Mathematik: Schulmathematik: Kehrwertmultiplikation

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Kehrwertmultiplikation[Bearbeiten]

Die Zahl 1/b heißt Kehrwert von b und ist diejenige eindeutig bestimmte Zahl x, für die bx = 1 gilt.

Um eine Zahl a durch b zu teilen, kann man sie statt dessen mit dem Kehrwert multiplizieren.

Beispiel: Teile 4 durch 2:

Der Kehrwert von 2 ist 0,5 und 4x0,5 ist 2.

Denn 4x5= 20 wobei hier noch das Komma um eine Stelle nach links verschoben werden muss.

In dieser Art haben schon die Babylonier dividiert. Da ihr Zahlensystem auf der Basis 60 basierte und sie noch keine 0 kannten, war dies für sie praktischer, als wir dies heute finden, da wir sowohl die 0 kennen als auch mit dem normalen Divisionsverfahren schneller zum Ziel kommen. Es ist jedoch so, dass in komplizierteren Rechensystemen - zum Beispiel im Umgang mit Matrizen - die Bildung des Kehrwertes (sofern er überhaupt existiert) das einzige Verfahren ist um zu "dividieren". Ferner bemerkenswert ist, dass dieses Verfahren, das wir als sehr "abstrakt" empfinden, bereits bei den Babyloniern als "natürliche" Division betrachtet wurde.

Dezimale Kehrwerte[Bearbeiten]

Hier sind die dezimalen Kehrwerte der Zahlen von 1 bis 20.

1   1

2   0,5

3   0,333333...

4   0,25

5   0,2

6   0,1666666...

7   0,142857 142857 142857 142857...

8   0,125

9   0,111111...

10   0,1

11   0,0909090909...

12   0,083333333333...

13   0,076923 076923 076923...

14   0,0714285 714285 714285...

15   0,06666666...

16   0,0625

17   0,0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647...

18   0,0555555...

19   0,052631578947368421 052631578947368421 052631578947368421...

20   0,05

Berechnung des Kehrwerts[Bearbeiten]

Um den Kehrwert zum Beispiel der Zahl 4 zu bestimmen, berechnet man die Divisionsaufgabe

1 : 4 = ?

wie in Mathematik: Schulmathematik: Division beschrieben. Das Ergebnis ist in diesem Falle 0,25.

Man stellt allerdings fest, dass bei manchen Kehrwerten die Division nie zu Ende geht, weil der Dezimalbruch unendlich lang ist. Aber auch dann findet man eine Regelmäßigkeit: Die Zahlen nach dem Komma wiederholen sich eventuell. Die kürzeste Wiederholungssequenz heißt Periode des Bruches. Zum Beispiel ist die Periode des Kehrwertes von 3 "3" und die der Zahl 7 "142857".

Umwandlung eines Dezimalbruchs in einen "normalen" Bruch[Bearbeiten]

Man schreibt den Dezimalbruch in den Zähler. Im Nenner schreibt man eine 1. Sodann "verschiebt" man das Komma bis zum Ende der Zahl. Für jede Stelle, um die man das Komma verschiebt, schreibt man im Nenner eine Null:

0,5 = 5/10

0,25= 25/100

0,125 = 125/1000

1,5=15/10

24,73=2473/100

Die so gefundenen Brüche kann man dann kürzen:

0,5=5/10=1/2

0,25=25/100=1/4 ...

Umwandlung eines periodischen Dezimalbruchs in einen "normalen" Bruch[Bearbeiten]

  • Was macht man aber, wenn der Dezimalbruch unendlich ist?

Dann schreibt man den Dezimalbruch nur mit einer Periode in den Zähler. Sodann schreibt man für jede Stelle, um die man das Komma verschiebt, eine 9 in den Nenner:

0,3333... = 3/9

0,1111... = 1/9

0,090909... = 9/99

0,142857 142857... = 142857/999999

Beginnt die Periode erst später kombiniert man die beiden Methoden und rechnet die gefundenen gemischten Brüche um:

0,05555... = 0,555../10 = 5/(10⋅9) = 5/90

0,08333... = 8,333../100=8/100 + 0,333.../100 = 8/100 + 3/(9⋅100) = 72/900 + 3/900 = 75/900

Die so gefundenen "normalen" Brüche kann man wieder kürzen:

3/9 = 1/3

142857/999999 = 9⋅15873/(9⋅15873⋅7) = 1/7

75/100 = 3/4