Gruppen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Einführung:

Im Alltag und in der Mathematik: Operationen wie "Verdrehen eines Zauberwürfels", "Verflechten von Schnüren", "Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen" oder "Addieren von Vektorpfeilen in der Ebene" weisen ähnliche Strukturen auf, die durch die Definition des algebraischen Objekts Gruppe präzise zusammengefasst werden. Hierfür sind besonders folgende Eigenschaften wichtig, die alle der genannten Beispiele aufweisen (erläutert anhand von "Verflechten von Schnüren"; ggf. mit Bild, also vier farbige Linien, die übereinandergelegt werden):

Hintereinanderausführung von Verflechtungen ergibt wieder Verflechtung (Bild!), Verknüpfung ist assoziativ (explizit zeigen!), die Verflechtung, bei der alle Schnüre an ihren ursprünglichen Platz gelegt werden, ändert nichts, zu jeder Verflechtung existiert eine entgegengesetzte Verflechtung, die Erstere wieder rückgängig macht. Die Verknüpfung ist nicht kommutativ.

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To-Do:

(Bild!)


Die Gruppe der Rotationen im [Bearbeiten]

Beispiel (Die Gruppe der Rotationen im )

Dieser Abschnitt muss noch erstellt werden

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To-Do:

Abschnitt erstellen, dazu folgende Anregungen: *Rotation=Drehung um beliebige Gerade im R³, "Gegenbeispiel": Spiegelungen sind keine Rotationen.

*Beweis durch Grafik (also informell): Die Hintereinanderausführung von Drehungen ergibt wieder Drehung.
*Weil die Verknüpfung zweier Rotationen immer eine Rotation ergibt, haben "Drehbewegungen" immer einen Eigenvektor (informell)
*Die Gruppe der Rotationen ist nicht kommutativ, Verdeutlichung durch explizites Beispiel: Besonders anschaulich: Führe nicht kommutierende Rotationen eines Quaders in zwei Reihenfolgen aus
*Ausblick: Einführung der Bezeichnung SO(3). Jede Rotation kann in drei Rotationen um x,y und z-Achse zerlegt werden. Daher erzeugen die jeweiligen Drehmatrritzen die SO(3). Man kann diese Gruppe noch um Spiegelungen erweitern, eventuell eigener Abschnitt hierzu

Definition der Gruppe [Bearbeiten]

Definition (Gruppe)

Sei eine nichtleere Menge und eine innere Verknüpfung.

Eine innere Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung von nach , die ein Tupel von Elementen aus auf ein Element in M abbildet. Man sagt, die Verknüpfung von mit ergibt , und schreibt .

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To-Do:

Abschnitt zu Verknüpfungen im Artikel über Algebraische Strukturen erstellen und verlinken.

Das Tupel wird Gruppe genannt, wenn es folgende Eigenschaften besitzt:

  1. Abgeschlossenheit: Für alle Elemente aus liegt wieder in . Eigentlich ist diese Bedingung redundant, denn sie ist gleichbedeutend damit, dass die Abbildung wohldefiniert ist, dass also tatsächlich jedes Tupel von auf ein Elemt aus abgebildet wird. Anders ausgedrückt: Diese Bedingung sagt nichts weiter, als dass die Vertknüpfung zweier Elemente aus wieder ein Element aus ergibt, dies ist aber genau die definierende Eigenschaft der Verknüpfung, und daher eigentlich ohnehin erfüllt. Die Abgeschlossenheit wird explizit gefordert, um daran zu erinnern, dass man beim Nachweis/Überprüfen der Gruppeneigenschaft einer Menge unter einer gegebenen Verknüpfung immer daran denken sollte, auch die Wohldefiniertheit der Verknüpfung zu prüfen. Die Eigenschaft, abgeschlossen unter einer Verknüpfung zu sein, ist insbesondere auch für das Konzept der Untergruppe relevant, welches wir später in diesem Artikel einführen werden.
  2. Assoziativität: Die Verknüpfung ist assoziativ, das heißt: Für alle Elemente gilt
  3. Existenz eines neutralen Elements: Es existiert ein Element , sodass für alle Elemente gilt: . Dieses Element nennt man das neutrale Element von bezüglich der Verknüpfung .
  4. Existenz inverser Elemente: Für jedes Element gilt: Es existiert ein Element , sodass . Das Element mit dieser Eigenschaft heißt inverses Element von unter der Verknüpfung . Und ist, wie wir später sehen werden, eindeutig bestimmt. Das heißt, zu jedem Element existiert genau ein (unter der Verknüpfung ) inverses Element . Die Eindeutigkeit ist nicht Teil der Definition, sondern folgt aus der definierenden Eigenschaft des inversen Elements. Manchmal wird in der Definition der Gruppe die Eindeutigkeit der inversen Elemente in der Definition gefordert, dies ist aber nicht notwendig. Häufig werden die inversen Elemente auch verkürzend nur "Inverse" genannt.
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To-Do:

Abschnitt zu Assoziativität im Artikel zu algebraischen Strukturen erstellen und verlinken.

