Untervektorraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin / dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

In diesem Artikel wird der Begriff eines Untervektorraums eingeführt.

Motivation[Bearbeiten]

Wie wir im Zusammenhang mit allgemeinen algebraischen Strukturen wie Gruppen oder Körper schon gesehen haben, spielen Unterstrukturen in der Mathematik eine große Rolle. Zur Wiederholung: Bei Unterstrukturen handelt es sich um Teilmengen eines Grundraumes, welche die gleichen Eigenschaften erfüllen wie dieser Grundraum. Eine Untergruppe ist zum Beispiel eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst wieder eine Gruppe ist. Genauso ist ein Unterkörper eine Teilmenge eines Körpers, welcher selbst wieder ein Körper ist.

Die Gründe für die Betrachtung von Unterstrukturen sind vielfältig. Sie werden zum einen benötigt, um weitere algebraische Strukturen zu definieren. Ein prominentes Beispiel sind die so genannten Quotientenräume. Ein anderer Nutzen von Unterstrukturen ist es, bestimmte algebraische Zusammenhänge zu erkennen. Eine algebraische Unterstruktur kann so als Spezialfall einer größeren Struktur aufgefasst werden. Ein Beispiel sind die ganzen Zahlen , die eine Untergruppe bzw. ein Unterring von darstellen. Es lohnt sich also, solche Strukturen genauer zu untersuchen.

In der linearen Algebra betrachten wir eine neue algebraische Struktur: den Vektorraum. Wie vorher können wir auch hier die entsprechende Unterstruktur betrachten. Wir betrachten also eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum bildet. Diese nennen wir Untervektorraum.

Definition eines Untervektorraums[Bearbeiten]

Definition (Untervektorraum)

Sei ein -Vektorraum. Dann heißt eine Teilmenge mit den eingeschränkten Verknüpfungen und Untervektorraum von , falls selbst ein -Vektorraum ist.

Hinweis

Bei der Definition des Untervektorraums ist wichtig, dass Summen und skalare Vielfache von Vektoren aus wieder in liegen. Auch ist sofort klar, dass , da jeder Vektorraum ein neutrales Element besitzt.

Hinweis

Du erinnerst dich vielleicht noch an den Begriff der Untergruppe. Wir können jeden Vektorraum auch als abelsche Gruppe auffassen. Wenn nun ein Untervektorraum von ist, dann bildet eine Untergruppe von .

Warnung

In der Literatur werden statt Untervektorraum auch oft die Begriffe linearer Unterraum, linearer Teilraum oder Unterraum benutzt. Diese Begriffe bedeuten alle das Gleiche.

Untervektorraumkriterium [Bearbeiten]

Herleitung des Kriteriums[Bearbeiten]

Was müssen wir nachprüfen, damit bei einem gegebenen Vektorraum eine Teilmenge ein Untervektorraum ist? Damit ein Vektorraum ist, müssen alle Vektorraumaxiome für gelten.

Nachprüfen der Vektorraumaxiomen für ein Beispiel[Bearbeiten]

Wir betrachten die Teilmenge des Vektorraums . Wir wollen herausfinden, ob es sich bei um einen Untervektorraum handelt. Laut Definition müssen wir also zeigen, dass die Menge zusammen mit den Verknüpfungen und alle Vektorraumaxiome erfüllt. Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen. Wir müssen also zeigen, dass die Vektorraumoperationen wohldefiniert sind und dass die acht Axiome gelten.

Zunächst müssen wir zeigen, dass die beiden Verknüpfungen wohldefinierte Abbildungen sind. Entscheidend ist hierbei, ob wir den Wertebereich tatsächlich wie behauptet verkleinern dürfen. Wir erklären das am Beispiel der Vektoraddition genauer: Die Addition in ist eine Abbildung . Unsere neue Addition entsteht, indem wir zunächst den Definitionsbereich einschränken auf die Teilmenge . Wir erhalten eine Abbildung . Der Wertebereich bleibt also erstmal gleich. Um die Menge zu einem Vektorraum zu machen, brauchen wir allerdings eine Abbildung . Wir würden gerne einfach den Wertebereich der Abbildung zu verkleinern. Bevor wir das machen können, müssen wir allerdings nachprüfen, ob das Bild von in enthalten ist. Anders ausgedrückt müssen wir zeigen, dass für alle gilt: . Per Definition ist nur die Einschränkung von auf . Es ist daher äquivalent zu zeigen:

Für alle gilt, dass auch .

