Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Gruppen, Ringe und Körper

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Wikibooks-logo.svg Mathematik One wikibook.svg Lineare AlgebraWikibooks buchseite.svg GrundlagenWikibooks buchseite.svg Gruppen, Ringe und Körper
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Operationen, Halbgruppen und Gruppen[Bearbeiten]

Operationen[Bearbeiten]

Definition
Eine Operation oder (zweistellige) innere Verknüpfung bezeichnet man eine Menge mit der Abbildung mit .

Operationen auf endlichen Mengen, z. B. lassen sich durch sogenannte Verknüpfungstabellen darstellen. Es gilt für .


Beispiele
  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition .
  • Die logische Operation :

Halbgruppen[Bearbeiten]

Definition
Eine Halbgruppe ist eine zweistellige innere Verknüpfung, bei der das Assoziativgesetz gilt. Folglich muss gelten:
  • ist eine zweistellige Operation

Beispiele hierfür sind wieder wie oben und , jedoch nicht das dritte Beispiel.

Monoide[Bearbeiten]

Definition
Ein Monoid ist eine Halbgruppe, in dem ein neutrales Element existiert. Dieses nennen wir .

Es reicht allerdings anzunehmen, dass sowohl ein rechtsneutrales Element (für dass gilt) und ein linksneutrales Element (für das gilt) existiert, denn aus folgt, dass diese gleich sein müssen. Wenn es zwei neutrale Elemente gäbe, folgt aus , dass diese gleich sind.

Gruppen[Bearbeiten]

Definition
Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und einer Verknüpfung
heißt Gruppe wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind :
  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
  2. Das Element e ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
  3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit

Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, falls die Operation kommutativ ist, d.h. es muss gelten

Beispiel
  • Zeige , dass eine kommutative Gruppe ist.
Seien beliebig, dann gilt :
  1. assoziativ :
  2. neutrales Element :
  3. inverses Element :
  4. kommutativ :

Zur Übung zeige man, dass und kommutative Gruppen sind.

Ringe[Bearbeiten]

Definition
Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
und
und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die folgende Eigenschaften erfüllen:
1. Axiome der Addition
  1. Assoziativgesetz: für alle gilt:
  2. Kommutativgesetz: für alle gilt:
  3. Das neutrale Element der Addition ist , d.h. für alle ist
  4. Existenz des Negativen: zu jedem gibt es ein mit .
2. Axiome der Multiplikation
  1. Assoziativgesetz: für alle gilt:
  2. Das neutrale Element der Multiplikation ist , d.h. für alle ist
3. Distributivgesetz: für alle gilt: und


Körper[Bearbeiten]

Definition
Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ist also eine Menge und gibt es zwei Verknüpfungen und so führt dies auf eine gleichartige Festlegung.

Definition
Ein Körper muss folgende Bedingungen erfüllen:
  • ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 0)
  • ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 1 ungleich 0)
  • Es gilt das Distributivgesetz: