Körper – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Ein Körper ist eine algebraische Struktur mit Addition und Multiplikation. Körper sind Ringe, bei denen jedes Element außer der Null ein multiplikatives Inverses bestitzt.

Einführung[Bearbeiten]

Wir haben bereits die algebraische Struktur der Ringe kennengelernt. Zwei wichtige Beispiele für Ringe sind die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen . Diese beiden haben jedoch einen entscheidenden Unterschied. Dazu betrachten wir die Gleichung . Diese Gleichung ist nicht mit lösbar. Lassen wir aber zu, dass eine rationale Zahl ist, so ist die Gleichung auf einmal lösbar! Wir können nämlich die Gleichung umstellen zu . Allgemein ist die Gleichung mit und immer über lösbar, indem wir setzen.

Was ist hier der entscheidende Unterschied zwischen und ? Die Antwort lautet: Ist , so dürfen wir in durch teilen. In ist das zwar manchmal möglich, aber nicht immer. Deshalb teilt man in der Grundschule mit Rest.

Teilen dürfen bedeutet dabei: Für alle , existiert ein , sodass . Durch zu teilen ist nichts anderes, als mit zu multiplizieren. Statt schreiben wir auch oft oder .

Allgemeiner nennen wir Ringe, in denen man durch jedes Element ungleich teilen darf, Körper.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Körper)

Ein Ring heißt Körper, falls ist und für alle ein existiert, sodass .

Wir schreiben dann für .

Hinweis

Um die Schreibweise zu rechtfertigen, müssen wir noch beweisen, dass es nur ein solches gibt. Dies geschieht im übernächsten Abschnitt.

Warum fordern wir, dass gilt? Der einzige Ring, bei dem gilt, ist der Nullring. Wir wollen nicht, dass der Nullring ein Körper ist.

Hinweis

Wenn klar ist, in welchem Körper wir rechnen, schreiben wir oft wie in einfach nur statt , statt , statt und statt .

Äquivalente Charakterisierung[Bearbeiten]

Satz (Alternative Charakterisierungen eines Körpers)

Folgende Aussagen sind äquivalent:

  1. bildet unter den Verknüfungen und einen Körper
  2. Unter der Addition bildet die abelsche Gruppe und unter der Multiplikation bildet die abelsche Gruppe . Es existiert eine wohldefinierte Erweiterung der Multiplikation zu einer Abbildung , sodass und sich distributiv verhalten.

Beweis (Alternative Charakterisierungen eines Körpers)

Wir beweisen und .

Beweisschritt:

Sei eine Menge und seien , zwei Verknüpfungen auf , sodass unter den beiden Verknüpfungen einen kommutativen Ring bildet. Weiterhin existieren für alle Elemente multiplikative Inverse. Aus Punkt 1 der Definition des Rings folgt, dass eine abelsche Gruppe ist. Nach Punkt 2 der Definition ist unter der Multiplikation ebenfalls abgeschlossen, die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ, und es gibt ein unter der Multiplikation neutrales Element . Seien beliebig. Sei . Da es ein zu multiplikatives Inverses in geben muss, gilt und folglich . Das Produkt muss also in liegen. Wir können daher die Multiplikation zu einer Abbildung einschränken. Die Multiplikation * ist gemäß unserer Annahme assoziativ und kommutativ, denn bildet einen kommutativen Ring. Da haben wir in ebenfalls ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation. Außerdem existieren nach unserer Annahme für alle Elemente aus multiplikative Inverse. Folglich ist eine abelsche Gruppe. Da ein Ring ist, verhalten sich und die Erweiterung von zu distributiv.

Beweisschritt:

Sei eine Menge und seien , Operationen auf , die folgende Eigenschaften erfüllen:

  1. Unter bildet eine abelsche Gruppe
  2. ist mit der Verknüpfung eine abelsche Gruppe.
  3. Außerdem existiert eine Erweiterung der Multiplikation zu einer Abbildung, und diese ist distributiv bezüglich der Addition in .