Wir dürfen durch die Addition von Elementen der Menge diese Menge nicht "verlassen". Diese Eigenschaft nennt man Abgeschlossenheit der Addition.

Ganz analog kann man ein Kriterium für die Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation herleiten:

Für alle und gilt, dass auch .

Diese Eigenschaft nennt man Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation.

Wir prüfen diese Eigenschaften nun in unserem konkreten Beispiel nach:

Zunächst die Addition. Sei . Das heißt, dass existieren, sodass und . Dann ist . Setzen wir , so gilt . Also ist .

Nun die Skalarmultiplikation. Sei wie eben und sei . Dann gilt . Setzen wir , so gilt . Also ist .

Die Abgeschlossenheit für Addition und Skalarmultiplikation gelten also in unserem Fall. Somit sind die Vektorraumoperationen wohldefiniert. Wir bemerken, dass wir hier sehr konkret mit der Definition der Menge gearbeitet haben. Genauer gesagt haben wir verwendet, dass jedes Element von von der Gestalt ist.

Nun können wir uns daran machen, die Vektorraumaxiome nachzuprüfen. Zunächst die vier Axiome zur Addition.

Assozitativgesetz der Addition: Seien . Wir müssen zeigen, dass . Weil die Einschränkung von ist, müssen wir zeigen. Dies gilt, da dass Assoziativgesetz für den Vektorraum gilt. Wir verwenden hier, dass wegen auch gilt.

Das Kommutativgesetz für können wir genauso auf das Kommutativgesetz von zurückführen.

Existenz eines neutralen Elementes: Wir müssen zeigen, dass ein Element existiert, sodass für alle gilt. Da ein Vektorraum ist, gilt für alle . Insbesondere gilt das für alle . Da die Addition in nur die Einschränkung der Addition in ist, reicht es also zu zeigen, dass . Denn dann können wir definieren. Das Element ist genauer gesagt der Vektor . Dieser lässt sich schreiben als und liegt damit in . Somit ist die Existenz eines neutralen Elementes der Addition gezeigt.

Existenz von additiv Inversen in : Sei . Wir müssen zeigen, dass ein existiert, sodass . Wir wissen, dass in gilt. Es würde also reichen, dass gilt, denn dann können wir wählen. Wir wissen, dass gilt. Außerden haben wir bereits gezeigt, dass abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist. Also folgt . Hier haben wir nur verwendet, dass abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist.

Die vier Axiome der Skalarmultiplikation lassen sich auch auf die entsprechenden Eigenschaften von zurückführen. Dies funktioniert ähnlich wie bei zu den ersten beiden Axiomen der Addition. Wir verwenden, dass alle relevanten Gleichungen analog in gelten, wenn man die Operationen in durch die in ausdrückt.

Wir sehen also insgesamt: Um zu zeigen, dass die Operationen und wohldefiniert sind, müssen wir die oben formulierten Eigenschaften der Abgeschlossenheit zeigen. Dafür haben wir eng mit der Definition von gearbeitet. Weiterhin haben wir für das dritte Axiom der Addition zeigen müssen, dass das neutrale Element der Addition in auch ein Element von . Auch hier haben konkret mit der Definition von gearbeitet. Das Axiom für die Existenz der inversen Elemente der Addition konnten wir auf die Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation zurückgeführt.

Für sämtliche andere Axiome konnten wir verwenden, dass die analogen Axiome in gelten. Es war insbesondere nicht notwendig, die konkreten Definitionen von und zu benutzen

Insgesamt haben wir also nur drei Dinge gezeigt:

  • Die Abgeschlossenheit von bezüglich der Addition
  • Die Abgeschlossenheit von bezüglich der Skalarmultiplikation

Für diese mussten wir konkret mit der Definition von und arbeiten. Die obigen Argumente, dass diese drei Eigenschaften reichen, sollten allgemein für jeden Vektorraum und alle Teilmengen von gelten. Es sollte also im allgemeinen Fall reichen, diese drei Eigenschaften zu beweisen.

