Mathematik-Glossar: Gruppentheorie

Im Glossar zur Gruppentheorie werden folgende Notationen verwendet: $(G,\circ )$ und $(H,\bullet )$ sind Gruppen. $e\in G=<e_{1},...,e_{k}>$ ist das neutrale Element einer endlich erzeugten Gruppe mit Erzeugern $\{e_{1},...,e_{k}\}$ . $U\leq G$ ist Untergruppe. $N\trianglelefteq G$ ist Normalteiler. $G/_{N}$ ist Faktorgruppe. $G\simeq H$ oder $G\lesssim H$ bedeutet „ $G$ isomorph zu (einer Untergruppe von) $H$ “

Fachbegriffe, die aus dem Themengebiet der Gruppentheorie herausführen sind blau; Begriffe, die innerhalb dieses Glossars erklärt werden, sind grün. Alle Verweise auf Stichworten führen zudem auf einen Artikel in der Wikipedia.

Inhaltsverzeichnis: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

A

abelsch: heißt eine Gruppe $(G,\circ )$ , wenn die Verknüpfung $\circ$ kommutativ ist, also $\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a$ . Benannt nach Niels Henrik Abel.

Allgemeine lineare Gruppe: $GL_{n}(\mathbb {K} )$ vom Grad $n$ über einem Körper $\mathbb {K}$ ist die Menge aller invertierbaren oder regulären quadratischen Matrizen der Dimension $n$ mit Koeffizienten aus $\mathbb {K}$ und mit der Matrixmultiplikation als Gruppenverknüpfung.

Alternierende Gruppe: $Alt_{n}$ oder auch $A_{n}$ ist die Menge aller geraden Permutationen einer Menge von $n$ Elementen; für $n>2$ eine nicht-triviale Untergruppe der symmetrischen Gruppe. Für $n>4$ ist sie einfach. Ihre Ordnung ist $n!/2$ .
Automorphismus: (altgr.: αὐτομορφισμός, „eigene Gestaltgeber“) ist ein bijektiver Homomorphismus (Isomorphismus) aus einer Gruppe in sich selbst.

B

Bahn: ${\omega }^{G}$ eines Elements $\omega \in \Omega$ unter der Operation mit $G$ ist die Menge aller möglichen Bilder von $\omega$ unter der Operation. ${\omega }^{G}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\{c_{g}(\omega )\mid g\in G\}$
Bijektiv: heißt eine Abbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

C

Charakteristische Untergruppe: ist eine Untergruppe, die unter Automorphismen auf sich abgebildet wird, also „fest bleibt“.

D

Darstellung: einer Gruppe vom Grad $n$ ist ein Homomorphismus von einer Gruppe auf eine allgemeine lineare Gruppe. Die Darstellungstheorie ist ein umfangreiches Unterkapitel der Gruppentheorie.
Diedergruppe: heißen eine Serie von Gruppen, die jeweils von zwei Involutionen erzeugt werden. Diedergruppen können als Symmetriegruppe eines regulären n-Ecks aufgefasst werden. Sind $a,b$ erzeugende Involutionen der Gruppe $D$ so hat diese Ordnung $2\cdot \operatorname {o} (ab)$ . $D$ besitzt einen zyklischen Normalteiler $N$ der Ordnung $\operatorname {o} (ab)$ und jedes Element außerhalb von $N$ invertiert diesen. Diedergruppen sind durch die Gruppenordnung bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und in der Literatur als $D_{2\cdot k}$ bzw auch als $D_{k}$ notiert, wobei $k$ die Ordnung des zyklischen Normalteilers ist.

