Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Linearkombinationen und Unterräume

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Wikibooks-logo.svg Mathematik One wikibook.svg Lineare AlgebraWikibooks buchseite.svg Vektorräume


Linearkombinationen[Bearbeiten]

Nehmen wir uns mal ein paar Vektoren aus einem Vektorraum , wobei eine beliebige Menge ist. Wir wissen nach Definition können wir jeden dieser Vektoren mit einem Skalar multiplizieren und dann alle summieren und haben immer noch einen Vektor in , also ist für . Wir für ein solches sagen wir mit ist eine Linearkombination der Vektoren .

Beispiele[Bearbeiten]

, also ist eine Linearkombination von .

, also ist eine Linearkombination von .

, da es kein gibt, die diese Gleichung erfüllen, ist keine Linearkombination von .

Der Spann / Das Erzeugnis[Bearbeiten]

Haben wir nun Vektoren so wird die Menge aller Linearkombinationen aus diesen Vektoren das Erzeugnis/der Spann genannt. In Symbolsprache: ist das Erzeugnis und der Spann.

Satz: ist ein Untervektorraum (für den Spann geht es genauso).

Beweis[Bearbeiten]

1.

2. Seien und so ist trivialerweise : .

Denn eine Linearkombination von Linearkombinationen ist eine Linearkombination der Ursprünglichen Vektoren.

Unterräume[Bearbeiten]

Der Unterraum (genauer Untervektorraum) ist ein Vektorraum der ganz in einem Vektorraum liegt.

Definition[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Eine Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn sie mit den von induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

  • und
  • für alle auch und
  • für alle und alle auch

gilt. Wobei man die Letzeren Beiden auch zusammenfassen kann mit:

  • für alle gilt :

Beispiele[Bearbeiten]

Kanonischer Unterraum[Bearbeiten]

Sei so ist jeder mit mit ein Untervektorraum.

Gerade und Ebene[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum. So ist eine Ebene die Menge alle Vektoren der Form für zwei eindeutige Vektoren und für alle .

Die Gerade besteht aus allen Vektoren der Form für ein eindeutigen Vektor und für alle .

Man sieht schnell (Übungsaufgabe), dass die Ebene und die Gerade Untervektorräume von sind und die Gerade ein Untervektorraum der Ebene ist.