Die Untersuchung einer Funktion auf Stetigkeit an einer Stelle zielt auf die Frage, ob eine "kleine" Änderung des Argumentwertes auch nur eine "kleine" Änderung des Funktionswertes zur Folge hat. In der Differentialrechnung wird diese Fragestellung verfeinert; man fragt, in welchem Verhältnis die "Kleinheit" der Änderung des Funktionswertes zur "Kleinheit" der Änderung des Argumentwertes steht. Hierzu nachfolgendes Beispiel.
- Beispiel
- Sei
und
und
. Dann ist
und
.
- Ändert man nun
um ein "kleines" Stück
, so ist
. Man erhält die Funktionswerteänderung
.
- Ändert man dagegen
um das gleiche "kleine" Stück
, so ist
, und jetzt ergibt sich die Funktionswerteänderung
.
Gleich große Änderung des Argumentwertes ruft in der Regel eine unterschiedlich große Änderung des Funktionswertes hervor.
Man spricht hier von der "Änderungsgeschwindigkeit" , und diese genauer zu untersuchen, ist Gegenstand der Differentialrechnung.
Der Differentialrechnung liegt eine Anzahl physikalischer Probleme zugrunde, die alle eines gemeinsam haben: Es geht dabei stets um den Momentanwert einer zeitlich oder örtlich veränderlichen physikalischen Größe, also um Fragen wie
- Was versteht man unter der Momentangeschwindigkeit eines nicht gleichförmig bewegten Körpers?
- Was ist seine Momentanbeschleunigung?
- Was ist die momentane Stärke eines Flüssigkeits-oder eines elektrischen oder überhaupt eines Stromes?
- Was versteht man unter der Dichte eines inhomogenen Körpers in einem seiner Punkte?
Dabei geht es nicht nur um exakte Definitionen sondern auch um Methoden zur Berechnung solcher Größen. Dabei wird sich herausstellen, dass die hier genannten und viele weitere solche Größen zwar definiert und unter idealisierten Bedingungen berechnet, aber nicht gemessen werden können.
Die stets gleichartige Problematik lässt sich sehr anschaulich an der Steigung einer Kurve in einem ihrer Punkte erörtern.
Die Steigung einer Kurve in einem ihrer Punkte
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- Definition
- Die Steigung einer Geraden ist der Tangens des Winkels, den sie mit der positiven x-Achse einschließt. Er ist gleich dem Quotienten der Koordinatendifferenzen zweier ihrer Punkte:
.
Der Quotient Δy/Δx heißt Differenzenquotient.
Daraus folgt für die Steigung der Sekante eines Kurvenstücks:
.
Die Steigung der Sekante wird auch als die „mittlere Steigung der Kurve im Intervall Δx“ bezeichnet.
Steigung einer Kurve in einem ihrer Punkte
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- Definition
- Die Steigung
einer Kurve in einem ihrer Punkte ist der Grenzwert, dem der Differenzenquotient und damit auch
für
gegen
zustrebt.
.
Der Grenzwert existiert nur unter bestimmten Voraussetzungen, über die noch zu sprechen sein wird.
Diese Definition sagt nichts darüber aus, wie der Grenzwert ermittelt werden kann, aber das ist auch nicht ihre Aufgabe.
- Definition
- Die Tangente im Punkt
einer Kurve ist die Gerade durch
,, welche dieselbe Steigung
hat wie die Kurve in
. Ihre Gleichung (Punkt-Richtungs-Gleichung) lautet demnach:
.
Der Index
bei der Klammer besagt, dass der Grenzwert an der Stelle
zu bilden ist, d. h. dass das Intervall
sich auf den Wert
zusammenziehen lässt.
Selbst wenn die betrachtete Kurve „zusammenhängend“ ist, das heißt nirgendwo einen Sprung macht, können in einem Punkt
der rechtsseitige
und der linksseitige Grenzwert
von einander verschiedene Werte haben. Die Kurve hat dann in
zwei Tangenten.
Differentialquotient und Differentiale
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Der Grenzwert des Differenzenquotienten
wird abkürzend als Differentialquotient
bezeichnet:
.
Zu einer Zeit, als weder für den Kontinuumsbegriff noch für den Stetigkeitsbegriff exakte mathematische Definitionen zur Verfügung standen, wurden die so genannten Differentiale