Direktes Produkt: (bei additiver Interpretation auch direkte Summe) $((G_{1},\circ )\times (G_{2},\bullet ))$ zweier (auch beliebig vieler) Gruppen ist die Menge aller Tupel von Gruppenelementen. Mit der elementweisen Verknüpfung bildet es eine Gruppe. Ein Produkt von Untergruppen $U_{1},..U_{n}\leq G$ heißt intern, falls; ${\begin{array}{lcl}G=U_{1}U_{2}..U_{n}&&{\mbox{G ist Produkt aller }}U_{i}\\U_{i}\trianglelefteq G&0<i<n+1&{\mbox{Alle }}U_{i}{\mbox{ normal in G}}\\U_{i}\cap (U_{1}..U_{i-1}U_{i+1}..U_{n})&0<i<n+1\end{array}}$; Meistens ist mit dem direkten Produkt das interne direkte Produkt gemeint.

E

Einfach: heißt eine Gruppe aus mindestens zwei Elementen, die nur $\{e\}$ und sich selbst als Normalteiler enthält. Jede endliche Gruppe ist in gewisser Weise aus einfachen Gruppen zusammengesetzt. Die endlichen einfachen Gruppen sind abschließend klassifiziert.
Einselement: siehe neutrales Element
Endlich: heißt eine Gruppe, wenn sie nur endlich viele Elemente enthält, also von endlicher Ordnung ist.
Elementar abelsch: heißt eine endliche p-Gruppe, für all deren Elemente gilt, dass $x^{p}=1$ ist.
Endlich erzeugt: heißt eine Gruppe, wenn sie von endlich vielen Elementen erzeugt wird. Also jedes Element eine Darstellung als Kombination endlich vieler Erzeuger hat. Die Erzeuger sind i.A. nicht eindeutig. Ist eine endlich erzeugte Gruppe abelsch, gilt der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen.
Epimorphismus: (von altgr: έπίμορφήισμός, „Gestalteinführer“) ist ein surjektiver Homomorphismus.
Erzeuger: siehe Erzeugendensystem.
Erzeugendensystem: ist eine Teilmenge $M=\{e_{i}\}$ einer Gruppe, deren Elemente Erzeuger heißen, sodass jedes Element eine Darstellung als Produkt endlicher Potenzen der Erzeuger hat. Die Länge von $M$ ist die Anzahl der Elemente in $M$ . Die Minimale Länge eines Erzeugendensystems ist für eine gegebene Gruppe eindeutig. Ist sie endlich, heißt sie endlich erzeugt. Ist die Länge gleich eins, heißt $G$ zyklisch. Für „ $G$ wird von $\{M\}$ erzeugt“ schreibt man $G=<M>$ .

F

Faktorgruppe: (auch: Quotientengruppe, Restklassengruppe) $G/_{N}$ ist für $N\trianglelefteq (G,\circ )$ die Menge der (hier Links)-Nebenklassen mit der Verknüpfung $\bullet :G/_{N}\times G/_{N}\rightarrow G/_{N}$ wie folgt erklärt $\forall aN,bN\in G/_{N}:aN\bullet bN\mapsto \bullet (aN,bN){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(a\circ b)N$ . Der Zusammenhang von Normalteilern, Homomorphismen und Faktorgruppen ist im Homomorphiesatz zusammengefasst.

G

Grad einer Darstellung: Dimension der allgemeinen linearen Gruppe, in die eine Darstellung abbildet.

Grad einer linearen Gruppe: ist die Zahl der Spalten (also auch der Zeilen) der quadratischen Matrizen, aus denen diese Gruppe besteht. Siehe allgemeine lineare Gruppe.
Gruppe: ist eine nichtleere Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung, die gewissen Eigenschaften genügt.
Gruppenaxiome: siehe Verknüpfung.
Gruppenhomomorphismus: siehe Homomorphismus.

