Untervektorraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Artikel wird der Begriff eines Untervektorraums eingeführt.

Motivation[Bearbeiten]

Wie wir im Zusammenhang mit allgemeinen algebraischen Strukturen wie Gruppen oder Körper schon gesehen haben, spielen Unterstrukturen in der Mathematik eine große Rolle. Zur Wiederholung: Bei Unterstrukturen handelt es sich um Teilmengen eines Grundraumes, welche die gleichen Eigenschaften erfüllen wie dieser Grundraum. Eine Untergruppe ist zum Beispiel eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst wieder eine Gruppe ist. Genauso ist ein Unterkörper eine Teilmenge eines Körpers, welcher selbst wieder ein Körper ist.

Die Gründe für die Betrachtung von Unterstrukturen sind vielfältig. Sie werden zum einen benötigt, weitere algebraische Strukturen zu definieren. Prominente Beispiele sind so genannte Quotientenräume. Ein anderer Nutzen von Unterstrukturen ist es, bestimmte algebraische Zusammenhänge zu erkennen. Eine algebraische Unterstruktur kann so als Spezialfall einer größeren Struktur aufgefasst werden. Ein Beispiel hiefür sind die ganzen Zahlen , die eine Untergruppe beziehungsweise einen Unterring von darstellen. Es lohnt sich also, solche Strukturen genauer zu untersuchen.

In der linearen Algebra betrachten wir eine neue algebraische Struktur: den Vektorraum. Wie vorher können wir auch hier die entsprechende Unterstruktur betrachten. Wir befassen uns also mit Teilmengen eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum bilden. Diese Teilmengen eines Vektorraums nennen wir Untervektorraum.

Definition eines Untervektorraums[Bearbeiten]

Definition (Untervektorraum)

Sei ein -Vektorraum. Dann heißt eine Teilmenge mit den eingeschränkten Verknüpfungen und Untervektorraum von , falls selbst ein -Vektorraum ist.

Hinweis

Bei der Definition des Untervektorraums ist wichtig, dass Summen und skalare Vielfache von Vektoren aus wieder in liegen. Auch ist sofort klar, dass , da jeder Vektorraum ein neutrales Element besitzt.

Hinweis

Du erinnerst dich vielleicht noch an den Begriff der Untergruppe. Wir können jeden Vektorraum auch als abelsche Gruppe auffassen. Wenn nun ein Untervektorraum von ist, dann bildet eine Untergruppe von .

Warnung

In der Literatur werden statt Untervektorraum auch oft die Begriffe linearer Unterraum, linearer Teilraum oder Unterraum benutzt. Diese Begriffe bedeuten alle das gleiche.

Untervektorraumkriterium [Bearbeiten]

Herleitung des Kriteriums[Bearbeiten]

Was müssen wir nachprüfen, damit bei einem gegebenen Vektorraum eine Teilmenge ein Untervektorraum ist? Damit ein Vektorraum ist, müssen alle Vektorraumaxiome für gelten.

Nachprüfen der Vektorraumaxiomen für ein Beispiel[Bearbeiten]

  • Bei einem Beispiel beweisen wir mit den Vektorraumaxiomen, dass es ein UVR U vom VR V ist (am besten im )
  • Wir sehen, dass einige Axiome direkt folgen, ohne dass wir besondere Eigenschaften des UVRs benutzt haben.
  • Diese Eigenschaften folgen zum Teil direkt daraus, dass V ein Vektorraum
  • andere Eigenschaften kann man aus anderen herleiten (Existenz von Inverse)
  • Welche Eigenschaften fallen weg? Welche müssen wir speziell für U zeigen?
  • Wir sehen alle Eigenschaften fallen weg, bis auf Existenz der Null, Abgeschlossenheit bezüglich der Addition und der skalare Multiplikation
  • Das sollte auch im allgemeinen Fall für beliebiges V und V gelten
  • Jetzt benutzen wir die folgenden Beispiele für Nicht-Untervektorräume, um zu sehen, dass wir die übrigen Eigenschaften wirklich brauchen

Gegenbeispiel: Leere Menge[Bearbeiten]

  • Die leere Menge ist eine Teilmenge, bei der das einzige Problem die 0 ist, Addition und Skalarmultiplikation funktionieren trivialerweise.