Später zeigen wir formell, dass diese Eigenschaften tatsächlich hinreichend sind. Nun überlegen wir uns erstmal, dass die drei Regeln notwendig sind. Wir zeigen also, dass wir keine der drei Regeln weglassen dürfen. Dafür geben wir Teilmengen von an, die jeweils eine der drei Regeln nicht, die anderen beiden schon erfüllt und auch keine Vektorräume sind.

Gegenbeispiel: Leere Menge[Bearbeiten]

Wir betrachten zunächst die leere Menge . Diese ist natürlich eine Teilmenge von .

Allaussagen über die leere Menge gelten trivialerweise immer. Da die Abgeschlossenheitsregeln Allaussagen sind, gelten sie also für .

Allerdings gilt nicht die dritte Regel: , denn die leere Menge enthält per Definition keine Elemente.

Es handelt sich bei nicht um einen Vektorraum, denn enthält kein Element, und somit insbesondere kein neutrales Element der Addition.

Die Eigenschaft lässt sich also im Allgemeinen nicht aus den Abgeschlossenheitseigenschaften ableiten.

Gegenbeispiel: Ganzzahlige Vektoren[Bearbeiten]

Kommen wir nun zu unserem zweiten Beispiel, nämlich die Menge der ganzzahligen Vektoren . Wenn wir die Vektoren wieder mit Punkten im identifizieren, so erhalten wir:

'"`UNIQ--postMath-0000008A-QINU`"' als Teilmenge des '"`UNIQ--postMath-0000008B-QINU`"'

Diese Menge ist offensichtlich eine Teilmenge von und es stellt sich wieder die Frage, ob sie ein Untervektorraum ist. Im Unterschied zum ersten Beispiel ist nun der Nullvektor enthalten, schließlich ist dieser ganzzahlig. Auch alle anderen Axiome der Vektoraddtion sind gültig. Die Summe zweier Vektoren aus ist wieder in , zu jedem existiert auch ein Inverses in . Auch gelten, wie man leicht nachweisen kann, das Assioziativ- und Kommutativgesetz.

Dennoch ist der kein Untervektorraum, denn der Raum ist nicht abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation. Sei beispielsweise und . Dann ist nicht in enthalten. Somit erfüllt nicht alle Vektorraumaxiome und ist daher auch kein Untervektorraum.

Die Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation lässt sich daher nicht aus den anderen Eigenschaften herleiten. Wenn wir nachweisen wollen, dass ein Untervektorraum ist, müssen wir immer zeigen, dass für jedes und für jeden Skalar auch ist.

Gegenbeispiel: Achsenkreuz[Bearbeiten]

Wir haben in beiden Beispielen von oben bereits gesehen, dass jeder Untervektorraum den Nullvektor enthält und abgeschlossen ist unter der Skalarmultiplikation. Zum Schluss wollen wir noch ein drittes und letztes Beispiel anschauen, das obige beiden Bedingungen erfüllt, aber trotzdem nicht alle Vektoraumaxiome erfüllt. Dazu wählen wir uns das Achsenkreuz, die Menge die durch Vereinigung der beiden Ursprungsgeraden und entsteht. Wir betrachten also die Teilmenge . In der Ebene als Punkte veranschaulicht sieht die Menge so aus:

Das unendliche Kreuz

Zentrale Frage: Handelt es sich bei um einen Untervektorraum? Offenbar ist der Nullvektor enthalten. Außerdem gilt für ein beliebiges und , dass auch Element von ist. Somit ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation. Trotzdem handelt es sich bei um keinen Untervektorraum. Um das zu sehen, wähle die Vektoren und . Dann gilt , aber für die Summe gilt .

Also kann die Additivität nicht aus den anderen Eigenschaften herleiten. Das heißt wir müssen, die Abgeschlossenheit unter der Vektorraumaddition immer nachprüfen, um zu beweisen, dass ein Untervektorraum ist.

Aussage und Beweis des Kriteriums [Bearbeiten]

Wir haben uns an einem Beispiel überlegt, dass eine Teilmenge von ein Untervektorraum ist, wenn sie drei Eigenschaften erfüllt, nämlich

  • Abgeschlossenheit bezüglich der Addition,
  • Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation, und
  • .