H

Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen: Siehe Satz.
Homomorphiesatz: Siehe Satz.
Homomorphismus: von Gruppen ist eine Abbildung $\varphi :(G,\circ )\rightarrow (H,\bullet )$ die die Gruppenstruktur erhält. Also $\forall a,b\in G:\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\bullet \varphi (b)$ . Ein Homomorphismus heißt Monomorphismus, falls $\varphi$ injektiv; Epimorphismus, falls $\varphi$ surjektiv; Isomorphismus, falls $\varphi$ bijektiv; Automorphismus, falls $\varphi$ $G$ in sich selbst überführt, also $G=H$ . Siehe auch Natürlicher Homomorphismus

I

Beispiel: Isomorphismus
Identität	$r_{1}$ (Rotation 90° rechts)	$r_{2}$ (Rotation 180° rechts)	$r_{3}$ (Rotation 270° rechts)
$f_{v}$ (Vertikale Spiegelung)	$f_{h}$ (Horizontale Spiegelung)	$f_{d}$ (Diagonale Spiegelung)	$f_{g}$ (Gegendiagonalspiegelung)
Die Elemente $\{\operatorname {id} ,r_{1},r_{2},r_{3},f_{v},f_{h},f_{d},f_{g}\}$ dieser geometrischen Abstraktion (sog. Symmetriegruppe des Quadrats) bilden mit der Hinereinanderausführung eine Gruppe. Sie ist isomorph zur Dieder Gruppe . Man kann in verschiedenen Darstellungen oft ohne viel Aufwand Informationen über erheblich komplexere Gruppenstrukturen sammeln, die beim Wechseln mit Isomorphismen erhalten bleiben.

Index: einer Untergruppe ist die Anzahl ihrer Rechts- oder Linksnebenklassen.
Involution: (auch Selbstinverse) heißen Gruppenelemente, die sich selbst invertieren.
Isomorph: (von altgr.: ἰσομορφός, „von selber Struktur“) heißen Strukturen, die durch einen bijektiven Homomorphismus (Isomorphismus) aufeinander abgebildet werden können. Isomorphe Strukturen können als bis auf die Bezeichnung ihrer Elemente „identisch“ angesehen werden. Eine Hauptaufgabe der Gruppentheorie ist die möglichst eindeutige Klassifikation von Gruppen „bis auf Isomorphie“. Beispielsweise ist jede zyklische Gruppe isomorph zu einer Untergruppe der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ . Für „ $G$ ist isomorph zu $H$ “ schreibt man $G\simeq H$ . Für „ $U$ ist Isomorph zu einer Untergruppe von $G$ “ schreibt man $U\lesssim G$
Isomorphismus: ist ein bijektiver Homomorphismus.

K

Kern einer Abbildung: die Teilmenge der Ausgangsmenge, die auf das neutrale Element der Zielmenge abgebildet wird. Jeder Normalteiler ist Kern eines Gruppenhomomorphismus und umgekehrt. Besteht der Kern eines Homomorphismus' nur aus dem neutralen Element, so ist dieser injektiv.

Kleinsche Vierergruppe: $V$ ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe. Sie hat die Ordnung 4.

kommutativ: siehe abelsch.

Kompositionsreihe: siehe Reihe.

Konjugation: mit einem Element $g$ ist die Abbildung $\operatorname {c} _{g}:\ G\rightarrow G,\quad h\mapsto \operatorname {c} _{g}(h){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}ghg^{-1}$ Die Konjugation ist ein innerer Automorphismus von $G$ . $\operatorname {c} _{g}\in \operatorname {Inn} (G)$ . Die Abbildung $T:\ G\rightarrow \operatorname {Inn} (G),\quad g\mapsto \operatorname {c} _{g}$ bildet $G$ in die Gruppe der inneren Automorphismen, einen Normalteiler der Automorphismengruppe, ab. Der Kern von $T$ ist das Zentrum $Z(G)$ von $G$ . Normalteiler sind bezüglich Konjugation invariante Mengen (Auch Untergruppen). Das Zentrum ist die größte, elementweise bezüglich Konjugation invariante Menge.

L

Lie-Gruppe: ist eine Gruppe, die zugleich eine analytische reelle oder komplexe Mannigfaltigkeit ist, und deren Verknüpfung (nebst Umkehrfunktion) eine analytische Funktion ist.
Links-Nebenklassen: Siehe Nebenklasse

M

Monoid: ist eine Halbgruppe mit neutralem Element, aber ohne inverses Element.