Gegenbeispiel: Ganzzahlige Vektoren[Bearbeiten]

Kommen wir nun zu unserem zweiten Beispiel, nämlich die Menge der ganzzahligen Vektoren . Wenn wir die Vektoren wieder mit Punkten im identifizieren, so erhalten wir:

'"`UNIQ--postMath-0000001B-QINU`"' als Teilmenge des '"`UNIQ--postMath-0000001C-QINU`"'

Diese Menge ist offensichtlich eine Teilmenge von und es stellt sich wieder die Frage, ob sie ein Untervektorraum ist. Im Unterschied zum ersten Beispiel ist nun der Nullvektor enthalten, schließlich ist dieser ganzzahlig. Auch alle anderen Axiome der Vektoraddtion sind gültig. Die Summe zweier Vektoren aus ist wieder in , zu jedem existiert auch ein Inverses in . Auch gelten, wie man leicht nachweisen kann, das Assioziativ- und Kommutativgesetz.

Dennoch ist der kein Untervektorraum, denn der Raum ist nicht abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation. Sei beispielsweise und . Dann ist nicht in enthalten. Somit erfüllt nicht alle Vektorraumaxiome und ist daher auch kein Untervektorraum.

Die Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation lässt sich daher nicht aus den anderen Eigenschaften herleiten. Wenn wir nachweißen wollen, dass ein Untervektorraum ist, müssen wir immer zeigen, dass für jedes und für jeden Skalar auch ist.

Gegenbeispiel: Achsenkreuz[Bearbeiten]

Wir haben in beiden Beispielen von oben bereits gesehen, dass jeder Untervektorraum den Nullvektor enthält und abgeschlossen ist unter der Skalarmultiplikation. Zum Schluss wollen wir noch ein drittes und letztes Beispiel anschauen, das obige beiden Bedingungen erfüllt, aber trotzdem nicht alle Vektoraumaxiome erfüllt. Dazu wählen wir uns das Achsenkreuz, die Menge die durch Vereinigung der beiden Ursprungsgeraden und entsteht. Wir betrachten also die Teilmenge . In der Ebene als Punkte veranschaulicht sieht die Menge so aus:

Das unendliche Kreuz

Zentrale Frage: Handelt es sich bei um einen Untervektorraum? Offenbar ist der Nullvektor enthalten. Außerdem gilt für ein beliebiges und , dass auch Element von ist. Somit ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation. Trotzdem handelt es sich bei um keinen Untervektorraum. Um das zu sehen, wähle die Vektoren und . Dann gilt , aber für die Summe gilt .

Also kann die Additivität nicht aus den anderen Eigenschaften herleiten. Das heißt wir müssen, die Abgeschlossenheit unter der Vektorraumaddition immer nachprüfen, um zu beweisen, dass ein Untervektorraum ist.

Aussage und Beweis des Kriteriums [Bearbeiten]

  • Wir sehen ohne die übrigen Eigenschaft sind es keine UVR, dabei die drei Bedingungen nochmal wiederholen
  • Unsere Bedingungen sind also notwendig und hinreichend
  • Jetzt kommt der Satz vom Untervektorraumkriterium

Satz (Untervektorraumkriterium)

Eine Teilmenge eines -Vektorraums mit Vektoraddition und Skalarmultiplikation ist genau dann ein Untervektorraum, wenn folgende drei Bedingungen gelten:

  1. .
  2. Für alle gilt .
  3. Für alle und für alle gilt .

Anders formuliert: Eine Teilmenge eines Vektorraums ist genau dann ein Untervektorraum, wenn sie sowohl das Nullelement enthält, als auch bezüglich der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Beweis (Untervektorraumkriterium)

Der Satz enthält ein "genau dann ... wenn", was bedeutet, dass wir zwei Implikationen zeigen müssen. Die eine Richtung lautet: Jeder Untervektorraum erfüllt die Bedingungen 1), 2) und 3). Die andere Richtung kann wie folgt formuliert werden: Eine beliebige Teilmenge des Vektorraumes, welche die Bedingungen 1), 2) und 3) erfüllt, ist bereits ein Untervektorraum.

Beweisschritt: Jeder Untervektorraum erfüllt die Bedingungen 1), 2) und 3).

Sei ein beliebiger Untervektorraum von . Dann ist per Definition auch ein Vektorraum. Damit gelten für alle Axiome aus der Definition eines Vektorraums.

Das heißt insbesondere auch, dass die auf eingeschränkten Verknüpfungsabbildungen und wohldefiniert sind. Dies ist aber nur eine andere Formulierung der Bedingungen 2) und 3).