und
als "verschwindend kleine" oder auch "unendlich kleine" Größen angesehen. Inzwischen hat sich aber herausgestellt, dass man mit Differentialen algebraisch sauber operieren kann, wenn man sie nur geeignet definiert:
- Das Differential
ist identisch mit der Differenz
. Je nachdem, ob die damit gemeinte Größe zusammen mit
oder
auftritt, wird die eine oder die andere Bezeichnung gewählt.
- Das Differential
ist der (positive oder negative) Anstieg der Kurventangente im Intervall
(während
der Anstieg der Kurve selbst ist).
Wie man erkennt, ist
und
.
Für hinreichend kleine
gilt die wichtige Näherung:
.
Bei einigen wenigen Kurven kann die Tangente in einem beliebigen Kurvenpunkt exakt konstruiert werden. (Beispiel: Tangentenkonstruktion bei einem Kreis.) In einem solchen Fall kann auch ihre Steigung (also der Differentialquotient) graphisch ermittelt werden. Im Allgemeinen jedoch ist man auf die analytische Darstellung der Kurve – ihre Funktionsgleichung – angewiesen, wenn man den Grenzwert bestimmen will.
Die Bedeutung des Differentialquotienten reicht aber weit über das Tangentenproblem hinaus. Er spielt in Teilgebieten der Mathematik, insbesondere aber in der Physik eine bedeutende Rolle. Die mathematische Durchdringung der Physik ist ohne den Differentialquotienten undenkbar. Wir übertragen daher jetzt die oben eingeführten Begriffe auf mathematische Funktionen.
Der Differentialquotient einer Funktion
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- Zur Auffrischung: Funktion
- Die eindeutige Zuordnung der Elemente y einer Menge Y von Zahlen zu den Elementen x einer Menge X von Zahlen heißt Funktion.
- Anders ausgedrückt:
- Durch eine Funktion wird jedem Element x der Menge X genau ein Element y der Menge Y zugeordnet. (Es ist derzeit üblich, eine solche Zuordnung als "Abbildung" zu bezeichnen, obwohl der Sinn einer solchen Ausdrucksweise erst in der Funktionentheorie verständlich wird.)
- X heißt Definitionsbereich D, Y heißt Wertebereich W der Funktion.
- Der einem Wert xi zugeordnete Wert yi heißt der zu xi gehörige Funktionswert yi = f(xi).
- Die analytische Darstellung einer Funktion geschieht durch ihre Funktionsgleichung. Diese kann verschiedene Formen haben:
- Explizite Form: y = f(x)
- Implizite Form: F(x, y) = 0
- Parameterdarstellung: x = φ(t), y = ψ(t)
- Mittelbare Funktion: y = f(φ(x))
- Beachte den Unterschied zwischen Funktion und Funktionsgleichung.
- Wenn nichts anderes verabredet wird, gilt als Definitionsbereich D einer Funktion die Menge aller reellen Zahlen, deren Funktionswert ebenfalls reell ist.
Die Funktionsgleichung der Funktion
sei
. Ferner sei die Funktion an der Stelle
und in der Umgebung von
definiert. Damit ist gemeint, dass
nicht ein singulärer, isolierter Definitionspunkt sein darf, in dessen Nachbarschaft die Funktion nicht definiert ist. Die "Umgebung" kann sehr wohl eine einseitige Umgebung sein, sodass
ein Randpunkt des Definitionsbereichs ist. Die Intervallbreite der "Umgebung" darf beliebig klein, jedoch nicht null sein. – Die Bedingung, dass die Funktion in einer gewissen Umgebung von
definiert sein muss, ist notwendig, damit der Funktionswert nicht nur an der Stelle
, sondern auch an der Stelle
angegeben werden kann.
Dann ist der an der Stelle
gebildete Differenzenquotient der Funktion
:
.
Wenn der Grenzwert
existiert, so sagt man, die Funktion
sei an der Stelle
differenzierbar, oder sie besitze dort eine Ableitung.
Übliche Bezeichnungen für den Differentialquotienten und für die Ableitung an der Stelle
sind:
.
- Satz (1)
- Ist die Funktion
an der Stelle
differenzierbar, so ist sie dort auch stetig.
- Beweis
- Wenn die Funktion
an der Stelle
differenzierbar ist, so existiert dort der Grenzwert