Monomorphismus: (altgr.: μονομορφήισμός „einzige Gestaltgeber“) ist ein injektiver Homomorphismus.

Monstergruppe: ist die größte sporadische Gruppe.

N

Beispiel: natürlicher Homomorphismus
Die Abbildung, die in den ganzen Zahlen Elemente der $p$ -elementigen Faktorgruppe zuordnet. Die Abbildung entscheidet, ob eine Zahl durch $p$ teilbar ist.

Natürlicher Homomorphismus: ist bezüglich $N\trianglelefteq G$ der Homomorphismus $\varphi :G\rightarrow G/_{N}$ mit $g\mapsto \varphi (g){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}Ng$ Der Homomorphismus, der jedes Element als Vertreter seiner Faktorgruppe $G/_{N}$ interpretiert.
Nebenklasse: von $H$ zum Element $a$ ist die Menge die durch Verknüpfung von einer festen Seite aller Elemente aus $H$ mit $a$ entsteht. Die Rechtsnebenklasse von $H$ unter $a$ ist also $Ha=\{h\circ a\mid h\in H\}$
Neutrales Element: ist das Element $e\in G$ , das verknüpft mit beliebigen Element das Element fest lässt. $\forall g\in G:e\circ g=g\circ e=g$
Normal: siehe Normalteiler.

Normalreihe: siehe Reihe.
Normalisator: $N_{G}(U)$ einer Teilmenge (praktisch meistens Untergruppe) $U$ in $G$ ist die Menge aller Elemente in $G$ , für die $U$ unter Konjugation invariant gelassen wird. $N_{G}(U)=\{g\in G\mid c_{g}(U)=U\}$ . Gilt $N_{G}(U)=G$ heißt U Normalteiler.
Normalteiler: ist eine unter Konjugation mit beliebigen Element invariante Untergruppe. Also $\forall g\in G:c_{g}(N)=N$ oder $\forall x\in N:\forall g\in G:g^{-1}xg\in N$ . Normalteiler zu sein ist gleichbedeutend mit der Gleichheit der rechten und linken Nebenklasse. Das gilt in abelschen Gruppen immer. Für „ $N$ ist Normalteiler von $G$ “ schreibt man auch $N\trianglelefteq G$ . $N$ ist genau dann Normalteiler, wenn der Normalisator von $N$ in $G$ gleich G ist.

Nullelement: siehe neutrales Element.

O

Operation: einer Gruppe auf einer Menge $\Omega$ ist ein Homomorphismus $\operatorname {op} \colon G\rightarrow S_{\Omega }$ mit $g\mapsto \operatorname {op} (g)\colon \Omega \times \Omega \colon \omega \mapsto c_{g}(\omega )$ . Eine Operation heißt treu, falls jedes Element aus $\Omega$ unter $G\setminus \{e\}$ auch bewegt wird, also $\operatorname {Ker} (\omega )=\{e\}$ . Kann ein Element bei Operation mit $G$ auf ein anderes abgebildet werden, also falls $\exists g\in G:c_{g}(\alpha )=\beta$ , sagt man, die Elemente liegen in einer Bahn.
Orbit: siehe Bahn.

Ordnung einer endlichen Gruppe: ist die Anzahl ihrer Elemente.

Ordnung eines Elements: $g$ einer Gruppe $G$ ist, die kleinste positive Potenz von $g$ , die das Einselement ergibt. $\operatorname {min} \{m\in \mathbb {N} :g^{m}=e\}$ Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist durch die Ordnung jedes Elements teilbar. (siehe Satz von Lagrange)

P

p-Gruppe: ist eine Gruppe deren Ordnung Potenz einer Primzahl ist.

Permutationsgruppe: Siehe symmetrische Gruppe.
Prime Restklassengruppe: Siehe Faktorgruppe.
Punktgruppe: Siehe Symmetriegruppe.

