Mathematik: Analysis: Differentialgleichungen

Einleitung

Als Differentialgleichung (kurz: DGL) bezeichnet man Gleichungen, in denen eine gesuchte Funktion $y=f(x)$ sowie ihre Ableitungen auftreten also Gleichungen der Form

$F\left(x,y,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}},\dots \right)=0$ .

Differentialgleichungen treten in den verschiedensten Bereichen der Naturwissenschaften auf, z. B. in der Physik, Chemie, Biologie, Elektrotechnik oder anderen. Sie werden benötigt, um das dynamische Verhalten verschiedener Prozesse zu beschreiben und zu untersuchen.

lineare Differentialgleichung

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten gehören zu den einfachsten Typen von Differentialgleichungen. Sie haben die Form

$a_{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+\dots +a_{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+a_{1}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+a_{0}y=f(x)$

Ist $f(x)\equiv 0$ , so nennt man die Gleichung homogen.

Trennung der Veränderlichen

Trennung der Veränderlichen ist eine Methode zur Lösung einfacher Differentialgleichungen 1. Ordnung. Die Idee hierbei ist, die beiden Veränderlichen von einander zu trennen und anschließend zu integrieren.

Betrachten wir die lineare, homogene DGL 1. Ordnung:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=a\cdot y$ .

Als erstes werden die beiden Veränderlichen, hier $x$ und $y$ , von einander getrennt. Dazu ordnen wir die Gleichung so um, dass Terme mit $y$ nur auf der linken Seite und Terme mit $x$ nur auf der rechten Seite vorkommen:

${\frac {\mathrm {d} y}{y}}=a\cdot \mathrm {d} x$ .

Jetzt werden beide Seiten der Gleichung integriert:

$\int {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=\int a\cdot \mathrm {d} x\;\Leftrightarrow \;\ln(y)=ax+{\tilde {c}}\;\Leftrightarrow \;y=e^{ax+{\tilde {c}}}=c\cdot e^{ax}$ .

Eine Integrationskonstante wird hier nur auf einer Seite eingefügt, da die beiden Integrationskonstanten aus den beiden Integralen zu einer einzigen zusammengefasst werden können. Durch Ableiten und Einsetzen der gefunden Lösung kann man leicht zeigen, dass die gefundene Lösung die DGL erfüllt.

Wie man leicht sieht, existieren unendlich viele Lösungen, da für die Konstante $c$ jede beliebige Zahl eingesetzt werden kann. Deshalb benötigt man noch eine zusätzliche Bedingung, eine sogenannte Anfangsbedingung. Anfangsbedingungen sind im Allgemeinen durch $y(x_{0})=y_{0}$ gegeben.

Beispielsweise mit der Anfangsbedingung $y(0)=2$ folgt aus obiger Gleichung:

$y(0)=c\cdot e^{0}=c=2$ .

Damit lautet die Lösung der DGL:

$y(x)=2\cdot e^{ax}$ .

Dieses Ergebnis bestätigt man sofort durch eine Probe:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=2\cdot ae^{ax}=a\cdot 2e^{ax}=ay$ .