Mathematik-Glossar: Topologie

Dieses Glossar besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit allgemeinen Konzepten und der zweite Teil erklärt Typen von topologischen Räumen. Alle Räume in diesem Glossar werden als topologische Räume angenommen.

Teil 1 – Topologische Konzepte

In diesem Abschnitt werden wichtige topologische Konzepte in alphabetischer Reihenfolge aufgeführt und kurz definiert.

• Abschluss: Der Abschluss oder die abgeschlossene Hülle ${\overline {M}}$ einer Teilmenge M eines topologischen Raumes X ist die Schnittmenge aller abgeschlossenen Mengen in X, die M enthalten. Der Abschluss ist die kleinste abgeschlossene Menge, die die ursprüngliche Menge enthält. Alternativ kann man den Abschluss von M in X auch als die Menge aller Berührpunkte von M in X definieren.

• Adhärenzpunkt: siehe Berührpunkt

• Basis: Ein System von offenen Mengen ist eine Basis einer Topologie, falls jede offene Menge eine Vereinigung von Elementen der Basis ist.

• Berührpunkt (selten auch Adhärenzpunkt): Ein Punkt x eines topologischen Raumes X heißt Berührpunkt der Teilmenge M von X, wenn jede Umgebung von x mit M einen nichtleeren Durchschnitt hat. (Ähnlich der Definition eines Häufungspunktes; ein Berührpunkt ist nur dann kein Häufungspunkt, wenn er isolierter Punkt ist)

• derivierte Menge (auch Ableitung): Die Menge aller Häufungspunkte einer Menge M in einem Raum R wird mit M' bezeichnet. Dies ist identisch mit dem Abschluss ohne die isolierten Punkte.

• dicht: Eine dichte Teilmenge M von X ist eine Menge, deren Abschluss ganz X ist.

• Häufungspunkt: Ein Punkt p eines topologischen Raums X heißt Häufungspunkt einer Teilmenge B von X, wenn jede Umgebung von p mindestens einen Punkt von B enthält, der ungleich p ist. Äquivalent: Wenn p im Abschluss von $B\setminus \{p\}$ liegt.

• homöomorph: Zwei Räume X und Y sind homöomorph, falls es eine bijektive Abbildung f: X → Y gibt, so dass f und f ^-1 stetig sind. Vom Standpunkt der Topologie aus sind X und Y gleich. Die Funktion f wird Homöomorphismus genannt.

• homotope Abbildungen: Zwei stetige Abbildungen f, g: X → Y sind homotop, falls es eine stetige Abbildung H: X × [0,1] → Y gibt, so dass H(x,0) = f(x) und H(x,1) = g(x) für alle x aus X. Die Funktion H wird eine Homotopie zwischen f und g genannt.

• Inneres: Das Innere, der innere Kern, oder der offene Kern M° einer Teilmenge M des Raumes X ist die Vereinigung aller offenen Mengen von X, die in M enthalten sind. M° ist die größte offene Menge, die in der ursprünglichen Menge M enthalten ist.

• innerer Punkt: Ein innerer Punkt einer Teilmenge M des Raumes X ist ein Element des Inneren. Also ein Punkt x, für den es eine offene Menge O gibt, die zur Gänze in M liegt und x enthält.

• isolierter Punkt: Ein Punkt p eines topologischen Raums X heißt isoliert, wenn er kein Häufungspunkt ist. Ein Punkt p einer Teilmenge B eines topologischen Raums X heißt isoliert in B, wenn er kein Häufungspunkt von B ist. Äquivalent: Ein Punkt p aus B ist isolierter Punkt, wenn er eine Umgebung hat, die keine anderen Punkte aus B enthält.

• Kondensationspunkt: Ein Punkt p eines topologischen Raums X heißt Kondensationspunkt einer Teilmenge B von X, wenn jede Umgebung von p überabzählbar viele Punkte von B enthält.