Q

Quaternionengruppe: ist die Gruppe des Schiefkörpers der Hamiltonschen Quaternionen

Quotientengruppe: siehe Faktorgruppe.

R

Raumgruppe: ist die Symmetriegruppe eines Kristalls.

Reihe: Eine monotone Folge geeigneter Untergruppen einer Gruppe.
Restklassengruppe: siehe Faktorgruppe.

S

Satz: ist hier eine bewiesene Aussage über algebraische Zusammenhänge. Die Gruppentheorie kennt folgende Sätze:

Satz von Ado

behandelt Darstellbarkeit von Lie-Algebren als Matrizen.

Satz von Artin

auch Artinsches Reziprozitätsgesetz: Die Galoisgruppe einer abelschen Körpererweiterung ist Quotient einer Idealklassengruppe.

Satz von Brauer-Suzuki

Eine Aussage über spezielle Untergruppen.

Bikommutantensatz

Eine von-Neumann-Algebra stimmt mit ihrem doppelten Kommutanten überein.

Satz von Cayley

Jede Gruppe ist isomorph zu einer Gruppe von Permutationen.

Satz von Engel

Charakterisierung nilpotenter Lie-Algebren.

Fünferlemma

Lemma aus der homologischen Algebra (Diagrammjagd)

Hauptsatz der Galoistheorie

Beziehungen zwischen Untergruppen der Galoisgruppe und den Zwischenkörpern von Körpererweiterungen.

Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

jede eeaG hat eine Zerlegung in ein direktes Produkt zyklischer Untergruppen.

Homomorphiesatz

besagt, dass das Bild eines beliebigen Gruppenhomomorphismus

\varphi

mit der Gruppe nach ihrem Kern isomorph ist:

G/_{\operatorname {Ker} (\varphi )}\simeq \operatorname {Im} (\varphi )

Erster Isomorphiesatz: $((H\leq G)\land (N\trianglelefteq G))\Rightarrow H/_{H\cap N}\simeq HN/_{N}$
Zweiter Isomorphiesatz: Sind $N,H\trianglelefteq G$ Normalteiler, dann gilt ${\frac {G/_{N}}{H/_{N}}}\simeq G/_{H}$

Satz von Jordan-Hölder: Zwei beliebige Kompositionsreihen einer Gruppe sind äquivalent.
Satz von Krull-Remak-Schmidt: Gruppen bzw. Moduln mit Endlichkeitsvoraussetzungen sind Produkt von unzerlegbaren Untergruppen bzw. Untermoduln.
Satz von Lagrange: Die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe teilt die Gruppenordnung.
Satz von Maschke: Zerlegung einer Gruppendarstellung in ein direktes Produkt irreduzibler Darstellungen.
Lemma von Nakayama: Lemma über endlich erzeugte Moduln.
Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt: Satz über die Basis der universellen einhüllenden Lie-Algebra.
Satz von Schreier: Zwei Normalreihen einer Gruppe lassen sich durch Verfeinerung zu äquivalenten Normalreihen verlängern.
Sylow-Sätze: erlauben es, Aussagen über Untergruppen von endlichen Gruppen zu treffen und einige Gruppen endlicher Ordnung zu klassifizieren. (Nach Ludwig Sylow

Spezielle lineare Gruppe: $SL_{n}(\mathbb {K} )$ vom Grad $n$ über einem Körper $\mathbb {K}$ ist die Menge aller invertierbaren Matrizen $A$ der Dimension $n$ mit der Determinante eins. $A\in \operatorname {Mat} _{n,n}(\mathbb {K} ):\operatorname {det} (A)=1$ Die spezielle lineare Gruppe ist Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe.

spezielle orthogonale Gruppe: $SO_{n}(\mathbb {K} )$ vom Grad $n$ über einem Körper $\mathbb {K}$ in einem Prähilbertraum ist die Menge aller orthogonalen Matrizen der Dimension $n$ . Die spezielle orthogonale Gruppe ist Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe.