Hinweis

Üblicherweise schreibt man oft nur " ist eine Gruppe" anstatt "ist eine Gruppe", falls man davon ausgeht, dass "klar" ist, welche Verknüpfung gemeint ist.

Bemerkung[Bearbeiten]

Wir haben in der Defnition der Gruppe nicht gefordert, dass eine kommutative Verknüpfung ist. Es ist also erlaubt, dass Elemente existieren mit . Ein Beispiel dafür ist die Gruppe der Rotationen im aus der Einleitung. Gruppen, bei denen die Verknüpfung kommutativ ist, haben besonders schöne Eigenschaften, weswegen sie ihren eigenen Namen bekommen:

Definition abelsche Gruppe [Bearbeiten]

Definition (Abelsche Gruppe)

Sei eine Gruppe.

Wir nennen abelsch (oder kommutativ), falls kommutativ ist, d.h. falls für alle gilt:


Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel (Die rationalen Zahlen unter Addition und Multiplikation)

Die rationalen Zahlen bilden mit der gewöhnlichen Addition eine abelsche Gruppe, denn es gilt:

  1. für alle . Die rationalen Zahlen sind also abgeschlossen unter Addition.
  2. Die Addition ist assoziativ, und kommutativ.
  3. Die Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition, denn für alle gilt: .
  4. Zu jeder rationalen Zahl ist das (unter Addition ) inverse Element, da .

-Auch unter der Multiplikation bilden die rationalen Zahlen eine abelsche Gruppe.

  1. Für zwei rationale Zahlen gilt immer , das heißt ist abgeschlossen unter Multiplikation.
  2. Die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ.
  3. Die ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation.
  4. Zu ist das unter Multiplikation inverse Element, es gilt .

Die Null muss ausgeschlossen werden, weil es zur Null kein multiplikatives Inverses in gibt. Für alle rationalen Zahlen gilt: . Sowohl das neutrale Element als auch die inversen Elemente einer Gruppe hängen also nicht nur von der Menge, auf der die Verknüpfung definiert ist, sondern auch von der Verknüpfung ab.

Beispiel (Die ganzen Zahlen unter Addition)

Die ganzen Zahlen bilden mit der (gewöhnlichen) Addition eine abelsche Gruppe.

  1. Für alle ganzen Zahlen gilt: . Die ganzen Zahlen sind also abgeschlossen unter der Addition.
  2. Die Addition ist assoziativ und kommutativ.
  3. Die Null ist eine ganze Zahl, und das neutrale Element der Addition.
  4. Zu jeder ganzen Zahl ist wieder eine ganze Zahl, und das additive Inverse, da
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To-Do:

Z modulo 12 z als Beispiel einer additiven Gruppe. Wirklich hier? Benötigt Quotientenräume/Äquivalenzrelationen

Zur Definition der Gruppe[Bearbeiten]

Die Existenz von Inversen ist hilfreich beim Rechnen in Gruppen: Falls für drei Elemente einer Gruppe gilt: kann man dies umformen zu:

Das bedeutet, wir können in Gruppen "dividieren" (am Beispiel der ganzen Zahlen bedeutet dies, dass wir subtrahieren können, da hier das Inverse zu nicht sondern ist).

Satz (Eindeutigkeit des neutralen Elements)

Gruppen besitzen genau ein neutrales Element, das bedeutet: Für jede Gruppe gibt es genau ein sodass für alle gilt

Beweis (Eindeutigkeit des neutralen Elements)

Sei eine Gruppe. Nach Definition einer Gruppe gibt es ein neutrales Element . Angenommen, ist ein weiteres neutrales Elemente von . Per Definition eines neutralen Elementes haben wir für alle  :

Insbesondere können wir in die erste Formel und in die zweite Formel einsetzen. Das ergibt:

Das liefert schon . Also gibt es nur ein neutrales Element, nämlich .

