Körper – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Einführung[Bearbeiten]

In unserem Artikel zu Ringen haben wir gezeigt, dass die Menge der rationalen Zahlen unter der Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring bildet. Ringe haben einen entscheidenden Nachteil: In Ringen kann man aus einer Gleichung im Allgemeinen nicht folgern, auch wenn ist. Betrachte zum Beispiel den Restklassenring . In diesem Ring gilt . Es ist , weil sowohl als auch durch teilbar ist. Somit ist , aber es ist . Deshalb gilt im Restklassenring nicht immer für . Man darf also nicht ohne weiteres herauskürzen bzw. die Gleichung nach umstellen.

Nun kennen wir Zahlenbereiche, in denen man solche Umformungen machen darf. Ein Beispiel sind die rationalen Zahlen wo die Implikation für erfüllt ist. Wo liegt hier der Unterschied? Man kann in den rationalen Zahlen teilen. Füreine rationale Zahl ist wieder eine rationale Zahl. So kann man beide Seiten der Gleichung durch teilen indem man mit multipliziert.

Die Existenz von garantiert also, dass man in Gleichungen kürzen kann. Eine solche Zahl nennt man inverses Element und man schreibt . Inverse Elemente haben die charakteristische Eigenschaft . Sie ermöglichen eine Division, denn die Divsion entspricht der Multiplikation mit einem Inversen: .

Es gibt in der Mathematik weitere kommutative Ringe, in denen inverse Elemente existieren. Man nennt solche Strukturen Körper. Die Menge der rationalen Zahlen ist ein solcher Körper.

Definition des Körpers[Bearbeiten]

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To-Do:

Ein Hinweis, dass Körper dasselbe sind wie Ringe mit Inversen Elementen (bzgl Multiplikation)

Definition (Körper)

Ein Körper ist eine Struktur, die aus einer Menge und zwei verschiedenen inneren Verknüpfungen besteht:

Die Verknüpfungen sind Abbildungen von nach , sie bilden Paare von Elementen aus auf Elemente aus ab. Wir bezeichnen sie mit „" und „" und nennen sie Addition und Multiplikation analog zur Schreib- und Sprechweise in Ringen. Das ist sinnvoll, da jeder Körper als Ring aufgefasst werden kann, wie wir im im Satz "Alternative Charakterisierungen eines Körpers" zeigen werden.

Die Struktur muss dabei folgende Bedingungen erfüllen:

  1. bildet unter der Verknüpfung eine abelsche Gruppe, das heißt
    • ist abgeschlossen unter
    • ist assoziativ und kommutativ.
    • Es existiert ein additives neutrales Element , sodass für alle gilt:
    • Für alle Elemente existiert ein additives inverses Element in , sodass gilt: .
  2. Die Multiplikation erfüllt folgende Eigenschaften:
    • ist abgeschlossen unter .
    • Die Verknüpfung ist assoziativ und kommutativ
    • Es existiert ein multiplikatives neutrales Element , sodass für alle gilt:. Es muss dabei gelten . Man kann zeigen, dass das neutrale Element eindeutig bestimmt ist.
    • Zu jedem Element , außer dem additiven neutralen Element , existiert ein multiplikatives Inverses Element in , sodass gilt .
  3. Man kann und miteinander verknüpfen, dabei verhalten sie sich distributiv. Das heißt für alle Elemente gilt: und

Eigenschaften von Körpern[Bearbeiten]

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To-Do:

Die meisten Eigenschaften hier gelten allgemeiner für Ringe oder Gruppen, und wurden bereits in den entsprechenden Artikeln bewiesen. Deshalb würde ich vorschlagen, hier nur die Aussagen hinzuschreiben, und die Beweise zu verlinken, bzw. zu sagen, dass es geht, weil jeder Körper ein Ring/eine ab.Gruppe ist

Eindeutigkeit der neutralen Elemente[Bearbeiten]

Satz (Eindeutigkeit der neutralen Elemente)

In einem Körper sind das neutrale Element der Addition sowie das neutrale Element der Multiplikation eindeutig bestimmt.

Beweis (Eindeutigkeit der neutralen Elemente)

Sei ein Körper unter den Verknüpfungen und .

