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Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Das Maximumprinzip der Wärmeleitungsgleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wo stehen wir

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Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

Sie heißt homogen für , sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung zum Zeitpunkt und Wärmequellen und -senken vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt. Die Lösung für den Ganzraumfall haben wir schon betrachtet. Dann haben wir die Wärmekugel (englisch heat ball) eingeführt und die Mittelwerteigenschaft bewiesen. Nun folgern wir daraus das Maximumprinzip.

Das Maximumprinzip

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Der nachfolgend verwendete Begriff des (Weg-)Zusammenhangs wird hier erläutert Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Zusammenhang_und_Wegzusammenhang

Satz

Sei beschränkt und offen und für gelte auf ganz . Dann gilt

1.) das schwache Maximumprinzip

mit dem Mantel und Boden von .

2.) das starke Maximumprinzip

Sei zusammenhängend und es existiere ein , in dem das Maximum angenommen wird

Dann ist konstant auf . muss also konstant sein zu jedem früheren Zeitpunkt.

Beweis

2.) 1.):

Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Annahme: 1.) ist falsch, dann ist das Maximum im Inneren echt größer als auf dem Rand

Sei die Zusammenhangskomponente von in und betrachte

Weil der Rand der Zusammenhangskomponente im Gesamtrand enthalten ist, gilt

Das ist ein Widerspruch, da nach 2.) konstant sein müsste auf

2.):

Sei mit

Sei mit , d.h. der Abschluss der Wärmekugel ist ganz in enthalten. Wegen und der Mittelwerteigenschaft Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Mittelwerteigenschaft_der_Wärmeleitungsgleichung und wegen gilt

Das Integral hatten wir bei der Wärmekugel Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Wärmekugel ausgerechnet. Das ergibt

und wegen auf folgt

Das genügt noch nicht. Wir wollen zeigen, dass auf ganz gilt.

a) Sei sodass und die gesamte Linie , die und verbindet liege in . Wir wollen zeigen, dass

Betrachte das Infimum auf , ab dem nicht mehr maximal ist

Da abgeschlossen ist und stetig ist, ist das Infimum ein Minimum.

Wir wollen nun zeigen, dass . Da die Linie streng monoton fällt in , schneidet sie jede kleine Wärmekugel unterhalb von , wobei auf der Linie gemäß Zeit gewählt wird. Dadurch gibt es ein , sodass das ganze weitere Linienstück in der Wärmekugel enthalten ist. Dann folgt wie oben, dass

im Widerspruch zum Minimum bei . Damit gilt .

b) Sei mit .

Da zusammenhängend ist, ist es wegzusammenhängend. Wähle daher einen stetigen Weg von nach . Wähle zudem die direkte Linie von nach , diese ist insbesondere streng monoton fallend. Das ergibt einen stetigen Weg von nach . Da dieser kompakt ist, ist sein Abstand vom Rand von echt größer Null, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes

Überdecke den Weg mit Kugeln der Größe

Da der Weg kompakt ist, genügt eine endliche Überdeckung mit Kugeln. Diese ordnen wir an gemäß der Ordnung von längs .

Nun verbinden wir die Mittelpunkte der Punkte durch Linien: diese verlaufen innerhalb der Kugeln und damit automatisch innerhalb von und auf jeder dieser Linie folgt aus a) , also auch .

Da beliebig gewählt war, folgt auf .

Mit der Stetigkeit von folgt