Auch inverse Elemente sind eindeutig:

Satz (Eindeutigkeit von inversen Elementen)

Set eine Gruppe, ein Element. Dann gibt es genau ein mit

Beweis (Eindeutigkeit von inversen Elementen)

Die Existenz folgt direkt aus der Definition einer Gruppe.

Zur Eindeutigkeit: Angenommen, es gibt , mit und . Dann folgt

Das inverse Element eines Elements (unter ) ist also eindeutig bestimmt. Außerdem gelten die üblichen Potenzgesetze, wenn wir und für definieren. Es gilt also für alle und : und . Insbesondere ist das inverse Element von , für alle Elemente . Jedes Element ist also invers zu seinem eigenen inversen Element. Diese Eigenschaft gilt allgemein in allen Gruppen, Kommutativität der Verknüpfung ist dafür nicht erforderlich.

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To-Do:

Potenzgesetze beweisen


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To-Do:

Neu strukturieren, Grundvorstellungen zu Links/Rechts- inversen entwickeln

Bemerkungen:

Häufig verwendete andere Schreibweisen für das neutrale Element sind , oder . Letztere werden vorrangig für abelsche Gruppen verwendet. Eine sehr bekannte abelsche Gruppe bilden die ganzen Zahlen unter Addition, die Null ist dort das neutrale Element. In Anlehnung daran schreibt man die Verknüpfung einer abelschen Gruppe häufig "additiv", man verwendet also eines der Symbole an Stelle von , und oder für das Neutrale Element, sowie statt für das Inverse zu einem Element .


Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Die natürlichen Zahlen sind keine Gruppe (weder unter Addition noch unter Multiplikation))

Zeige, dass die natürlichen Zahlen weder unter der gewöhnlichen Addition, noch unter Multiplikation eine Gruppe bilden.

Lösung (Die natürlichen Zahlen sind keine Gruppe (weder unter Addition noch unter Multiplikation))

  1. Zur Addition: In gibt es kein neutrales Element, da für alle gilt: . Daher kann man auch keine Inversen festlegen (weil man nicht prüfen kann, ob zwei Elemente zueinander invers sind). In ist die ein neutrales Element unter Addition, weil für alle gilt: . Aber (mit Ausnahme der Null) gibt es keine natürlicheZahl, die ein inverses Element in den natürlichen Zahlen hat.
  2. Zur Multiplikation: Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen unter Multiplikation, die Multiplikation ist assoziativ und mit der haben wir ein neutrales Element der Multiplikation. Aber: Die ist die einzige natürliche Zahl, die ein multiplikativ Inverses in den natürlichen Zahlen besitzt.

Aufgabe (Die ganzen Zahlen sind keine Gruppe unter Multiplikation)

Überlege Dir, wieso mit der gewöhnlichen Multiplikation keine Gruppe bilden.

Lösung (Die ganzen Zahlen sind keine Gruppe unter Multiplikation)

In einer Gruppe müssen zu jedem Element Inverse existieren. Aber es gibt keine ganze Zahl mit . Daher kann keine Gruppe sein. Genauer: sind die einzigen ganzen Zahlen, die multiplikative Inverse in den ganzen Zahlen haben.

Die symmetrische Gruppe [Bearbeiten]

Für betrachte die Menge . Eine bijektive Abbildung heißt Permutation. Die Permutationen sind also genau die 1:1- Zuordnungen von Elementen aus . Eine Permutation vertauscht die Zahlen aus miteinander.

Für haben wir die Permutationen

und

Aufgabe ()

Bestimme alle Permutationen für

Lösung ()

Es gibt sechs Permutationen über .

Wenn man zwei Permutationen miteinander verknüpft, also hintereinanderausführt, erhält man wieder eine Permutation. (Die Komposition zweier Permutationen zu ) ist eine Abbildung von nach , und bijektiv als Verkettung bijektiver Abbildungen. Etwas intuitiver ausgedrückt: Jede Vertauschung von Elementen aus , die in mehreren Runden durchgeführt wird (also durch Hintereinanderausführung von mehreren Vertauschungen/Permutationen), ist auch in einem Durchgang realisierbar.