Wir wollen zeigen, dass unter und einen Körper bildet und sich jedes Element ein multiplikatives Inverses gibt.

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To-Do:

Beweis fertig schreiben

Eigenschaften[Bearbeiten]

Wir haben bereits gesehen, dass die rationalen Zahlen einen Körper bilden. In den rationalen Zahlen gelten einige Rechenregeln. Zum Beispiel verhalten sich Addition und Multiplikation assoziativ, kommutativ und distributiv. Diese gelten für alle Ringe und somit für alle Körper. Wir wollen jetzt noch einige weitere Eigenschaften betrachten, die nicht nur für , sondern für alle Körper gelten.

Eindeutigkeit der neutralen Elemente[Bearbeiten]

In sind die Zahlen bzw. dadurch ausgezeichnet, dass die Addition bzw. Multiplikation mit ihnen "nichts tut". Sie haben diese Eigenschaft und sind jeweils die einzigen rationalen Zahlen mit dieser Eigenschaft. Ähnliche Eigenschaften sind etwa für Gruppen und Ringe bekannt. Sie gelten analog auch für Körper:

Satz (Eindeutigkeit der neutralen Elemente)

In einem Körper sind das neutrale Element der Addition sowie das neutrale Element der Multiplikation eindeutig bestimmt. In anderen Worten: ist das einzige Element von , sodass für alle . Und ist das einzige Element von , sodass für alle .

Beweis (Eindeutigkeit der neutralen Elemente)

Jeder Körper ist ein Ring. Die Aussage folgt also aus der entsprechenden Aussage für Ringe für die Addition und Multiplikation.

Multiplikation mit Null ergibt Null[Bearbeiten]

Die rationale Zahl hat nicht nur die Eigenschaft, dass sie durch Addition "nichts tut", sondern auch, dass für alle gilt. Multiplikation mit "annuliert" also alle rationalen Zahlen. Analoges gilt in allen Körpern:

Satz (Multiplikation mit Null ergibt Null)

Für alle Elemente eines Körpers gilt .

Beweis (Multiplikation mit Null ergibt Null)

Dies folgt aus der äquivalenten Aussage für Ringe.

Existenz und Eindeutigkeit von inversen Elementen[Bearbeiten]

Satz (Existenz und Eindeutigkeit der additiv Inversen)

Zu jedem Element eines Körpers existiert genau ein unter der Addition inverses Element.

Beweis (Existenz und Eindeutigkeit der additiv Inversen)

Ein Körper ist ein Ring und somit ein Gruppe bezüglich der Addition. Die Aussage gilt also, da in Gruppen jedes Element genau ein Inverses hat.

Satz (Existenz und Eindeutigkeit der multiplikativ Inversen)

Zu jedem Nicht-Null-Element eines Körpers existiert genau ein multiplikativ Inverses.

Beweis (Existenz und Eindeutigkeit der multiplikativ Inversen)

Wir wissen aus der alternativen Charakterisierung, dass die Nicht-Null-Elemente eine Gruppe bezüglich der Multiplikation bilden. Die Aussage gilt also, da in Gruppen jedes Element genau ein Inverses hat.

Satz (Die Null besitzt kein multiplikativ Inverses)

Das Nullelement eines Körpers ist nicht multiplikativ invertierbar.

Beweis (Die Null besitzt kein multiplikativ Inverses)

Es gilt für alle : (dies haben wir oben gesehen). Da in Körpern ungleich ist, kann also kein multiplikativ Inverses haben.

Körper sind Integritätsbereiche[Bearbeiten]

Integritätsbereiche sind Ringe, die die schöne Eigenschaft haben, dass ein Produkt von zwei Elementen nur dann Null ergeben kann, wenn bereits einer der Faktoren gleich Null ist. Körper sind ebenfalls Ringe mit einer schönen Eigenschaft, nämlich, dass man durch jedes Element ungleich Null teilen darf. Es stellt sich die Frage, wie diese schönen Eigenschaften zusammenhängen. Ist eine Eigenschaft vielleicht schöner als die andere?