• lokal endlich: Ein System von Teilmengen eines Raumes ist lokal endlich, falls jeder Punkt eine Umgebung hat, die nur endlich viele der Teilmengen schneidet.

• lokale Basis: Siehe Umgebungsbasis

• n-Mannigfaltigkeit: Eine n-Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorff-Raum, in dem jeder Punkt eine zum Einheitsball $D^{n}$ homöomorphe Umgebung besitzt.

• nirgends dicht: Eine nirgends dichte Menge ist eine Menge, deren Abschluss einen leeren inneren Kern hat.

• perfekt: Eine perfekte Menge ist eine Menge, die mit ihrer derivierten Menge übereinstimmt. Also eine Menge, die abgeschlossen ist und keine isolierten Punkte enthält.

• Rand: Der Rand einer Menge ist der Abschluss der Menge minus ihrem inneren Kern. Äquivalent: Die Menge aller Randpunkte der Menge.

• Randpunkt: Ein Punkt p aus B ist Randpunkt von B, wenn in jeder seiner Umgebung mindestens ein Punkt aus B und mindestens ein Punkt aus dem Komplement von B liegt, also alle Elemente des Rands von B. Äquivalent: p ist Randpunkt von B, wenn er gleichzeitig Berührpunkt von B und Berührpunkt des Komplements von B ist.

• regulär offen: Eine Teilmenge U eines topologischen Raums X heißt regulär offen, wenn U gleich dem inneren Kern ihres Abschlusses ist. Für jede Menge U ist der innere Kern des Abschlusses von U regulär offen, und sogar die kleinste regulär offene Menge, die U enthält.

• stetig: Eine Funktion von einem Raum in einen anderen ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist. Für eine speziellere Definition, die für die reelle Analysis ausreicht, siehe den Artikel über Stetigkeit.

• Subbasis: Ein System von offenen Mengen ist eine Subbasis (Unter-Basis) einer Topologie, falls jede offene Menge eine Vereinigung von endlichen Schnitten von Mengen der Subbasis ist.

• Teilüberdeckung: Eine Überdeckung K ist eine Teilüberdeckung einer Überdeckung L, falls jedes Element von K auch ein Element von L ist.

• topologische Invariante: Eine Kenngröße topologischer Räume, die sich bei homöomorphen Abbildungen nicht ändert, nennt man topologische Invariante.

• trennbar durch Funktionen: Zwei Mengen A und B in einem Raum sind durch Funktionen trennbar, falls es eine stetige Funktion von dem Raum auf das Intervall [0,1] gibt mit der Eigenschaft, dass A auf 0 abgebildet wird und B auf 1.

• Umgebung: Eine Umgebung einer Menge S ist eine Menge, die eine offene Menge enthält, die wiederum die Menge S enthält. Eine Umgebung eines Punktes p ist eine Umgebung der einelementigen Menge {p}, also eine offene Menge, die p enthält, oder eine Obermenge davon.

• Umgebungsbasis (oder lokale Basis): Ein System B von Umgebungen eines Punktes x aus einem topologischen Raum X ist eine Umgebungsbasis von (bzw. lokale Basis auf) x, falls jede Umgebung von x ein Element von B enthält.

• Überdeckung: Ein System {U_i} von Mengen ist eine Überdeckung der Menge M, falls ihre Vereinigung die Menge M enthält. Eine offene Überdeckung ist eine Überdeckung {U_i}, in der jedes U_i eine offene Menge ist.

• Verfeinerung: Eine Überdeckung K ist eine Verfeinerung einer Überdeckung L, falls jedes Element von K eine Teilmenge eines Elementes von L ist.

• Zerlegung der Eins: Eine Zerlegung der Eins ist eine Familie stetiger Funktionen von einem Raum nach [0,1] mit folgenden Eigenschaften: Jeder Punkt besitzt erstens eine Umgebung, in der nur endlich viele der Funktionen einen von 0 verschiedenen Wert haben. Zweitens ist die Summe aller Funktionswerte in jedem Punkt 1.

