Mathematik: Lineare Algebra: Determinanten: Berechnung von Determinanten

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Rechenregeln für die Berechnung der Determinante

Die Berechnung von Determinanten ist teilweise sehr ungewohnt, da sie sich von den Regeln, die für Vektoren und Matrizen gelten,teilweise unterscheiden und uns daher unlogisch erscheinen.

Multiplikation mit einem Skalar

Wenn Sie auf eine Determinante treffen, die wie folgt aussieht:

$\det A={\begin{vmatrix}a&b&c\\k*d&k*e&k*f\\g&h&i\end{vmatrix}}$

kann diese wie folgt vereinfacht werden:

$\det A=k*{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}$

Der Entwicklungssatz von LAPLACE

Nach unserer ursprünglichen Definition einer Determinante kann man eine Determinante nach ihrer ersten Spalte entwickeln: es werden die Elemente a₁₁, a₁₂, . . . a_1n verwendet und mit den Adjunkten multipliziert. Der nachstehende Satz, der Entwicklungssatz von LAPLACE zeigt, daß man eine Determinante nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln kann:

det (A) = ∑ ( -1 ) ^{i + k} a _ik d_ik

Dabei läuft die Summe von i = 1 bis n und k, der Spaltenindex k ist eine der Zahlen 1, 2, . . . n.

oder

det (A) = ∑ ( -1 ) ^{i + k} a _ik d_ik

Dabei läuft die Summe jetzt von k = 1 bis n und k, der Zeilenindex i ist eine der Zahlen 1, 2, . . . n. d_ik sind die Unterdeminanten, die man durch Streichen der i-ten Zeile und k-ten Spalte aus der ursprünglichen Determinante erhält.

Einige Determinanteneigenschaften

Transponieren

• Macht man die Spalten einer Determinante zu Zeilen und die Zeilen zu Spalten - man sagt dann, man habe die Matrix A zur Matrix A^T transponiert -, dann gilt

det (A) = det (A^T).

BEISPIEL:

Es ist

= ${\begin{vmatrix}1&4&5\\2&6&7\\3&8&9\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2&3\\4&6&8\\5&7&9\end{vmatrix}}$

Invarianz gegenüber elementaren Zeilenumformungen

Von Vektoren ist man es gewohnt, Zeilen multiplizieren,addieren und vertauschen zu können. Dies geht bei Determinanten nur eingeschränkt bzw. verändert diese. So gilt:

• Werden zwei Zeilen oder zwei Spalten einer Determinante vertauscht, so wechselt die Determinante ihr Vorzeichen.
• Ein gemeinsamer Faktor, der in den Elementen einer Zeile oder Spalte steckt, kann als Faktor vor die Determinante gezogen werden.
• Sind zwei Zeilen oder Spalten gleich, so hat die Determinante den Wert 0.
• Wenn zu einer Zeile (oder Spalte) einer Determinante ein Vielfaches einer anderen Zeile bzw Spalte addiert wird, ändert sich der Wert der Determinante nicht. So haben

${\begin{vmatrix}3&4\\5&6\end{vmatrix}}$ und ${\begin{vmatrix}3&4\\5+2mal3&6+2mal4\end{vmatrix}}$

den selben Wert - 2.

• Enthält eine Determinante unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonalen a₁₁, a₂₂, a₃₃, . . . a_nn lauter Nullen - die zugehörige Matrix ist dann eine sog. Dreiecksmatrix -, so ist der Wert dieser Determinanten gleich dem Produkt der Hauptdiagonalglieder:

det (A) = a₁₁ a₂₂ a₃₃ . . . a_nn.

Der Nachweis dieser Behauptung ist einfach: Wenn die Determinante oberhalb der Hauptdiagonalen lauter Nullen aufweist, so kann a₁₁, das einzige Element ungleich Null in dieser ersten Zeile, als Faktor vor die Determinante gezogen werden. Die erste Zeile lautet dann 1, 0, 0, 0, . . . 0. Entwickelt man nach dieser "1", so bleibt eine Unterdeterminante, bei der man entsprechen verfahren kann ( a₂₂ ) herausziehen, usw).

Homogene Gleichungssysteme

Gleichungssysteme, bei denen die rechten Seiten alle Null sind, heißen homogene Gleichungssysteme, die mit einer Matrix A' und dem Vektor x kurz so angegeben werde können:

A x = 0

Ein solches lineares Gleichungssystem(LGS) hat stets eine Lösung, mindestens die triviale x₁ = x₂ = x₃ = . . . x_n = 0. Vorausgesetzt, es liegt eine quadratische Matrix vor, das heißt es gibt genau gleich viele Gleichungen wie Unbekannte, so folgt aus der CRAMERschen Regel

x det (A) = 0.

Damit ist x genau dann ein nichttrivialer Lösungsvektor, wenn det (A) = 0. Geht man von

A x = λ x, wo λ ein Parameter ist.

Mit der "Einheitsmatrix" I, die in der Hauptdiagonalen lauter Einsen aufweist, sonst Nullen, kann die letzte Gleichung auch so formuliert werden:

( A - λ I ) x = 0.

Damit nun dieses Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung hat, muß

det ( A - λ I ) = 0

sein. Diese Bedingung ist nun aber nur für bestimmte λ , das sind die sog. Eigenwerte , die zur Matrix A gehören, erfüllt. Die Gleichung, der diese Eigenwerte genügen müssen, heißt charakteristische Gleichung oder auch Eigenwertgleichung. Schließlich heißt die zu einem Eigenwert λ gehörende (nichttriviale) Lösung von ( A - λ I ) x = 0 ein Eigenvektor der Matrix A. Diesbezügliche Überlegungen stellt man in der nichtlinearen Dynamik bei Stabilitätsfragen an. Auch bei linearen Differentialgleichungssystemen wird man auf charakteristische Gleichungen geführt.

Vorsicht!

Und noch etwas: Determinantenberechnungen erfordern großen Rechenaufwand, vorallem wenn n etwas größer ist. Übergibt man solche Determinantenrechnungen einem Computer, so sind wegen deren endlicher Zahlendarstellung Rundefehler möglich. Das wird plausibel, wenn wir folgendes Zahlenbeispiel betrachten: Das LGS

2,6251 x₁ + 0,3114 x₂ = 4,9388

1,3021 x₁ + 0,1551 x₂ = 2,4491

hat die beiden exakten Lösungen 2 und - 1. Schneiden wir von den vier Nachkommaziffern die beiden letzten ab, so erhält man gerundet

2,63 x₁ + 0,31 x₂ = 4,94

1,30 x₁ + 0,16 x₂ = 2,45.

Die Lösungen dieses Systems sind aber x₁ = 1,736 und x₂ = 1,2, also ganz andere Werte als die bei dem nicht gerundeten System.