Mathematik: Analysis: Differentialgleichungen: homogene Differentialgleichungen

Beispiele für das Lösen von Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

erstes Beispiel

$y'={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$ Anfangswertbedingung: $y(3)=3\,$.

Bei diesem Beispiel kann man die Lösung schon mit der Methode "Scharf Hinsehen" erkennen. Trotzdem werden wir sie jetzt berechnen.

$f(x)=x^{2}\qquad g(y)={\frac {1}{y^{2}}}$

$F(x)=\int _{3}^{x}t^{2}dt=\left[{\frac {1}{3}}t^{3}\right]_{3}^{x}={\frac {1}{3}}x^{3}-9$

$G(y)=\int _{3}^{y}t^{2}dt=\left[{\frac {1}{3}}t^{3}\right]_{3}^{y}={\frac {1}{3}}y^{3}-9$

$G(h(x))=F(x)\,$

$\Rightarrow {\frac {1}{3}}(h(x))^{3}-9={\frac {1}{3}}x^{3}-9$

$\Rightarrow h(x)=x$

Schauen wir, ob wir die gesuchte Gleichung gefunden haben und setzen $h(x)\,$ für $y\,$ ein.

$h'(x)=1={\frac {x^{2}}{x^{2}}}={\frac {x^{2}}{h(x)^{2}}}$

Das stimmt. Und was ist mit der Anfangsbedingung?

$h(3)=3\,$

Das ist auch richtig. Wir haben also eine richtige Lösung gefunden.