Die Antwort lautet: Die Körpereigenschaft ist schöner als die Integritätsbereicheigenschaft, denn jeder Körper ist Integritätsbereich, aber nicht umgekehrt. Wir wollen dies nun beweisen.

Satz (Körper sind Integritätsbereiche)

Sei ein Körper. Dann gilt für zwei Elemente , dass aus bereits oder folgt. Körper sind also insbesondere Integritätsbereiche.

Beweis (Körper sind Integritätsbereiche)

Seien mit . Falls , so sind wir fertig. Im Falle existiert ein zu bezüglich der Multiplikation inverses Element . Damit erhalten wir

Somit folgt aus , dass ist.

Ein Beispiel für einen Integritätsbereich, der kein Körper ist, sind die ganzen Zahlen . Tatsächlich haben wir die Existenz von und die Definition von Körpern dadurch motiviert, dass man in eben nicht immer teilen darf. Im Abschnitt über Quotientenkörper zeigen wir allerdings, dass man jedem Integritätsbereich zu einem Körper erweitern kann. Dies verläuft analog dazu, wie man zu erweitert.

Beispiele[Bearbeiten]

Aus der Schule bekannte Körper und Nicht-Körper[Bearbeiten]

Aus der Schule sind die Zahlenbereiche der natürlichen Zahlen , der ganzen Zahlen , der rationalen Zahlen und der reellen Zahlen bekannt. Wir wissen bereits, dass kein Ring ist. Daher kann es insbesondere kein Körper sein. Im Ringartikel haben wir gesehen, dass ein Ring ist. Allerdings haben wir in der Einleitung gesehen, dass nicht alle Elemente von in invertierbar sind. Tatsächlich sind die einzigen Einheiten von die Elemente und .

Die rationalen Zahlen sind die kleinste "Erweiterung" von , die ein Körper ist. Darauf werden wir im Abschnitt über Quotientenkörper noch näher eingehen.

Die reellen Zahlen bilden ebenfalls einen Körper. Um dies zu beweisen, muss man die sehr analytische Definition von verwenden. Wir verweisen deshalb auf Standardwerke zur Analysis wie etwa "Analysis 1" aus der beliebten Lehrbuchreihe "Mathe für Nicht-Freaks".

Restklassenkörper von [Bearbeiten]

Wir haben im Artikel über Ringe gesehen, dass einen Ring bildet für alle . Aber wann ist ein Körper? Die Antwort lautet:

Satz (Wann ist ein Körper?)

ist genau dann ein Körper, wenn eine Primzahl ist.

Beweis (Wann ist ein Körper?)

Beweisschritt:

Sei also mit . Wir müssen zeigen, dass oder gilt. Da gilt, gilt in :

ist ein Körper, also insbesondere ein Integritätsbereich. Also gilt in , dass oder . Ohne Einschränkung ist . Daraus folgt, dass ein Teiler von ist. Andererseits ist aber ein Teiler von und beide Zahlen sind positiv. Also gilt und somit .

Da und beliebig waren, folgt, dass eine Primzahl ist.

Beweisschritt:

Sei eine Primzahl. Wir schreiben deshalb von nun an statt . Wir wissen bereits, dass ein Ring ist. Nach der Definition von Körpern müssen wir also zeigen, dass in , und dass jedes Nicht-Null-Element von ein multiplikatives Inverses besitzt.

Es gilt , da kein Teiler von ist (Primzahlen sind ungleich ).

Sei nun beliebig mit . Wir definieren

Unser Ziel ist zu zeigen, dass surjektiv ist. Denn dann liegt insbesondere im Bild, d.h. es existiert ein , sodass . Dieses ist dann das Inverse zu .

Da Definitions- und Wertebereich von endlich und gleichmächtig sind, reicht es zu zeigen, dass injektiv ist.

Dazu: Seien und aus mit . Das heißt, dass . Das ist per Definition äquivalent dazu, dass ein Teiler von ist. Da eine Primzahl ist, folgt, dass ein Teiler von oder von ist. Wir wissen aber, dass nach Voraussetzung gilt. Also teilt nicht . Somit muss ein Teiler von sein. Das heißt und wir haben die Injektivität gezeigt.

Quotientenkörper von Integritätsbereichen[Bearbeiten]

Wir haben in der Einleitung gesehen, dass einen großen Vorteil gegenüber besitzt. Genauer gesagt sind Gleichung wie mit festen Werten und über stets lösbar. Wir konstruieren dafür die Lösung .

Da eine ganze Zahl gleich der rationalen Zahl ist, ist eine Teilmenge von . Außerdem kann man jede rationale Zahl als Bruch von zwei ganzen Zahlen auffassen. Wir erzeugen also aus . Gleichzeitig erweitern wir dadurch zu . Dies hat den Sinn, dass alle linearen Gleichungen lösbar werden.

Diese Darstellung von rationalen Zahlen als Brüche ganzer Zahlen ist aber bekanntlich nicht eindeutig, denn wir können Brüche kürzen und erweitern. Für mit gilt für alle . Zwei Brüche und sind gleich genau dann, wenn wir zu erweitern können. Wenn wir zu erweitern können, finden wir ein , sodass und . Es gilt dann . Umgekehrt gilt auch, dass , falls (weil dann . Ganz allgemein gilt also: Zwei Brüche und (mit sind genau dann gleich, wenn gilt. Daher kann man auffassen als die Menge versehen mit der Äquivalenzrelation .

Die Summe von zwei Brüchen und ergibt .

Wir wollen dieses Konzept jetzt von auf allgemeine Integritätsbereiche verallgemeinern. Wir tun dies nur für Integritätsbereiche, damit der Nenner des Produktes zweier Brüche ungleich ist. Genauer: Seien irgendein Ring und mit . Dann wollen wir natürlich definieren:

Die Zahlen und sind nach Voraussetzung ungleich . Damit das Objekt rechts wieder ein valider Bruch ist, muss gelten. Das ist genau dann sichergestellt, wenn Integritätsbereich ist.

Wir wollen die allgemeine Konstruktion nun formal aufschreiben. Zunächst müssen wir die Menge der "Brüche" von Elementen von definieren. Ein Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner, die beide aus stammen. Allerdings soll der Nenner ungleich Null sein. Eine erste Idee wäre also, Brüche einfach also Paare aus zu definieren. Wir müssen allerdings beachten, dass Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, als gleich aufgefasst werden. Dies motiviert folgende Definition.

Satz (Eine Äquivalenzrelation)

Sei ein Integritätsbereich. Wir definieren eine Relation auf via .

Dies ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis (Eine Äquivalenzrelation)

Wir müssen zeigen, dass reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Beweisschritt: ist reflexiv

Sei . Dann ist , also folgt . Damit ist die Reflexivität von gezeigt.

Beweisschritt: ist symmetrisch

Seien sodass . Dann ist nach Definition , also auch . Das bedeutet aber, dass . Damit ist die Symmetrie von gezeigt.

Beweisschritt: ist transitiv

Seien , sodass . Dies bedeutet, dass und . Dann ist aber . Da ein Integritätsbereich ist, und , können wir kürzen, und es gilt . Daher gilt . Damit ist die Transitivität von gezeigt.

Die Menge der Brüche soll die Grundlage des Quotientenkörpers werden. Auf der Menge der Brüche wollen wir nun eine Addition und die Multiplikation definieren. Diese orientieren sich an den entsprechenden Operationen auf wie oben dargestellt.

Definition (Quotientenkörper)

Sei ein Integritätsbereich mit der oben definierten Äquivalenzrelation . Wir definieren (als Menge)

Weiterhin definieren wir zwei Operationen auf wie folgt. Seien . Definiere

und

Nun zeigen wir, dass die Menge der Brüche mit diesen Operationen tatsächlich einen Körper bildet. Dabei müssen wir insbesondere darauf achten, dass die Operationen wohldefiniert sind. In unserem Fall heißt das, dass die Operationen unabhängig von der Darstellung eines Bruches als Paar von Zähler und Nenner sind.

