Gruppen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Einführung:

Im Alltag und in der Mathematik: Operationen wie "Verdrehen eines Zauberwürfels", "Verflechten von Schnüren", "Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen" oder "Addieren von Vektorpfeilen in der Ebene" weisen ähnliche Strukturen auf, die durch die Definition des algebraischen Objekts Gruppe präzise zusammengefasst werden. Hierfür sind besonders folgende Eigenschaften wichtig, die alle der genannten Beispiele aufweisen (erläutert anhand von "Verflechten von Schnüren"; ggf. mit Bild, also vier farbige Linien, die übereinandergelegt werden):

Hintereinanderausführung von Verflechtungen ergibt wieder Verflechtung (Bild!), Verknüpfung ist assoziativ (explizit zeigen!), die Verflechtung, bei der alle Schnüre an ihren ursprünglichen Platz gelegt werden, ändert nichts, zu jeder Verflechtung existiert eine entgegengesetzte Verflechtung, die Erstere wieder rückgängig macht. Die Verknüpfung ist nicht kommutativ (Bild!).

Definition der Gruppe [Bearbeiten]

Sei M eine nichtleere Menge und eine innere Verknüpfung.

Das Tupel wird genau dann Gruppe genannt, wenn es folgende Eigenschaften besitzt:

  1. Abgeschlossenheit

Für alle Elemente a, b aus M liegt a b wieder in M.

Hinweis

Dies ist gleichbedeutend damit, dass die innere Verknüpfung wohldefiniert ist.

  1. Assoziativität

Die Verknüpfung ist assoziativ, das heißt: Für alle gilt

  1. Existenz eines (links-)neutralen Elements

Es existiert ein , sodass für alle gilt:

.

Das Element , das diese Eigenschaft besitzt, wird neutrales Element von M genannt. Wir werden später zeigen, dass es in jeder Gruppe nur ein einziges neutrales Element geben kann.

  1. Existenz (links-)inverser Elemente

Für jedes gilt: Es existiert ein , sodass .

Das Element , das diese Eigenschaft bezüglich a besitzt, wird inverses Element von a in M (bezüglich ) genannt. Wir werden später zeigen, dass es in einer Gruppe zu jedem Element nur ein einziges inverses Element geben kann.

Hinweis

Erfüllt diese Eigenschaften, folgt:

  1. Das neutrale Element e ist auch rechtsneutral. Es gilt also für alle . Das rechtfertigt die Bezeichnung "neutrales Element", obwohl wir nur Linksneutralität fordern.
  1. Inverse Elemente sind auch rechtsinvers. Es gilt also für alle und ihre Inversen .
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To-Do:

Aufgabe einfügen

Wir werden später zeigen, dass die inversen Elemente eindeutig bestimmt sind.

Bemerkungen

Häufig verwendete andere Schreibweisen für das neutrale Element sind 1, m_1, 1_M, oder 0, 0_M, m_0. Letztere werden in Anlehnung an die Notation für ganze Zahlen in abelschen Gruppen verwendet, wenn die Verknüpfung "additiv" geschrieben wird, man also das Symbol + für sie gebraucht.

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To-Do:

Überblick über Notationen, Unterschied zwischen "additiven" und "multiplikativen" Gruppen geben.

Beispiele

- Q als multiplikative und als additive Gruppe, Hervorheben: Das neutrale Element hängt von der Verknüpfung ab!

- Z als additive Gruppe, Z keine multiplikative Gruppe

- Z modulo 12 (Uhr) als additive Gruppe

- nte symmetrische Gruppe (Veranschaulichung durch Verflechten von Schnüren; insbes. i. A. nicht kommutativ!)

- Gruppe der Rotationen

- N ist keine (additive) Gruppe, möglich als ÜA

Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente [Bearbeiten]

-Eindeutigkeit des neutralen Elements beweisen

-ÜA: Eindeutigkeit der inversen Elemente

Untergruppe[Bearbeiten]

- Teilmenge einer Gruppe, die mit ererbten Strukturen wieder eine Gruppe bildet. Eventuell Inklusion, "Teilmengennotation" - Wichtig für die Unterringe: Untergruppe aus neutralem Element, Untergruppe aus der ganzen Gruppe. - Def. der echten Untergruppe -Beispiele:

  1. Z als Untergruppe von Q von R von C
  2. 2Z als Untergruppe von Z

- Beweis: Alle Untergruppen von besitzen die Form für (Satz v. der Division mit Rest wird als aus der Schule bekannt vorausgesetzt).

Halbgruppen und Monoide[Bearbeiten]

Frage: Gibt es algebraische Objekte mit weniger Struktur als Gruppen, aber mehr Struktur als Mengen?

- Halbgruppe: Menge mit assoziativer Verknüpfung, aber im Allgemeinen ohne neutrales Element und inverse Elemente. Anders als bei Gruppen impliziert hier wegen des allg. Fehlens inverser Elemente die Existenz eines linksneutralen Elements noch nicht die Existenz eines neutralen Elements, sodass es Halbgruppen mit linksneutralen bzw. rechtsneutralen, aber ohne neutrale Elemente gibt. Beispiel: Menge mit Verknüpfung für alle - alle Elemente sind linksneutral, kein Element ist rechtsneutral, kein Element ist neutral.

- Monoid: Halbgruppe mit neutralem Element

Ausblick[Bearbeiten]

  • Veranschaulichung der Gruppenelemente als bijektive Abbildungen der Gruppe auf sich selbst (Satz v. Cayley: Endliche Gruppen sind isomorph zu Untergruppen der symmetrischen Gruppe ihrer Ordnung).
  • Modellierung des Befestigens eines Bilds an Nägeln mithilfe einer Schnur durch nicht kommutative Gruppe.