Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Vektorräume über beliebigen Körpern

Vektorräume über beliebigen Körpern

Mathematik Lineare Algebra Vektorräume

Vektorräume $(V,+,\cdot ,IK)$ besitzen eine innere Verknüpfung $+:V\times V\rightarrow V$ mit $(v,w)\rightarrow v+w$ und eine äußere Verknüpfung $\cdot :IK\times V\rightarrow V$ mit $(\lambda ,v)\rightarrow \lambda \cdot v$.

Für die äußere Verknüpfung wird nur verlangt, dass $IK$ ein Körper ist. Bekannte Körper sind

• Körper der rationalen Zahlen
• Körper der reellen Zahlen
• Körper der komplexen Zahlen

Aber auch endliche Körper, die z.B. nur aus den Elementen 0 und 1 bestehen (0 als neutrales Element der Addition und 1 als neutrales Element der Multiplikation) können als Körper gewählt werden, wenn die äußeren und inneren Verknüpfungen in dem Vektorraum $(V,+,\cdot ,IK)$ die Vektorraumaxiomen erfüllen.

Man kann auch die reellen Zahlen als Vektorraum über dem Körper der rationalen Zahlen betrachten. In diesem Fall ist der Vektorraum der reellen Zahlen eine unendlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper der rationalen Zahlen.