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# Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Gruppen, Ringe und Körper

## Operationen, Halbgruppen und Gruppen

### Operationen

Definition
Eine Operation oder (zweistellige) innere Verknüpfung ${\displaystyle (M,\ \circ )}$ bezeichnet man eine Menge ${\displaystyle M}$ mit der Abbildung ${\displaystyle \circ \colon \ M\times M\to M}$ mit ${\displaystyle M^{2}\ni (x,\ y)\mapsto \circ (x,\ y)=:x\circ y\in M}$.

Operationen auf endlichen Mengen, z. B. ${\displaystyle M=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ lassen sich durch so genannte Verknüpfungstabellen darstellen. Es gilt ${\displaystyle a_{i,j}:=a_{i}\circ a_{j}}$ für ${\displaystyle i,j\in \{0,1,\ldots ,n\}}$.

 ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{3}}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle a_{n-1}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{1\,1}}$ ${\displaystyle a_{1\,2}}$ ${\displaystyle a_{1\,3}}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle a_{1\,n-1}}$ ${\displaystyle a_{1\,n}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{2\,1}}$ ${\displaystyle a_{2\,2}}$ ${\displaystyle a_{2\,3}}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle a_{2\,n-1}}$ ${\displaystyle a_{2\,n}}$ ${\displaystyle a_{3}}$ ${\displaystyle a_{3\,1}}$ ${\displaystyle a_{3\,2}}$ ${\displaystyle a_{3\,3}}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle a_{3\,n-1}}$ ${\displaystyle a_{3\,n}}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \ddots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle a_{n-1}}$ ${\displaystyle a_{n-1\,1}}$ ${\displaystyle a_{n-1\,2}}$ ${\displaystyle a_{n-1\,3}}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle a_{n-1\,n-1}}$ ${\displaystyle a_{n-1\,n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n\,1}}$ ${\displaystyle a_{n\,2}}$ ${\displaystyle a_{n\,3}}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle a_{n\,n-1}}$ ${\displaystyle a_{n\,n}}$

Beispiele
• Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\ +)}$.
• Die logische Operation ${\displaystyle (\{w,f\},\mathbf {AND} )}$:
 ${\displaystyle \mathbf {AND} }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle (\{x,\ y,\ z\},\circ )}$
 ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

### Halbgruppen

Definition
Eine Halbgruppe ist eine zweistellige innere Verknüpfung, bei der das Assoziativgesetz gilt. Folglich muss gelten:
• ${\displaystyle (M,\circ )}$ ist eine zweistellige Operation
• ${\displaystyle \forall \ a,b,c\in M\colon (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)=:a\circ b\circ c}$

Beispiele hierfür sind wieder wie oben ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ und ${\displaystyle (\{w,f\},\mathbf {AND} )}$, jedoch nicht das dritte Beispiel.

### Monoide

Definition
Ein Monoid ist eine Halbgruppe, in dem ein neutrales Element existiert. Dieses nennen wir ${\displaystyle e}$.
${\displaystyle \forall \,a\in M:a\circ e=e\circ a=a}$

Es reicht allerdings anzunehmen, dass sowohl ein rechtsneutrales Element ${\displaystyle e_{r}\,}$ (für dass ${\displaystyle a\circ e=a\ \forall \,a\in M}$ gilt) und ein linksneutrales Element ${\displaystyle e_{l}\,}$ (für das ${\displaystyle e\circ a=a\ \forall \,a\in M}$ gilt) existiert, denn aus ${\displaystyle e_{l}=e_{l}\circ e_{r}=e_{r}\,}$ folgt, dass diese gleich sein müssen. Wenn es zwei neutrale Elemente ${\displaystyle e_{1},e_{2}\,}$ gäbe, folgt aus ${\displaystyle e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{2}\,}$, dass diese gleich sind.

### Gruppen

Definition
Eine Menge ${\displaystyle G}$ mit einem ausgezeichneten Element ${\displaystyle e\in G}$ und einer Verknüpfung
${\displaystyle G\times G\rightarrow G,(a,b)\mapsto a\circ b}$
heißt Gruppe wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind :
1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${\displaystyle a,b,c\in G}$ gilt
${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$
2. Das Element e ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${\displaystyle a\in G}$ gilt
${\displaystyle a\circ e=a=e\circ a}$
3. Zu jedem ${\displaystyle a\in G}$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${\displaystyle c\in G}$ mit
${\displaystyle a\circ c=c\circ a=e}$

Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, falls die Operation kommutativ ist, d.h. es muss gelten

${\displaystyle \forall \ a,b\in M\colon \quad a\circ b=b\circ a}$
Beispiel
• Zeige , dass ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,0,+)}$ eine kommutative Gruppe ist.
Seien ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {Z} }$ beliebig, dann gilt :
1. assoziativ : ${\displaystyle (z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})}$
2. neutrales Element : ${\displaystyle z_{3}+0=0+z_{3}=z_{3}}$
3. inverses Element : ${\displaystyle z_{3}+(-z_{3})=(-z_{3})+z_{3}=0}$
4. kommutativ : ${\displaystyle z_{2}+z_{3}=z_{3}+z_{2}}$

Zur Übung zeige man, dass ${\displaystyle (\mathbb {R} ,0,+)}$ und ${\displaystyle (\mathbb {R\backslash \lbrace 0\rbrace } ,1,\cdot )}$ kommutative Gruppen sind.

## Ringe

Definition
Eine Menge ${\displaystyle R}$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
${\displaystyle +:R\times R\rightarrow R}$ und ${\displaystyle \cdot :R\times R\rightarrow R}$
und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${\displaystyle 0,1\in R}$ gibt, die folgende Eigenschaften erfüllen:
1. Axiome der Addition
1. Assoziativgesetz: für alle ${\displaystyle a,b,c\in R}$ gilt: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
2. Kommutativgesetz: für alle ${\displaystyle a,b\in R}$ gilt: ${\displaystyle a+b=b+a}$
3. Das neutrale Element der Addition ist ${\displaystyle 0}$, d.h. für alle ${\displaystyle a\in R}$ ist ${\displaystyle a+0=a}$
4. Existenz des Negativen: zu jedem ${\displaystyle a\in R}$ gibt es ein ${\displaystyle b\in R}$ mit ${\displaystyle a+b=0}$.
2. Axiome der Multiplikation
1. Assoziativgesetz: für alle ${\displaystyle a,b,c\in R}$ gilt: ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
2. Das neutrale Element der Multiplikation ist ${\displaystyle 1}$, d.h. für alle ${\displaystyle a\in R}$ ist ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}$
3. Distributivgesetz: für alle ${\displaystyle a,b,c\in R}$ gilt: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ und ${\displaystyle (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a}$

## Körper

Definition
Ein kommutativer Ring ${\displaystyle R}$ heißt Körper, wenn ${\displaystyle R\neq 0}$ ist und wenn jedes von ${\displaystyle 0}$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ist also ${\displaystyle K}$ eine Menge und gibt es zwei Verknüpfungen ${\displaystyle \oplus }$ und ${\displaystyle \odot }$ so führt dies auf eine gleichartige Festlegung.

Definition
Ein Körper ${\displaystyle (K,\oplus ,\odot )}$ muss folgende Bedingungen erfüllen:
• ${\displaystyle \left(K,\oplus \right)}$ ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 0)
• ${\displaystyle \left(K\setminus \{0\},\odot \right)}$ ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 1 ungleich 0)
• Es gilt das Distributivgesetz: ${\displaystyle \forall \ a,b,c\in K:\ (a\oplus b)\odot c=(a\odot c)\oplus (b\odot c)}$