Satz (Der Quotientenkörper ist ein Körper)

Sei ein Integritätsbereich. Dann ist ein Körper.

Beweis (Der Quotientenkörper ist ein Körper)

Wir zeigen zunächst die Wohldefiniertheit der Operationen und zeigen dann die Körperaxiome.

Beweisschritt: Wohldefiniertheit von

Wir zeigen nur die Wohldefinierheit "im ersten Argument". Die Wohldefiniertheit "im zweiten Argument" folgt analog. Seien dazu und . Dies bedeutet . Wir müssen zeigen:

Dies ist per Definition äquivalent zu

Da und ein Integritätsbereich ist dürfen wir kürzen. Die Aussage ist also äquivalent zu

Ausmultiplizieren liefert

Ersetzen wir nun auf der linken Seite durch erhalten wir

Dies ist eine wahre Aussage. Alle Umformungen waren Äquivalenzumformungen. Also haben wir die Aussage gezeigt.

Beweisschritt: Wohldefiniertheit von

Wir zeigen wieder nur die Wohldefinierheit "im ersten Argument". Die Wohldefiniertheit "im zweiten Argument" folgt wieder analog. Seien dazu und . Dies bedeutet . Wir müssen zeigen:

Dies ist per Definition äquivalent zu

Ersetzen wir nun auf der linken Seite durch erhalten wir

Dies ist eine wahre Aussage. Alle Umformungen waren Äquivalenzumformungen. Also haben wir die Aussage gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität von

Seien . Es gilt

Andererseits ist

Wir müssen zeigen, dass die Elemente ganz rechts in den beiden Formeln gleich sind. Das heißt wir müssen zeigen:

Dafür reicht es wiederum zu zeigen:

Multipliziert man aus, so sieht man, dass beide Seiten gleich sind. Dies zeigt die Assozitativität von .

Beweisschritt: Kommutativität von

Seien . Es gilt

Dies zeigt die Kommutativität von .

Beweisschritt: ist neutrales Element von

Sei . Dann gilt

Also ist neutrales Element bezüglich .

Beweisschritt: ist inverses Element von bezüglich

Sei . Dann gilt

Es gilt aber , da . Also ist Inverses zu bezüglich .

Beweisschritt: Assoziativität von

Seien . Dann gilt

Damit ist die Assoziativität gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität von

Seien . Dann gilt

Damit ist die Kommutativität gezeigt.

Beweisschritt: ist neutrales Element von

Sei . Dann gilt

Also ist neutrales Element bezüglich .

Beweisschritt: ist inverses Element von bezüglich

Sei . Dann ist

Es ist aber , also . Also ist Inverses von bezüglich .

Beweisschritt: Distributivität von über

Seien . Es gilt

Andererseits gilt

Damit Gleichheit gilt, muss gelten:

Nach Ausmultiplizieren sieht man das sofort. Also ist distributiv über .

Damit ist gezeigt, dass ein Körper ist.

Die Äquivalenzklassen von Tupeln wollen wir nun auch in der altbekannten Bruchschreibweise schreiben: Statt schreiben wir von nun an also einfach .

Wir erinnern uns außerdem daran, dass wir eine ganze Zahl als rationale Zahl auffassen können. Genauso fassen wir ein Element als das Element von auf. Das "verträgt" sich mit den Operationen von und . Es ist zum Beispiel dasselbe wie . Es ist also egal, ob wir "in " addieren und dann den Bruch bilden, oder erst die Brüche bilden und diese dann addieren.

Um auf unsere Motivation zurückzukommen, können wir den Körper der rationalen Zahlen neu definieren:

Teilkörper[Bearbeiten]

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To-Do:

Teilkörper sind Unterringe, die Körper sind.

Charakteristik[Bearbeiten]

Wir haben den Körperbegriff am Beispiel motiviert. Im Abschnitt Eigenschaften haben wir auch gesehen, dass in jedem Körper gewisse Eigenschaften gelten, die wir vom Rechnen in gewohnt sind. Allerdings haben manche Körper auch Eigenschaften, die auf den ersten Blick etwas seltsam erscheinen.