Sporadische Gruppe: ist eine der 26 endlichen einfachen Gruppen, die sich keiner der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen zuordnen lassen.

Sylow-Gruppe: siehe Sylowsätze.

Symmetriegruppe: ist die Menge der Abbildungen eines geometrischen Objekts auf sich selbst mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als Verknüpfung. Die Symmetriegruppen regulärer $n$ -Polygone entsprechen der symmetrischen Gruppe auf $n$ Elementen.

Symmetrische Gruppe: $S_{n}$ besteht aus der Menge alle Permutationen auf einer Menge von $n$ Elementen. Sie hat die Ordnung $n!$ .

Symplektische Gruppe: $Sp_{n}(\mathbb {K} )$ vom Grad $2n$ über einem Körper $\mathbb {K}$ ist die Menge aller linearen Abbildungen, die Symplektische Formen, also nicht ausgeartete, alternierende Bilinearformen, invariant lassen. Für Körper mit Charakteristik verschieden von 2 ist die symplektische Gruppe Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe die diese im direkten Produkt mit der speziellen orthogonalen Gruppe erzeugt.

T

Treue Darstellung: ist ein Monomorphismus einer Gruppe auf die allgemeine lineare Gruppe. Siehe auch Darstellungstheorie.
Triviale Gruppe: besteht nur aus dem neutralem Element.

U

unitäre Gruppe: ist die Gruppe der unitären Matrizen.

Untergruppe: ist eine nichtleere Teilmenge $U$ einer Gruppe $(G,\circ )$ , die bezüglich der Verknüpfung $\circ$ eine Gruppe ist. Insbesondere ist die Menge unter der Verknüpfung und des Bildens der inversen Elemente abgeschlossen. Untergruppe zu sein ist äquivalent zur Gültigkeit des sogenannten Untergruppenkriteriums: $(e\in U)\land (\forall a,b\in U:a\circ b^{-1}\in U)$
Untergruppenkriterium: siehe Untergruppe.
Unimodulare Gruppe: ist eine Gruppe, für die das linksseitige und rechtsseitige Haarsche Maß übereinstimmen. Standardbeispiel sind die unimodularen Matrizen, auch spezielle lineare Gruppe genannt.

V

Verknüpfung: Eine binäre Relation $\circ :G\times G\rightarrow G$ , die abgeschlossen und assoziativ ist. Zudem gibt es ein Element, das bezüglich der Verknüpfung alle anderen unverändert lässt, das neutrale Element $e$ und zu jedem Element $g\in G$ eines, das dieses auf das neutrale Element abbildet, das inverse Element $g^{-1}$ . In einer abelschen Gruppe ist die Verknüpfung kommutativ. Es gilt also:; ${\begin{array}{lcl}\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c&{\mbox{Assoziativität}}\\\exists e\in G:\forall g\in G:e\circ g=g&{\mbox{Neutrales Element}}\\\forall g\in G:\exists g^{-1}\in G:g^{-1}\circ g=e&{\mbox{Inverses Element}}\\\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a&{\mbox{(Kommutativ)}}\end{array}}$

W

Wirkung: Siehe Operation.

Z

Zentralisator: $Z_{G}(x)$ eines Elements $x\in G$ ist die aus allen mit $x$ kommutierenden Elementen bestehende Menge. $Z_{G}(x)=\{g\in G\mid gx=xg\}$
Zentrum: $Z(G)$ einer Gruppe $G$ ist die größte Untergruppe von $G$ , in der jedes Element mit allen Elementen von G kommutiert. $Z(G)=\{x\in G\mid \forall g\in G:gx=xg\}=\bigcap _{x\in G}Z_{G}(x)$ , also der Schnitt über alle Zentralisatoren von $G$
Zyklisch: heißt eine Gruppe $G$ , die von genau einem Element $g$ erzeugt wird: Alle Elemente von $G$ sind Potenzen von $g$ . Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist das direkte Produkt von zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung. (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen)

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