Teil 2 – Arten von topologischen Räumen

Topologische Räume können klassifiziert werden unter Berücksichtigung des Grades, in dem ihre Punkte getrennt sind, unter Berücksichtigung ihrer Kompaktheit, ihrer gesamten Größe und ihres Zusammenhangs.

Trennungsaxiome

Für eine detaillierte Behandlung siehe Trennungsaxiom. Einige dieser Begriffe werden in älterer mathematischer Literatur anders definiert; siehe Geschichte der Trennungsaxiome.

• Kolmogoroff oder T₀: Ein Raum ist T₀, falls es zu jedem Paar von unterschiedlichen Punkten in dem Raum eine offene Menge gibt, die einen Punkt enthält, jedoch nicht den anderen. Verschiedene Punkte haben also verschiedene Umgebungsfilter.

• T₁: Ein Raum ist T₁, falls jede einelementige Teilmenge (engl. singleton) abgeschlossen ist. T₁ Räume sind immer T₀.

• Hausdorff oder T₂: Ein Raum ist Hausdorffsch, falls jedes Paar von unterschiedlichen Punkten disjunkte Umgebungen besitzt. Hausdorff-Räume sind immer T₁.

• Nüchtern (engl. sober), falls jede irreduzible abgeschlossene Menge Abschluss genau eines Punktes ist. Hausdorff-Räume sind nüchtern; nüchterne Räume sind T₀.

• Regulär: Ein Raum ist regulär, falls für alle abgeschlossenen Mengen C und Punkte p nicht in C, C und p disjunkte Umgebungen besitzen. Reguläre T₀-Räume sind immer Hausdorffsch.

• Tychonoff: Ein Hausdorff-Raum ist Tychonoffsch, falls für alle abgeschlossenen Mengen C und Punkte p nicht in C, C und {p} funktionell getrennt sind. Tychonoff-Räume sind immer regulär.

• Normal: Ein Raum ist normal, falls zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte offene Umgebungen haben. Normale Räume erlauben Zerlegungen der Eins. Normale T₁-Räume sind immer Tychonoffsch.

Kompaktheit

• Parakompakt: Ein Raum ist parakompakt, falls jede offene Überdeckung eine offene, lokal endliche Verfeinerung besitzt. Parakompakte Hausdorff-Räume sind normal.

• Lindelöf: Ein Raum ist lindelöfsch oder Lindelöf-Raum, falls jede offene Überdeckung eine abzählbare Teilüberdeckung besitzt, benannt nach dem Mathematiker Ernst Leonard Lindelöf.

• Kompakt: Ein Raum ist kompakt, falls jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Kompakte Räume sind immer lindelöfsch und parakompakt. Kompakte Hausdorff-Räume sind somit normal. Von einigen Autoren wird diese Eigenschaft auch als Quasi-Kompaktheit bezeichnet. In diesem Sprachgebrauch bezeichnet dann "kompakt" einen quasi-kompakten Hausdorff-Raum.

• Lokal kompakt: Ein Raum ist lokal kompakt, falls jeder Punkt eine lokale Basis bestehend aus kompakten Umgebungen hat. Lokal kompakte Hausdorff-Räume sind immer Tychonoffsch.

• relativ kompakt: Eine Menge ist relativ kompakt, falls ihr Abschluss kompakt ist.

Größe

• Separabel: Ein Raum ist separabel, falls er eine abzählbare dichte Teilmenge hat.
• Erst-abzählbar: Ein Raum ist erst-abzählbar, falls jeder Punkt eine abzählbare lokale Basis hat.
• Zweit-abzählbar: Ein Raum ist zweit-abzählbar, falls er eine abzählbare Basis der Topologie besitzt. Zweit-abzählbare Räume sind immer separabel, erst-abzählbar und lindelöfsch.

→ Zu den beiden Abzählbarkeitseigenschaften siehe den Hauptartikel Abzählbarkeitsaxiom

Zusammenhang

Hauptartikel: Zusammenhängender Raum

• Zusammenhängend: Ein Raum X ist zusammenhängend, falls er nicht die Vereinigung von zwei disjunkten, nicht-leeren offenen Mengen ist.