Ein Beispiel dafür sind Restklassenkörper. Wir haben oben gezeigt, dass ein Körper ist, falls eine Primzahl ist. In diesem Körper gilt dann, dass . In oder ist sowas natürlich nicht der Fall. Dies motiviert den Begriff der Charakteristik.

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To-Do:

Wenn man Körperhomomorphismen voraussetzt, kann man noch zusätzlich motivieren (oder unten als Eigenschaft anführen), dass Körperhomorphismen nur zwischen Körpern gleicher Charakteristik existieren können, und die Kategorie der Körper durch die Charakteristik somit in "disjunkte Welten" aufgeteilt wird

Definition (Charakteristik eines Körpers)

Sei ein Körper. Die Charakteristik von ist die kleinste die kleinste natürliche Zahl , sodass , sofern solch eine Zahl existiert. Falls eine solche Zahl nicht existiert, so setzen wir .

Satz (Die Charakteristik ist Null oder eine Primzahl)

Sei ein Körper. Dann gilt oder ist eine Primzahl.

Beweis (Die Charakteristik ist Null oder eine Primzahl)

Falls , so sind wir fertig. Sei also . Wir wollen zeigen, dass eine Primzahl ist. Es gilt , da per Definition gilt. Schreibe mit . Wir müssen zeigen, dass oder . Setze und . Dann ist .

Da ein Körper, und somit insbesondere Integritätsbereich ist, gilt oder . Ohne Einschränkung sei . Da nach Definition die kleinste Zahl ist, sodass , folgt . Andererseits gilt , denn und . Also gilt und .

Da und beliebig waren, ist also eine Primzahl.

Beispiel (Beispiele für die Charakteristik von Körpern)

Die Körper , und haben Charakteristik . Für haben wir das bereits angemerkt. Für oder ist das auch nicht überraschend, da wir als Teilmenge (streng genommen als "Teilkörper") von auffassen können. Wenn wir also die in mehrmals aufaddieren, rechnen wir eigentlich nur in . Und da , wird diese Summe niemals .

Für die Restklassenkörper (mit Primzahl) gilt . Das liegt daran, dass durch teilbar ist. Also gilt .

Körperbeweise führen[Bearbeiten]

Wir haben Körper definiert als Ringe, die besondere Eigenschaften erfüllen. Um also nachzuweisen, dass eine Menge zusammen mit zwei Operationen einen Körper bildet, müssen wir also die Ringaxiome zeigen und diese Eigenschaften. Wir wollen hier nochmal auf einen Blick zusammenfassen, welche Eigenschaften das alles umfasst.

Ein Körper ist eine Struktur, die aus einer Menge und zwei verschiedenen inneren Verknüpfungen besteht:

Die Verknüpfungen sind Abbildungen von nach , sie bilden Paare von Elementen aus auf Elemente aus ab. Wir bezeichnen sie mit „" und „" und nennen sie Addition und Multiplikation.

Die Struktur muss dabei folgende Bedingungen erfüllen:

  1. bildet unter der Verknüpfung eine abelsche Gruppe, das heißt
    • ist abgeschlossen unter
    • ist assoziativ und kommutativ.
    • Es existiert ein additives neutrales Element , sodass für alle gilt:
    • Für alle Elemente existiert ein additives inverses Element in , sodass gilt: .
  2. Die Multiplikation erfüllt folgende Eigenschaften:
    • ist abgeschlossen unter .
    • Die Verknüpfung ist assoziativ und kommutativ
    • Es existiert ein multiplikatives neutrales Element , sodass für alle gilt:. Es muss dabei gelten . Man kann zeigen, dass das neutrale Element eindeutig bestimmt ist.
    • Zu jedem Element , außer dem additiven neutralen Element , existiert ein multiplikatives Inverses Element in , sodass gilt .
  3. Man kann und miteinander verknüpfen, dabei verhalten sie sich distributiv. Das heißt für alle Elemente gilt: und