Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Mengen 2

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Die natürlichen Zahlen [Bearbeiten]

sind die sogenannten natürlichen Zahlen. Es sind alle ganzen Zahlen von Eins anfangend. Das folgende Axiomensystem von Giuseppe Peano beschreibt alle Eigenschaften dieser Menge.

Laut DIN-Norm 5473 ist die Null ein Element der natürlichen Zahlen, einige Mathematiker ignorieren dies jedoch, weshalb man immer auf den Kontext achten muss! Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null wird zum Beispiel mit bezeichnet. Ab 1894 gebrauchte Peano für die natürlichen Zahlen mit Null das Symbol , das heute ebenfalls stilisiert und nach Peano durch definiert wird.

Axiomensystem von G. Peano[Bearbeiten]

  1. ist eine natürliche Zahl
  2. Jede natürliche Zahl hat einen eindeutig bestimmten Nachfolger .
  3. ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl
  4. Für jede Menge , die und mit auch jeden Nachfolger enthält, gilt .

Beweisprinzip der vollständigen Induktion[Bearbeiten]

Das Axiomensystem von G. Peano führt auf das sehr wichtige Beweisprinzip der vollständigen Induktion: sei eine Aussage, in der eine natürliche Zahl vorkommt. Wenn dann

  1. ist wahr
  2. Falls wahr ist, ist auch wahr
gilt, ist die Aussage für jede natürliche Zahl wahr.

Häufig gebrauchte Varianten

  • Man startet bei . Die Aussage ist dann allerdings nur für wahr.
  • Falls wahr sind, ist auch wahr.

Beispiel:

Zeige mittels Induktion für die Gültigkeit der Formel : .
n = 1 :
. Die Formel stimmt also für .
 :
Die Formel ist für gültig und damit bewiesen.

Die Ganzen Zahlen [Bearbeiten]

Die Ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen um deren negative Gegenstücke. Also zum Beispiel: .

Aufbau der ganzen Zahlen[Bearbeiten]

Hier soll beschrieben werden, wie man aus gewinnt.

Die rationalen Zahlen [Bearbeiten]

Die Rationalen Zahlen oder Brüche sind alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen. Also:

Aufbau der rationalen Zahlen[Bearbeiten]

Die reellen Zahlen [Bearbeiten]

Die reellen Zahlen bestehen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen. Auf die Definition kommen wir noch später zu sprechen, jedoch einige Beispiele für irrationale Zahlen:

  • allgemein:
  • (Die Kreiszahl Pi)
  • (Die eulersche Zahl)

Die komplexen Zahlen [Bearbeiten]

Die komplexen Zahlen sind eine gedanklich geschaffene Zahlenmenge, um mit Zahlen rechnen zu können die in der Menge der Reellen Zahlen nicht existieren. Man kann sie als eine Art Hilfsmittel betrachten, mit denen bestimmte Berechnungen (z.B. in der Elektrotechnik) gelöst werden können. Ohne die Komplexen Zahlen wäre dies häufig nicht, oder nur mit erheblich größerem Aufwand möglich.

Eine komplexe Zahl Z hat immer die folgende Form:

a und b sind jeweils reelle Zahlen. a heißt Realteil, b Imaginärteil. i wird als Imaginäre Einheit bezeichnet.

Die Imaginäre Einheit i ist die Zahl, die aus der folgenden Gleichung resultiert:   Daraus folgt, dass i den Wert    haben müsste. Die Wurzel von negativen Zahlen ist jedoch nicht definiert. Deshalb wird der Buchstabe i als Platzhalter verwendet. (In der Elektrotechnik wird statt "i" der Buchstabe "j" verwendet.) Es gelten dieselben Rechenregeln wie für die Reellen Zahlen. Übrigens kann jede reelle Zahl auch als komplexe Zahl angegeben werden. Hierbei ist der Imaginärteil einfach 0.

Ist der Imaginärteil des Ergebnisses einer komplexen Berechnung nicht Null, so muss das Ergebnis je nach Anwendungsgebiet speziell interpretiert werden.

Beispiele:

  •       (3 ist der Realteil, 2 der Imaginärteil.)

Weitere häufig benutzte Mengen[Bearbeiten]