Wir haben Beispiele für Teilmengen von gesehen, bei den jeweils eine dieser Eigenschaften nicht erfüllt war und die auch keinen Untervektorraum von bilden. WIr kommen also zu der Vermutung, dass diese drei Eigenschaften an eine Teilmenge notwendig und hinreichend dafür sind, dass es sich bei der Teilmenge um einen Untervektorraum handelt. Dies ist der Satz vom Untervektorraumkriterium. Den wollen wir jetzt noch vollständig beweisen.

Satz (Untervektorraumkriterium)

Eine Teilmenge eines -Vektorraums mit Vektoraddition und Skalarmultiplikation ist genau dann ein Untervektorraum, wenn folgende drei Bedingungen gelten:

  1. .
  2. Für alle gilt .
  3. Für alle und für alle gilt .

Anders formuliert: Eine Teilmenge eines Vektorraums ist genau dann ein Untervektorraum, wenn sie sowohl das Nullelement enthält, als auch bezüglich der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Beweis (Untervektorraumkriterium)

Der Satz enthält ein "genau dann ... wenn", was bedeutet, dass wir zwei Implikationen zeigen müssen. Die eine Richtung lautet: Jeder Untervektorraum erfüllt die Bedingungen 1), 2) und 3). Die andere Richtung kann wie folgt formuliert werden: Eine beliebige Teilmenge des Vektorraumes, welche die Bedingungen 1), 2) und 3) erfüllt, ist bereits ein Untervektorraum.

Beweisschritt: Jeder Untervektorraum erfüllt die Bedingungen 1), 2) und 3).

Sei ein beliebiger Untervektorraum von . Dann ist per Definition auch ein Vektorraum. Damit gelten für alle Axiome aus der Definition eines Vektorraums.

Das heißt insbesondere auch, dass die auf eingeschränkten Verknüpfungsabbildungen und wohldefiniert sind. Dies ist aber nur eine andere Formulierung der Bedingungen 2) und 3).

Da U außerdem zusammen mit eine abelsche Gruppe bildet, enthält das neutrale Element . Das heißt, es gilt auch Bedingung 1).

Beweisschritt: Wenn die Bedingungen 1), 2) und 3) erfüllt sind, so ist die betrachtete Menge ein Untervektorraum.

Sei nun eine Teilmenge von , in der die drei Bedingungen gelten. Wir müssen zeigen, dass ein Vektorraum ist. Dazu zeigen wir, dass alle Eigenschaften aus der Definition eines Vektorraums erfüllt.

Aus der Bedingung 1) folgt, dass eine nicht-leere Menge ist. Aus den Bedingungen 2) und 3) können wir ableiten, dass die von auf eingeschränkten Verknüpfungen und wohldefiniert sind. Wir haben also eine nicht-leere Menge mit einer inneren Verknüpfung (Vektoraddtion) und einer äußeren Verknüpfung (Skalarmultiplikation).

Nun ist noch nachzuweisen, dass zusammen mit eine abelsche Gruppe bildet und die Axiome der skalaren Multiplikation gelten. Jetzt können wir verwenden, dass ein Vektorraum ist. Daraus folgt wegen bereits:

  • Assioziativgesetz: Für alle gilt:
  • Kommutativgesetz: Für alle gilt:
  • Skalares Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
  • Vektorielles Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
  • Assoziativgesetz für Skalare: Für alle und alle gilt:
  • Neutrales Element der skalaren Multiplikation: Für alle und für (das neutrale Element der Multiplikation in ) gilt: . 1 heißt neutrales Element der skalaren Multiplikation.

Es bleiben noch die Axiome Existenz eines neutralen Elements und Existenz eines inversen Elements übrig. Ersteres ist aber wegen Bedingung 1 klar. Es genügt also zu zeigen, dass zu jedem ein existiert, so dass . Für ein beliebiges gilt aber wegen Bedingung 3):

Also ist das in enthaltene inverse Element von .

Hinweis

Anstelle von wird in einigen mathematischen Texten auch gefordert. Beide Forderungen sind (wenn man die anderen beiden Bedingungen 2) und 3) hinzunimmt) äquivalent. Wenn es nämlich ein gibt, so muss wegen der Abgeschlossenheit der skalaren Multiplikation auch in enthalten sein.