- und hat dort einen bestimmten (endlich großen) Wert
. Dies setzt jedoch voraus, dass für
gegen
auch
gegen
strebt, also gilt
oder
.
- Anderenfalls würde der Differenzenquotient für
gegen
unbeschränkt wachsen. Die rechte Gleichung ist aber nichts anderes als das Kriterium der Stetigkeit der Funktion
an der Stelle
.
- Satz (2)
- Die Funktion
sei an der Stelle
differenzierbar und daher auch in einer gewissen Umgebung dieser Stelle definiert. Setzt man nun für alle
, für die
definiert ist,
und
,
- so ist
und
an der Stelle
stetig.
Dieser Satz ist unmittelbar einleuchtend. Er kann – samt seiner Umkehrung – in der folgenden Form ausgesprochen werden:
- Satz (3)
- Eine an der Stelle
und in einer Umgebung von
definierte Funktion
ist dann und nur dann an dieser Stelle differenzierbar und hat dort die Ableitung
, wenn die Differenz

- sich nach der Formel
in zwei Teile zerlegen lässt, wovon der erste proportional zu
ist und der zweite so beschaffen ist, dass er auch nach Division durch
für
gegen
ebenfalls gegen
geht.
- Beweis
- Die Formel in Satz (3) ist nichts anderes als die mit
multiplizierte und dann umgestellte Formel in Satz (2).
- Ist umgekehrt die Bedingung erfüllt, so ist nach Division durch
und
.
Die Funktion
besitzt also an der Stelle
eine Ableitung und diese hat den Wert
.
Dieser wichtige Satz heißt Zerlegungssatz, und die obige Formel heißt Zerlegungsformel.
Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Intervall
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- Definition
- Eine Funktion
heißt im beiderseits offenen Intervall
differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls differenzierbar ist.
Ist eine Funktion
im Intervall
differenzierbar, so hat ihre Ableitung in jedem Punkt des Intervalls einen genau bestimmten Wert, der mit
bezeichnet wird, wobei
ist. Folglich ist die Ableitung
in dem angegebenen Intervall selbst wieder eine Funktion von
.
Diese Funktion
wird die abgeleitete Funktion oder kurz Ableitung von
genannt. Übliche Schreibweisen für die abgeleitete Funktion sind
.
- Die konstante Funktion
(
reell)
Der Graph dieser Funktion ist eine horizontale Gerade. Ihre Steigung ist null. Daher ist auch
.
- Die Funktionen
und
(
reell)
Die Graphen beider Funktionen sind parallele Geraden mit der Steigung
. Folglich gilt für die Ableitungen beider Funktionen
.
Die Ableitung der Summe und Differenz zweier Funktionen
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Es sei
, und die Funktionen
und
seien für
beide differenzierbar. (Dies soll künftig für alle auftretenden Funktionen gelten.)
Dann ist

Analog findet man

Ableitung des Produkts zweier Funktionen
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Aus
folgt
und durch Subtraktion und Addition von
im Zähler

Für
gegen
wird daraus:

Als Sonderfall ergibt sich daraus für einen konstanten Faktor

Die "Produktregel" ist besonders einprägsam in der Kurzform

oder

In dieser Form lässt sich die Regel besonders leicht auf drei und mehr Faktoren übertragen:
usw .
Ableitung des Quotienten zweier Funktionen
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1. Wir betrachten zunächst einen einfachen Sonderfall:

Dann ist
![{\displaystyle {\frac {f\left({x+\Delta x}\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}=\left[{{\frac {1}{v\left({x+\Delta x}\right)}}-{\frac {1}{v\left(x\right)}}}\right]:\Delta x=\left[{\frac {v\left(x\right)-v\cdot \left({x+\Delta x}\right)}{v\left({x+\Delta x}\right)\cdot v\left(x\right)}}\right]:\Delta x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcafe7550cdaf8dcd3bd5b6ca96780708026db7)
Für
gegen
wird daraus:
![{\displaystyle f'\left(x\right)=-{\frac {v'\left(x\right)}{\left[{v\left(x\right)}\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f97e209a1c00fc997618802c595eb21ba1ef72c)
2. Den allgemeinen Fall, nämlich

fassen wir nun als Produkt auf, wenden darauf die "Produktregel" an und berücksichtigen dabei das soeben gewonnene Ergebnis:
![{\displaystyle f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \left[{\frac {1}{v\left(x\right)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bff2d78790884ebebb6e215905ed37eb91f1c8)
![{\displaystyle f'\left(x\right)=u'\left(x\right)\cdot \left[{\frac {1}{v\left(x\right)}}\right]+u\left(x\right)\cdot \left[{\frac {1}{v\left(x\right)}}\right]^{'}=u'\left(x\right)\left[{\frac {1}{v\left(x\right)}}\right]-u\left(x\right){\frac {v'\left(x\right)}{\left[{v\left(x\right)}\right]^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316463ab4c3ad3b2dd28a5aec4d5f973cad39f47)
und schließlich
![{\displaystyle f'\left(x\right)={\frac {u'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right)}{\left[{v\left(x\right)}\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4e77b0ded466772ef158c8407a9b0a0d469166)
Es sei