• Lokal zusammenhängend: Ein Raum ist lokal zusammenhängend, falls jeder Punkt eine lokale Basis bestehend aus zusammenhängenden Mengen besitzt.

• Total unzusammenhängend: Ein Raum ist total unzusammenhängend, falls er keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt besitzt.

• Wegzusammenhängend: Ein Raum X ist wegzusammenhängend (oder pfad-zusammenhängend), falls es für jedes Paar von Punkten x,y aus X einen Weg p von x nach y gibt, d.h. eine stetige Abbildung p : [0,1] → X mit p(0) = x, und p(1) = y. Wegzusammenhängende Räume sind immer zusammenhängend.

• Lokal wegzusammenhängend: Ein Raum ist lokal wegzusammenhängend, falls jeder Punkt eine lokale Basis bestehend aus wegzusammenhängenden Mengen besitzt. Ein lokal wegzusammenhängender Raum ist zusammenhängend genau dann, wenn er wegzusammenhängend ist.

• Einfach zusammenhängend: Ein Raum X ist einfach zusammenhängend, falls er wegzusammenhängend ist und jede stetige Abbildung f : S¹ → X homotop zu einer konstanten Abbildung ist (dabei ist S¹ der Einheitskreis im R²). Einfacher ausgedrückt: X besitzt keine "Löcher".

• Semilokal einfach zusammenhängend: Ein Raum X ist semilokal einfach zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebung U besitzt, so dass sich jede Schleife in U in X zusammenziehen lässt (in U muss sie nicht notwendigerweise zusammenziehbar sein, daher nur semilokal).

• Zusammenziehbar: Ein Raum X ist zusammenziehbar/kontrahierbar, falls die Identitätsabbildung auf X homotop zu einer konstanten Abbildung ist. Zusammenziehbare Räume sind immer einfach zusammenhängend.

• Irreduzibel: Ein Raum X ist irreduzibel, falls er nicht die Vereinigung zweier abgeschlossener echter Teilmengen ist.

Verschiedenes

• Metrisierbar: Ein Raum ist metrisierbar, falls er homöomorph zu einem metrischen Raum ist. Metrisierbare Räume sind immer Hausdorff und parakompakt (und daher normal und Tychonoff) und erst-abzählbar.

• Lokal metrisierbar: Ein Raum ist lokal metrisierbar, falls jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt.

• Vollständig metrisierbar: Ein Raum ist vollständig metrisierbar, falls er homöomorph zu einem vollständigen metrischen Raum ist. Es gibt metrische Räume, die nicht vollständig sind, aber vollständig metrisierbar, wie z.B. das offene Einheitsintervall oder die irrationalen Zahlen.

• Polnisch: Ein Raum heiße polnisch, wenn er separabel und vollständig metrisierbar ist. Jede abgeschlossene und jede offene Teilmenge der reellen Zahlen ist polnisch mit der induzierten Topologie.

• Homogen: Ein Raum $X$ ist homogen, falls es für alle $x$ und $y$ aus $X$ einen Homöomorphismus $f:X\to X$ gibt, so dass $f(x)=y$ gilt. Anschaulich gesagt bedeutet dies, dass der Raum an jedem Punkt gleich aussieht. Alle zusammenhaengenden Mannigfaltigkeiten und alle topologischen Gruppen sind homogen.

• Fixpunkteigenschaft: Ein Raum $X$ hat die Fixpunkteigenschaft, wenn jede stetige Abbildung $\phi :X\to X$ einen Fixpunkt besitzt. Die Sphäre $S^{n}$ hat diese Eigenschaft nicht, da die Punktspiegelung am Mittelpunkt keine Fixpunkte besitzt. Für Vollkugeln $D^{n}$ besagt der Fixpunktsatz von Brouwer, dass sie diese Eigenschaft besitzen.