Hinweis

Eine andere, äquivalente Möglichkeit des Kriteriums ist:

Eine nicht-leere Teilmenge ist ein Untervektorraum, wenn mit je zwei Vektoren auch jede Linearkombination , in liegt.

Wir wollen uns von der Äquivalenz der Formulierungen überzeugen:

Da nicht leer ist, gibt es , und daher liegt auch in (Punkt 1). Mit liegt auch in (Punkt 3). Schließlich ist mit auch in (Punkt 2).

Umgekehrt ist nach 1) nicht leer. Weiter sind mit und nach 3) auch und in , und aus 2) folgt dann .

Beweise für Untervektorräume führen [Bearbeiten]

Allgemeine Beweisstruktur[Bearbeiten]

Bevor wir anhand eines Beispiels das Vorgehen genauer untersuchen, ist es sinnvoll, die allgemeine Beweisstruktur zu verstehen. Wie können wir zeigen, dass eine Menge ein Untervektorraum eines -Vektorraums ist? Wir können das Untervektorraumkriterium nutzen, das wir gerade gelernt haben. Damit wir das Kriterium anwenden können müssen wir zunächst die Voraussetzungen überprüfen. Der Satz setzt voraus, dass . Um dann zu zeigen, dass ein Untervektorraum ist, müssen wir die drei Eigenschaften aus dem Kriterium nachprüfen. Insgesamt müssen wir also folgende vier Aussagen zeigen:

  1. .
  2. Für alle gilt .
  3. Für alle und für alle gilt .

Hinweis

Die zweite Aussage "" können wir auch mit "" ersetzen. Wenn wir die Bedingungen 3. und 4. hinzunehmen, sind die beiden Aussagen äquivalent: Gilt folgt sofort . Nehmen wir umgekehrt an, gibt es ein . Dann folgt mit Bedingung 4. auch .

Wie sehen Beweise dieser Aussagen aus? Die Beweisstruktur dieser Aussagen sieht so aus:

  1. Beweis für "": Sei . Dann gilt , da ...
  2. Beweis für "": Sei der Nullvektor. Dann gilt , da ...
  3. Beweis für "": Sei beliebig. Es gilt ... und damit .
  4. Beweis für "": Sei und beliebig. Wegen ... folgt, dass .
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

evtl. Formatierung verbessern

Beweis finden[Bearbeiten]

Wir betrachten eine Beispielaufgabe:

Aufgabe

Sei und . Zeige ist ein Untervektorraum des -Vektorraums .

Wir wollen das Untervaktorraumkriterium auf anwenden. Dazu überprüfen wir die Voraussetzungen des Satzes nach obigem Schema.

  • : sei . Nach Definition von existiert mit . Da ein Vektorraum ist, folgt .
  • : Wir haben in Eigenschaften von Vektorräumen, dass für jeden Vektor gilt . Also gilt auch . Damit folgt .
  • Abgeschlossenheit bzgl. Addition: seien . Nach Definition von existieren mit und . Da können wir sie addieren: . Wegen folgt .
  • Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation: sei und sei . Nach Definition von existiert mit . Da können wir es mit multiplizieren: . Wegen folgt .

Dies zeigt, alle Voraussetzungen gelten, also folgt mit dem UVR-Kriterium, dass ein UVR von ist.

Beweis aufschreiben[Bearbeiten]

Nun können wir den Beweis aufschreiben:

Beweis

Wir überprüfen die Voraussetzungen des Satzes nach obigem Schema.

  • : sei . Dann existiert mit . Es folgt .
  • : wegen folgt .
  • Abgeschlossenheit bzgl. Addition: seien . Dann existieren mit und . Wir berechnen: .
  • Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation: sei und sei . Dann existiert mit . Wir berechnen: .

Dies zeigt, alle Voraussetzungen gelten, also folgt mit dem UVR-Kriterium, dass ein UVR von ist.

Beispiele und Gegenbeispiele für Untervektorräume[Bearbeiten]

Beispiele [Bearbeiten]

Im Folgenden schauen wir uns erste Beispiele an, um unsere Vorstellung von Untervektorräumen zu festigen und Fehlinterpretationen vorzubeugen. Dabei werden wir auch das Untervektorraumkriterium verwenden.