Durch Anwendung der erweiterten Produktregel ergibt sich dann

Durch Kombination der bisher bewiesenen Sätze können alle ganzen und gebrochenen rationalen Funktionen differenziert werden.
Es sei
eine im abgeschlossenen Intervall
stetige und streng monoton steigende Funktion. Ferner sei
und
.
Dann ist im Intervall
jedem Wert
eindeutig ein Wert
zugeordnet, sodass auch
eine Funktion von
ist:

Die Funktion
heißt die Umkehrfunktion oder inverse Funktion zu
. Dabei vertauschen Definitionsbereich und Wertebereich ihre Rollen.
Charakteristisch für die Funktion und ihre Umkehrfunktion ist, dass für jeden Wert
und für jeden Wert
im jeweiligen Intervall
und ![{\displaystyle \quad f\left[{\varphi \left(\eta \right)}\right]=\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0ea12866520b2e5aa07eb76b4db8b888753e10)
gilt.
Für die Steigungen der Tangente in einem beliebigen Punkt
gilt:
und 
Wegen

Dieses wichtige Ergebnis kann auch so geschrieben werden:

Ein einfaches Beispiel einer mittelbaren Funktion ("Funktion einer Funktion") ist die Funktion

Setzen wir
und 
so wird
![{\displaystyle y=f\left[{\varphi \left(x\right)}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2d6c431b1b30372216e61fc3591d7f43bffd72)
eine mittelbare Funktion von x.
Der Differenzenquotient der so genannten inneren Funktion (hier:
) ist

der Differenzenquotient der so genannten äußeren Funktion (hier
) ist

Den Differentialquotienten
kann man dann schreiben

Dabei muss allerdings vorausgesetzt werden, dass
ungleich
ist, d. h. die Kurve der Funktion
darf an der Stelle
keine horizontale Tangente haben. Eine detaillierte Untersuchung zeigt aber, dass diese Bedingung rein formaler Natur ist. Es gilt also ohne Einschränkung die so genannte Kettenregel:
oder 
Diese Regel gilt auch für beliebig viele erkettete Funktionen.
Ableitung der Logarithmusfunktion ln 
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Es sei
. Diese Funktion ist für
überall definiert und stetig.
Dann ist

Wir setzen nun
, wobei
.
Dann wird

und

Nun ist aber
und 
Somit ist

Die Funktion
ist für alle
differenzierbar.
Die Exponentialfunktion ist meist über die Reihe

gegeben. Da die einzelnen Summenglieder alle stetig und differenzierbar sind, dürfen wir gliedweise ableiten:

Alternativ können wir die Ableitung auch aus der Umkehrfunktion gewinnen, da
die Funktion für alle reellen Zahlen definiert, stetig und streng monoton ist. Ihr Wertebereich ist
. Aus

Also ist

Die Funktion
ist für alle Werte
differenzierbar.
f(x) |
f ' (x) |
f ' ' (x) |
f ' ' ' (x)
|
ex |
ex |
ex |
ex
|
ln(x) |
(1/x) |
(-1/x2) |
(2/x3)
|
c*x |
c |
0 |
0
|
xc |
c*x(c-1) |
c(c-1)x(c-2) |
c(c-1)(c-2)x(c-3)
|
x+c |
1 |
0 |
0
|
sin(x) |
cos(x) |
–sin(x) |
–cos(x)
|
cos(x) |
–sin(x) |
–cos(x) |
sin(x)
|
Sei
-mal differenzierbar im Intervall
, und sei
.
Dann gilt

mit
.
Ist
sogar
-mal differenzierbar, so kann man das Restglied (den Fehler) auch schreiben als

mit einem
zwischen
und
. Das Restglied in dieser Darstellung nennt man auch das Lagrangesche Restglied.
Das Taylorpolynom gibt die Möglichkeit, eine mehrfach differenzierbare Funktion in der Umgebung eines Entwicklungspunktes
durch ein Polynom zu approximieren und deren Approximationfehler
qualitativ/quantitativ abzuschätzen.
Taylorentwicklung von
im Entwicklungspunkt
:
[Bearbeiten]



- ...

