der Schule bekannt vorausgesetzt).

Halbgruppen und Monoide[Bearbeiten]

Frage: Gibt es algebraische Objekte mit weniger Struktur als Gruppen, aber mehr Struktur als Mengen?

- Halbgruppe: Menge mit assoziativer Verknüpfung, aber im Allgemeinen ohne neutrales Element und inverse Elemente. Anders als bei Gruppen impliziert hier wegen des allg. Fehlens inverser Elemente die Existenz eines linksneutralen Elements noch nicht die Existenz eines neutralen Elements, sodass es Halbgruppen mit linksneutralen bzw. rechtsneutralen, aber ohne neutrale Elemente gibt. Beispiel: Menge mit Verknüpfung für alle - alle Elemente sind linksneutral, kein Element ist rechtsneutral, kein Element ist neutral.

- Monoid: Halbgruppe mit neutralem Element

Satz von Cayley[Bearbeiten]

Satz (Satz von Cayley)

Jede Gruppe mit Elementen ist isomorph einer Untergruppe der Gruppe

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To-Do:

Beweis Satz von Cayley, Artikel zu Gruppenhomomorphismen und Gruppenisomorphismen

Ausblick[Bearbeiten]

  • Veranschaulichung der Gruppenelemente als bijektive Abbildungen der Gruppe auf sich selbst (Satz v. Cayley: Endliche Gruppen sind isomorph zu Untergruppen der symmetrischen Gruppe ihrer Ordnung).
  • Modellierung des Befestigens eines Bilds an Nägeln mithilfe einer Schnur durch nicht kommutative Gruppe.