Mathematik: Lineare Algebra: Eigenwerte: Das charakteristische Polynom

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Das charakteristische Polynom ist ein spezielles Polynom, durch welches sich bestimmte Aussagen über lineare Abbildungen oder quadratische Matrizen machen lassen. Außerdem hängt es sehr eng mit den Gebieten der Eigenwerte und Eigenvektoren zusammen, welche sich (oftmals) nur damit berechnen lassen.

Definition[Bearbeiten]

Zwei n×n-Matrizen A und B heissen ähnlich, wenn es eine invertierbare n×n-Matrix P gibt, so, dass

.

Satz[Bearbeiten]

Zwei ähnliche n×n-Matrizen A und B haben dieselbe Determinante.

Definition[Bearbeiten]

Für Matrizen[Bearbeiten]

Es sei eine -Matrix mit Elemente aus einem Körper . Dann wird das charakteristisches Polynom von definiert durch:

.

Darin ist die n-dimensionalen Einheitsmatrix.

Satz[Bearbeiten]

Zwei ähnliche n×n-Matrizen A und B haben dasselbe charakteristisches Polynom.

Satz[Bearbeiten]

Die repräsentierenden Matrizen eines Endomorphismus auf dem n-dimensionalen Vektorraum V, sind ähnliche n×n-Matrizen.

Definition[Bearbeiten]

Die Determinante det(φ) eines Endomorphismus φ auf dem n-dimensionalen Vektorraum V, ist die Determinante einer seiner repräsentierenden Matrizen.

Definition[Bearbeiten]

Für Endomorphismen[Bearbeiten]

Es seien ein Vektorraum endlicher Dimension, und ein Endomorphismus auf . Dann wird das charakteristische Polynom von definiert durch:

Sätze[Bearbeiten]

  1. Zwei Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom, wenn sie ähnlich sind.
  2. Wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, dann nennt man zerfallend über .


Beispiele[Bearbeiten]

Ein allgemeines Beispiel[Bearbeiten]

Es sei

.

Dann ist das charakteristische Polynom von gegeben durch:



Anmerkung:
Löst man die Gleichung nun nach auf, so hat man die Eigenwerte zur Matrix gefunden.


Ein Beispiel zu Linearfaktoren[Bearbeiten]

Es sei

.


Dann ist das charakteristische Polynom von :




Das charakteristische Polynom ist also .
ist zerfallend und aus den Linearfaktoren von kann man unmittelbar erkennen, dass die w:Eigenwerte und sind.


Zahlenbeispiel[Bearbeiten]

Es sei

.


Dann ist das charakteristische Polynom von :




Das charakteristische Polynom ist also .


-- Domino 18:08, 6. Apr. 2008 (CEST)