Mathematikunterricht/ Prim/ Division 1
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Das folgende Verfahren hat den Vorteil, dass es in Stellenwertsystemen, also insbesondere im Zehnersystem, immer funktioniert, und mit ihm auch nicht-natürliche Zahlen wie die rationalen und reellen definiert werden können.
- Bezeichnungen
12 : 4 = 3
Dividend : Divisor = Quotient
Natürliche Zahlen
[Bearbeiten]Beispiel: Dividiere 1066442 durch 13. Die Division geht auf.
- Schreibe die Aufgabenstellung als Zeile an.
| 1 | 0 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | : | 1 | 3 | = |
Überlege, welche der ersten Ziffern eine Zahl bilden, die groß genug ist, geteilt zu werden: Hier ist dies 106:
| 1 | 0 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | : | 1 | 3 | = |
- Dividiere die gefundene Zahl und schreibe das Ergebnis ohne Rest nach dem Gleichheitszeichen. Multipliziere das Ergebnis mit dem Divisor, schreibe es unter die dividierte Zahl. Bilde den Rest durch die Differenz:
| 1 | 0 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | : | 1 | 3 | = | 8 |
| 1 | 0 | 4 | |||||||||
| _ | _ | _ | |||||||||
| 2 |
- Hole nun die nächste Ziffer von oben:
| 1 | 0 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | : | 1 | 3 | = | 8 |
| 1 | 0 | 4 | |||||||||
| _ | _ | _ | |||||||||
| 2 | 6 |
- Dividiere die neue Zahl und wiederhole das Anschreiben des Ergebnisses und der Restdifferenz:
| 1 | 0 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | : | 1 | 3 | = | 8 | 2 |
| 1 | 0 | 4 | ||||||||||
| _ | _ | _ | ||||||||||
| 2 | 6 | |||||||||||
| 2 | 6 | |||||||||||
| _ | _ | |||||||||||
| 0 |
- Hole wieder die nächste Ziffer von oben:
| 1 | 0 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | : | 1 | 3 | = | 8 | 2 |
| 1 | 0 | 4 | ||||||||||
| _ | _ | _ | ||||||||||
| 2 | 6 | |||||||||||
| 2 | 6 | |||||||||||
| _ | _ | |||||||||||
| 0 | 4 |
- Da in diesem Falle die Zahl nicht geteilt werden kann, weil sie zu klein ist, schreibe als Ergebnis eine 0 auf:
| 1 | 0 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | : | 1 | 3 | = | 8 | 2 | 0 |
| 1 | 0 | 4 | |||||||||||
| _ | _ | _ | |||||||||||
| 2 | 6 | ||||||||||||
| 2 | 6 | ||||||||||||
| _ | _ | ||||||||||||
| 0 | 4 |
- Hole die nächste Ziffer von oben und wiederhole die oben genannten Schritte so lange, bis am Ende eine Null als verbleibende Differenz übrigbleibt, und keine Ziffern mehr von oben geholt werden können.
| 1 | 0 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | : | 1 | 3 | = | 8 | 2 | 0 |
| 1 | 0 | 4 | |||||||||||
| _ | _ | _ | |||||||||||
| 2 | 6 | ||||||||||||
| 2 | 6 | ||||||||||||
| _ | _ | ||||||||||||
| 0 | 4 | 4 |
| 1 | 0 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | : | 1 | 3 | = | 8 | 2 | 0 | 3 |
| 1 | 0 | 4 | ||||||||||||
| _ | _ | _ | ||||||||||||
| 2 | 6 | |||||||||||||
| 2 | 6 | |||||||||||||
| _ | _ | |||||||||||||
| 0 | 4 | 4 | ||||||||||||
| 3 | 9 | |||||||||||||
| _ | _ | |||||||||||||
| 5 |
| 1 | 0 | 6 | 6 | 4 | 4 | 2 | : | 1 | 3 | = | 8 | 2 | 0 | 3 | 4 |
| 1 | 0 | 4 | |||||||||||||
| _ | _ | _ | |||||||||||||
| 2 | 6 | ||||||||||||||
| 2 | 6 | ||||||||||||||
| _ | _ | ||||||||||||||
| 0 | 4 | 4 | |||||||||||||
| 3 | 9 | ||||||||||||||
| _ | _ | ||||||||||||||
| 5 | 2 | ||||||||||||||
| 5 | 2 | ||||||||||||||
| _ | _ | ||||||||||||||
| 0 |
Brüche
[Bearbeiten]Das gezeigte Divisionsverfahren hat den Vorteil, dass es auch funktioniert, wenn die Division nicht aufgeht, d. h. das Ergebnis ein Bruch ist. Durch dieses Verfahren wird der Bruch als Dezimalbruch dargestellt. Man muss nur darauf achten, dass beim ersten Holen einer 0 aus dem "Nichts" ein Komma gesetzt wird.
Beispiel:
| 1 | 7 | : | 8 | = | 2 | , | 1 | 2 | 5 |
| 1 | 6 | ||||||||
| _ | _ | ||||||||
| 1 | 0 | ||||||||
| 8 | |||||||||
| _ | |||||||||
| 2 | 0 | ||||||||
| 1 | 6 | ||||||||
| _ | _ | ||||||||
| 4 | 0 | ||||||||
| 4 | 0 | ||||||||
| _ | _ | ||||||||
| 0 |
Man beendet die Division, sobald sich als letzte Differenz Null ergibt, oder sobald man der Auffassung ist, dass die bis dahin gefundene Zahl '"genau genug" ist.
Übungsbeispiele: (Berechne auf drei Stellen hinter dem Komma)
Aufgabe 1: Berechne
| 1 | 8 | : | 7 |
Lösung: 2,571
Aufgabe 2: Berechne
| 1 | 1 | 9 | : | 3 | 7 |
Lösung: 3,216
Reelle Zahlen
[Bearbeiten](Positive) Reelle Zahlen sind nach einer möglichen Definition solche, für die es eine Dezimalbruchdarstellung gibt, auch wenn man diese nicht vollständig aufschreiben kann, weil sie unendlich lang ist.
Kehrwertmultiplikation
[Bearbeiten]Ein weiteres Verfahren, um Zahlen zu dividieren, besteht darin, von der Zahl, die als Teiler dient, den so genannten Kehrwert zu bilden, und dann die Zahl, die dividiert werden soll, mit dem Kehrwert malzunehmen.
Der Kehrwert einer Zahl a ist jene eindeutig bestimmte Zahl x, die die Lösung der Gleichung
a*x=1
ist.
Zum Verfahren im Zehnersystem siehe Kehrwertmultiplikation.