  1. Eindeutigkeit des neutralen Elements der Addition: Seien neutrale additive Elemente. Dann gilt gemäß der Definition des neutralen Elements

    Für folgt aus der ersten Gleichung und für folgt aus der zweiten Gleichung . Damit ist . Folglich sind die beiden neutralen Elemente gleich, oder anders ausgedrückt: Es gibt nur ein einziges neutrales Element bezüglich der Addition.

  2. Eindeutigkeit des neutralen Elements der Multiplikation: Seien neutrale multiplikative Elemente. Dann gilt gemäß der Definition des neutralen Elements der Multiplikation für alle

    Aus der ersten Gleichung folgt mit , dass . Aus der zweiten Gleichung kann man über folgern. Damit ist . Alle neutralen multiplikativen Elemente sind gleich, oder anders ausgedrückt: Es gibt nur ein einziges neutrales Element bezüglich der Multiplikation.

Eindeutigkeit der inversen Elemente[Bearbeiten]

Satz (Eindeutigkeit der inversen Elemente)

Zu jedem Element eines Körpers existiert genau ein unter der Addition inverses Element. Die multiplikativen inversen Elemente in einem Körper sind ebenfalls eindeutig bestimmt.

Beweis (Eindeutigkeit der inversen Elemente)

Sei ein Körper unter den Verknüpfungen und .

  1. Eindeutigkeit der inversen Elemente der Addition: Sei ein beliebiges Element und zu additiv-inverse Elemente. Dann gilt

    Aufgrund der Assoziativiät muss gelten: , also auch . Folglich gibt es nur ein einziges zu inverses Element der Addition.

  2. Eindeutigkeit der inversen Elemente der Multiplikation: Sei ein beliebiges Element mit . Seien zu inverse Elemente der Multiplikation. Dann gilt

    Aufgrund der Assoziativität der Multiplikation gilt , also auch . Es gibt daher nur ein einziges Element, welches zu unter der Multiplikation invers ist. Folglich sind auch die multiplikativen Inversen eindeutig bestimmt.

Multiplikation mit Null ergibt Null[Bearbeiten]

Satz (Multiplikation mit Null ergibt Null)

Für alle Elemente eines Körpers gilt .

Beweis (Multiplikation mit Null ergibt Null)

Sei ein beliebiges Element aus dem Körper . Sei das neutrale Element der Addition in . Sei das zu additive Inverse. Es gilt:

Somit ist gezeigt, dass für alle die Gleichung gilt. Aufgrund der Kommutativität von gilt ebenfalls .

Körper sind Integritätsbereiche[Bearbeiten]

Satz (Körper sind Integritätsbereiche)

In einem Körper gilt für zwei Elemente , dass aus bereits oder folgt. Äquivalent dazu ist die Formulierung, dass für zwei Elemente mit das Produkt ist.

Beweis (Körper sind Integritätsbereiche)

Sei ein beliebiger Körper mit der Addition und der Multiplikation . Seien und zwei beliebige Elemente in mit . Im Fall von existiert ein zu inverses Element der Multiplikation. Damit erhalten wir

Somit folgt aus , dass ist. Analog folgt aus , dass ist. Es ist also entweder oder .

Alternative Charakterisierungen eines Körpers[Bearbeiten]

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To-Do:

Grafik( Dreiecksförmige Implikation) einfügen

Satz (Alternative Charakterisierungen eines Körpers)

Folgende Aussagen sind äquivalent:

  1. bildet unter den Verknüfungen und einen Körper
  2. bildet unter den Verknüpfungen und einen kommutativen Ring, es gilt und zu jedem Element existiert ein unter der Multiplikation inverses Element
  3. Unter der Addition und unter der Multiplikation bildet bzw. die abelsche Gruppe bzw. . Es existiert eine wohldefinierte Erweiterung der Multiplikation zu einer Abbildung , sodass und sich distributiv verhalten.

Beweis (Alternative Charakterisierungen eines Körpers)

Wir beweisen per Ringschluss: Dazu zeigen wir .

Zunächst zeigen wir , dass aus der ersten Aussage die zweite folgt. Sei also unter den Verknüpfungen und ein Körper. Dann ist unter eine abelsche Gruppe, ist abgeschlossen unter der Multiplikation, die Multiplikation ist assoziativ, kommutativ und es gibt ein neutrales Element der Multiplikation. Darüber hinaus gilt in das Distributivgesetz. Das heißt, ist ein Kommutativer Ring unte den Verknüpfungen und . Außerdem existiert zu jedem Element aus , abgesehen vom neutralen Element der Addition, ein unter der Multiplikation inverses Element. Das heißt für alle existieren multiplikative Inverse Elemente. Folglich erfüllt auch die zweite Aussage, das heißt, die zweite Aussage folgt aus der ersten.