Triviale Untervektorräume[Bearbeiten]

In jedem -Vektorraum gibt es zwei "triviale" Untervektorräume:

Beispiel (Triviale Untervektorräume)

Sei ein Vektorraum. Zum einen ist der Nullvektorraum stets ein Untervektorraum von . Dieser ist nämlich ein Vektorraum und da ist, ist auch .

Auf der anderen Seite ist auch der komplette Vektorraum ein Untervektorraum von . Schließlich gilt , und ist ein Vektorraum.

Da und stets Untervektorräume für jeden Vektorraum sind, werden sie triviale Untervektorräume genannt.

Folgendes Beispiel mit zeigt, dass es manchmal nur die trivialen Untervektorräume gibt:

Beispiel (Untervektorräume von )

aufgefasst als -Vektorraum besitzt nur die trivialen Untervektorräume und selbst.

Angenommen es gäbe einen weiteren - nichttrivialen - Untervektorraum . Dann existiert eine reelle Zahl . Wir behaupten, dass dann bereits ist. Da unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, gilt für alle , dass . Dies zeigt .

Warnung

Obwohl ein Unterkörper von ist, ist kein Untervektorraum des -Vektorraums . Denn für , ist das skalare Vielfache .

Gerade durch den Ursprung[Bearbeiten]

In diesem Beispiel betrachten wir eine Gerade im , die durch den Ursprung geht. Die Geradengleichung soll durch gegeben sein. Also können wir die Gerade als Menge von Punkten, so aufschreiben:

Aufgabe

Zeige ist ein Untervektorraum des -Vektorraums

Beweis

Wir wollen das Untervektorraumkriterium von oben benutzen. Wegen gilt . Seien , d.h. und . Daraus folgt und somit . Sei und . Wegen gilt auch und somit . Wir haben gezeigt, alle Voraussetzungen des Untervektorraumkriteriums sind erfüllt. Folglich ist ein Untervektorraum von .

Wir können auch anders einsehen, dass ein Untervektorraum ist. Dazu formen wir zuerst um:

Nun erinnern wir uns an den Abschnitt "Beweise für Untervektorräume führen", in dem wir gesehen, dass solche Teilmengen Untervektorräume bilden. Diese Teilmengen waren von der Form für ein . In diesem Beispiel ist .

Ein Untervektorraum von [Bearbeiten]

In der folgenden Aufgabe betrachten wir eine Ebene im , die durch die geht. Wir zeigen, dass diese Ebene ein Untervektorraum des bildet.

Aufgabe (Ebene im )

Sei . Beweise, dass ein Untervektorraum von ist.

Beweis (Ebene im )

Für den Nachweis müssen wir zeigen, dass das Unterraumkriterium erfüllt ist. Das zeigen wir mit den folgenden drei Beweisschritten:

Beweisschritt:

Es gilt , da erfüllt ist.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Addition

Wir betrachten zwei Vektoren und aus . Also gilt und . Wir wissen

Weiter ist

Damit ist und wir haben die Abgeschlossenheit der Addition gezeigt.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation

Sei und sei . Somit gilt . Es gilt

Damit können wir rechnen:

Also ist und somit ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation.

Wir haben die Bedingungen des Untervektorraumkriteriums nachgewiesen und damit gezeigt, dass ein Untervektorraum ist.

Ein Untervektorraum des Polynomvektorraumes[Bearbeiten]

Wenden wir uns nun einem etwas abstrakteren Beispiel zu, nämlich dem Polynomvektorraum. Wir zeigen, dass die Teilmenge der Polynome bis Grad ein Untervektorraum ist:

Satz (Polynome mit Grad )

Sei . Dann ist ein Untervektorraum von .

Beweis (Polynome mit Grad )

Wir müssen zeigen, dass die drei Bedingungen des Unterraumkriteriums gelten:

Beweisschritt:

Wir haben , also

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Addition

Seien . Dann ist . Deshalb finden wir für , sodass und gilt. Somit erhalten wir , also . Damit liegt

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der skalaren Multiplikation

Seien und . Dann ist . Deshalb finden wir und , sodass gilt. Somit erhalten wir , also . Damit liegt .

