Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Relationen

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Relation

Eine Relation $R$ zwischen zwei Mengen $A$ und $B$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes $A\times B$, also $R\ \subseteq A\times B$. Für $(x,y)\in R$ schreibt man auch kurz $xRy$ (und sagt: „$x$ steht in der Relation $R$ zu $y$.“). Oft werden Relationen mit Symbolen wie $\sim ,\ \simeq ,\ \approx ,\ <$ und $\geq$ bezeichnet.

Beispiele

• $\sim \ :=\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}|10>|x-y|\}$. Dann gilt beispielsweise: $2\not \sim 12,\ 1\not \sim 15,\ 5\sim 5$
• $\sim \ :=\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}|(x-y)\equiv 0{\bmod {x}}\}$. Für $x=3$ gilt dann: $2\sim 5,\ 3\sim 9,\ 4\sim 4,\ 7\not \sim 11$
• $\sim \ :=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|\exists n\in \mathbb {R} \colon \ x^{n}=y\}$. Dann gilt $2\sim 4\sim 16\sim {\sqrt {2}},\ 5\sim 5\sim 625,\ 4\not \sim 8$

Definition

Seien $A\,$ und $B\,$ Mengen, $A\times B$ ihr kartesisches Produkt und $E(x,y)\,$ eine Aussageform zweier Variablen aus $A\,$ und $B\,$. Die Menge $R=\{(x,y)\in A\times B\mid E(x,y)\}$ heißt Relation. Für $(x,y)\in R$ schreibt man auch $xRy\$ und sagt: "$x\,$ steht in der Relation $R\,$ zu $y\,$".

Äquivalenzrelation

Sei $\sim$ eine Relation auf einer Menge $A\,$. Man nennt $\sim$ Äquivalenzrelation, falls für alle $a,b,c\in A$ gilt:

• $a\sim a\$ (Reflexivität)
• $a\sim b\Rightarrow b\sim a$ (Symmetrie)
• $a\sim b\land b\sim c\Rightarrow a\sim c$ (Transitivität)

Mit $[a]:=\{b\in A|a\sim b\}$ bezeichnen wir die Äquivialenzklasse eines Elements $a\in b$. Die Äquivalenzklassen bilden eine Partition von $A$, das heißt, sind $a,b\in A$, so gilt $[a]=[b]$ oder $[a]\cap [b]=\emptyset$. Wir bezeichnen mit $A/\sim :=\{[a]|a\in A\}$ die Menge aller Äquivalenzklassen der Relation.