Nun zeigen wir, dass die dritte Charakterisierung aus der zweiten folgt. Sei also eine Menge und seien , zwei Verknüpfungen auf sodass unter den beiden Verknüpfungen einen kommutativen Ring bildet. Weiterhin existieren für alle Elemente multiplikative Inverse. Aus Punkt 1 der Definition des Rings folgt, dass eine abelsche Gruppe ist. Nach Punkt 2 der Definition ist unter der Multiplikation ebenfalls abgeschlossen, die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ, und es gibt ein unter der Multiplikation neutrales Element . Seien beliebig. Sei . Da es ein zu multiplikatives Inverses in geben muss, gilt und folglich . Das Produkt muss also in liegen. Wir können daher die Multiplikation zu einer Abbildung einschränken. Die Multiplikation * ist gemäß unserer Annahme assoziativ und kommutativ, denn bildet einen kommutativen Ring. Da haben wir in ebenfalls ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation. Außerdem existieren nach unserer Annahme für alle Elemente aus eine abelsche Gruppe. Da ein Ring ist, verhalten sich und die Erweiterung von zu distributiv.

Nun zeigen wir noch, dass aus 3) 1) folgt. Sei eine Menge und seien , Operationen auf , die folgende Eigenschaften erfüllen:

  1. Unter bildet eine abelsche Gruppe
  2. ist mit der Verknüpfung eine abelsche Gruppe.
  3. Außerdem existiert eine Erweiterung der Multiplikation zu einer Abbildung, und diese ist distributiv bezüglich der Addition in .

Wir wollen zeigen, dass unter und einen Körper bildet. Die Eigenschaften 1 und 3 entsprechen genau den Eigenschaften 1 und 3 aus der Definition des Körpers. Bleibt nur noch zu zeigen, dass auch Punkt 2 aus der Definition erfüllt ist, dass also die Multplikation die geforderten Eigenschaften erfüllt. Wir haben keine konkrete Erweiterung der Multiplikation zu einer Multiplikation gegeben. Daher können wir und für nicht direkt berechnen. Wir können aber zeigen, dass für alle gelten muss: . Dies geht so: Sei beliebig. Weil gilt muss gelten

Da die Abbildung wohldefiniert ist, gilt , und wegen der Gruppeneigenschaft von muss es ein zu unter Addition inverses Element geben. Es folgt, dass

Es gilt also für alle . Ebenso kann man zeigen, dass für alle gelten muss. Zeigen wir nun, dass Punkt 2 aus der Definition des Körpers erfüllt ist.

  • Abgeschlossenheit: Seien beliebige Elemente aus . Falls , so gilt . Falls oder , so gilt , und folglich gilt in jedem Fall . Das heißt ist abgeschlossen unter .
  • Assoziativität: Seien beliebig. Falls , so gilt . Dies liegt daran, dass die Multiplikation über assoziativ ist, denn bildet unter eine Gruppe. Falls einer der drei Faktoren das neutrale Element 0_K ist, so ergibt das Produkt in jedem Fall wieder das Nullelement. Denn es gilt für alle Elemente :

    für alle Elemente . Ebenso kann man zeigen, dass für alle gelten muss.

  • Kommutativität Für zwei Elemente gilt, falls , dass , und falls oder , dass . Folglich ist die Multiplikation ebenfalls kommutativ.
  • Neutrales Element Das neutrale Element der Multiplikation in hat folgende Eigenschaften: Für alle Elemente aus gilt und weiterhin . Daher gilt für alle Elemene k \in K, dass , und folglich ist ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation in . Da gilt zudem
  • Inverse Elemente Aufgrund der Gruppeneigenschaft von unter der Multiplikation gibt es für alle Elemente in , abgesehen vom Nullelement inverse multiplikative Elemente.

