Mathematik: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme: Lösungen von LGS

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Lösungen von linearen Gleichungssystemen

Das n-Tupel $(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n})$ heisst Lösung von (B), wenn alle Gleichungen von (B) durch einsetzen von $\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}$ anstelle von $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ stimmen. Dass heisst, nach auflösen sollte links und rechts von Gleichheitszeichen diesselbe reelle Zahl stehen.

Satz: Lösungen von homogenen Systemen Es sei (H) ein homogenes lineares Gleichungssystem, und es seien $(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n})$ und $(\eta _{1},\eta _{2},\ldots ,\eta _{n})$ Lösungen von (H). Dann ist auch $(\xi _{1}+\eta _{1},\xi _{2}+\eta _{2},\ldots ,\xi _{n}+\eta _{n})$ eine Lösung von (H). Ebenso sind für jede beliebige reelle Zahl $\lambda$ auch $(\lambda \xi _{1},\lambda \xi _{2},\ldots ,\lambda \xi _{n})$ und $(\lambda \eta _{1},\lambda \eta _{2},\ldots ,\lambda \eta _{n})$ Lösungen von (H).

Ein homogenes System besitzt immer die triviale Lösung $(0,0,\ldots ,0)$

Notation: Wenn (B) ein beliebiges lineares Gleichungssystem ist, bezeichnen wir mit (H_B) das zugehörige homogene System. (H_B) entsteht also, wenn man im System (B) alle $b_{i}=0$ setzt.

Satz: Lösungen eines homogenen und eines inhomogenen Systems Es sei (B) ein beliebiges lineares Gleichungssystem und (HB) das zugehörige homogene System. Es seien weiterhin $(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})$ eine Lösung von (B) und $(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n})$ eine Lösung von (HB). Dann ist $(\zeta _{1}+\xi _{1},\zeta _{2}+\xi _{2},\ldots ,\zeta _{n}+\xi _{n})$ ebenfalls eine Lösung von (B). Achtung: von (HB) ist es im allgemeinen keine Lösung!

Diese zwei Sätze kann man leicht mit Einsetzen beweisen.

Wir definieren die Addition von zwei n-Tupeln $\xi$ und $\eta$ als:

$\xi +\eta =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})+(\eta _{1},\ldots ,\eta _{n}){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(\xi _{1}+\eta _{1},\ldots ,\xi _{n}+\eta _{n})$

Die Multiplikation eines n-Tupels $\xi$ mit einer reellen Zahl $\lambda$ ist folgendermassen definiert:

$\lambda \xi =\lambda (\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(\lambda \xi _{1},\ldots ,\lambda \xi _{n})$

Bemerkung: Man stellt leicht fest, dass die Lösungsmenge eines Systems (B) nicht verändert wird durch folgende Operationen:

i) Vertauschen von Gleichungen

ii) Multiplikation einer Gleichung mit $\lambda \in \mathbb {R} ,\lambda \neq 0$

iii) Addition des $\lambda$-fachen der j-ten Gleichung zur i-ten Gleichung $(i\neq j)$

Diese Eigenschaften können dazu verwendet werden, ein beliebiges System (B) Schritt für Schritt in ein System überzuführen, von dem die Lösung direkt abgelesen werden kann. Wir werden das anhand unseres Beispiels durchspielen:

${\begin{matrix}x_{1}&+&x_{2}&+&2x_{3}&=&1\\2x_{1}&+&3x_{2}&+&3x_{3}&=&4\\4x_{1}&+&6x_{2}&+&5x_{3}&=&2\\\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}x_{1}&+&x_{2}&+&2x_{3}&=&1\\&&x_{2}&-&x_{3}&=&2\\&&2x_{2}&-&3x_{3}&=&-2\\\end{matrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{matrix}x_{1}&+&x_{2}&+&2x_{3}&=&1\\&&x_{2}&-&x_{3}&=&2\\&&&&-x_{3}&=&-6\\\end{matrix}}$

Im ersten Schritt wird die erste Gleichung mit -2 multipliziert und zur zweiten Gleichung addiert. Ebenso wird die erste Gleichung mit -4 multipliziert und zur 3. Gleichung addiert. Im zweiten Schritt wird die neue zweite Gleichung mit -2 multipliziert und zur neuen dritten Gleichung addiert. Damit erhält man das dritte System, aus dem man direkt ablesen kann, dass $x_{3}=6$. Setzt man dies in die zweite Gleichung ein, erhält man $x_{2}=8$. Wenn man diese zwei Werte nun noch in die erste Gleichung einsetzt, erhält man $x_{1}=-19$. Um diese Lösung zu bekommen, reicht es auch, einfach die Zahlen nebeneinander zu schreiben, um sich Schreibarbeit zu ersparen.

Doch Vorsicht: Später werden wir sehen, dass Systeme auch keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben können. Um das möglichst schnell bestimmen zu können, brauchen wir allerdings noch einiges an linearer Algebra, welches in den folgenden Kapiteln folgt. Trotzdem wollen wir hier noch zwei Sätze zu linearen Gleichungssystemen ohne Beweis aufführen.

Satz: Existenz der Lösung eines homogenen Systems Es sei (H) ein homogenes lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten, d.h. $m\leq n$. Dann existiert immer eine Lösung $\xi =(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n})$, die nicht die triviale Lösung $(0,0,\ldots ,0)$ ist.

Satz: Lösungsäquivalenz Es sei (B) ein beliebiges lineares Gleichungssystem mit m=n Besitzt (HB nur die triviale Lösung, so besitzt (B) genau eine Lösung. Besitzt (HB eine nichttriviale Lösung, so besitzt (B) entweder keine oder unendlich viele Lösungen.