Da U außerdem zusammen mit eine abelsche Gruppe bildet, enthält das neutrale Element . Das heißt, es gilt auch Bedingung 1).

Beweisschritt: Wenn die Bedingungen 1), 2) und 3) erfüllt sind, so ist die betrachtete Menge ein Untervektorraum.

Sei nun eine Teilmenge von , in der die drei Bedingungen gelten. Wir müssen zeigen, dass ein Vektorraum ist. Dazu zeigen wir, dass alle Eigenschaften aus der Definition eines Vektorraums erfüllt.

Aus der Bedingung 1) folgt, dass eine nicht-leere Menge ist. Aus den Bedingungen 2) und 3) können wir ableiten, dass die von auf eingeschränkten Verknüpfungen und wohldefiniert sind. Wir haben also eine nicht-leere Menge mit einer inneren Verknüpfung (Vektoraddtion) und einer äußeren Verknüpfung (Skalarmultiplikation).

Nun ist noch nachzuweisen, dass zusammen mit eine abelsche Gruppe bildet und die Axiome der skalaren Multiplikation gelten. Jetzt können wir verwenden, dass ein Vektorraum ist. Daraus folgt wegen bereits:

  • Assioziativgesetz: Für alle gilt:
  • Kommutativgesetz: Für alle gilt:
  • Skalares Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
  • Vektorielles Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
  • Assoziativgesetz für Skalare: Für alle und alle gilt:
  • Neutrales Element der skalaren Multiplikation: Für alle und für (das neutrale Element der Multiplikation in ) gilt: . 1 heißt neutrales Element der skalaren Multiplikation.

Es bleiben noch die Axiome Existenz eines neutralen Elements und Existenz eines inversen Elements übrig. Ersteres ist aber wegen Bedingung 1 klar. Es genügt also zu zeigen, dass zu jedem ein existiert, so dass . Für ein beliebiges gilt aber wegen Bedingung 3):

Also ist das in enthaltene inverse Element von .

Hinweis

Anstelle von wird in einigen mathematischen Texten auch gefordert. Beide Forderungen sind (wenn man die anderen beiden Bedingungen 2) und 3) hinzunimmt) äquivalent. Wenn es nämlich ein gibt, so muss wegen der Abgeschlossenheit der skalaren Multiplikation auch in enthalten sein.

Beweise für Untervektorräume führen[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Überarbeiten

Allgemeine Beweisstruktur[Bearbeiten]

Bevor wir anhand eines Beispiels das Vorgehen genauer untersuchen, ist es sinnvoll, die allgemeine Beweisstruktur zu verstehen. Wann ist eine Menge ein Untervektorraum eines -Vektorraums ?


Beweis finden[Bearbeiten]

Was ist nun die beste Herangehensweise an das Problem? Als erstes wäre es sinnvoll, eine Vermutung zu finden. Um zu einer solchen Vermutung zu kommen, können uns die drei Kriterien für Untervektorräume weiterhelfen. Wir erinnern uns: Eine Teilmenge eines Vektorraums ist genau dann ein Untervektorraum, wenn sie das Nullelement enthält (Kriterium 1) und bezüglich der Vektoraddition (Kriterium 2) und der skalaren Multiplikation (Kriterium 3) abgeschlossen ist. So gesehen lauten die Fragen, die wir uns stellen müssen:

  • Ist der Nullvektor in enthalten?
  • Kann es Vektoren geben, deren Summe eventuell nicht in enthalten ist?
  • Ist die Streckung oder Stauchung für ein und immer Element von ?

Ein ergänzendes Hilfsmittel zu den Fragen wäre eine Skizze, die aber nur bei entsprechend anschaulichen Vektorräumen hilft. Anhand der Skizze lässt es sich oftmals leichter einsehen, ob ein Untervektorraum-Kriterium verletzt ist.

Wir wollen die Vorgehensweise an unseren Beispielen illustrieren:


Sind wir die drei Kriterien durchgegangen, so sollten wir jetzt zumindest eine Vermutung und eine dazugehörige Beweisidee haben. Entweder wir haben einen Widerspruch zu mindestens einem der drei Untervektorraum-Kriterien gefunden oder wir vermuten, dass alle Kriterien erfüllt sind. Im nächsten Schritt versuchen wir daher, unsere Vermutung formal korrekt zu beweisen.

