Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Abbildungen

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Definition[Bearbeiten]

Eine Abbildung (oder Funktion) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Definitionsmenge (auch Definitionsbereich) genau ein Element einer Wertemenge (auch Zielmenge oder Bildbereich) zuweist. Im normalen Sprachgebrauch würde man eine Abbildung auch eine Zuordnung nennen, denn es werden den Elementen der Definitionsmenge jeweils ein Element der Wertemenge zugeordnet.

Man schreibt:

  • (bedeutet: ist eine Funktion, die Definitionsmenge von ist und die Wertemenge von ist )
  • oder (bedeutet: Die Funktion schickt auf )

Ein Element heißt hierbei Bild unter . Die Menge derjenigen , die auf abgebildet werden, heißt das Urbild von .

Wenn gilt, definiert man für eine Untermenge

Eigenschaften von Funktionen[Bearbeiten]

Injektivität
Surjektivität
Bijektivität

Sei eine Abbildung. Dann nennt man

  • injektiv, falls für gilt, dass immer impliziert. Äquivalent dazu ist .
  • surjektiv, falls es zu jedem mindestens ein gibt, für das gilt.
  • bijektiv, falls sowohl injektiv, als auch surjektiv ist.

Anschaulicher formuliert bedeutet dies, dass jedes

  • für injektives höchstens ein Element
  • für surjektives mindestens ein Element
  • für bijektive Abbildungen genau ein Element

in seinem Urbild besitzt.

Restriktion (oder Einschränkung) und Fortsetzung[Bearbeiten]

Haben zwei Abbildungen und mit dieselbe Funktionsvorschrift, ist also für alle . So nennt man die Restriktion (oder Einschränkung) von auf und schreibt . Andererseits ist eine Fortsetzung von auf .

Urbildbereich/Inverse Funktionen[Bearbeiten]

Wenn eine Funktion ist, definiert man wobei für . Dies bezeichnet man als den Urbildbereich von . Wenn gilt, also nur aus einem Element besteht, schreibt man statt auch . Hierbei muss man beachten, dass im allgemeinen eine Menge erzeugt, die auch (wenn die Funktion nicht surjektiv ist) leer sein kann. Nur wenn bijektiv ist, ist auch eine bijektive Funktion .

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Identiät ist eine bijektive Abbildung.
  • Die Funktion ist von eine bijektive Abbildung. ist dagegen nur injektiv.
  • ist injektiv, jedoch nicht surjektiv, da etwa in den ganzen Zahlen keine Lösung besitzt, also kein Urbild zu existiert.
  • ist surjektiv, jedoch nicht injektiv, denn .
  • ist weder injektiv noch surjektiv, denn und zu kein reelles existiert, so dass .


Permutationen[Bearbeiten]

Eine bijektive Selbstabbildung einer endlichen Menge bezeichnet man als Permutation von A.

Zwei Abbildungen und heißen gleich, wenn , und für alle gilt.