Damit sind nun alle drei Unterraumkriterien erfüllt, und es folgt, dass ein Unterraum ist.

Gegenbeispiele[Bearbeiten]

  • Wir haben schon oben bei der Herleitung drei Beispiele für Teilmengen von gesehen, die keine UVR bilden
  • zum besseren Verständnis betrachten wir weitere solche Gegenbeispiele auch für andere Vektorräume

Gerade, die nicht durch den Ursprung geht[Bearbeiten]

  • Wir haben bei den Beispielen eine Gerade betrachtet und gezeigt, dass diese einen UVR von bildet (Hier die Menge, die die Gerade beschreibt nochmal wiederholen)
  • Nun betrachten wir die um eins nach oben verschobene Gerade
  • Diese bildet keinen UVR mehr
  • Hier noch ein Bild von der Gerade einfügen.

Beispiel

Sei

eine Teilmenge des -Vektorraums . Die Menge ist kein Untervektorraum von . Es gibt viele Möglichkeiten, das zu begründen. Wir können beispielsweise erkennen, dass nicht den Nullvektor enthält. Denn es gilt

Beschränkte Teilmenge des [Bearbeiten]

Beispiel

Wir betrachten den -Vektorraum . Sei

ist kein Untervektorraum von . Denn ist nicht abgeschlossen unter skalarer Multiplikation. Wir wissen . Aber , denn .

Alternativ hätten wir auch zeigen können, dass nicht abgeschlossen unter Addition ist. Z.B. ist und . Es gilt aber , weil .

Graph einer nicht-linearen Funktion[Bearbeiten]

Beispiel

Wir betrachten den -Vektorraum . Definiere

Die Menge ist kein Untervektorraum des , da sie nicht abgeschlossen ist unter Addition. Um das einzusehen betrachten wir die zwei Elemente . Dann gilt , da .

Polynome mit Grad genau ist kein Untervektorraum[Bearbeiten]

Beispiel

Als abstrakteres Beispiel betrachten wir nun auch noch den -Vektorraum für einen beliebigen Körper . Zur Erinnerung: ist die Menge aller Polynome in der Variablen über den Körper . Dieser bildet mit der üblichen Addition und der üblichen skalaren Multiplikation mit einem Körperelement ein Vektorraum. Sei

Wir zeigen, die Menge bildet keinen Untervektorraum von , da sie nicht abgeschlossen ist unter Addition. Um das einzusehen betrachten wir die zwei Elemente . Dann gilt , da .

Andere Kriterien für Untervektorräume[Bearbeiten]

Wir lernen nun drei Kriterien kennen, die in vielen Fällen die Beweise einfacher machen. Dazu werden wir vorgreifen und den Begriff der linearen Abbildung benutzen.

Kern einer linearer Abbildung[Bearbeiten]

Bei den Beispielen für Untervektorräume haben wir die folgenden Mengen betrachtet:

Wir haben oben nachgewiesen, dass und Untervektorräume von bzw. sind. Die beiden Mengen sind nach dem gleichen Prinzip definiert. Die Untervektorräume enthalten alle Vektoren, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Die Bedingungen sind

Diese sehen sehr ähnlich aus. Beide Bedingungen sagen uns, dass ein Ausdruck in und bzw. in und gleich Null sein soll. Dieser Ausdruck ist linear in bzw. . Das heißt beide Formeln lassen sich auch als lineare Abbildungen hinschreiben:

Damit können wir unsere Untervektorräume umschreiben zu

Damit ist , sowie der Kern einer linearen Abbildung. Man kann ganz allgemein zeigen, dass der Kern einer linearen Abbildung immer ein Untervektorraum ist.


Bild einer linearen Abbildung[Bearbeiten]

Genau wie beim Kern kann man ganz allgemein zeigen, dass das Bild einer linearen Abbildung immer ein Untervektorraum ist. Damit können wir manchmal einfachere Beweise dafür finden, dass eine gegebene Menge ein Untervektorraum ist.

Beispiel (Bild einer linearen Abbildung)

Wir betrachten ein Beispiel einer linearen Abbildung von , dem Vektorraum der reellen Polynome höchstens ersten Grades in den .