Beweis aufschreiben[Bearbeiten]

  1. Sei der Nullvektor. Dann gilt , da [Argumentation]. (Alternativ kann man zeigen, dass gilt.)
  2. Sei beliebig. Es gilt [Argumentation] und damit .
  3. Sei und beliebig. Wegen [Argumentation] folgt, dass .

Beispiele für Untervektorräume[Bearbeiten]

Beispiele[Bearbeiten]

Im Folgenden schauen wir uns erste Beispiele an, um unsere Vorstellung von Untervektorräumen zu festigen und Fehlinterpretationen vorzubeugen. Dabei werden wir zur Überprüfung insbesondere auch den Satz aus dem vorherigen Abschnitt verwenden.

Triviale Untervektorräume[Bearbeiten]

In jedem -Vektorraum gibt es zwei "triviale" Untervektorräume:

Beispiel (Triviale Untervektorräume)

Sei ein Vektorraum. Zum einen ist der Nullvektorraum stets ein Untervektorraum von . Dieser ist nämlich ein Vektorraum und da ist, ist auch .

Auf der anderen Seite ist auch der komplette Vektorraum ein Untervektorraum von . Schließlich gilt , und ist ein Vektorraum.

Da und stets Untervektorräume für jeden Vektorraum sind, werden sie triviale Untervektorräume genannt.

Folgendes Beispiel mit zeigt, dass die trivialen Untervektorräume sogar die einzigen sein können:

Beispiel (Untervektorräume von )

aufgefasst als -Vektorraum besitzt nur die trivialen Untervektorräume und selbst.

Angenommen es gäbe einen weiteren - nichttrivialen - Untervektorraum . Dann existiert eine reelle Zahl . Aus dem dritten Kriterium von Untervektorräumen folgt nun, dass auch für alle in enthalten sein muss. Da ein Körper ist, heißt das aber, dass alle reelle Zahlen in liegen. Es gilt also .

Warnung

Obwohl ein Unterkörper von ist, ist kein Untervektorraum des -Vektorraums . Falls nämlich , dann ist das skalare Vielfache .

Unterräume von [Bearbeiten]

In der folgenden Aufgabe zeigen wir, dass eine bestimmte Ebene durch die in einen Untervektorraum bildet.

Aufgabe (Ebene im )

Sei . Beweise, dass ein Untervektorraum ist.

Beweis (Ebene im )

Für den Nachweis müssen wir zeigen, dass das Unterraumkriterium erfüllt ist. Das zeigen wir mit den folgenden drei Beweisschritten:

Beweisschritt:

Es gilt , da erfüllt ist.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Addition

Wir betrachten zwei Vektoren und aus mit und . Dann gilt

Weiter ist

Damit ist und wir haben die Abgeschlossenheit der Addition gezeigt.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation

Sei und sei . Dann gilt

und insbesondere

Damit ist und somit ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation.

Damit haben wir alle Untervektorraumaxiome nachgewiesen und gezeigt, dass ein Untervektorraum ist.

Unterräume des Polynomvektorraumes[Bearbeiten]

Wenden wir uns nun einem etwas abstrakteren Beispiel zu, nämlich dem Polynomvektorraum, und dem Teilraum der Polynome bis Grad :

Satz (Polynome mit Grad )

Sei . Dann ist ein Untervektorraum von

Beweis (Polynome mit Grad )

Wir müssen zeigen, dass die drei Unterraumkriterien gelten:

Beweisschritt:

Wir haben , also

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der Addition

Seien . Dann ist . Deshalb finden wir sodass gilt: und . Somit erhalten wir , also . Damit liegt

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter der skalaren Multiplikation

Seien . Dann ist . Deshalb finden wir sodass gilt: . Somit erhalten wir , also . Damit liegt

Damit sind nun alle 3 Unterraumkriterien erfüllt, und es folgt, dass ein Unterraum ist.

Gegenbeispiele[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Überarbeiten

Beispiel (Untervektorräume Beispiel 1)

Sei der dreidimensionale Standardvektorraum. Wir betrachten folgende Teilmengen von :

Frage: Sind und Untervektorräume von ?

Beispiel (Untervektorräume Beispiel 2)

Als abstrakteres Beispiel betrachten wir nun auch noch den -Vektorraum mit beliebigen Körper . Zur Erinnerung: ist die Menge aller Polynome in der Variablen über den Körper , welcher mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation mit einem Körperelement ein Vektorraum bildet.

Sind folgende Teilmengen von Untervektorräume?:

Aufgaben[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Aufgaben finden und ausformulieren