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To-Do:

{{{1}}}

Mache Dir klar, wieso die Verkettung zweier bijektiver Abbildung wieder bijektiv ist! Wie wir gleich beweisen werden, bildet die Menge der Permutationen über mit der Komposition eine Gruppe. Sie heißt "symmetrische Gruppe" in Elementen. Die symmetrische Gruppe ist nicht kommutativ für . Wir bezeichnen die Menge der Permutationen über von nun an mit


  • Wir haben bereits geprüft, dass die Verknüpfung , die zwei Permutationen miteinander verkettet, wohldefiniert ist. Anders ausgedrückt: Für zwei Permutationen ist wieder eine Permutation. Das heißt, ist abgeschlossen unter .
  • ist assoziativ
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To-Do:

Assoziativität begründen

  • Die Identität ist das neutrale Element, sie vertauscht keine Elemente.
  • Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung von nach . Jede Permutation hat daher eine Umkehrabbildung , welche die Zahlen auf ihre Urbilder (unter zurückschickt, es gilt . Weil eine Abbildung von nach bijektiv ist (mit Umkehrabbildung ), ist ebenfalls eine Permutation aus und somit ein Inverses Element zu .

bildet also mit der Verknüpfung eine Gruppe. Man nennt die nte symmetrische Gruppe.

Für ist nicht abelsch, denn:

Für sind

und

Permutationen aus . Es gilt , aber , also ist . Die Verknüpfung ist daher nicht kommutativ, also ist keine abelsche Gruppe (für ).

Aufgabe (Über die symmetrische Gruppe (schwer))

Überlege Dir, unter welcher Bedingung zwei Permutationen miteinander kommutieren.

Beweis (Über die symmetrische Gruppe (schwer))

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To-Do:

Lösung, ggf. Hinweis formulieren

Wenn Du noch mehr über die nte symmetrische Gruppe lernen möchtest, schau Dir doch den Satz von Cayley am Ende dieses Artikels an.

Untergruppe[Bearbeiten]

Teilmenge einer Gruppe, die mit ererbten Strukturen wieder eine Gruppe bildet (Motivation: Nur Teilmenge der Gruppenelemente relevant, z.B. nur die geraden ganzen Zahlen(mit Anwendung unterfüttern!)). Eventuell Inklusion, "Teilmengennotation" einführen -Wichtig für die Unterringe: Untergruppe aus neutralem Element, Untergruppe aus der ganzen Gruppe.

Definition (Untergruppe)

Sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe (von G), falls

  1. für alle gilt . Man sagt auch U ist abgeschlossen unter .
  2. für alle gilt
  3. das neutrale Element aus liegt in . Dies folgt bereits aus den ersten 3 Punkten (Übungsaufgabe, siehe unten)

Hinweis

Eine Untergruppe ist selbst wieder eine Grupper mit der Verknüpfung . Üblicherweise schreibt man anstatt von einfach nur .

Wie überprüft man, ob eine Teilmenge eine Untergruppe ist?[Bearbeiten]

Satz

Sei eine Gruppe. Eine Teilmenge ist eine Untergruppe, genau dann wenn gilt:

  1. Für alle gilt

Beweis

Beweisschritt: ""

folgt direkt aus der Definition der Untergruppe. Seien . Da Untergruppe gilt , und damit ist

Beweisschritt: ""

folgt aus Eigenschaft 1. Zunächst zeigen wir, dass das neutrale Element in liegt. Da , existiert ein . Eigenschaft 2 impliziert dann, mit , dass . Nun zeigen wir, dass für ein auch gilt : Aus Eigenschaft 2 mit folgt: Zum Schluss zeigen wir noch, dass für gilt: Aus dem vorherigen Schritt wissen wir bereits, dass . Dann folgt aber wieder aus Eigenschaft 2, dass

Aufgabe

Sei eine Gruppe, eine Untergruppe. Zeige:

Beweis

Da , gibt es also ein . Da abgeschlossen unter Inversen ist, folgt . Da abgeschlossen unter Multiplikation ist, folgt

Beispiele von Untergruppen[Bearbeiten]

Beispiel (Triviale Untergruppen)

Sei eine Gruppe. Dann sind und Untergruppen von . Man nennt diese Untergruppen die trivialen Untergruppen, da sie immer existieren.

Beispiel

als Untergruppe von

als Untergruppe von

Beweis

Wir zeigen, dass eine Untergruppe ist (bezüglich der Addition). Da , ist also . Wir müssen also nur noch zeigen, wenn , dann ist bereits . Seien dazu . Das bedeutet, es gibt mit Dann ist aber .

Also is eine Untergruppe.