In diesem etwas abstrakteren Beispiel ordnen wir einem Polynom höchtens ersten Grades den Vektor seiner Funktionswerte an den Stellen , und zu. Wir erinnern uns daran, dass für die Summe durch , und das Vielfache durch definiert ist.

Jetzt definieren wir die lineare Abbildung durch

Als erstes weisen wir nach, dass wirklich eine lineare Abbildung ist. Dazu müssen wir die Additivität und die Homogenität nachweisen. Wir wählen also und .

Additivität:

Homogenität

Damit wissen wir, dass ein Unterraum des ist.

Verallgemeinerung Wenn wir uns die Rechnung noch einmal ansehen, merken wir, dass es auf die -Werte und gar nicht ankam. Der Beweis geht genauso für die Aussage:

Seien (und diese Zahlen können, müssen aber nicht verschieden sein). Das Bild der linearen Abbildung , ist ein Unterraum des .

Bemerkung Wir wissen, dass ein Unterraum ist. Wir finden auch eine explizite Darstellung:

hat die Form . Außerdem ist und und .

Der Unterraum hat damit die Gestalt . Es handelt sich also um eine Ebene.

Erzeugnis von Vektoren[Bearbeiten]

Wir werden später einen allgemeinen Satz beweisen, dass jedes Erzeugnis einer Teilmenge ein Untervektorraum von ist.

Damit können wir einen Beweis von oben kürzer fassen:

Wir haben oben nachgerechnet, dass für und die Menge ein Untervektorraum des -Vektorraums ist.

In diesem Fall besteht die Menge aus dem einen Element und . Alle Linearkombinationen von Elementen aus (das Erzeugnis) sind gerade die Vielfachen von . Daher ist ein Untervektorraum des .

Aufgaben[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Aufgaben finden und ausformulieren

Ansätze:

  • 3 Bilder einfügen: gerade durch den Ursprung, gerade nicht durch den Ursprung, Halbebene. Was davon ist ein Unterraum?
  • Für welche ist ein Untervektorraum?
  • Stelle den Unterraum in grafisch dar. Hier könnte ein Verweis auf den Artikel "Faktorraum/Quotientenraum" helfen -> was ist ein Torus?
  • 2 Ebenen im schneiden
  • Wann ist die Vereinigung von 2 Unterräumen wieder ein Unterraum?
  • Direkte Summe (könnte allerdings kritisch werden, da der Artikel zur direkten Summe erst danach kommt)

Ich könnte solche Aufgaben beisteuern:

  • Ist ein Unterraum des ?
  • Ist ein Unterraum des ?

Aufgabe (Beweis: Unterraum)

Ist ein Unterraum von ?

Wie kommt man auf den Beweis? (Beweis: Unterraum)

Wir rechnen, wie es oben in Beweise für Untervektorräume führen beschrieben ist.

Lösung (Beweis: Unterraum)

Da wir eine Teilmenge von betrachten, ist sicher .

Der Nullvektor erfüllt beide Bedingungen: für ist , und die zweite Komponente des Nullvektors ist auch Null. ist also nicht leer.

Nun müssen wir zeigen, dass mit auch liegt. Dazu rechnen wir wieder beide Bedingungen getrennt nach.

Ist und , so ist , hat also wieder die gesuchte Gestalt.

Wenn die zweiten Komponenten von und Null sind, trifft das auch für die zweite Komponente von zu.

Nun müssen wir als letztes nachweisen, dass mit und auch ist.

Wir sehen, dass ist, also wieder die geforderte Gestalt hat. Mit ist auch die zweite Komponente von Null.

Damit ist ein Unteraum von .

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Man bräuchte hier eine Vorlage "alternative Lösung"

Alternativer Beweis (Alternative Argumetation)

Später haben wir mehr Methoden zur Verfügung und können den Unterraumbeweis mit abstrakteren Methoden führen.

Man sieht, dass ist, wobei das Erzeugnis von und ist. Das Erzeugnis ist immer ein Unterraum.

ist der Kern der linearen Abbildung , . Der Kern einer linearen Abbildung ist auch immer ein Unterraum.

Im nächsten Abschnitt weisen wir nach, dass der Schnitt zweier Unterräume wieder ein Unterraum ist, so dass wir als Unteraum des identifizieren können.