Somit ist auch Punkt 2 der Definition des Körpers erfüllt, und wir haben gezeigt, dass unter den Verknüpfungen und einen Körper bildet.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel (Reeller Zahlenbereich ist ein Körper)

Die reellen Zahlen bilden eine abelsche Gruppe unter der Addition:

  • Die Summe zweier reeller Zahlen ist wieder eine reelle Zahl. Die reellen Zahlen sind somit abgeschlossen unter der Addition.
  • Die Addition reeller Zahlen erfüllt das Assoziativ- und das Kommutativgesetz.
  • Reellen Zahlen erfüllen . Die Zahl ist damit das additive neutrale Element.
  • Zu jeder reellen Zahl ist ebenfalls reell und es gilt . Zu jeder reellen Zahl existiert ein inverses Element der Addition.

Auch die Körpereigenschaften der Multiplikation werden erfüllt:

  • ist unter der Multiplikation abgeschlossen, denn das Produkt reeller Zahlen ist wieder reell.
  • Die Multiplikation ist kommutativ und assoziativ.
  • Für alle reellen Zahlen gilt . Folglich ist das neutrales Element unter der Multiplikation.
  • Für jede Zahl ist reell. Es ist . Damit existieren multiplikative Inverse für alle reellen Zahlen außer der Null.

Außerdem gilt das Distributivgesetz in den reellen Zahlen. Folglich bildet einen Körper.

Beispiel (Menge ganzer Zahlen ist kein Körper)

Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper. Es gibt ganze Zahlen , die kein multiplikatives Inverses in den ganzen Zahlen haben. Zum Beispiel gibt es keine ganze Zahl , sodass . Nur die und die haben multiplikative Inverse in den ganzen Zahlen.

Restklassenkörper von [Bearbeiten]

Satz (Restklassenkörper über )

ist ein Körper, genau dann wenn eine Primzahl ist.

Dieser Satz liefert eine nützliche Regel für das Rechnen modulo: Wenn wir in rechnen, wobei eine Primzahl ist, können wir dort alle Elemente außer der Null invertieren, also auch dividieren. Wir müssen uns dabei nicht darum sorgen, dass Produkte ohne Null Null werden könnten. Dies gilt allerdings nur, falls eine Primzahl ist.

Beweis (Restklassenkörper über )

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To-Do:

Der Beweis ist sehr viel Prosa und dadurch unleserlich.

Wir zeigen zunächst, dass falls keine Primzahl ist, kein Körper sein kann. Sei also eine beliebige natürliche Zahl und keine Primzahl. Dann gibt es zwei natürliche Zahlen und , so dass .

Achtung: Wenn zwei echte Teiler und hat, so nennt man reduzibel. Eine Zahl, die keine echten Teiler hat, heißt irreduzibel. Ganze Zahlen sind genau dann Primzahlen, wenn sie irreduzibel sind. Daher werden diese Begriffe manchmal synonym verwendet. Dies ist aber problematisch, da in beliebigen Ringen diese Eigenschaften nicht äquivalent sind. Mehr dazu findest Du hier:... . Da , sind . Daher ist und . Da aber ist kein Integritätsbereich, also kein Körper. Nun zeigen wir, dass für alle Primzahlen gilt: ist ein Körper. Sei eine beliebige Primzahl. Im Artikel zu Ringen wurde bereits gezeigt, dass immer (also für alle natürlichen Zahlen ) ein kommutativer Ring ist. Laut unserem Satz "äquivalente Charakterisierungen von Körpern" müssen wir nur noch zeigen, dass zu jedem Element ein unter der Multiplikation inverses Element existiert. Sei beliebig. Betrachte die Abbildung , . Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn für alle gilt: ist kein Teiler von . Außerdem ist , daher teilt weder noch . Da eine Primzahl ist, kann auch nicht das Produkt teilen, und deswegen gilt .

Wir zeigen, dass diese Abbildung injektiv ist. Seien beliebig mit . Dann gilt , also . Weil Primzahl und kein Teiler von ist muss teilen. Es gilt also , bzw. . Daher haben wir , d.h. ist injektiv.

Weil eine endliche Menge ist (es gilt ), muss als injektive Abbildung von in sich selbst auch bijektiv sein. ACHTUNG: ist kein Gruppen- oder Ringhomomorphismus, weil für gilt! Wenn Du noch nicht weißt, was ein Homomorphismus ist, musst Du Dir an dieser Stelle keine weiteren Gedanken darüber machen. Weil eine Bijektion ist, muss es ein geben, für das gilt. Dieses ist unter Multiplikation invers zu . Da für alle die Abbildung die obigen Eigenschaften hat, gibt es für alle ein unter Multiplikation Inverses Element in .