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To-Do:

Beweis 2. Beispiel

Das 2. Beispiel gibt Anlass zu folgender Verallgemeinerung

Satz (Untergruppen von )

Sei . Dann gilt folgende Äquivalenz:

ist Untergruppe Es gibt , sodass

Beweis (Untergruppen von )

Beweisschritt: ""

Sei , sodass . Es ist , da

Seien . Dann gibt es , sodass gilt

Dann ist auch

Also ist Untergruppe

Beweisschritt: ""

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To-Do:

Satz Alle Additiven Untergruppen von besitzen die Form für (Satz v. der Division mit Rest wird als aus der Schule bekannt vorausgesetzt).

Hinweis

Der obige Beweis zeigt auch, dass ein Hauptidealring ist (es ist nicht wichtig, ob du diese Aussage verstehst).

Halbgruppen und Monoide[Bearbeiten]

Nachdem wir nun die Definition der Gruppe etwas kennengelernt haben, ergibt sich vielleicht die Frage: Gibt es algebraische Objekte mit weniger Struktur als Gruppen, aber mehr Struktur als Mengen?

Die Antwort ist ja, und sie haben sogar Namen: Da diese Objekte im Vergleich zu Gruppen nur eine geringe Rolle spielen, werden wir uns hier auf ihre Definitionen beschränken.

Eine Halbgruppe ist eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung . Abgesehen von der Assoziativität muss die Menge unter der Verknüpfung keine weiteren Eigenschaften erfüllen. Eine Halbgruppe erfüllt also genau die ersten beiden Eigenschaften aus der Definition der Gruppe. Im Allgemeinen haben Gruppen weder inverse noch neutrale Elemente, aber natürlich gibt es Halbgruppen die ein neutrales und/oder ein inverses Element enthalten. Insbesondere ist jede Gruppe auch eine Halbgruppe (unter der Gruppenverknüpfung). Noch eine weitere Besonderheit von Halbgruppen: Es existieren Halbgruppen mit linksneutralem oder rechtsneutralem ELement, aber ohne neutrales Element.

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To-Do:

Beispiel einfügen

Eine Halbgruppe, die ein neutrales Element enthält, heißt Monoid. Monoide erfüllen die ersten drei Axiome aus der Definition der Gruppe, ihnen fehlt "nur" die Existenz von Inversen.

Satz von Cayley [Bearbeiten]

Der folgende Satz zeigt, dass jede endliche Gruppe Untergruppe einer symmetrischen Gruppe ist. Zum Beweis des Satzes benötigen wir das Konzept von strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Gruppen. Falls du noch nicht weißt, was das ist, kannst du diesen Satz ohne Probleme überspringen, er befindet sich aus konzeptionellen Gründen hier.

Satz (Satz von Cayley)

Jede Gruppe mit Elementen ist isomorph einer Untergruppe der Gruppe

Beweis (Satz von Cayley)

Sei eine Gruppe mit Elementen. Sei ein Element. Betrachte die Abbildung (von Mengen, nicht von Gruppen) .

Beweisschritt: ist eine Bijektion.

Da endlich ist, genügt es zu zeigen, dass injektiv ist. Seien dazu mit . Da Gruppe, existiert ein Inverses zu , und es folgt . Also ist injektiv, und damit bijektiv.

Da endlich ist, und genau Elemente besitzt, können wir die Elemente von G durchnummerieren. Dabei ordnen wir jedem Element genau eine Nummer aus zu, oder formaler ausgedrückt: Wir finden eine Bijektion wi

Wir wollen nun einen injektiven Gruppenhomomorphismus konstruieren. (Dann können wir als Untergruppe von auffassen)

Dazu definieren wir für ein :

Wir sehen leicht, dass als Komposition von Bijektionen wieder eine Bijektion ist, also liegt für alle .

Wir müssen nun noch zeigen, dass die Gruppenstruktur erhält, und injektiv ist.

Beweisschritt:

Sei . Dann gilt:

Also ist

Beweisschritt: für alle

Seien . Dann gilt:

Also folgt

Beweisschritt: ist injektiv.

Es genügt zu zeigen:

Sei als . Das heißt, für alle Daraus folgt aber bereits . Daraus folgt aber , wie gewünscht

Also ist eine Untergruppe.

Hinweis

Im Beweis sehen wir, dass die Einbettung von der Wahl einer Bijektion abhängt.

taucht also öfter als Untergruppe von auf

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To-Do:

Verlinkung + Erstellung Artikel zu Gruppenhomomorphismen und Gruppenisomorphismen

Ausblick[Bearbeiten]

  • Modellierung des Befestigens eines Bilds an Nägeln mithilfe einer Schnur durch nicht kommutative Gruppe.